X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 ÁREA DO RETÂNGULO EM CONTEXTOS DO COTIDIANO: ESTUDO EXPLORATÓRIO EM LIVROS DIDÁTICOS Rosinalda Aurora de Melo Teles 1 Universidade Federal de Pernambuco rosinaldateles@yahoo.com.br Julia Calheiros Cartela de Araújo 2 Universidade Federal de Pernambuco juliacalheirospe@yahoo.com.br Resumo: Este artigo faz parte dos estudos que compõe um projeto mais amplo cujo objetivo é analisar imbricações entre os campos conceituais das grandezas geométricas, da geometria e das estruturas aditivas e multiplicativas em situações que envolvem a área do retângulo na matemática escolar. O cálculo de área de figuras geométricas planas, por um lado constitui-se um conhecimento importante para resolver situações teóricas e práticas, por outro apresenta vários entraves no processo de ensino aprendizagem na escolaridade básica. Neste estudo exploratório, tomando como referencial, entre outros, os estudos de Teles (2007) e Sá (2008), apresentamos os resultados obtidos no mapeamento preliminar de situações que envolvem a área do retângulo no contexto do cotidiano, em três coleções de livros didáticos de Matemática para as séries iniciais do Ensino Fundamental, aprovados pelo PNLD. Identificamos múltiplos aspectos concernentes a estas situações. Numa perspectiva mais ampla e futura buscamos responder qual a influência destas variáveis relacionadas aos campos conceituais das grandezas geométricas, da geometria e das estruturas aditivas e multiplicativas nos procedimentos de resolução dos alunos. Palavras-chave: Área do retângulo; Cotidiano; Livro didático. Introdução: As raízes da Matemática se confundem com a própria história da evolução da humanidade, ora definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, ora criando e desenhando instrumentos para esse fim. Outras vezes buscando explicações sobre os fatos e fenômenos da natureza e para própria existência (MIORIM, 1998). Quando as civilizações antigas começaram a dispor de excedente agrícola, a necessidade de estabelecer comparações que permitissem escambo entre as pessoas impulsionou a 1 Profª Adjunta do DMTE UFPE e do Programa de Pós Graduação em Educação Matemática e Tecnológica da UFPE. 2 Graduanda em Pedagogia na UFPE e aluna de iniciação científica. Anais do 1

2 criação de um sistema de equivalência entre o produto e um padrão determinado aceito por todo o grupo as medidas. No contexto atual o cálculo de área de figuras geométricas planas, constitui-se um conhecimento importante para resolver situações teóricas e práticas, porém, apresenta vários entraves no processo de ensino aprendizagem na escolaridade básica. Este artigo faz parte dos estudos que compõe um projeto mais amplo cujo objetivo é analisar imbricações entre os campos conceituais das grandezas geométricas, da geometria e das estruturas aditivas e multiplicativas em situações que envolvem a área do retângulo na matemática escolar. Neste estudo exploratório, tomando como referenciais, entre outros, os estudos de Teles (2007) e Sá (2008), apresentamos os resultados obtidos no mapeamento preliminar de situações que envolvem a área do retângulo no contexto do cotidiano, em três coleções de livros didáticos de Matemática para as séries iniciais do Ensino Fundamental, aprovados pelo PNLD. Identificamos múltiplos aspectos concernentes a estas situações. Numa perspectiva mais ampla e futura buscamos responder, sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1990) qual a influência de determinadas variáveis relacionadas aos campos conceituais das grandezas geométricas, da geometria e das estruturas aditivas e multiplicativas nos procedimentos de alunos do Ensino Fundamental. 1. Referencial teórico As orientações curriculares nacionais vigentes (BRASIL, 1997) e autores como Bellemain e Lima (2002) defendem a abordagem das grandezas e medidas em todos os níveis de ensino, segundo os autores, além da forte presença desses conteúdos, nas mais diversas práticas sociais, existe também sua posição histórica do conhecimento matemático e a possibilidade de articular os aspectos exploratório e dedutivo, como elemento da construção do significado do conhecimento matemático. Em sua pesquisa de doutoramento Teles (2007), lançou um olhar novo e esclarecedor sobre o ensino-aprendizagem das fórmulas de área e abriu uma via original de análise dentro da Teoria dos Campos Conceituais: o estudo de imbricações entre campos conceituais. Com o termo imbricações, Teles (2007) caracteriza um tipo de Anais do 2

3 relação em que os campos conceituais se sobrepõem mutuamente, se articulam e a partir dessa interconexão dinâmica são gerados novos significados para os conteúdos matemáticos em foco. Para a autora, o tratamento de situações nas quais estão envolvidas fortes imbricações exige que os sujeitos naveguem de um campo conceitual para outros e que articulem seus conhecimentos para tratar de maneira pertinente os problemas postos. Assim, as imbricações podem ser vistas como elemento que, pela variedade de abordagens possíveis, amplia as possibilidades de compreensão dos sujeitos aprendizes e ao mesmo tempo, pela amplitude, explica a complexidade de processos de aprendizagem de conteúdos matemáticos. Abordagem do conceito de área enquanto grandeza para Baltar (1996) consiste na consideração de área de uma superfície como propriedade invariante para algumas operações (por exemplo, superfícies equidecompostas têm mesma área e tendo sido escolhida uma unidade de área, superfície de mesma medida tem mesma área). Conforme a autora existe diferentes situações que dão significado ao conceito de área: medida de área, comparação de área e produção de área. O livro didático segundo Miranda e Luca (2004), é um produto cultural dotado de alto grau de complexidade e que não deve ser tomado unicamente em função do que contém sob o ponto de vista normativo. O livro didático varia de acordo com o respectivo utilizador, a disciplina e o contexto em que o manual é elaborado. Para Gerárd e Roegiers (1998), o manual escolar ou o livro didático, possui funções relativas ao aluno e funções relativas ao professor. Em relação ao aluno, existem funções relativas à aprendizagem, como a função de transmissão, a função de desenvolvimento de capacidades e de competências, a função de consolidação das aquisições, a função de avaliação das aquisições. Existem também funções de interface com a vida cotidiana e profissional, que são: função de ajudar na integração das aquisições, função de referência, e função de educação social e cultural. Em relação ao professor, o manual escolar possui as seguintes funções: função de informação cientifica e geral, função de formação pedagógica ligada à disciplina, função de ajuda nas aprendizagens e na gestão das aulas e função de ajuda na avaliação. Dada a importância do livro didático, vislumbramos em sua análise a possibilidade de compreender múltiplos aspectos relacionados ao ensino aprendizagem da Anais do 3

4 Matemática. Alguns pesquisadores têm se dedicado a isto e construído muitas respostas. Num estudo anterior, por exemplo, Sá (2008) sinaliza que as atividades que abordam a área do retângulo como recurso para outras temáticas ou como objeto de estudo, em coleções de livros didáticos de matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental estão em estreita relação com o bloco dos Números e Operações, em especial na exploração da configuração retangular, sendo utilizada para dar sentido à multiplicação, mesmo quando não se explicita tratar-se do cálculo da área do retângulo. Numa análise mais qualitativa Sá (2008) identificou os contextos nos quais as situações são propostas: contexto matemático e contextos do cotidiano. No contexto matemático destacam-se atividades com situações de configuração retangular; expressões numéricas utilizando a decomposição de figuras e aplicação das propriedades da multiplicação; exploração da idéia parte todo do número fracionário, porcentagens e frações equivalentes. Nas situações que utilizam contextos do cotidiano, há atividades que envolvem a Construção Civil e a Agricultura que servem como cenário para realização de cálculos numéricos envolvendo as Estruturas Multiplicativas e Aditivas. Também utilizam malha quadriculada para delimitar a área. Há atividades com a presença de plantas utilizadas na arquitetura. Assim como no contexto matemático, a unidade de medida utilizada é o quadrado da malha e todos os cômodos estão no formato de retângulos e na mesma posição. Os dados numéricos estão implícitos e serão construídos a partir da contagem de cada quadrado da malha. Estes dados alimentam a reflexão sobre a contextualização em matemática, abrindo questões como: qual a influência dos contextos relacionados ao cotidiano na resolução de atividades envolvendo área do retângulo? Ou qual a influência do cálculo da área do retângulo em atividades que envolvem propriedades da multiplicação ou do significado parte todos dos números fracionários? Também fortalecem a importância de estudar relações (imbricações) entre campos conceituais. Daí propormos: OBJETIVO GERAL: - Identificar e analisar variáveis em atividades que envolvem abordagem da área do retângulo em contextos do cotidiano em livros didáticos de matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental. Anais do 4

5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: - Mapear situações envolvendo área do retângulo que explorem situações do cotidiano em livros didáticos para o 1º e 2º ciclo (1º ao 5º ano) do Ensino Fundamental. - Identificar variáveis relacionadas aos campos conceituais das grandezas geométricas, da geometria e das estruturas aditivas e multiplicativas em situações envolvendo área do retângulo que explorem situações do cotidiano em livros didáticos para o 1º e 2º ciclo (1º ao 5º ano) do Ensino Fundamental. 2. Metodologia Para este estudo exploratório, analisamos três coleções de livros didáticos do 1º ao 5º ano do ensino fundamental, escolhidas aleatoriamente dentre aquelas aprovadas pelo PNLD (2008): Coleção 1: Novo bem-me-quer: matemática / Ana Lúcia Bordeaux... [et al.]; 1ºed. São Paulo: Editora do Brasil, Coleção 2: Projeto Pitanguá: matemática / organizadora Editora Moderna; editora responsável Juliane Matsubara Barroso. 2º Ed. São Paulo: Moderna, Coleção 3: Projeto Conviver: matemática / Estela Milani, Luiz Márcio Imenes, Marcelo Lellis. 1º ed. São Paulo: Moderna, Com esta análise não temos a pretensão de emitir juízo de valor ou comparar as coleções, apenas mapear no conjunto destas três obras atividades nas quais a área do retângulo estivesse relacionada a contextos sociais familiares aos alunos. Este mapeamento preliminar subsidiará a etapa posterior deste projeto que corresponderá à elaboração de um teste diagnóstico para verificar a influência de determinadas variáveis didáticas neste tipo de contexto. Em cada uma das atividades, analisamos diversos aspectos: Posição da figura Unidades de medidas Tamanho das figuras Domínio numérico dos dados e dos - Maior lado apoiado na horizontal - Menor lado apoiado na horizontal. - Quadradinhos - Metro quadrado - Centímetro quadrado -Figuras representadas em tamanho real -Figuras representadas em tamanho proporcional - Medidas naturais -Medidas racionais positivos em forma de Anais do 5

6 resultados Estratégias mais utilizadas para calcular a área decimal -Contagem de quadradinhos - Uso implícito da fórmula 3. Discussão dos resultados: No mapeamento de situações envolvendo área do retângulo que explorem contextos do cotidiano em livros didáticos para o 1º e 2º ciclo (1º ao 5º ano) do Ensino Fundamental foram identificadas 53 atividades. Em 35 delas (66%) a área do retângulo era abordada como objeto de estudo - quando a temática explorada na situação é área do retângulo, ou seja, área do retângulo é o próprio tema da questão, e em 18 (34%), a área do retângulo é apenas um mote para explorar outros conteúdos matemáticos, ou seja, é uma ferramenta para explorar propriedades da multiplicação, porcentagem, etc. No gráfico abaixo apresentamos o quantitativo de situações que envolvem estes aspectos nas três coleções analisadas. Como não tínhamos a pretensão de comparar as coleções, fizemos uma análise global do conjunto das atividades sem, no entanto, discriminar os achados em cada obra. Gráfico 1: Área do retângulo em contextos do cotidiano Temos como foco deste estudo as atividades nas quais a área do retângulo é próprio objeto do saber, e o contexto especificamente do cotidiano. Os dados do gráfico 1 indicam que os livros didáticos analisados abordam mais a área do retângulo como objeto do que como ferramenta. Como ferramenta o cálculo da área é utilizado, para Anais do 6

7 abordar temáticas, como porcentagem, estruturas multiplicativas, entre outras. tabela abaixo apresentamos o quantitativo destas atividades: Na Área do retângulo como ferramenta para aprendizagem de Quantidade outras noções matemáticas questões Porcentagem 1 Estimativa/proporcionalidade 2 Significado parte-todo da fração 3 Estruturas multiplicativas idéia de configuração retangular 9 Propriedades da multiplicação - Propriedade Associativa 1 Resolução de problemas numéricos 2 TOTAL 18 de Abaixo apresentamos um exemplo, no qual a área do retângulo é utilizada para abordagem de porcentagens: Figura 1. Exemplo de questão da área do retângulo como ferramenta. FONTE: Novo bem-me-quer: Matemática / Ana Lúcia Bordeaux... [et al.]; 1ºed. São Paulo: Editora do Brasil, º ano, p Quando a área do retângulo é o objeto de estudo da questão, identificamos diferentes situações que dão sentido ao conceito de área: Comparação de área- (6 atividades): Produção de área - (5 atividades) e Cálculo de área (24 atividades), como demonstra o gráfico abaixo: Anais do 7

8 Gráfico 2: Tipos de situações nas quais a área do retângulo é objeto A figura abaixo ilustra uma situação de cálculo (medida), que envolve a dissociação entre a área e o número que expressa a medida desta área, ou seja, dependendo da unidade de medida o número que expressa a medida da área pode variar: quanto maior o tamanho da unidade, menor é o número de vezes que se utiliza para medir um objeto (BRASIL, 1997). Figura 2. Exemplo de questão de área do retângulo como objeto. FONTE: Novo bem-me-quer: Matemática / Ana Lúcia Bordeaux... [et al.]; 1ºed. São Paulo: Editora do Brasil, º ano, p No conjunto das 35 atividades nas quais a área do retângulo é objeto, destacamos algumas variáveis: Anais do 8

9 Posição da figura em 26 delas há desenho: a posição prototípica, ou seja, o lado de maior comprimento está lado apoiado na horizontal predomina em 21 delas. As outras 5 apresentam o menor lado apoiado na horizontal. Com relação às unidades de medidas (quadradinhos, cm², m², etc) - 31 atividades utilizam unidades de medida, sendo: em 13 atividades quadradinhos; metro quadrado - 12 situações e centímetro quadrado em 6 delas. Tamanho da figura (em tamanho real ou proporcional) a figura em tamanho proporcional predomina em 17situações no total de 27, as 10 restantes são situações com figuras representadas em tamanho real. Domínio numérico dos dados e dos resultados: na maioria das situações as medidas apresentadas são naturais. Trinta (30) num total de 31 situações, apenas 1 situação envolvendo medidas racionais positivos em forma de decimal. Estratégias mais utilizadas para calcular a área (contagem de quadradinhos ou uso implícito da fórmula): a contagem de quadradinhos é a estratégia mais utilizada. Vinte e duas (22) em 32 situações, sendo as 10 restantes a estratégia de uso implícito da fórmula. 4. Considerações finais Os dados já permitem identificar algumas variáveis didáticas relacionadas aos campos conceituais das grandezas geométricas, da geometria e das estruturas aditivas e multiplicativas, tais como as unidades de medida, relacionadas ao campo das grandezas; o tamanho e a posição da figura, relacionadas ao campo geométrico. Ao campo numérico: domínio numérico dos dados e dos resultados. Os dados coletados e analisados nesta etapa do trabalho permitirão elaborar um teste diagnóstico previsto na etapa posterior onde se buscará analisar a influência de determinadas variáveis didáticas em situações que envolvem a área do retângulo em contextos do cotidiano. Ao mesmo tempo os dados alimentam a reflexão sobre a importância dos contextos utilizados na abordagem de conteúdos matemáticos. 5. Referências: Anais do 9

10 BALTAR, Paula Moreira. Enseignement et apprentissage de la notion d aire de surfaces planes: une étuide de l acquisition dês relations entre les longueurs et les Aires au collège. Grenoble, Tese (Doutorado em Didática da Matemática). Université Joseph Fourier, Grenoble, BELLEMAIN, Paula Moreira Baltar; LIMA, Paulo Figueiredo. Um estudo da noção de grandeza e implicações no ensino fundamental. Natal: SBHMat, BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Secretária de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacional: Matemática (1º ao 5º ano). Brasília, DF, DOUADY, Règine; PERRIN-GLORIAN, Marie Jeanne. Un processus d apprentissage du concept d aire de surface plane. In: Educational Studies in Mathematics, GERÁRD, François-Marie; ROEGIERS, Xavier. Conceber e avaliar manuais escolares Coleção Ciências da Educação. Portugal: Editora Porto, MIRANDA, Sonia Regina; LUCA, Tania Regina. O livro didático de história hoje: um panorama a partir do PNLD. Rev. Bras. Hist. vol.24, nº48. São Paulo, MIORIM, M. A. Introdução a história da educação matemática. Editora Atual, São Paulo, SÁ, Georgina Marafante. Um estudo sobre a Área do retângulo em Livros Didáticos para o Ensino Fundamental. Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) em Pedagogia. UFPE, TELES, Rosinalda. Imbricações entre campos conceituais na matemática escolar: um estudo sobre as fórmulas de área de figuras geométricas planas. Tese de Doutorado em Educação. UFPE, VERGNAUD, Gèrard. La théorie dês champs conceptuels. Recherches em Didactique dês Mathématique RDM, v.10, nº 2,3. Grenoble, 1990.p Anais do 10