OFICINA 1A - ASSOCIADA À CONFERÊNCIA 1

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1 01 a 06 de novembro de 016 OFICINA 1A - ASSOCIADA À CONFERÊNCIA 1 CONTRIBUIÇÕES TEÓRICAS E METODOLÓGICAS DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS PARA A APRENDIZAGEM E O ENSINO DE MATEMÁTICA Rosinalda Aurora de Melo Teles UFPE, Brasil rosinaldateles@yahoo.com.br Veridiana Rezende UNESPAR, Brasil rezendeveridiana@gmail.com Resumo: Nesta oficina o objetivo principal foi abordar possíveis contribuições teóricas e metodológicas da teoria dos campos conceituais para a aprendizagem e o ensino de matemática. Para tanto, sob a ótica dessa teoria e das imbricações entre campos conceituais, discutiu situações que dão sentido aos números irracionais e às fórmulas de área de figuras geométricas planas. A análise prévia destas situações incluirá a reflexão sobre conceitos, propriedades e representações simbólicas relacionadas aos diversos campos conceituais envolvidos. Com a intenção de discutir possíveis teoremas em ação, falsos ou verdadeiros, que podem ser mobilizados por estudantes ao experimentarem situações relacionadas aos números irracionais e às fórmulas de áreas de figuras geométricas planas. Explorou antecipações de procedimentos de resolução, bem como possíveis erros relacionados às imbricações entre campos conceituais e também a campos conceituais específicos de cada situação analisada. A sistematização das reflexões emergidas no decorrer da oficina deu-se a partir de resultados de algumas pesquisas, tais como Rezende (013), Rezende e Nogueira (014; 01), Teles (010) e Teles e Bellemain (010). Dentre os resultados produzidos situa-se a elaboração de propostas para outras pesquisas neste tema, bem como reflexões relacionadas às contribuições da compreensão das imbricações entre campos conceituais para a aprendizagem e o ensino de matemática. Palavras-chave: Ensino de Matemática. Números irracionais. Fórmulas de área e perímetro. Introdução Neste texto discutimos os aportes teóricos e as atividades que foram desenvolvidas na Oficina Contribuições Teóricas e Metodológicas da Teoria dos Campos Conceituais para a Aprendizagem e o Ensino de Matemática, associada à conferência 1 do I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática. O principal aporte teórico das reflexões foi a Teoria dos Campos Conceituais, uma teoria psicológica que se refere ao desenvolvimento cognitivo dos sujeitos, sobretudo quando ligado à aprendizagem escolar e ao trabalho. Para Vergnaud (009), um sujeito aprende e se desenvolve em qualquer idade, inclusive na fase adulta. De acordo com este

2 01 a 06 de novembro de 016 autor, um conceito não pode ser reduzido à sua definição. Para o estudo de um conceito são necessários diversos outros conceitos, situações, símbolos, representações, propriedades e teoremas interligados, formando o que o pesquisador denomina de campo conceitual. O pesquisador atribui muita importância aos conhecimentos implícitos possíveis de serem manifestados nas ações dos sujeitos, os quais podem ser identificados como invariantes operatórios, que podem ser diferenciados em duas categorias: conceitos em ação e teoremas em ação. Um termo explorado na oficina, imbricações entre campos conceituais, é fruto do estudo de doutoramento de Teles (007), que investigou relações e articulações entre os campos conceituais das grandezas, da geometria, numérico, algébrico e funcional na matemática escolar, na formulação e no tratamento de problemas envolvendo as fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo e do triângulo. Para a autora, Com o termo imbricações caracterizamos um tipo de relação em que os campos conceituais se sobrepõem mutuamente, se articulam e a partir dessa interconexão dinâmica são gerados novos significados para os conteúdos matemáticos em foco (TELES, 007). De acordo com Teles (007), as imbricações podem ser vistas sob três pontos de vista: explicação para índices elevados de ausência de resposta; como abertura de possibilidades de procedimentos de resolução e fonte de erros oriundos dos vários campos conceituais. Dados coletados e analisados por Teles (007) e também por Rezende (013), embora esta última autora não utilize a expressão imbricações entre campos conceituais, apontam que o tratamento de situações nas quais estão envolvidas fortes imbricações exige que os sujeitos naveguem de um campo conceitual para outros e que articulem seus conhecimentos para tratar de maneira pertinente os problemas postos. Emergem daí os questionamentos: quais são as consequências das imbricações para o desempenho dos alunos? Quais são as consequências das imbricações para o ensino de Matemática? Embora não intencionemos responder neste texto estes questionamentos, propomos elementos para reflexão nesta perspectiva. Assim, na condução da oficina, discutimos, inicialmente, teoremas em ação possíveis de serem mobilizados por alunos de diferentes níveis de ensino em situações envolvendo números irracionais, tendo como referência principal os estudos de Rezende (013). Na sequência, discutimos a influência das imbricações entre campos conceituais em situações envolvendo fórmulas de área de figuras geométricas planas, que tem como principal referencial os estudos de Teles (007). Intencionamos sistematizar e encontrar

3 01 a 06 de novembro de 016 pontos comuns oriundos destas duas reflexões a partir de resultados de pesquisas, tais como Rezende (013), Rezende e Nogueira (014; 01), Teles (010) e Teles e Bellemain (010). Teoremas em ação mobilizados por alunos de diferentes níveis de ensino em situações envolvendo números irracionais Ao resolver determinada tarefa, relacionada ou não ao contexto escolar, os sujeitos mobilizam diversos conhecimentos que muitas vezes não são possíveis de serem explicitados. Vergnaud (003) atribui muita importância a este tipo de conhecimento, implícito, pois, para Vergnaud, não é apenas a resolução de um problema pelos sujeitos que interessa, mas sim o modo como eles resolvem e, principalmente, os conhecimentos implícitos mobilizados por eles ao resolver um problema. De acordo com Vergnaud (009), é difícil para uma criança explicitar suas competências em palavras, e, apesar de certa experiência em determinadas situações, muitos adultos também não conseguem explicitar verbalmente boa parte dos conhecimentos que utilizam na ação. É nesse sentido que Vergnaud introduz o conceito de invariante operatório, e o define como os conhecimentos que um sujeito dispõe, na ação, para resolver determinada situação. Os invariantes operatórios são diferenciados em duas categorias: conceitos em ação e teoremas em ação: Um conceito em ação é um conceito considerado pertinente na ação. Um teorema em ação é uma proposição tida como verdadeira na ação (VERGNAUD, 009, p.3). Os conceitos em ação e os teoremas em ação são de naturezas distintas. Os primeiros não são passíveis de serem verdadeiros ou falsos, eles apenas são pertinentes ou não para a situação. Já os teoremas em ação podem ser verdadeiros ou falsos, e a desestabilização de teoremas em ação falsos pode ser fonte de aprendizagem para o aluno. Por esse motivo, a escolha das situações apresentadas aos alunos deve ocorrer, sempre que possível, com a intenção de propiciar reflexões, hesitações e desestabilização de conhecimentos equivocados dos alunos, de modo a proporcionar avanços e aprendizagens aos alunos. Identificar um teorema em ação nas respostas dos sujeitos nem sempre é uma tarefa fácil para o pesquisador e para o professor. Para que isto aconteça, é preciso que seja realizada uma análise cautelosa de respostas de diversos sujeitos, frente a várias situações, para que com muita cautela o pesquisador, ou o professor, possa indicar possibilidades de

4 01 a 06 de novembro de 016 teoremas ação mobilizados nas respostas dos sujeitos. Consideramos importante a identificação de possíveis teoremas em ação mobilizados por alunos relacionados a determinados conceitos matemáticos para que estas categorias de pensamento possam ser divulgadas para outros professores, de modo que eles possam preparar suas aulas levando em consideração estes conhecimentos que serão manifestados por seus alunos, diante de determinadas tarefas matemáticas. Com o respaldo da teoria dos Campos Conceituais, tanto para elaboração do instrumento diagnóstico quanto para as análises de conhecimentos implícitos dos sujeitos de sua pesquisa, Rezende (013) desenvolveu sua tese de doutoramento com o objetivo de analisar os conhecimentos mobilizados por alunos brasileiros, que finalizam o Ensino Fundamental, Médio e Licenciatura em Matemática, e por alunos franceses de níveis de ensino correspondentes, Collège, Lycée e Licenciatura em Matemática, em tarefas matemáticas envolvendo números irracionais. A coleta de dados ocorreu pode meio de entrevistas individuais, que foram filmadas, com tarefas matemáticas previamente elaboradas para 4 alunos resolverem. Para a realização de sua pesquisa, Rezende (013) realizou diversos estudos, incluindo estudos históricos e epistemológicos a respeito dos números irracionais, documentos curriculares, livros didáticos, ementas de disciplinas escolares que envolvem números irracionais (Educação Básica e Cursos de Licenciatura em Matemática). Com estes estudos, a pesquisadora percebeu que a compreensão dos números irracionais está relacionada ao conjunto das situações que envolvem equações algébricas de grau maior ou igual a, representação decimal dos números irracionais, números racionais, conceitos de infinito, potências, raízes (quadradas, cúbicas etc.), teorema de Pitágoras, medidas de segmentos, figuras geométricas (quadrado, círculo etc.), entre outras, além dos diferentes símbolos, propriedades, teoremas e formas de se representar um número irracional, o que sob a ótica de Teles (007) poderia ser considerado imbricações entre campos conceituais. Para a elaboração das situações presentes no diagnóstico de pesquisa, Rezende (013) considerou diversos conceitos, símbolos, teoremas, propriedades e situações presentes no campo conceitual dos números irracionais. O instrumento de pesquisa consistiu de nove tarefas elaboradas com nível de dificuldade correspondente ao 9º ano do Ensino Fundamental, que foram aplicadas a todos os sujeitos da pesquisa, e consistiu de diversas situações, elaboradas, inicialmente, envolvendo representações simbólica (numérica, algébrica), geométrica, gráfica e linguagem natural. Além disso, as atividades foram elaboradas buscando contemplar dez ideias base de números irracionais:

5 01 a 06 de novembro de 016 I.Compreender sobre as infinitas casas decimais de alguns números. II.Compreender que alguns números podem ser representados como a razão entre dois números inteiros e outros números não podem. III.Diferenciar um número irracional de um número racional: saber que um número irracional não pode ser escrito como a razão entre dois números inteiros, e que um número irracional possui infinitas casas decimais não periódicas. IV.Considerar a existência de números irracionais e perceber pra quê esses números servem. V.Saber aplicar o teorema de Pitágoras. VI.Aceitar a existência de segmentos de medidas n, n N. VII.Aceitar que a equação (REZENDE, 013, p.98). x p tem solução real, para todo p R Assim, considerando os estudos realizados por Rezende (013), para esta proposta de oficina, apresentou-se aos participantes uma das situações analisadas pela referida pesquisadora: a) b) Existe um quadrado de medida de área seja 13 cm? Em caso positivo, indique a medida do lado. Em caso negativo, justifique a sua resposta. Considere a figura a seguir. Podemos afirmar que a área do quadrado ABCD é 13 cm? Em caso positivo, calcule a área do quadrado ABCD. Em caso negativo, justifique a sua resposta. Com a intenção de propiciar aos participantes da oficina reflexões a respeito de antecipação de respostas de alunos de diferentes níveis de ensino diante dessa situação, considerando erros, acertos e indicativos de teoremas em ação, falsos e verdadeiros, foi solicitado que os participantes se organizassem em duplas ou trios para realizarem as suas reflexões a respeito desta situação, e as registrassem numa ficha. Na sequência, houve um momento de discussão conjunta entre todos os participantes, conduzido pelas duas pesquisadoras ministrantes da oficina, a respeito dos conhecimentos e possíveis respostas de serem mobilizadas por alunos de diferentes níveis de ensino ao resolverem a situação proposta. Para sistematizar as discussões emergidas na oficina, as pesquisadoras apresentaram parte dos resultados da pesquisa de doutorado de Rezende (013), juntamente com alguns exemplos de protocolos de alunos, sujeitos da pesquisa, que

6 01 a 06 de novembro de 016 resolveram a esta situação. Para sistematização foram apresentados aos participantes os teoremas em ação, falsos e verdadeiros, que foram modelados por Rezende (013), em função das respostas e possíveis conhecimentos implícitos mobilizados pelos sujeitos da pesquisa. Para exemplificar parte do que foi abordado na oficina para a sistematização das informações indicadas pelos participantes, apresentamos na sequência deste texto alguns protocolos e fragmentos das entrevistas com os alunos, juntamente com parte das análises, extraídos da pesquisa de Rezende (013). Quadro 1: Fragmento de respostas de alunos relacionados a existência ou não de um quadrado de medida de área Fragmentos de respostas dos alunos TA 13 cm F: Não, porque eu não consigo encontrar um número que vezes ele mesmo dá 13, né. Porque 13 não tem raiz exata, né... Só se for um número quebrado. Essa eu não sei... C1: Não, porque seria um número com vírgula e muitos dígitos... seria preciso uma régua com muitos milímetros. M1: Ah, é possível, mas... é complicado... (silêncio). O lado é infinito. (silêncio) Ah, eu diria que existe... eu acho que é exato na aproximação, né? TAF8 e TAF10 TAF8 e TAF10 TAF10 G6: Não! Raiz quadrada de treze é irracional. [...] Não, não existe. TAF10 M6: Só vai existir o quadrado se 3, x3, der 13 [a aluna realizou tal multiplicação na calculadora e o resultado foi 13 e conclui que não existe]. G3: Ah, eu não acredito não! Porque daí, o lado dele vai ter que medir Apesar de que 13 é um número construtível! Então, a rigor existe. [...] Então, tá, existe também um quadrado com área Fonte: Rezende (013) TAF5, TAF8 e TAF10 TAV4 e TAV6 Após a análise das respostas de todos os sujeitos de sua pesquisa, Rezende modelou onze teoremas em ação falsos e oito teoremas em ação verdadeiros, possíveis de serem manifestados nas respostas dos sujeitos participantes de sua pesquisa, no que se refere à compreensão dos números irracionais. No quadro 1, a sigla TAF corresponde a teorema em ação falso e a sigla TAV corresponde a teorema em ação verdadeiro. Alguns TAF e TAV que serão explorados na oficina, em função da situação proposta são: TAF5: Se p R não é quadrado perfeito, então p é o número decimal exibido pelo visor da calculadora. TAF8: Se p R, não é quadrado perfeito, então não existe x R tal que x p

7 I Simpósio Latino-Americano de Didática da Matemática 01 a 06 de novembro de 016 TAF10: Se b R medida de área é TAV4: Sejam p não é quadrado perfeito, então não existe um quadrado cuja A b e cm q R., p q p q. TAV6: Se b R cuja medida dos lados é então existe um quadrado de área b cm. A b cm No que se refere ao item a) da situação apresentada, que diz respeito à existência ou não de um quadrado de medida de área 13 cm, onze alunos (dentre quatorze) entrevistados do Ensino Fundamental (e Collége) responderam que não existe o quadrado de medida de área 13 cm porque não existe um número cujo quadrado resulta em 13, indicando a mobilização dos teoremas em ação falsos TAF8 e TAF10. Em relação aos alunos do Ensino Médio (e Lycée), predominou respostas relacionadas à existência de um quadrado de medida de área aproximadamente igual a 13 cm, ou alegaram a possiblidade de existir o quadrado em questão, porém, neste caso, os alunos não souberam exprimir a medida do lado do quadrado. Segue um fragmento de diálogo com um dos alunos do Ensino Médio, que diz respeito a medida de área aproximadamente igual da 13 cm : Aluno: Vai existir o quadrado. O lado mede 3, E a área vai ser 1,9999. Vai faltar 1cm. Pesquisadora: Então, você acha que existe o quadrado de medida de área 13 cm? Aluno: (Silêncio) Não existe! Eu acho que não... Porque eu não sei se tem fim (aponta para o número 3, ) ou não tem fim. Em relação aos alunos do Ensino Superior, as análises das entrevistas mostraram avanço no desempenho dos alunos franceses, pois os cinco alunos franceses entrevistados responderam de modo rápido e correto à questão, indicando a mobilização dos teoremas em ação verdadeiros TAV4 e TAV6. Dentre os alunos brasileiros do Ensino Superior, quatro, dentre os sete entrevistados, mobilizaram os TAV6 e TAV8. Rezende (013) percebeu nos alunos brasileiros do Ensino Superior dúvidas, equívocos e hesitações durante as reflexões acerca da questão proposta, indicando que se tratou de uma situação

8 01 a 06 de novembro de 016 nova para a maioria dos alunos entrevistados, sendo possível perceber momentos de aprendizagens a cada nova situação, conforme o diálogo a seguir: Aluno: De cara eu responderia que não, mas... eu tô desconfiado de todas as questões (risos). Mas eu desconfio que não. Pesquisadora: Então você acha que não existe o quadrado de área Aluno: Eu acho que não. Pesquisadora: Por que você acha que não existe? 13 cm Aluno: Mas pera lá, eu posso usar a calculadora? (o aluno digita raiz de treze na calculadora e diz) Se eu fizesse a representação deste número aqui numa reta, eu poderia fazer um quadrado, a partir desta representação com esta medida. Dá sim. Pesquisadora: Com estes números que aparece no visor da calculadora? Aluno: Não, não com estes números, mas com uma representação igual a gente faz com raiz de dois. A influência das imbricações entre campos conceituais em situações envolvendo fórmulas de área de figuras geométricas planas: fator de entrave e de possibilidades De acordo com Teles e Bellemian (010), ao olharmos fórmulas de área de figuras geométricas planas sob a ótica das imbricações entre Campos Conceituais, podemos vê-las como um elemento do campo conceitual das grandezas geométricas e também como um elemento que articula vários campos conceituais. São elementos do campo das grandezas geométricas, pois expressam relações entre comprimentos de figuras geométricas planas e, entre outros aspectos, desempenham papel importante na aprendizagem do conceito de área. Por outro lado, uma fórmula, enquanto representação algébrica de uma relação entre variáveis, pressupõe aspectos algébricos e funcionais; a área de uma figura é uma grandeza; figuras geométricas planas pertencem ao campo geométrico; o resultado obtido por meio da aplicação de uma fórmula para calcular a área de uma figura, dada a unidade de área, é um número resultante de operações.

9 01 a 06 de novembro de 016 Figura 1: Elementos de diferentes campos conceituais que influenciam as fórmulas de área de figuras geométricas planas Ao mapear situações que conferem significado ao conceito de fórmula, Teles (007) identificou várias classes de usos para as fórmulas: calcular a área de figuras; calcular comprimentos que caracterizam a figura; comparar áreas de figuras; produzir figuras em condições dadas; estabelecer relações entre grandezas; otimizar e operar com grandezas de mesma natureza. Como exemplo, apresentamos uma questão envolvendo fórmula de área para comparar: Figura : Exemplo do uso da fórmula para comparar áreas Neste exemplo, o campo conceitual geométrico está relacionado à leitura e a interpretação das figuras geométricas: retângulo e quadrado e suas propriedades; o campo conceitual das grandezas à mobilização das fórmulas de área do retângulo e do quadrado; o campo conceitual algébrico à modelização e manipulação simbólica das expressões geradas pela escrita das fórmulas e o campo conceitual funcional ao papel da letra como

10 01 a 06 de novembro de 016 variável, caracterizado inclusive pela ausência de unidades de medida na questão, que implica em aceitar que para qualquer valor (restrito a um domínio) e para qualquer unidade vale a relação estabelecida. Na investigação de imbricações entre os campos conceituais das grandezas, da geometria, numérico, algébrico e funcional na matemática escolar, na formulação e no tratamento de problemas envolvendo as fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo e do triângulo, e especificamente ao identificar conhecimentos oriundos dos diversos campos conceituais em foco, assim como suas imbricações no tratamento de situações envolvendo fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo e do triângulo e mapear invariantes operatórios e representações simbólicas referentes às fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo e do triângulo subjacentes aos procedimentos de resolução de alunos do ensino médio, Teles (007) aponta que as imbricações podem ser vistas sob três pontos de vista: explicação para índices elevados de ausência de resposta; como abertura de possibilidades de procedimentos de resolução e fonte de erros oriundos dos vários campos conceituais. Passamos a seguir a discutir cada um destes modos de pensar as imbricações entre campos conceituais, tal como foi feito na oficina em tela. a) Explicação para índices elevados de ausência de resposta: Nesta perspectiva as imbricações podem ser vista como fator de entraves, caracterizado principalmente pela ausência de respostas, ou seja, nenhuma tentativa de solução pelos sujeitos da pesquisa de Teles (007), como no exemplo a seguir: Uma região retangular tem 4 cm de perímetro e 104 cm de área. Quais são as dimensões dessa região? Esta questão foi extraída de um livro didático 1, propõe o cálculo das dimensões do retângulo em função do perímetro e da área e coloca em jogo as seguintes variáveis e seus respectivos valores: uso da fórmula para calcular; tipo de figura - retângulo; ausência da figura no enunciado; domínio numérico - números naturais; unidade de comprimento cm e de área cm. Neste problema o campo algébrico intervém como uma ferramenta a serviço da resolução de problemas (GARCIA, 1997), possibilitando a formulação e a resolução desta questão por meio de equações através de regras para manipulação de símbolos algébricos. Porém, para escrever a expressão algébrica que poderá conduzir à 1 Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. Editora Ática: São Paulo, 00. 8ª série.

11 01 a 06 de novembro de 016 resposta correta, é preciso também mobilizar conhecimentos do campo das grandezas geométricas: os conceitos de área e perímetro e as relações que podem ser estabelecidas entre eles e ainda conhecimentos do campo geométrico: propriedades do retângulo. Apesar de ser esperado um procedimento algébrico, as análises de Teles (007) apontam que 37,5% dos 46 alunos que responderam a questão utilizaram procedimento numérico, procurando por tentativas, pares de números cujo produto seja 104 e a soma 1. Por outro lado, além dos sujeitos que mobilizaram conhecimentos dos vários campos conceituais para resolver a questão, Teles (007) evidenciou um alto percentual de ausência de respostas (quase 50% dos alunos testados) evidenciada na análise quantitativa, ao que Teles (007) afirma que pode ser pelo menos parcialmente explicada pela dificuldade de mobilizar conhecimentos importantes dos campos conceituais: das grandezas, da geometria e o da álgebra. O quadro a seguir ilustra, no universo de 46 alunos testados a quantidade de acertos, erros e ausência de resposta: b) Abertura de possibilidades de procedimentos de resolução: Para ilustrar as imbricações nesta perspectiva de abertura de possibilidades de procedimentos de resolução retomamos o exemplo proposto na Figura : Uso da fórmula para comparar áreas. Ao refletirmos sobre quais seriam os conceitos matemáticos necessários para resolvê-la corretamente? Que procedimentos poderiam ser utilizados para resolvê-la? E quais erros os estudantes poderiam cometer? Retomamos, neste texto e na oficina, os resultados obtidos por Teles (007) para um grupo de 50 alunos do segundo ano do ensino médio. Chama a atenção o percentual de acertos acima de 50% na questão, conforme ilustrado no gráfico a seguir: Fonte: Teles(007) No entanto, Teles (007) destaca os variados procedimentos de resolução e

12 01 a 06 de novembro de 016 justificativas adotados pelos estudantes, relacionados aos diversos campos conceituais. Por exemplo, justificativas baseadas nas expressões algébricas, como esta a seguir: Figura 3: Procedimento e justificativa baseada na expressão algébrica Ou baseada num procedimento numérico como este a seguir: Figura 4: Procedimento numérico c) Fonte de erros oriundos dos vários campos conceituais As imbricações entre campos conceituais como fator de entrave foi uma das constatações mais evidenciadas no estudo de Teles (007). Em praticamente todas as questões utilizadas no teste diagnóstico elaborado pela autora, foi possível associar os erros cometidos pelos sujeitos à ausência ou a mobilização de teoremas em ação falsos relacionados aos diversos campos conceituais envolvidos. Neste exemplo a seguir, baseado numa questão extraída de um livro didático, que possui como variáveis e seus respectivos valores: uso da fórmula para otimizar; tipo de figura retângulo; figura ausente do enunciado; domínio numérico do dado é natural, porém, resultado decimal, possui um aspecto importante, que inclui conhecimentos

13 01 a 06 de novembro de 016 dos vários campos conceituais: dado um perímetro fixo, o retângulo de maior área construído com este perímetro é um quadrado. É necessário que o aluno caracterize geometricamente as figuras geométricas: retângulo e quadrado. Se o aluno dominar esta propriedade, pode ir diretamente à resposta da questão dividindo 30 em 4 partes iguais, já que o perímetro do quadrado corresponde à soma dos comprimentos dos quatro lados e os lados do quadrado são congruentes. Neste problema, um procedimento possível é a elaboração de uma tabela atribuindo valores numéricos às dimensões do retângulo e o respectivo cálculo da área, como faz o aluno no protocolo abaixo: No entanto, não obtém a resposta correta, pois neste procedimento, embora aparentemente estritamente numérico, o aluno precisa mobilizar conhecimentos relativos ao conceito de área e perímetro, ou seja, é necessário compreender que a soma das medidas dos quatro lados do retângulo é 30m, portanto o aluno precisa distribuir estes 30m em partes iguais duas a duas, o que mobiliza um aspecto geométrico relacionado à propriedade do retângulo e também numérico, haja vista que a divisão de 30 em partes iguais duas a duas resulta em um número racional provavelmente expresso de forma decimal. Feito isto, precisa mobilizar a fórmula da área do retângulo. A atribuição dos valores às variáveis também pressupõe a análise do domínio e do contradomínio da função área. Ainda, ao refletirmos sobre esta mesma questão proposta no teste diagnóstico por Teles (007), destacamos a possibilidade de serem utilizados para resolução procedimentos geométricos; procedimentos algébricos e/ou procedimentos numéricos. Mais uma vez refletimos que, ao mesmo tempo em que as imbricações podem possibilitar a mobilização de diferentes procedimentos associados aos diversos campos conceituais; pode também gerar erros relacionados aos diferentes campos. Ainda neste exemplo, Teles (007)

14 01 a 06 de novembro de 016 evidenciou, em protocolos de duas escolas diferentes, alunos que responderam totalmente o teste, acertando quase 100% das questões. No entanto, se depararam com a limitação do domínio numérico restrito aos naturais, como ilustrado na figura a seguir: Num estudo específico envolvendo fórmulas de área para otimização, sob a ótica das imbricações, Teles e Bellemain (010), identificaram, nos erros cometidos pelos alunos, fortes imbricações entre campos conceituais. Por exemplo, interpretação da figura, relacionado ao campo geométrico, erros de confusão entre área e comprimento, ligado ao campo das grandezas, reforçando a necessidade de trabalhar a dissociação entre área e comprimento na abordagem do conceito de área, erro de manipulação algébrica, no campo algébrico; erro no procedimento numérico, situado no campo numérico. Em alguns procedimentos foi possível identificar aspectos dos vários campos, evidenciando o papel das imbricações como entrave para resolução de determinadas situações. O uso de fórmulas de área em problemas de otimização, está relacionada às aplicações do conceito de máximo e de mínimo no estudo das funções, recorrente em livros didáticos de Matemática para o último ano do Ensino Fundamental (9º ano ou 8ª série) e para o 1º ano do Ensino Médio, conforme identificado na análise de livros didáticos realizada por Teles (007). Quando as fórmulas são utilizadas para otimizar, está em jogo de maneira central o aspecto funcional, pois elas expressam relações de dependência entre variáveis (comprimentos e área). Trata-se, por exemplo, de determinar a maior área possível em função de um comprimento fixo. Considerações Tomando como ponto de partida o principal objetivo desta oficina - abordar possíveis contribuições teóricas e metodológicas da teoria dos campos conceituais para a aprendizagem e o ensino de matemática, esperamos, a partir das situações propostas aos participantes, indicadas no corpo deste texto, propiciar reflexões e discussões no que tange

15 01 a 06 de novembro de 016 às contribuições da teoria dos campos conceituais, com foco na identificação e modelação de teoremas em ação, falsos e verdadeiros, e das imbricações entre campos conceituais, possíveis de serem revelados nas aulas de matemática. As situações selecionadas para as reflexões desta oficina dizem respeito à fórmulas de área e perímetro de figuras planas, e podem ser discutidas a partir das imbricações entre campos conceituais, a saber, os campos conceituais geométrico, numérico, algébrico, funcional, bem como a partir da identificação de teoremas em ação falsos e verdadeiros, possíveis de serem manifestados nas respostas dos alunos, bem como situações que possam desestabilizar esses possíveis conhecimentos equivocados dos alunos. Além disso, dentre os resultados esperados, situa-se a elaboração de propostas para outras pesquisas neste tema decorrente da coleta de dados junto aos participantes da oficina, com a autorização dos participantes, principalmente no que se refere às contribuições das imbricações entre campos conceituais e da importância da identificação e possível desestabilização de teoremas em ação falsos. Referências REZENDE, V.; NOGUEIRA, C. M. I. Conhecimentos de Alunos Brasileiros e Franceses Relacionados ao Campo Conceitual dos Números Irracionais. Perspectivas em Educação Matemática. V.7, número temático, pp , 014. REZENDE, V.; NOGUEIRA, C. M. I. Existe ou não existe um quadrado de medida de área 13cm? Educação Matemática em Revista. N.36, pp.05-13, 01. REZENDE, V. Conhecimentos sobre números irracionais mobilizados por alunos brasileiros e franceses: um estudo com alunos concluintes de três níveis de ensino.(tese de doutorado). Universidade Estadual de Maringá, Maringá, 013. TELES, R. A. M., Um Estudo Sobre a Influência do Campo Algébrico na Resolução de Situações que Envolvem Fórmulas de Área. Educação Matemática e Pesquisa, São Paulo, V. 1, pp.19-14, 010. TELES, R. A. M.; Bellemain, P. M. B. Fórmula de Área para Otimização: Um Olhar sob a Ótica das Imbricações entre Campos Conceituais. Educação Matemática em Revista. N.31, 010. VERGNAUD, G. O que é aprender? In. A aprendizagem Matemática na perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais. Org. BITTAR, Marilena, MUNIZ, Cristiano Alberto. Editora CRV, Curitiba, La théorie des champs conceptuels. Recherche en Didactique des Mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, v. 10, n..3, p , 1990.