Comprimento, Área e Perímetro: análise da abordagem das grandezas geométricas à luz da teoria dos campos conceituais. Lúcia de Fátima Durão Ferreira 1 GD1 Educação Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental Resumo do trabalho. O objetivo dessa pesquisa é analisar e caracterizar as abordagens dos conceitos de comprimento, perímetro e área em documentos oficiais e em livros didáticos do 1º ao 6º anos do ensino fundamental sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais desenvolvida por Gérard Vergnaud e seus colaboradores. Cada um dos conceitos é caracterizado por meio de três conjuntos interligados: as situações, os invariantes operatórios e as representações simbólicas. Adotamos a abordagem de comprimento, área e perímetro como grandezas, seguindo as pesquisas desenvolvidas por Régine Douady e Marie-Jeanne PerrinGlorian bem como outras pesquisas posteriores que assumem essa mesma perspectiva. O percurso metodológico inicia com a análise de documentos de orientações curriculares nacionais e do estado de Pernambuco, para verificar os elementos norteadores e as orientações existentes para o estudo das grandezas geométricas. Em seguida, será realizada a análise da abordagem destas grandezas nos livros didáticos do 1º ao 6º ano do ensino fundamental do Programa Nacional do Livro Didático em duas escolas da rede pública da cidade do Recife que adotam os mesmos livros. Esses diagnósticos serão complementados com observações em salas de aula e entrevistas com os professores dessas escolas com o objetivo de apreender as concepções dos professores sobre as grandezas em estudo. A partir das análises anteriores será proposta uma sequência de atividades para os alunos do 6º ano para verificar se os conceitos em questão estão consolidados. Palavras-chave: Comprimento. Área. Perímetro. Grandezas e medidas. Teoria dos Campos Conceituais. Introdução Nosso projeto foi motivado a partir de reflexões resultantes da dissertação de mestrado de Ferreira (2010) ao investigar a construção do conceito de área e a relação entre área e perímetro por alunos do 6º ano do ensino fundamental, sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais. 1 Universidade Federal de Pernambuco, e-mail: luciadurao@ufpe.br, orientadora: Paula Baltar Bellemain.
A pesquisa, composta de quatro estudos, iniciou-se com a análise da abordagem dos conceitos de comprimento e área nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de todo o ensino fundamental e de duas coleções de livros didáticos (uma de 1º e 2º ciclos e uma de 3º e 4º ciclos). O segundo estudo foi a elaboração e aplicação de uma sondagem, para diagnosticar os conhecimentos mobilizados pelos alunos do 6º ano acerca das noções de comprimento e área. O terceiro estudo realizado consistiu na elaboração e aplicação de uma sequência didática composta de uma primeira fase com atividades ad-hoc e uma segunda fase com o livro-texto adotado na escola. Finalmente, aplicamos um teste, para verificarmos os conhecimentos dos alunos que tinham evoluído e quais as possíveis dificuldades ainda persistentes após aplicação da sequência didática. Em seguida, selecionamos quatro duplas de alunos, para entrevista, a fim de esclarecer alguns procedimentos utilizados por eles, tendo o teste e a entrevista composto o quarto estudo. Os resultados do primeiro estudo indicaram que tanto os PCN quanto os livros didáticos apresentam situações predominantemente associadas ao quadro numérico e com figuras poligonais. As análises dos resultados, desde a aplicação da sondagem até as entrevistas, mostraram avanços com relação aos procedimentos de decomposição e recomposição de figuras, de ladrilhamento de superfícies (escolhida uma como unitária), bem como da diferenciação entre contorno e perímetro. Por outro lado, persistiram entraves referentes à compreensão da ordenação de comprimentos e a dissociação entre os conceitos de área e perímetro nas situações que não contemplavam a representação simbólica das figuras. Diante de tais resultados de pesquisa, novas inquietações surgiram: que situações são objeto de introdução para a compreensão das grandezas comprimento e área nos anos iniciais do ensino fundamental? São oportunizadas situações que privilegiem a comparação de grandezas sem unidades de medida? Quais as situações que possibilitam a compreensão do aluno sobre a diferenciação entre os conceitos de área e perímetro? Quais as variáveis estabelecidas em cada situação? Que recursos são disponibilizados para os estudantes? Quais os procedimentos utilizados para uma mesma classe de situações? As questões que podemos levantar para buscar responder a essas perguntas seriam: Quais as situações propostas para a abordagem dos conceitos de comprimento, área e perímetro do 1º ao 6º ano do ensino fundamental? Quais os procedimentos utilizados, as variáveis estabelecidas e os recursos propostos nos livros didáticos aprovados no Programa Nacional do Livro Didático - PNLD?
Esses questionamentos iniciais deram origem ao projeto de pesquisa de doutorado no programa de pós graduação em Educação Matemática e tecnológica da UFPE iniciado em setembro deste ano, como o mapeamento das situações e seus procedimentos em livros didáticos do 1º ao 6º ano, a ideia da construção de conceitos baseada na teoria dos campos conceituais e a classificação de situações proposta por Baltar (1996), ampliada por Ferreira (2010). Esse suporte teórico tem sido referência em diversas pesquisas desenvolvidas pelo grupo Pró-Grandeza: ensino e aprendizagem das grandezas geométricas liderado pela profª Paula Bellemain e pelo profº Paulo Figueiredo Lima. Fundamentação Teórica A Teoria dos Campos Conceituais Tomamos como aporte teórico a Teoria dos Campos Conceituais, construída por Gérard Vergnaud e seus colaboradores, com o objetivo de discutir o comportamento cognitivo do aluno diante de situações de aprendizagem, buscando compreender quais ações são desenvolvidas por ele, e de que forma são organizadas. Para Vergnaud (1994) a aquisição de conhecimentos se dá por meio das situações, e para a construção de um conceito o aluno precisa não somente de uma definição por enunciado e textos, mas também daquilo que está subjacente às competências e permite a ação operatória (p.177). Entendemos aqui competência como a capacidade do sujeito em enfrentar e resolver situações. Essas competências são construídas a partir das experiências individuais, das relações sociais e dos conhecimentos adquiridos. Vergnaud afirma que grande parte dos nossos conhecimentos são competências, porém apenas uma parte dessas é facilmente explicável. Quando estamos diante de situações conhecidas, utilizamos esquemas já conhecidos. Quando estamos diante de situações novas, precisaremos buscar, além dos conhecimentos adquiridos, novas estratégias, construindo novos esquemas de resolução, desenvolvendo assim, novas competências. Nesta ação, existem conhecimentos implícitos, procedimentos e representações. Vergnaud (1990) considera que um conceito é constituído de três elementos que estão interligados: um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; um conjunto dos invariantes operatórios, que justificam a operacionalidade dos esquemas; e um conjunto das
representações simbólicas (lingüísticas e não lingüísticas) do conceito, de suas propriedades, das situações e dos procedimentos de tratamento das situações. Além disso, uma situação não pode ser analisada com um único conceito, e um conceito não assume o seu significado em uma única classe de situações. Desta forma, o conceito de área compõe o campo conceitual das grandezas geométricas, juntamente com os conceitos de comprimento, perímetro, capacidade, volume, ângulo; as relações entre os campos, como as estruturas aditivas e multiplicativas; as fórmulas para o cálculo do perímetro, da área, do volume; e as funções. Para ganhar significado, este conceito deve ser apresentado numa grande variedade de situações dentro do campo conceitual das grandezas geométricas, a partir das variáveis de situação e seus respectivos valores, e buscar nos conhecimentos dos alunos as situações que eles já dominam e as que são possíveis de dar sentido aos conceitos e procedimentos que se pretende ensinar. O conceito de área como grandeza Douady & Perrin-Glorian (1989) observaram várias dificuldades dos alunos ao lidar com o conceito de área, como a área está ligada a superfície; a medida da área de uma superfície está associada à forma da superfície unitária; e o uso de fórmulas em situações não válidas, como o produto das medidas dos lados de um triângulo para determinar a sua área. As pesquisadoras francesas entendem que a aprendizagem matemática está associada à capacidade de resolver problemas, tratados em diferentes quadros, os quais correspondem grosso modo a domínios do conhecimento matemático. Consideram que a abordagem do conceito de área deva partir da distinção entre três quadros: o quadro geométrico, o quadro numérico, e o quadro das grandezas. A mudança de quadros possibilita ao aluno uma busca de diversas formas de resolução de uma dada situação, colocando em evidência a existência de uma articulação intensa e necessária entre os processos presentes nos diferentes quadros, como também a construção de uma matemática menos fragmentada, mais articulada e dinâmica. Comprimento e área como grandezas Bellemain & Lima (2002) propõem uma diagramação dos quadros apresentados por Douady & Perrin Glorian (1989), que relaciona a teoria com os estudos de área enquanto grandeza:
Geométric Função Numérico Relação de Unidade Grandeza Equivalênciade Medida a Figura 1: articulação entre quadros O quadro geométrico é composto por superfícies, considerando as figuras geométricas e suas particularidades triângulos, quadrados, retângulos, círculos, figuras irregulares. O quadro numérico composto das medidas das superfícies, que pertencem aos números reais não negativos, e o quadro das grandezas constituído por classes de equivalência de superfícies mesma área. A relação de equivalência possibilita a passagem do quadro geométrico para o quadro das grandezas por meio das classes de equivalência de superfícies que possuem a mesma área e, permitindo a comparação entre elas (maior, menor ou igual). A passagem do quadro das grandezas para o quadro numérico é expressa pela unidade de medida adotada; escolhida uma unidade, podemos verificar quantas vezes essa unidade cabe em uma determinada superfície e o par (número, unidade de medida) será o modo de expressarmos a área desta superfície. Dependendo da unidade de medida adotada teremos diferentes pares, embora a grandeza área seja invariante. E a função medida, que associa as superfícies planas a números reais não negativos, garante a passagem entre os quadros geométrico e numérico. Observamos assim que duas superfícies conexas podem ter a mesma medida de área, porém não coincidindo por superposição, o que nos leva a distinguir a área do objeto geométrico, que é a superfície. Assim, adotamos como nossas, as hipóteses de Douady & Perrin-Glorian: O desenvolvimento, no ensino, do conceito de área enquanto grandeza permite aos alunos estabelecer as relações necessárias entre os quadros geométrico e numérico, e uma identificação precoce entre grandezas e números favorece o amálgama de diferentes grandezas (no caso, comprimento e área) (1989, pp. 395-396). Também fazemos uma extensão dessa hipótese para o comprimento e o perímetro, compreendendo este último enquanto uma instância do comprimento, o comprimento do contorno de uma figura.
Situações que dão sentido ao conceito de área Vergnaud (1990) mostra a importância da construção de uma classificação de situações como um trabalho científico necessário para que tenhamos o mapeamento da variedade de situações de um campo conceitual. Dentro dessa perspectiva, Baltar (1996) propõe uma classificação de situações (S) que dão sentido ao conceito de área, em três grandes classes: comparação, medida e produção. As situações de comparação estão situadas essencialmente no quadro das grandezas, ao comparar superfícies e decidir se pertencem ou não a uma mesma classe de equivalência. As situações de medição estão situadas essencialmente no quadro numérico, e na passagem da grandeza ao número, através da escolha de uma unidade de medida. O resultado esperado nesta situação é um par (número, unidade de medida). E as situações de produção, que se diferenciam das anteriores, já que podemos determinar várias respostas corretas para uma mesma situação. Aqui, o quadro geométrico ganha destaque, considerando a produção de uma superfície, embora a intervenção dos quadros numérico e das grandezas também seja importante. Ferreira (2010) propõe uma nova classe de situações de mudança de unidade, baseada em Baltar (1996), ao considerar que representar uma mesma área com unidades de medida diferentes está mais centrado no quadro numérico e, por vezes, com a ausência do quadro geométrico. Essa ausência pode conduzir os estudantes a estabelecer, para as unidades de área, a mesma relação que aquela existente para as unidades do comprimento. Para uma melhor visualização apresentamos a organização das situações no quadro a seguir proposto por Ferreira (2010), em que o foco está na grandeza área e na relação entre área e perímetro, e a distinção com relação aos procedimentos quando intervém o quadro numérico e quando intervém a área enquanto grandeza.
QUADRO 1: Tipos de situação S I T U A Ç Õ E S COMPARAÇÃO MEDIDA MUDANÇA DE UNIDADE PRODUÇÃO ESTÁTICAS DINÂMICAS Sem unidade de medida Não-convencional Com unidade de medida Convencional Variação da área e do perímetro por deformação ou transformação geométrica Otimização da área por invariância do perímetro e viceversa Com unidade de medida não-convencional EXATA Com unidade de medida convencional ENQUADRAMENTO Aproximações Não-convencional Com unidade de medida Convencional Mesma área que a de uma figura dada Área maior ou menor que a de uma figura dada Com área dada Fonte: Ferreira (2010) Revisão de Literatura Pesquisas realizadas em vários níveis de escolaridade como ensino fundamental, médio e superior, e em cursos de formação continuada, com vários tipos de sujeitos: alunos, professores e adultos entre 18 e 65 anos, e diferentes objetos de estudo como livros didáticos e avaliações institucionais, têm mostrado a importância e a preocupação dos pesquisadores da Educação Matemática com a aprendizagem e o ensino das grandezas geométricas. Enquanto documento oficial a nível nacional, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)de Matemática apresentam os objetivos de aprendizagem, conteúdos a serem abordados, critérios de avaliação e orientações didáticas. Organizados por blocos, sugerem articulação do bloco das grandezas e medidas com os demais por estar fortemente conectado com o estudo da Geometria e com os diferentes tipos de números. (BRASIL, p.69). Caminhando nessa mesma linha, temos os Parâmetros Curriculares de Matemática para o Ensino Fundamental e Médio do Estado de Pernambuco (2012), ao sinalizar que o professor não deve trabalhar os conteúdos em blocos estanques e sim considerar que a aprendizagem é mais eficiente quando os conteúdos são revisitados, de forma progressivamente ampliada e aprofundada, durante todo o percurso escolar. (p.14), entendendo a expressão conteúdos matemáticos de forma ampla, considerando situações,
conceitos, representações e procedimentos colocados em evidência para que o aluno consiga aprender o conteúdo que é objeto de estudo. Nos PCN dos anos iniciais do Ensino Fundamental, a grandeza comprimento é introduzida na 1ª série (2º ano), enquanto que a grandeza área e o conceito de perímetro na 3ª série (4º ano). Já nos Parâmetros do estado de Pernambuco, a grandeza comprimento deve ser abordada a partir do 1º ano e consolidada no 5º ano, e a grandeza área e o perímetro iniciadas no 2º ano e consolidadas no 6º ano. Diversos trabalhos (BARBOSA, 2002; SANTANA, 2006; BARROS, 2006; TELES, 2007; SILVA, 2011; BELLEMAIN, 2013, entre outros) analisaram a abordagem dos conceitos de área e perímetro em livros didáticos do ensino fundamental, ao longo dos anos, mesmo com as modificações realizadas pelos autores/editores a cada PNLD. A seguir delimitaremos alguns deles. Barbosa (2002), nos livros didáticos que analisou, observou que o conceito de perímetro pode ter uma abordagem mais ampla que a apresentada, quase sempre como a soma dos lados, e situou o conceito de perímetro como uma instância da grandeza comprimento, por sua vez do campo conceitual da grandeza área (p.31). Barros (2006) analisou as relações entre área e perímetro em coleções do PNLD 2002 e 2005, 3º e 4º ciclo do ensino fundamental e observou que esses conceitos eram usados com frequência para trabalhar outros conteúdos, e também que a diversidade de abordagens dadas aos conceitos de área e perímetro, com relação às definições apresentadas, como por exemplo, aos termos superfície, área, perímetro, grandeza. Santana (2006) investigou nas coleções do PNLD 2002, anos finais do ensino fundamental, o uso de recursos didáticos, tais como, tangram, malhas e poliminós, no estudo do conceito de área, e constatou que os recursos didáticos em foco eram pouco explorados nos livros investigados. Teles (2007) analisou coleções do ensino fundamental e médio e observou que as fórmulas de área eram usadas ora como objeto de estudo, ora como recurso para outras temáticas, o que favorece ao estudante transitar por diferentes campos conceituais. Observou ainda que essas passagens ampliam a compreensão dos estudantes, mas também explicam a complexidade da aprendizagem dos conteúdos matemáticos.
Silva (2011), ao analisar livros do 6º ano dos PNLD 2008 e 2011, observou uma maior concentração em situações de medida e mudança de unidade de área e perímetro. No entanto, situações de comparação de perímetros de figuras planas sem medida e de produção de perímetro não foram identificadas em nenhum livro didático. Bellemain (2013) fez uma análise comparativa entre livros didáticos franceses e brasileiros, de classes equivalentes (sixième e sexto ano, respectivamente) com relação à grandeza área e observou que as articulações com o bloco dos números são mais explícitas nos livros brasileiros, enquanto que a dissociação entre área e perímetro é mais explícita nos livros franceses. D Amore e Fandiño (2007) examinaram as convicções de professores e estudantes de vários níveis, com relação à dissociação entre área e perímetro de figuras planas, a partir de situações de produção. Dentre os estudantes, mais de 90% afirmaram que existe dependência entre a área e o perímetro das figuras e mais de 50% se surpreenderam quando o entrevistador apresentou figuras não convexas, chegando a afirmar que essas figuras não são geométricas ou que elas não são usadas na escola. Pessoa (2010) realizou um estudo dos procedimentos utilizados por alunos do 6º ano do ensino fundamental, em situações de medida de área de figuras planas construídas em malha quadriculada. A mudança do valor de algumas variáveis influenciou nos procedimentos utilizados como a contagem de quadradinhos inteiros ou a necessidade de complementar quadradinhos, por não aceitar que a área de uma figura pode ser representada por uma quantidade não inteira. Observamos que as diversas pesquisas a que nos referimos anteriormente, ao analisarem os livros didáticos estão restritas aos anos finais do ensino fundamental. Nossa pesquisa amplia a abrangência uma vez que se propõe a fazer análise das grandezas comprimento, área e perímetro desde o 1º ano, quando o conceito de comprimento é introduzido até o 6º ano, momento em que o estudante já deveria ter a construção desses conceitos estabelecida. Buscaremos elementos para verificar se as dificuldades relatadas nas pesquisas anteriores estão associadas às situações que estão apresentadas nos livros do 1º ao 6º ano do ensino fundamental.
Objetivos Objetivo Geral - Caracterizar as abordagens dos conceitos de comprimento, perímetro e área em documentos oficiais e em livros didáticos do 1º ao 6º anos do ensino fundamental de forma a verificar se o ensino através de uma sequência didática favorece a construção dos conceitos em foco sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais. Objetivos Específicos - Caracterizar as abordagens dos conceitos de comprimento, perímetro e área preconizadas em documentos oficiais nacionais e pernambucanos do 1º ao 6º ano do ensino fundamental. - Caracterizar as abordagens dos conceitos de comprimento, perímetro e área em livros didáticos do 1º ao 6º ano do ensino fundamental aprovados nos respectivos PNLD e identificar as classes de situações que envolvem esses conceitos. - Refinar o estudo das situações que possibilitam a diferenciação entre os conceitos de comprimento, área e perímetro sob a ótica da teoria dos campos conceituais. - Identificar os conhecimentos mobilizados pelos professores a partir das situações que consideram fundamentais para a construção dos conceitos de comprimento, perímetro e área. - Verificar se o ensino através de uma sequência didática favorece a construção dos conceitos de comprimento, área e perímetro sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais. Percurso Metodológico Nesse estudo iniciaremos com uma análise documental, tomando como referência os PCN dos anos iniciais e dos anos finais do ensino fundamental, os Parâmetros Curriculares de Matemática para a Educação Básica do Estado de Pernambuco e os Parâmetros na Sala de Aula de Matemática do Ensino Fundamental e Médio do Estado de Pernambuco, para verificar os elementos norteadores e as orientações existentes para o estudo das grandezas geométricas, em particular, comprimento, área e perímetro. Em seguida iremos analisar a abordagem das grandezas comprimento, área e perímetro nos livros didáticos do 1º ao 6º ano do ensino fundamental aprovados nos PNLD mais recentes. Buscaremos verificar em que ano cada um desses conceitos é introduzido, se as abordagens
entre as coleções apresentam semelhanças e diferenças, e se contribuem para a construção desses conceitos ou se deixam lacunas que contribuem para essas dificuldades, como apontado por Barbosa (2002) Santana (2006) e Silva (2011). Neste estudo, serão analisadas apenas as coleções mais adotadas no estado de Pernambuco a fim de termos condições de realizar uma análise mais detalhada, para identificar as classes de situações a partir da organização de Ferreira (2010). Propomos concluir essa primeira etapa de análises buscando refinar o estudo das situações que possibilitam a diferenciação entre os conceitos de comprimento, área e perímetro sob a ótica da teoria dos campos conceituais. Em uma segunda etapa iremos complementar o nosso diagnóstico com observações em sala e entrevistas com os professores das duas escolas públicas da rede pública da cidade do Recife que adotam os mesmos livros, dentre os analisados. Com base nas etapas anteriores e diante das lacunas observadas a partir do levantamento das situações propostas nos livros didáticos iremos elaborar uma sequência de atividades a ser aplicada em turmas do 6º ano do ensino fundamental de duas escolas da rede pública da cidade do Recife. A análise dos conhecimentos mobilizados, das representações simbólicas e dos procedimentos utilizados, tomando como suporte nossa fundamentação teórica e as etapas anteriores da pesquisa, deverá refletir se os conceitos de comprimento, área e perímetro estão consolidados pelos estudantes do 6º ano do ensino fundamental. Referências BALTAR, P. M. Enseignement et aporprentissage de la notion d aire de surface planes: une étude de l acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège. Tese (Doutorado em Didática da Matemática). Université Joseph Fourier. Grenoble, 1996. BARBOSA, P. R. Efeitos de uma sequência de atividades relativas aos conceitos de comprimento e perímetro no Ensino Fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-Graduação em Educação. UFPE, Recife, PE, 2002. BARROS, A. L. de S. Uma análise das relações entre área e perímetro em livros didáticos de 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-Graduação em Educação. UFPE, Recife, PE, 2006. BELLEMAIN, P. M. B. Estudo de situação relativa ao conceito de área. In: ENDIPE Encontro de Didática e Prática de Ensino, 10, 2000, Rio de Janeiro. Anais. 2000.
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