Palavras chave: Cotidiano - campos conceituais -livro didático - área do retângulo.

Transcrição

1 ÁREA DO RETÂNGULO EM CONTEXTOS DO COTIDIANO: UM ESTUDO SOBRE VARIÁVEIS RELACIONADAS AOS CAMPOS CONCEITUAIS DAS GRANDEZAS, DA GEOMETRIA E NUMÉRICO NA MATEMÁTICA ESCOLAR Julia Calheiros Cartela de Araujo* juliacalheirospe@yahoo.com.br Rosinalda Aurora de Melo Teles** rosinaldateles@yahoo.com.br Resumo: Neste estudo exploratório, tomando como referencial, entre outros, os estudos de Teles (2007) e Sá (2008), apresentamos os resultados obtidos no mapeamento preliminar de atividades que envolvem a área do retângulo no contexto do cotidiano, em três coleções de livros didáticos de Matemática para as séries iniciais do Ensino Fundamental, aprovados pelo PNLD. Identificamos aspectos relacionados ao contexto e aos campos conceituais das grandezas, da geometria e numérico em situações de comparação, medida e produção de área de retângulos. Com base nos resultados obtidos elaboramos e aplicamos um teste diagnóstico em quatro turmas do 5º ano do Ensino Fundamental. Os resultados mostraram que as variáveis que apresentaram maior influência foram no campo das grandezas, relacionados ao quadradinho como unidade de medida, e no campo numérico no procedimento de cálculo relacionado à contagem de quadradinhos. Palavras chave: Cotidiano - campos conceituais -livro didático - área do retângulo. INTRODUÇÃO: O presente estudo aborda questões relativas ao ensino e à aprendizagem de conteúdos matemáticos na escola básica e defende a perspectiva que o ensino deve contribuir para transformação dos indivíduos e da sociedade. Acreditamos que o entendimento dos processos cognitivos e das dificuldades que o aluno enfrenta para se apropriar do conhecimento matemático favorece a construção de situações didáticas mais eficientes do ponto de vista do ensino aprendizagem de Matemática que contribuirão para alcançar tais metas. O cálculo de área de figuras geométricas planas, por exemplo, por um lado constitui-se um conhecimento importante para resolver situações teóricas e práticas, por outro apresenta vários entraves no processo de ensino aprendizagem na escolaridade básica. Põem-se então um desafio: que aspectos são importantes para o ensino e a aprendizagem do cálculo de área? *Graduanda em Pedagogia na UFPE e aluna de iniciação científica ** Profª Adjunta do DMTE-UFPE e do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica da UFPE

2 2 Em sua pesquisa de doutoramento Teles (2007), lançou um olhar novo e esclarecedor sobre o ensino-aprendizagem das fórmulas de área e abriu uma via original de análise dentro da Teoria dos Campos Conceituais: o estudo de imbricações entre campos conceituais, como elemento que, pela variedade de abordagens possíveis, amplia as possibilidades de compreensão dos sujeitos aprendizes e ao mesmo tempo, pela amplitude, explica a complexidade de processos de aprendizagem de conteúdos matemáticos. No trabalho de conclusão de curso graduação em Pedagogia, Sá (2008), identificou duas categorias para o uso da área do retângulo: como objeto e como ferramenta. Destacou ainda estas em dois contextos: contexto matemático e contexto do cotidiano. Iremos aprofundar a análise da subcategoria contexto do cotidiano, pois do nosso ponto de vista é importante propor no ensino de matemática situações que façam referência ao cotidiano dos indivíduos. Segundo Lima e Bellemain (2002) vivenciar experiências cotidianas significativas contribui para a construção conceitual pela criança. Assim, tomando como referencial, entre outros, os estudos de Teles (2007) e Sá (2008), nossa pesquisa tem como objetivo principal analisar a influência de variáveis relacionadas aos campos conceituais das grandezas, da geometria e numérico em situações do cotidiano que envolve a área do retângulo na matemática escolar. Para isso, mapeamos situações envolvendo área do retângulo que explorem situações do cotidiano em livros didáticos para o 1º e 2º ciclo (1º ao 5º ano) do Ensino Fundamental, identificamos variáveis relacionadas aos campos conceituais das grandezas geométricas, da geometria e numérico em situações envolvendo área do retângulo que explorem situações do cotidiano em livros didáticos para o 1º e 2º ciclo (1º ao 5º ano) do Ensino Fundamental, e analisamos a influência de determinadas variáveis relacionadas aos campos conceituais das grandezas, da geometria e numérico nos procedimentos de alunos do 5ºano do Ensino Fundamental. Posteriormente será apresentada a elaboração e aplicação de um teste diagnóstico realizado em quatro escolas da cidade de Recife, sendo quatro turmas do 5º ano do Ensino Fundamental. O teste foi elaborado a partir da fixação de algumas variáveis identificadas na análise dos livros didáticos com a finalidade de verificar a influência destas variáveis no desempenho dos alunos. 1.REFERENCIAL TEÓRICO Quando nos debruçamos sobre a história dos conteúdos Grandezas e Medidas, percebemos que ele surge da necessidade humana. Quando as civilizações antigas de todo o

3 3 mundo começaram a dispor de excedente agrícola, a necessidade de estabelecer comparações que permitissem escambo entre as pessoas se fez presente, então surgem às medidas. A partir dessa necessidade humana foi preciso criar um sistema de equivalência entre o produto e um padrão determinado aceito por todo o grupo, então o corpo humano torna-se um instrumento das unidades primitivas. Palmo, braços e pés ajudavam a dimensionar comprimento e área. Depois surgiram outros instrumentos como a balança, a régua, pois perceberam que as medidas dos corpos humanos são diferentes e precisava-se de um padrão de medida. Só em 1960, criou-se o sistema internacional de unidades, que estabelece grandezas universais para serem empregadas mundialmente, conforme Vomero (2003). Atualmente os currículos nacionais vigentes (BRASIL 1997; BRASIL 1998) orientam que os conteúdos das Grandezas e Medidas devem ser trabalhados na Educação Infantil e no Ensino Fundamental. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) os conteúdos deste bloco são de fundamental importância, pois na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes em quase todas as atividades realizadas. Desse modo, desempenham papel importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático. Em seu texto Um estudo da noção de grandeza e implicações no ensino fundamental, Bellemain e Lima (2002) também reforçam que devemos abordar esses conteúdos nestes níveis de ensino. Por várias razões, além da forte presença desses conteúdos nas mais diversas práticas sociais, existe também sua posição histórica do conhecimento matemático e a possibilidade de articular os aspectos exploratório e dedutivo, como elemento da construção do significado do conhecimento matemático. Os temas abordados sobre Grandezas e Medidas são inúmeros, porém os PCNs (1997) escolheram alguns como orientação, são eles: comparação de grandezas de mesma natureza; identificação de unidades de tempo; relação entre unidades de tempo; reconhecimento de cédulas e moedas que circulam no Brasil e de possíveis trocas entre cédulas e moedas em função de seus valores; identificação dos elementos necessários para comunicar o resultado de uma medição e produção de escritas que representem essa medição; leitura de horas, comparando relógios digitais e de ponteiros. Também é importante trabalhar a identificação de grandezas mensuráveis no contexto diário, como por exemplo: comprimento, massa, capacidade, superfície, etc CONCEITO DE ÁREA E IMPORTÂNCIA DA ÁREA DO RETÂNGULO

4 4 O conceito de área é um conhecimento relevante para o ensino aprendizagem da matemática, pois sua construção exige uma reflexão ampla sobre considerações históricas, sociais, e no desenvolvimento do conhecimento matemático teórico. Sendo assim, o conceito de área é importante para a formação do cidadão, pois diariamente ele se confronta com situações de medição. Outro fator relevante é sobre o ponto de vista da matemática, pois segundo Duarte (2002), o conceito de área congrega os grandes eixos temáticos dos números, da geometria, das grandezas e da álgebra. Esta abordagem do conceito de área enquanto grandeza para Baltar (1996) consiste na consideração de área de uma superfície como propriedade invariante para algumas operações (por exemplo, superfícies equidecompostas têm mesma área e tendo sido escolhida uma unidade de área, superfície de mesma medida tem mesma área). Como suporte teórico para o conceito de área como grandeza, utilizaremos a teoria dos campos conceituais de onde é destacada a definição de conceito de Vergnaud (1990), que permitem identificar noções, procedimentos e invariantes operatórios. Com base em Vergnaud (1990), podemos considerar que um conceito se constitui por uma tríade (S, IO, e Ę) formada pelos seguintes conjuntos: S: conjunto de situações que lhe dão sentido ao conceito (referência); IO: conjunto de invariantes operatórios subjacentes à ação dos sujeitos (significado); Ę: conjunto de formas de representação simbólica do conceito, de suas propriedades, das situações e dos procedimentos de tratamento das situações (significante). Para Vergnaud (1990): Os conceitos matemáticos podem ser inseridos em um campo conceitual, que, por sua vez, é definido como um conjunto de situações cuja apropriação requer o domínio de vários conceitos de naturezas diferentes. Eles se desenvolvem dentro de um longo período de tempo, por meio da experiência, maturação e aprendizagem. (p ) Conforme Baltar (1996) existem diferentes situações que dão significado ao conceito de área: medida de área (destacam-se o quadro numérico e a passagem da grandeza ao número por meio da escolha de uma unidade), comparação de área (destaca-se o quadro das grandezas, quando comparamos duas superfícies somos conduzidos a decidir se elas pertencem ou não a uma mesma classe de equivalência) e produção de área (as situações de produção, frequentemente admitem várias respostas corretas, destaca-se o quadro geométrico, porém a intervenção dos outros quadros pode ser tão importante quanto). Segundo Rouche (1992) o retângulo constitui o ponto de partida mais importante para aquisição de concepção de superfície. Isto acontece, segundo Rouche (1992), porque a figura

5 5 do retângulo é considerada por ele a ideal, pois quase todas as figuras que os alunos do ensino fundamental conhecerão recorrem ao retângulo. Apesar de o retângulo ser a figura geométrica plana mais utilizada nos livros didáticos para subsidiar a construção do significado das fórmulas de área e perímetro de outras figuras planas através da decomposição e recomposição e ter apresentado o maior índice acerto no cálculo da área e do perímetro no teste diagnóstico aplicado por Teles (2007), a autora destaca que a não utilização da propriedade: lados iguais dois a dois evidencia imbricação com campo conceitual da geometria, por outro lado, há extensão indevida da fórmula da área do retângulo para o paralelogramo e para o triângulo, evidenciando a importância desta figura no ensino aprendizagem da grandeza área POR QUE ANALISAR SITUAÇÕES EM CONTEXTO DO COTIDIANO? Para responder a essa pergunta se faz necessário compreender o papel das situações na construção dos conhecimentos matemáticos. Dessa forma, recorremos ao teórico Vergnaud, pois em sua teoria dos campos conceituais apresenta um importante subsídio para essa compreensão. Para ele, o desenvolvimento cognitivo depende de situações e de conceitualizações especificas necessárias para lidar com elas (Vergnaud, 1990). Para Vergnaud, é através das situações e dos problemas a resolver que um conceito adquire sentido para o sujeito. A partir disso, faz-se necessário recorrer ao conceito de situações empregado por Vergnaud (apud Moreira, 2004), o qual segundo ele, (...) não é o de situação didática, mas sim o de tarefas (...) os conhecimentos dos alunos são moldados pelas situações que encontram e progressivamente dominam, particularmente pelas primeiras situações suscetíveis de dar sentido aos conceitos e procedimentos que queremos que aprendam. (p.11). Utilizamos o significado da palavra contexto segundo Ximenes (2001), que significa um conjunto de circunstâncias que cercam e esclarecem um fato. Em relação às situações do cotidiano, abordamos o mesmo sentido de Sá (2008) classificou em seu trabalho com a análise de atividades sobre área do retângulo em livros didáticos. A sua categorização está organizada da seguinte forma: atividades do contexto matemático e do contexto do cotidiano. Esse segundo contexto (cotidiano) é entendido neste trabalho, como algo que acontece no diadia, ou seja, o aluno vivencia realmente, situações da vida real. Sá (2008) faz uma subcategorização do contexto do cotidiano: atividades que envolvem Construção Civil e a Agricultura.

6 6 As atividades de Construção Civil, analisadas por Sá (2008) são situações que trazem a presença de planta de uma casa para a criança encontrar a área, abordando mais a arquitetura. E as atividades de Agricultura trabalham mais com jardins, pastos, com forma de retângulo para se encontrar a área. Trabalhar com situações do cotidiano na sala de aula é interessante, pois se torna um meio de relacionar o que se aprende na escola com o que se vivencia fora dela, todavia é necessário que o educador possa, a partir de situações planejadas, ampliar o universo que a criança traz para a escola, levando em conta o que Pais (2001) observou: A educação escolar deve se iniciar pela vivência do aluno, mais isso não significa que ela deva ser reduzida ao saber cotidiano. No caso da matemática, consiste em partir do conhecimento dos números, das medidas e da geometria, contextualizados em situações próximas do aluno. O desafio didático consiste em estruturar condições para que ocorra uma evolução desta situação inicial rumo aos conceitos previstos. (p.28) A partir disso, escolhemos neste trabalho identificar variáveis relacionadas aos diversos campos conceituais em situações do contexto do cotidiano porque acreditamos que essas situações criam uma aprendizagem motivadora, que leva o aluno a superar o distanciamento entre os conteúdos estudados e entre a matemática e outras disciplinas. E, por outro lado, as imbricações entre campos conceituais caracterizam um tipo de relação em que os campos conceituais se sobrepõem mutuamente, se articulam e a partir dessa interconexão dinâmica são gerados novos significados para os conteúdos matemáticos em foco. Segundo Teles (2007), o tratamento de situações nas quais estão envolvidas fortes imbricações exige que os sujeitos naveguem de um campo conceitual para outros e que articulem seus conhecimentos para tratar de maneira pertinente os problemas postos. Os campos conceituais que iremos analisar neste trabalho, são os campos das grandezas, da geometria e o numérico. A partir dessa análise, identificaremos as variáveis que se relacionam com cada campo conceitual. O campo das grandezas se relaciona com a variável unidade de medida, o da geometria se relaciona com as variáveis posição da figura e medidas da figura e o numérico se relaciona com as variáveis domínio numérico dos dados e dos resultados e procedimentos de cálculo LIVRO DIDÁTICO E SUAS FUNÇÕES O livro didático segundo Miranda e Luca (2004), é um produto cultural dotado de alto grau de complexidade e que não deve ser tomado unicamente em função do que contém sob o

7 7 ponto de vista normativo. Essa definição nos faz compreender que o livro didático varia de acordo com o respectivo utilizador, a disciplina e o contexto em que o manual é elaborado. Tradicionalmente a função do livro didático é vista como a de transmissor de conhecimentos, tendo uma forma direta e fechada, sem considerar o percurso e os reais interesses do aluno. Atualmente essa visão mudou, faz-se necessário pensar em várias funções, e não mais limitar a um processo predeterminado. Em seu texto As funções de manual escolar, Gerard e Roegiers (1998), utilizam a nomenclatura manual escolar para o livro didático. Nesse texto ele faz uma categorização de funções que o manual escolar pode ter, são elas: as funções relativas ao aluno e as funções relativas ao professor. Em relação às funções ao aluno, existem funções relativas à aprendizagem, como por exemplo: a função de transmissão, a função de desenvolvimento de capacidades e de competências, a função de consolidação das aquisições, a função de avaliação das aquisições. Existem também funções de interface com a vida cotidiana e profissional, que são: função de ajuda na integração das aquisições, função de referência, e função de educação social e cultural. Em relação às funções relativas ao professor, o manual escolar possui as seguintes funções: função de informação cientifica e geral, função de formação pedagógica ligada à disciplina, função de ajuda nas aprendizagens e na gestão das aulas e função de ajuda na avaliação. É interessante compreender que o livro didático é um instrumento específico e importantíssimo de ensino e de aprendizagem. Por outro lado, ele não deve ser o único material que os professores e alunos utilizarão na sala de aula no processo de ensino aprendizagem, ele pode ser decisivo para a qualidade do aprendizado resultante das atividades escolares RESULTADOS DE PESQUISAS ANTERIORES SOBRE GRANDEZAS E MEDIDAS Desde a década de 1980, muitas pesquisas vêm sendo desenvolvidas em torno do tema Grandezas e Medidas. Abaixo discutimos alguns resultados que contribuirão para nossa pesquisa. A pesquisa de Baltar (1996), sobre o levantamento dos resultados de avaliações do desempenho dos alunos do Ensino Fundamental da França, no domínio das grandezas

8 8 geométricas e suas medidas, mostrou que os erros mais freqüentes são confusões entre área e perímetro, a utilização de fórmulas errôneas, a extensão indevida da validade das fórmulas de área e uso inadequado de unidades. De acordo com Lima e Bellemain (2002), pesquisas realizadas em diversos contextos educacionais indicam certa regularidade no aparecimento desse tipo de erros. Com a observação dos dados da pesquisa de Baltar (1996), Bellemain (2004) explana a hipótese de existência de obstáculo na aprendizagem do conceito de área e suas relações com o comprimento. Um obstáculo segundo Brousseau (1983), vai se manifestar por meio de erros persistentes e reproduzíveis, por isso, um importante desafio da Didática da Matemática é identificar obstáculos, caracterizá-los e construir situações didáticas que favoreçam sua superação. Em relação ao conceito de área, os estudos das concepções geométricas e numéricas de Douady e Perrin-Glorian (1989), evidenciam que uma das origens das dificuldades conceituais dos alunos é a ausência de construção das relações pertinentes entre os campos numéricos e geométricos. Segundo elas, os alunos desenvolvem uma concepção forma, uma concepção número, ou ambas, mas de forma isolada uma da outra. Douady e Perrin-Glorian (1989), com a concepção e experimentação de uma engenharia didática, evidenciaram que a abordagem do conceito de área como grandeza autônoma favorecia a construção de relações entre conhecimentos geométricos e numéricos na resolução de problemas de área. No estudo de Teles (2007), a análise de testes diagnósticos aplicados em alunos do 2º ano do Ensino Médio, evidenciou como as imbricações ente os campos conceituais das grandezas geométricas, da geometria, dos números, da álgebra e das funções, podem influenciar em situações envolvendo fórmulas de áreas de figuras geométricas planas. Subsidiada por análise quantitativa dos dados e por análise teórica desenvolvida em sua tese, Teles (2007) pôde relacionar a ausência de respostas em determinadas questões ao fato da questão mobilizar conhecimentos dos vários campos conceituais. Porém, as imbricações podem ser vistas não só como fator de entrave, mas como abertura de possibilidades de resolução evidenciada na variedade de tipos de procedimentos de resolução em questões que obtiveram bons índices de acertos. 2. METODOLOGIA

9 9 O estudo tem caráter qualitativo, embora se apóie em alguns aspectos quantitativos. A escolha pela pesquisa qualitativa se deu pela sua pertinência de analisar o todo, não perdendo o aspecto social. Para Gonzaga (2006), esse tipo de pesquisa valoriza o imaginário do sujeito, suas crenças, valores e aspirações, considera que esses processos e fenômenos não podem ser reduzidos a apenas variáveis. Analisamos três coleções de livros didáticos do 1º ao 5º ano do ensino fundamental, aprovados pelo PNLD (2010), a escolha dessas coleções foi aleatória dentre aquelas disponíveis no acervo do mestrado de Educação da Universidade Federal de Pernambuco: Coleção 1: Novo bem-me-quer: matemática / Ana Lúcia Bordeaux... [et al.]; 1ºed. São Paulo: Editora do Brasil, Coleção 2: Projeto Pitanguá: matemática / organizadora Editora Moderna; editora responsável Juliane Matsubara Barroso. 2º Ed. São Paulo: Moderna, Coleção 3: Projeto Conviver: matemática / Estela Milani, Luiz Márcio Imenes, Marcelo Lellis. 1º ed. São Paulo: Moderna, Mapeamos nestas coleções situações do cotidiano, ou seja, questões que abordem situações reais num contexto familiar, como por exemplo, a área de uma casa, de uma sala de aula, onde os alunos se sentirão familiarizados e motivados a resolver a questão, pois não será uma temática distante de sua realidade. A partir disso, elaboramos um teste diagnóstico, com três questões retiradas dos livros didáticos analisados, onde aborda a área do retângulo como objeto, utiliza malha quadriculada e o quadradinho como unidade de medida. Aplicamos um teste diagnóstico em quatro escolas da cidade de Recife, sendo duas da rede pública municipal de ensino e duas da rede privada, no total foram quatro turmas do 5ºano do Ensino Fundamental. As três questões que compõem o teste foram baseadas e adaptadas das situações que analisamos dos Livros Didáticos (anexo 1). 3. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS: 3.1 ANÁLISE DO LIVRO DIDÁTICO O mapeamento de situações envolvendo área do retângulo que explorem situações do cotidiano em livros didáticos para o 1º e 2º ciclo (1º ao 5º ano) do Ensino Fundamental permitiu identificar 53 atividades nas quais se aborda a área do retângulo. Em relação ao uso da área do retângulo, estas atividades, foram categorizadas em dois tipos: 35 delas (66%) como objeto - quando a temática explorada na situação é área do retângulo, ou seja, área do

10 10 retângulo é o próprio tema da questão, e 18 (34%), como ferramenta quando é apenas um mote para explorar outros conteúdos matemáticos, como propriedades da multiplicação, porcentagem, etc. Como ferramenta está a serviço de outros domínios do saber. Na tabela abaixo apresentamos o quantitativo de situações que envolvem estes aspectos nas três coleções analisadas. TABELA 1: Situações que envolvem a área do retângulo em contextos do cotidiano FERRAMENTA Quantidade de questões OBJETO Quantidade de questões Porcentagem 1 Comparação de 6 área Estimativa/proporcionalidade 2 Produção de área 5 Significado parte-todo da fração 3 Cálculo de área 24 Estruturas multiplicativas 9 idéia de configuração retangular Propriedades da multiplicação - 1 Propriedade Associativa Resolução de problemas 2 numéricos TOTAL 18 TOTAL 35 Temos como foco da pesquisa situações nas quais a área do retângulo é próprio objeto do saber, e o contexto especificamente do cotidiano. Os dados da tabela 1 indicam que os livros didáticos analisados abordam mais a área do retângulo como objeto do que como ferramenta, sendo o cálculo de área o maior número de questões encontradas nas duas categorizações. Como ferramenta o cálculo da área é utilizado, para abordar temáticas, como porcentagem, estruturas multiplicativas, entre outras. Como objeto, nestas atividades foi possível identificar alguns aspectos conceituais relacionados às situações que conferem significado à área como grandeza, como por exemplo, comparação de área, produção de área e cálculo de área. TABELA 2: Quantidade de situações que envolvem a área do retângulo como objeto em contextos do cotidiano COLEÇÃO/ VOLUME Coleção 1: Novo bemme-quer: TIPOS DE SITUAÇÕES Comparação de área Produção área Cálculo de área Conservação área

11 11 Coleção 2: Projeto Pitanguá: matemática / Coleção 3: Projeto Conviver: matemática / A partir da tabela analisamos que a abordagem da área como objeto evolui ao longo das séries, pois é a partir do 4 ano que encontramos essas questões nos livros didáticos. A coleção 2, Projeto Pitanguá foi a que mais abordou todos os tipos de situações. A coleção 3, Projeto Conviver é a que mais apresenta número de questões do tipo cálculo de área. A coleção 1, Novo bem-me-quer apresentou o menor número de tipos de situação abordando apenas o tipo cálculo de área e comparação de área, um exemplo dessa situação é a questão abaixo. Figura 1. área do retângulo como objeto abordando cálculo e comparação de área. FONTE: Novo bem-me-quer: Matemática / Ana Lúcia Bordeaux... [et al.]; 1ºed. São Paulo: Editora do Brasil, º ano, p Os dados já permitem identificar algumas variáveis relacionadas aos campos conceituais em foco. Elegemos cinco variáveis relacionadas ao diversos campos conceituais. Ao campo das grandezas relacionam-se as unidades de medidas, ao campo geométrico: figura representada em tamanho real ou proporcionalmente e posição da figura. Relacionado ao campo numérico: domínio numérico dos dados e dos resultados, procedimentos de cálculo mais utilizado para calcular área. Nas situações em que área do retângulo é objeto, destacamos:

12 12 TABELA 3: Variáveis nas situações em que área do retângulo é objeto Campo Conceitual Variável Valores da variável Quantidades Campo Geométrico Posição da figura -Maior lado apoiado na horizontal -Menor lado apoiado na horizontal Medidas da figura -Figuras representadas em tamanho real -Figuras representadas em tamanho proporcional Campo Grandezas das Unidades medidas de - Quadradinhos - Metro quadrado -Centímetro quadrado Campo Numérico Domínio numérico dos dados e dos resultados - Medidas naturais -Medidas racionais positivos em forma de decimal 30 1 Procedimentos cálculo de -Contagem de quadradinhos - Uso implícito da fórmula Abaixo apresentamos uma questão de área classificada como objeto, onde aborda os três campos conceituais em foco. O campo geométrico, com o lado apoiado na horizontal, o campo das grandezas, com a unidade de medida quadradinhos e o campo numérico com a contagem dos quadradinhos para calcular a área. Figura 2: Questão de área como objeto que aborda o campo geométrico, campo das grandezas e campo numérico. FONTE: Novo bem-me-quer: Matemática / Ana Lúcia Bordeaux... [et al.]; 1ºed. São Paulo: Editora do Brasil, º ano,p.186.

13 13 Embora o foco da pesquisa sejam as situações nas qual a área do retângulo é o objeto de estudo, também foram identificadas variáveis nas situações em que a área do retângulo é ferramenta. Dentre elas destacamos: TABELA 4: Variáveis nas situações em que área do retângulo é ferramenta Campo Conceitual Campo Geométrico Posição da figura Variável Valores da variável Quantidades -Maior lado apoiado na horizontal -Menor lado apoiado na horizontal. 9 5 Campo Grandezas das Medidas da figura Unidades de medidas -Figuras representadas em tamanho real -Figuras representadas em tamanho proporcional - Quadradinhos - Metro quadrado - Centímetro quadrado - Quantidade de pessoas - Quantidade de árvores - Hectare Campo Numérico Domínio numérico dos dados e dos resultados - Medidas naturais -Medidas racionais positivos em forma de fração - Medidas racionais positivos em forma de porcentagem Procedimentos cálculo de -Contagem de quadradinhos - Uso implícito da fórmula - Utilizando fração - Utilizando estimativa Abaixo apresentamos uma questão classificada como ferramenta, que aborda os três campos conceituais em foco. O campo geométrico, com o lado maior apoiado na horizontal, o campo das grandezas, com a unidade de medida o metro quadrado e o campo numérico utilizando o uso implícito da fórmula. Nessa questão observa-se o uso da estrutura multiplicativa, com propriedade distributiva da multiplicação.

14 14 Figura 3: Questão de área como ferramenta que aborda o campo geométrico, campo das grandezas e campo numérico. FONTE: Projeto Pitanguá: matemática / organizadora Editora Moderna; editora responsável Juliane Matsubara Barroso. 2º Ed. São Paulo: Moderna, ºano,p ELABORAÇÃO E ANÁLISE DO TESTE DIAGNÓSTICO: Os dados coletados e analisados nesta etapa do trabalho permitiram elaborar um teste diagnóstico previsto na etapa posterior onde se buscará analisar a influência de determinadas variáveis nestas situações. As questões escolhidas abordam o contexto do cotidiano relacionadas a leitura e interpretação de plantas baixas na malha quadriculada. Todas as situações do teste utilizam figuras retangulares, unidades de medida quadradinhos, medidas naturais, supõem como principal procedimento de cálculo a contagem de quadradinhos. A partir disso, por coincidência as três questões do teste diagnóstico são do contexto do cotidiano construção civil, pois abordam todos os aspectos definidos. As questões trazem alguns aspectos conceituais importantes, como por exemplo: figuras diferentes podem ter mesma área; a mudança de unidade de área pode conduzir a alterações no número que expressa a medida da área. Abaixo apresentamos as questões do teste diagnóstico: QUESTÃO 1: 1)Observe a planta de uma sala de aula.

15 15 FONTE: Projeto Pitanguá: matemática / organizadora Editora Moderna; editora responsável Juliane Matsubara Barroso. 2º Ed. São Paulo: Moderna, ºano,p.107. Considere o quadradinho como unidade de área e resolva as questões abaixo: a)a área da mesa da professora equivale à área de quantas mesas dos alunos? b)se nessa planta todas as mesas dos alunos fossem reunidas no fundo da sala, qual seria a área em quadradinhos para representar essas mesas? c)se organizasse as mesas de outra forma, o espaço ocupado pelas mesas seria o mesmo ou seria diferente? Justifique. Análise da questão: A questão aborda área como objeto, classificada como situação de comparação de área e produção de área (BALTAR, 1996), relacionado ao campo conceitual das grandezas utiliza a malha quadriculada para calcular a área e utiliza como unidade de medida o quadradinho. Em relação ao campo geométrico utiliza a figura com o maior lado apoiado na base horizontal. Aborda o contexto do cotidiano a construção civil, categorização de Sá (2008). A letra a observa-se uma situação de comparação, com duas unidades diferentes: a mesa do aluno e a mesa da professora, sendo a mesa o dobro da cadeira. A comparação nessa situação é realizada sem a intervenção do quadro numérico. Uma forma de o aluno responder esta questão seria observar na malha quadriculada que a mesa do aluno corresponde a um quadradinho e a mesa da professora a dois, assim ele perceberia que seria o dobro. Um aspecto conceitual importante nesta questão é o fato de que o número que expressa a medida da área depende da unidade de medida que está sendo utilizada, ou seja, o número pode ser diferente, mas a área permanece a mesma. As letras b e c apresentam situações de produção de área, onde os alunos pensariam em outra arrumação para a sala de aula. Essa questão é importante para a dissociação do quadro das grandezas e do geométrico, porque o aluno para responder precisa produzir superfícies de formas variadas tendo todas as mesmas áreas,ou seja, irá possibilitar ao aluno a compreensão de que diferentes arrumações das mesas possuem a mesma área QUESTÃO 2: 2) Esta é a planta da casa do pai de Caio

16 16 FONTE: Novo bem-me-quer: Matemática / Ana Lúcia Bordeaux... [et al.]; 1ºed. São Paulo: Editora do Brasil, º ano, p a)use o como unidade de medida para encontrar a área do piso de cada uma das partes da casa. b)de acordo com as medidas encontradas, alguns cômodos possuem mesma área? Em caso afirmativo, quais são eles? As formas são iguais? Análise da questão: A questão aborda área como objeto, classificada como situação de medição de área e comparação de área (BALTAR, 1996). Relacionado ao campo conceitual das grandezas utiliza a malha quadriculada para calcular a área e o quadradinho da malha como unidade de medida. Aborda no contexto do cotidiano a construção civil. A letra a aborda a situação de medição de área, quando solicita que encontrem a área de todos os cômodos da casa, o resultado esperado nesse tipo de situação é um número seguido de uma unidade, que nesse exemplo a unidade de medida é o quadradinho. Para o aluno responder essa questão, é preciso que ele perceba que contando os quadradinhos de cada cômodo, ele terá a área deles, ou seja, área como medida da superfície. A letra b aborda a situação de comparação de área, quando solicitam que o aluno identifique quais dos cômodos possuem mesma área e ainda perceba se tem formas iguais ou diferentes. Esta questão utiliza o procedimento numérico, o que contribui na passagem de concepções geométricas à construção da área enquanto grandeza, na medida em que superfícies de mesma medida podem ter mesma área, mesmo tendo formas diferentes. O aluno para responder essa questão terá que primeiramente calculado corretamente as áreas de todos os cômodos, para a partir dos dados obtidos, conseguir identificar quais foram os

17 17 cômodos com as área iguais, que seria o quarto 1 e o quarto 2, onde posteriormente irá compará-los e perceberá que não possuem formas iguais, ou seja, figuras diferentes podem ter a mesma área QUESTÃO 3: 3) Dona Regina, diretora da escola, quer trocar as lajotas do tipo A do pátio pelas lajotas do tipo B. A figura abaixo representa o pátio da escola. FONTE: Novo bem-me-quer: Matemática / Ana Lúcia Bordeaux... [et al.]; 1ºed. São Paulo: Editora do Brasil, º ano, p Responda. a) Quantas lajotas do tipo A possui o pavimento do pátio? b) Quantas lajotas B serão necessárias para cobrir o pátio? c) Compare o tamanho da lajota B com o da lajota A. Quantas lajotas A são necessárias para cobrir uma lajota B? Análise da questão: A questão aborda área como objeto, classificada como medição de área e comparação de área (BALTAR, 1996). Relacionado ao campo conceitual das grandezas Utiliza a malha quadriculada para calcular área e como unidade de medida o quadradinho da malha que representa o tipo da lajota. Aborda o contexto do cotidiano a construção civil. As letras a e b abordam a situação de medição, quando se solicita a área do pátio. Esta situação apresenta a mesma área com unidades de medida diferentes, a lajota tipo A e a lajota tipo B. Nesse exemplo é preciso distinguir o número e a grandeza, pois a mudança de unidade de área pode conduzir a alterações no número que expressa a medida da área desta superfície e não existe razão para que mudanças de unidades alterem a área de uma superfície. É preciso diferenciar a área e a superfície, pois figuras de mesma área não precisam ser iguais. Os alunos para responder essas questões precisam perceber que a lajota tipo B representa o dobro da lajota tipo A, pois quando acharem a área do piso com lajota A, deveram dividir por dois para encontrarem a área do piso com a lajota B.

18 18 A letra c aborda a situação de comparação, quando solicita que compare as lajotas entre si e depois informe quantas lajotas A precisa para cobrir a lajota B. O aluno para responder essa questão pode sobrepor a lajota A sobre a lajota B, ou, só na observação ele consiga identificar a diferença RESULTADOS OBTIDOS NO TESTE: O teste diagnóstico foi aplicado em quatro escolas da cidade de Recife, em quatro turmas do 5º ano do Ensino Fundamental. Sendo duas escolas da rede pública municipal de ensino e duas da rede privada. Nenhuma das escolas utiliza os livros analisados neste trabalho, anulando a possibilidade das questões já terem sido vivenciadas pelos alunos. Em todas as escolas a aplicação do teste ocorreu na sala de aula dos alunos. O tempo do teste durou em média de 45 minutos, os alunos não utilizaram nenhum tipo de consulta. Em todas as turmas os professores informaram que ainda não tinham trabalhado o conteúdo área do retângulo neste ano letivo. O procedimento da aplicação aconteceu da seguinte maneira: 1) apresentação do aplicador do teste, 2) informação sobre o teste, pois muitos alunos acharam que se tratava de uma prova, 3) leitura de cada questão por vez, deixando um tempo reservado para os alunos fazerem a questão e 4) agradecimento aos alunos e professor. As escolas que participaram do teste foram: Escola 1: Instituição da rede privada, localizada no bairro de Casa Amarela, que oferece cursos de Educação Infantil, Ensino Fundamental (até o 5ºano) e Educação de Jovens de Adultos. Escola 2: Instituição da rede privada, localizada no bairro da Tamarineira, que oferece cursos de Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio. Escola 3: Instituição da rede pública, localizada no bairro do Parnamirim, que oferece cursos de Educação Infantil e Ensino Fundamental (até o 5º ano). Escola 4: Instituição da rede pública, localizada no bairro da Encruzilhada, que oferece os cursos de Educação Infantil, Ensino Fundamental (até o 5º ano) e Educação de Jovens e Adultos.

19 19 Tabela 5: Total de alunos que participaram do teste diagnóstico Escolas que Participaram do teste Número de alunos testados Escola 1: Bairro de Casa Amarela 23 Escola 2: Bairro da Tamarineira 17 Escola 3: Bairro do Parnamirim 14 Escola 4: Bairro da Encruzilhada 14 TOTAL: 68 Abaixo discutimos os resultados obtidos na aplicação do teste. A questão que obteve o maior índice de acertos foi a primeira questão letra a, com 90% de acertos, a) A área da mesa da professora equivale à área de quantas mesas dos alunos?. Os alunos nessa questão teriam que comparar a mesa da professora com a mesa dos alunos, para perceberem que seria o dobro, uma forma de encontrar a resposta, seria utilizando a malha quadriculada, pois a mesa do aluno representa um quadradinho e a mesa da professora dois, enquanto a que obteve maior índice de erros foi a primeira questão letra c, com 78% de erros, c) Se organizasse as mesas de outra forma, o espaço ocupado pelas mesas seria o mesmo ou seria diferente? Justifique. conforme tabelas e gráfico abaixo: Tabela 6: Quantitativo de acertos, erros e não resposta de todos os alunos que participaram do teste diagnóstico. Questão 1.a) Questão 1.b) Questão 1.c) Questão 2.a) Questão 2.b) Questão 3.a) Questão 3.b) Questão 3.c) % Acertos 90% 40% 22% 71% 53% 68% 66% 75% % Erros 10% 59% 78% 28% 44% 32% 34% 25% % Não Resposta 0% 1% 0% 1% 3% 0% 0% 0% 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 % Acertos % Erros % Sem resposta Questão 1.a) Questão 1.b) Questão 1.c) Questão 2.a) Questão 2.b)

20 20 Gráfico 1: Quantitativo de acertos, erros e não resposta de todos os alunos que participaram do teste diagnóstico. Observando as estratégias que os alunos utilizaram para encontrar a resposta correta para a área da mesa da professora equivale à área de quantas mesas dos alunos? (questão 1, letra a), identificamos que a maioria fez a comparação da mesa do aluno com a mesa da professora, pois muitos traçaram uma linha no meio do quadrado da professora, que representava a sua mesa (exemplo 1). Essa estratégia foi a mais utilizada pelo fato de que a figura da questão (planta da sala de aula) é feita sobre a malha quadriculada, onde a mesa do professor ocupa dois quadradinhos e a mesa do aluno um quadradinho. A nosso ver, houve a influência, tanto do campo das grandezas, relacionados ao quadradinho como unidade de medida, quanto do campo numérico no procedimento de cálculo relacionado à contagem de quadradinhos, ao mesmo tempo intervém a relação proporcional entre a forma quadrada ou retangular das mesas do aluno e da professora que tanto pode estar relacionada ao campo da geometria como ao numérico. O que evidencia imbricações entre os campos, como destacou Teles (2007). Exemplo 1: Com relação aos erros, observando as respostas dos alunos percebemos que eles pensaram que arrumando as mesas de outra forma, mudaria o espaço ocupado por elas e também mudaria o espaço da sala. Ou seja, os alunos ainda não compreendem que figuras diferentes podem ter mesma área. Muitos alunos responderam que se mudasse a organização das mesas, iria sobrar muito espaço na sala (exemplo 2), outros disseram que seria diferente porque cada formato tem seu espaço (exemplo 3). Exemplo 2:

21 21 Exemplo 3: Uma estratégia que alguns alunos abordaram foi utilizar a figura da questão (planta da sala de aula) na malha quadriculada e tentaram juntar todas as bancas no fundo da sala (exemplo 4). Exemplo 4: Algumas justificativas que os alunos escreveram para a mudança da área ocupada foram: Escola 1 Aluno 9: não. Por que se botasse em círculo ficaria maior. Escola 2 Aluno 2: seria diferente, porque ia mudar a posição das bancas. Escola 2 Aluno 3: seria diferente porque iria sobrar espaço por causa da mudança da posição das bancas. Escola 3 Aluno 1: não. Por que ela esta bagunçada. Escola 4 Aluno 3: não. Porque cada formato tem seu espaço. Outra questão que apresentou um alto índice de erro, foi a segunda questão letra b, com 34%, b) De acordo com as medidas encontradas, alguns cômodos possuem mesma área? Em caso afirmativo, quais são eles? As formas são iguais?. Em relação aos erros, no primeiro momento percebemos que alguns alunos não conseguiram encontrar a área dos cômodos corretamente (exemplo 5), que seria a resposta da letra a, sendo assim, não conseguiram responder a letra b corretamente, já que necessitava dos dados obtidos na questão anterior. No segundo momento identificamos que alguns alunos não compreendem que figuras de mesma área podem ter formas diferentes (exemplo 6), quando eles afirmam que os cômodos possuem mesma área e mesma forma. Este aspecto nos remete a noção de conservação de área relacionado ao campo das grandezas.

22 22 Percebemos que houve a influência, tanto do campo das grandezas, relacionados ao quadradinho como unidade de medida, quanto do campo numérico no procedimento de cálculo relacionado à contagem de quadradinhos, ao mesmo tempo intervém a relação de comparação entre duas áreas iguais, porém de formas distintas, o quarto 1 e o quarto 2, que está relacionada ao campo da geometria. Exemplo 5: Exemplo 6: A questão que apresentou o segundo maior índice de acertos foi a terceira questão letra c, com 75%, c) Compare o tamanho da lajota B com o da lajota A. Quantas lajotas A são necessárias para cobrir uma lajota B?. Observando as respostas dos alunos, percebemos que muitos traçaram uma linha ao meio da lajota tipo B (exemplo 7) e perceberam que ela é o dobro da outra lajota, ou seja, são necessárias duas lajotas tipo A para cobrir a lajota tipo B. Identificamos que houve a influência, tanto do campo das grandezas, relacionados ao quadradinho como unidade de medida, quanto do campo numérico no procedimento de cálculo relacionado à contagem de quadradinhos, ao mesmo tempo intervém a relação proporcional entre a forma quadrada ou retangular das lajotas tipo A e tipo B que tanto pode estar relacionada ao campo da geometria como ao numérico. Evidenciando as imbricações entre os campos conceituais, como destacou Teles (2007).

23 23 Exemplo 7: 5. CONSIDERACÕES FINAIS: Com a análise das três coleções dos livros didáticos do 1º ao 5º ano, fizemos o mapeamento de situações envolvendo área do retângulo que explorem situações do cotidiano, o que permitiu identificar 53 atividades nas quais se aborda a área do retângulo. Em relação ao uso da área do retângulo, estas atividades, foram categorizadas em dois tipos: 35 delas (66%) como objeto e 18 (34%), como ferramenta. A partir desses dados, elegemos cinco variáveis relacionadas ao diversos campos conceituais. Ao campo das grandezas relacionam-se as unidades de medidas, ao campo geométrico: figura representada em tamanho real ou proporcionalmente e posição da figura. Relacionado ao campo numérico: domínio numérico dos dados e dos resultados, procedimentos de cálculo mais utilizado para calcular área. Elaboramos um teste diagnóstico, onde as questões escolhidas abordam o contexto do cotidiano relacionadas a leitura e interpretação de plantas baixas na malha quadriculada, e analisamos a influência de determinadas variáveis nestas situações. A partir das análises nos livros didáticos percebemos que situações do cotidiano que envolve área do retângulo podem e devem ser trabalhada em sala de aula, como também outros conteúdos matemáticos, pois essa relação da realidade dos alunos com o conhecimento cientifico é muito importante para a construção do conhecimento. Percebemos que mesmo num contexto do cotidiano, o aluno entende a área como uma figura que, modificando a figura necessariamente modifica-se a área, ou seja, a idéia de que

24 24 figuras diferentes necessariamente têm áreas diferentes foi recorrente nas respostas dos alunos, confirmando os resultados de pesquisas anteriores sobre o tema trabalhado. Para minimizar essa dificuldade, Douady e Perrin-Glorian (1989) consideram que a abordagem do conceito de área deva partir da distinção e articulação entre os quadros: das grandezas, o quadro geométrico, e o quadro numérico. Assim, neste trabalho podemos refletir sobre a influência de variáveis relacionadas aos campos conceituais das grandezas, da geometria e numérico em situações do cotidiano que envolve a área do retângulo na matemática escolar. A nosso ver, as variáveis que apresentaram maior influência foram no campo das grandezas, relacionado ao quadradinho como unidade de medida, e no campo numérico no procedimento de cálculo relacionado à contagem de quadradinhos, pois foram as variáveis mais presentes nas respostas dos alunos. O ensino e aprendizagem da matemática escolar pode e deve ser um ensino eficiente, que realmente cumpra seu papel na formação de cidadãos. Ao aluno deve ser dado o direito de aprender, não um aprender mecânico, repetitivo, de fazer sem saber o que faz e por que faz, muito menos um aprender que se esvazia em brincadeiras. Mas um aprender significativo do qual o aluno participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o saber historicamente produzido e superando, assim, os obstáculos e entraves que aparecerão na sua formação. Acreditamos que novos estudos devem ser realizados, na busca de ampliar o mapeamento das situações e aprofundar a análise da influência das variáveis, bem como estimular a reflexão sobre a importância dos contextos utilizados na abordagem de conteúdos matemáticos. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: BALTAR, Paula Moreira. Enseignement et apprentissage de la notion d aire de surfaces planes: une étuide de l acquisition dês relations entre les longueurs et les Aires au collège. Grenoble, Tese (Doutorado em Didática da Matemática). Université Joseph Fourier, Grenoble, BELLEMAIN, Paula Moreira Baltar; LIMA, Paulo Figueiredo. Um estudo da noção de grandeza e implicações no ensino fundamental. Natal: SBHMat, BELLEMAIN, Paulo Moreira Baltar. Um candidato a obstáculo à aprendizagem dos conceitos de comprimento e área como grandezas. In: II HTEM - COLÓQUIO HISTÓRIA E TECNOLOGIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA, 2004, Rio de Janeiro. Anais do segundo colóquio de História e Tecnologia no Ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2004.

25 25 BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Secretária de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacional: Matemática (1º ao 5º ano). Brasília, DF, BRASIL, Secretária de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Secretária de Educação Fundamental, Brasília. MEC/ SEF, BROUSSEAU, G. Les obstacles épistémologiques et les problèmes en Mathématiques. Recherches em didactique des mathématiques, Grenoble: La Pensée Sauvage DOUADY, Règine; PERRIN-GLORIAN, Marie Jeanne. Un processus d apprentissage du concept d aire de surface plane. In: Educational Studies in Mathematics, DUARTE, J. H., Análise de situações didáticas para construção do conceito de área como grandeza no ensino fundamental, Dissertação (Mestrado em Educação) UFPE, Recife, GERÁRD, François-Marie; ROEGIERS, Xavier. Conceber e avaliar manuais escolares Coleção Ciências da Educação. Portugal: Editora Porto, GONZAGA, Amarildo Meneses. A pesquisa em educação: um desenho metodológico centrada na abordagem qualitativa. In: Pesquisa em educação: Alternativas investigativas com objetos complexos. [ Orgs] MIRANDA, Sonia Regina; LUCA, Tania Regina. O livro didático de história hoje: um panorama a partir do PNLD. Rev. Bras. Hist. vol.24, nº48. São Paulo, MOREIRA, M. Antônio. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. In:. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a investigação nesta área. Porto Alegre: Instituto de Física da UFRGS, PAIS, Luis Carlos. Didática da Matemática: uma análise de influência francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.p.28. ROUCHE, N. Le sense de la mesure. Bruxelles: Didier Hatier SÁ, Georgina Marafante. Um estudo sobre a Área do retângulo em Livros Didáticos para o Ensino Fundamental. Trabalho de Conclusão de Curso (TTCC) em Pedagogia. UFPE, TELES, Rosinalda. Imbricações entre campos conceituais na matemática escolar: um estudo sobre as fórmulas de área de figuras geométricas planas. Tese de Doutorado em Educação. UFPE, UBIRATAN, D Ambrosio. História da Matemática no Brasil: Uma Visão Panorâmica até Saber y Tiempo, vol. 2, n 8, Julio-Deciembre, 1999; pp VERGNAUD, Gèrard. La théorie dês champs conceptuels. Recherches em Didactique dês Mathématique RDM, v.10, nº 2,3. Grenoble, 1990.p

26 26 VOMERO, Maria Fernanda. Medidas Extremas. Texto da revista Superiteressante, ed. 186, mar. de XIMENES, Sérgio. Minidicionário da língua portuguesa. Brasília: Ediauro, 2001.