RESUMO. Palavras-chave: escala; livro didático; teoria dos campos conceituais.

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1 A ABORDAGEM DO CONCEITO DE ESCALA EM LIVROS DIDÁTICOS PARA O TERCEIRO E QUARTO CICLOS DO ENSINO FUNDAMENTAL: UMA ANÁLISE À LUZ DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS Maria Sônia Leitão de Melo- SEDUC-PE/PCR 1 sonimari25@yahoo.com.br Paula Moreira Baltar Bellemain-CE-UFPE 2 pmbaltar@ufpe.br RESUMO Este trabalho é parte de uma pesquisa relativa ao conceito de escala sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais. O recorte realizado aqui foca a análise da abordagem do conceito de escala em uma Coleção de Livros Didáticos de Matemática para as séries finais do Ensino Fundamental. Observou-se o forte potencial desse conceito como articulador entre os campos conceituais das estruturas multiplicativas, das grandezas e da geometria e evidenciou-se a variedade de classes de situações e representações simbólicas utilizadas, embora não seja dedicada ao estudo desse conceito nenhuma sessão específica dos livros analisados. Palavras-chave: escala; livro didático; teoria dos campos conceituais. 1. INTRODUÇÃO O objetivo geral da pesquisa que deu origem ao trabalho aqui apresentado era investigar o conceito de escala sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais em documentos como referencial curricular e livros didáticos e nos procedimentos de resolução dos estudantes de uma turma de 1º ano do Ensino Médio. (Melo, 2004, p. 63). A partir da revisão de literatura, construímos uma caracterização do conceito de escala sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais (Vergnaud, 1 Mestre em Educação. Faz parte da Equipe de Ensino da Secretaria de Educação e Cultura do Estado de Pernambuco SEDUC-PE e da Secretaria de Educação, Esporte e Lazer da Prefeitura do Recife. 2 Doutora em Didática da Matemática. Professora do Centro de Educação - UFPE

2 2 1990). Tomando essa caracterização como referência, a parte empírica da pesquisa contou basicamente com a análise documental dos Parâmetros Curriculares Nacionais e de uma Coleção de livros didáticos de Matemática para as séries finais do ensino fundamental e com a análise dos invariantes operatórios e representações simbólicas mobilizados por alunos de uma turma de 1ª série do ensino médio na resolução de um teste de sondagem relativo ao conceito de escala. O recorte feito para o presente artigo focou a análise da abordagem do conceito de escala, nos livros didáticos, sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais, tanto no que diz respeito a sua inserção em campos conceituais como sua caracterização como conceito. A primeira seção é dedicada à apresentação de elementos da revisão de literatura que conduziu à caracterização do conceito de escala supracitada. Na segunda seção, explicitamos algumas escolhas metodológicas que nortearam a análise realizada. A terceira seção consiste em uma síntese da análise da abordagem do conceito de escala em uma coleção de livros didáticos. Apresentam-se finalmente, algumas conclusões. 2. DESENVOLVIMENTO 2.1. Revisão de literatura: Escala como conceito inserido em diversos campos conceituais Inicialmente, devemos destacar que encontramos poucas investigações que focavam especificamente o ensino-aprendizagem de escala (Bodin, 1989; Levain, 1993). Esses trabalhos inspiraram fortemente nossa pesquisa, quanto à identificação de classes de situações que dão sentido à escala e às representações simbólicas utilizadas. Pode-se, então perguntar se esse conceito é suficientemente relevante para ser foco de uma pesquisa em educação matemática. Concordamos com Bodin (1989), quando afirma que: se a escala não constitui um objeto matemático, o conceito de escala é amplamente utilizado no conjunto das ciências (a palavra escala pode ser considerada como um elemento de interlinguagem que permite justamente tornar a matemática operatória

3 3 nas outras disciplinas) e constitui um objeto de ensino de importância cultural e social evidente (p. 40) 3 O conceito de escala pode ser considerado como componente de vários campos conceituais, tanto da Matemática como fora dela. Procuramos então investigar o papel articulador desse conceito privilegiando sua inserção nos campos conceituais das estruturas multiplicativas, das grandezas e da geometria, como indica o esquema abaixo: Consideramos escala como um componente do campo conceitual das estruturas multiplicativas. Com efeito, como evidencia Carraher (1994), uma pessoa ao ler uma planta, pretendendo transformá-la em uma construção real, deverá realizar raciocínios matemáticos que envolvem multiplicações e divisões. Na resolução de problemas desse tipo, por exemplo, utiliza, mesmo que implicitamente, o conceito de escala. Esse conceito tem também uma forte conexão com números racionais, pois a escala pode ser entendida como uma razão entre medidas, que é um dos significados dos números racionais. Finalmente, gostaríamos de destacar que escala é um contexto que contribui para a construção do raciocínio proporcional. Pesquisas em Educação Matemática (Spinillo, 1993) têm evidenciado a necessidade de romper com o ensino que focaliza demasiadamente a técnica da regra de três. A proposição 3 Tradução livre das autoras do presente artigo.

4 4 de situações desafiadoras envolvendo escala pode favorecer uma construção conceitual mais significativa da proporcionalidade. Da mesma forma, escala faz parte do campo conceitual da geometria, pela forte articulação com semelhança de figuras planas, ampliação e redução, homotetia e por sua importância na construção e leitura de plantas, croquis e mapas. De acordo com Lima (1991) a noção de semelhança corresponde à idéia natural de mudança de escala, com efeito quando ampliamos (ou reduzimos) uma figura, alteramos seu tamanho mas os comprimentos da figura ampliada (ou reduzida) são proporcionais aos comprimentos correspondentes da figura original. Escala é também parte do campo conceitual das grandezas, por ser uma razão entre comprimentos. Mais especificamente, consideramos tanto escala como comprimento como componentes do campo conceitual das grandezas geométricas, o qual inclui também os conceitos de área, volume e ângulo. Como afirmamos em Melo e Bellemain (2003) a escala de um mapa, por exemplo, expressa uma razão entre um comprimento representado no mapa e o comprimento correspondente no domínio de realidade que é representado no mapa. A compreensão da construção do conceito de escala necessita, portanto, integrar erros e dificuldades dos alunos relativos à aprendizagem das grandezas geométricas (p. 2). Quando os alunos tentam resolver problemas envolvendo escala serão, portanto influenciadas pelos conhecimentos que possuem acerca dos campos conceituais citados acima. O conceito de escala permite portanto a articulação entre os campos conceituais das estruturas multiplicativas, da geometria e das grandezas geométricas. Assim, seu estudo, em vários momentos e por meio de diversas situações, oferece a oportunidade de ampliar o significado de conceitos importantes desses campos, tais como comprimento, semelhança e proporcionalidade, por exemplo.

5 5 Procedimentos metodológicos. Este artigo é parte de uma dissertação de mestrado como já nos referimos anteriormente, na qual analisamos também os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o 3º e 4º ciclos e aplicamos um teste de sondagem com uma turma de 1ª série do Ensino Médio. A análise dos PCNM mostrou que o conceito de escala é pouco abordado, de forma explícita, na parte referente aos conteúdos, objetivos e critérios de avaliação. (...) Por outro lado, aparece de forma marcante nas orientações didáticas, onde é conectado com os quatro blocos de conteúdos da matemática, definidos nos PCNM (Melo 2004; Melo e Bellemain, 2005). A coleção de livros didáticos para as séries finais do Ensino Fundamental analisada foi aquela que havia sido adotada nos anos anteriores, pela escola campo de investigação. Foi portanto, a coleção utilizada pelos estudantes que responderam ao teste de sondagem. O recorte feito para o presente artigo focou a busca de resposta aos seguintes questionamentos: Na Coleção analisada aborda-se a inserção do conceito de escala nos campos conceituais das estruturas multiplicativas, da geometria e das grandezas geométricas? A escala é tratada como elemento de articulação entre esses campos? Evidenciam-se as conexões entre os conceitos de escala, proporcionalidade, semelhança e da grandeza geométrica comprimento? Quais as classes de situações e representações simbólicas utilizadas? Em nossa análise sobre o conceito de escala nos Livros Didáticos, foram levadas em consideração, três categorias que se referiam ao conceito de escala em diferentes contextos: (1) a articulação entre o conceito de escala e outros conceitos matemáticos pertencentes aos campos conceituais das estruturas multiplicativas, da geometria e das grandezas geométricas; (2) as classes de situações que dão significado ao conceito de escala; (3) as formas de representação simbólicas utilizadas para representar o conceito de escala.

6 6 Citando como exemplo dessas categorias, a situação-problema abaixo: Podemos perceber que o conceito de escala articula-se ao de proporcionalidade, semelhança e comprimento. O contexto é o de leitura de planta baixa e a classe de situação é caracterizada como calcular a distância real a partir da distância medida sobre a representação. A representação de escala é explícita, numérica sob a forma de razão. Para responder quais os comprimentos dos lados adjacentes da casa na realidade, partimos das medidas de comprimentos presentes na planta. O raciocínio nos remete ao fato de que ao aumentarmos esses comprimentos precisamos garantir a proporcionalidade dos mesmos, que é a idéia central de semelhança. As categorias supracitadas foram divididas em outras subcategorias e essas por sua vez, em alguns casos, tornaram a ser subdividida como apresentaremos a seguir. A categoria 1 foi subdividida em 3 subcategorias, de acordo com as conexões existentes entre escala e outros conteúdos. São elas: (a) escala articulada com proporcionalidade; (b) escala articulada com semelhança; e (c) escala articulada com as grandezas geométricas. A categoria de análise 2 apresenta quatro subcategorias, que foram inspiradas nos estudos realizados por Bodin (1989), quais sejam: (a) calcular a distância real a partir da distância medida sobre a representação; (b) calcular a distância imagem a partir da distância real; (c) calcular a escala; e (d) problemas complexos. As subcategorias a, b, c e d subdividem-se ainda em tipos de problemas mais, ou menos, complexos: (1) apresentação verbal a escala está descrita

7 7 verbalmente no enunciado; e (2) apresentação incógnita a escala é representada junto de um desenho ou uma maquete. Estas duas subcategorias, por sua vez, estão subdivididas em: (a) necessidade de conversão das unidades de comprimento; (b) não há necessidade de conversão das unidades de comprimento. Em relação à categoria 3, que trata das representações simbólicas para uma escala, cada situação problema foi analisada sob o ponto de vista das seguintes subcategorias: (a) escala explícita e (b) escala implícita. A subcategoria escala explícita foi analisada do ponto de vista do tipo de representação; (1) tipo 1 escala gráfica; (2) tipo 2 escala descritiva; (3) tipo 3 escala numérica sob a forma de uma razão; e (4) tipo 4 escala numérica sob a forma de uma fração Análise dos Livros Didáticos de Matemática, das séries finais do Ensino Fundamental Da mesma maneira que a análise dos PCNM, a análise dos Livros Didáticos mostrou que o papel articulador do conceito de escala também é evidente. A tabela a seguir, apresenta um panorama geral da articulação do conceito de escala com conteúdos matemáticos, pertencentes aos campos conceituais das estruturas multiplicativas, da geometria e das grandezas geométricas, em diferentes contextos, detectados durante a análise da Coleção destinada às séries finais do ensino fundamental.

8 8 Contextos Escala articula-se com: Números racionais Proporcionalidade Semelhança Leitura de mapas 5ª série: 7ª e 8ª séries Leitura de plantas baixa 6ª série Leitura e construção de plantas Ampliação de figuras 6ª série 8ª série Leitura e construção de maquetes 7ª e 8ª séries Grandezas Geométricas 8ª séries 7ª e 8ª séries 8ª série A análise dos livros mostrou que a Coleção faz uso do conceito de escala e estabelece conexões entre este conceito e os conceitos de números racionais e proporcionalidade no campo conceitual das estruturas multiplicativas; semelhança no campo conceitual da geometria; e comprimento e área no campo conceitual das grandezas geométricas. Os principais contextos em que o conceito de escala esteve envolvido foram os de (1) leitura, interpretação e construção de mapas; (2) leitura de plantas; (3) leitura, interpretação e construção de plantas; (4) leitura, interpretação e construção de maquetes; e (5) ampliação e redução de figuras. Observamos também diferentes classes de situações, mas, a que mais se destacou foi a que convidava o aluno a calcular a distância real a partir da distância medida sobre a representação. Todas as classes de situação remetiam o cálculo para a mudança das unidades de comprimento. O conceito de escala esteve representado em todos os quatro tipos de representação destacados por nossa pesquisa, mas, a maior ocorrência foi para a representação de escala numérica sob a forma de razão, enquanto que as escalas gráficas e as escalas numéricas sob a forma de fração foram as representações menos utilizadas. Nos livros analisados, o conceito de escala não possui um espaço exclusivo, porém os autores dos livros se remetem a esse conceito em vários

9 9 momentos, em todos os livros, fazendo conexões com vários outros conceitos que já mencionamos anteriormente. Em linhas gerais verificamos que no livro da 5ª série, a escala apresenta-se articulada ao trabalho com múltiplos, em texto explicativo; ao estudo da proporcionalidade, da grandeza comprimento e na mudança de unidades em alguns problemas ao longo do livro. Na 6ª série a articulação ocorre entre escala, comprimento, área, proporcionalidade, ângulo e construções geométricas. As conexões entre escala, comprimento, área, proporcionalidade, construções geométricas (ângulo, quadriláteros, propriedades da circunferência, semelhança de figuras), são encontradas no livro da 7ª série. Ocorre também as conexões entre comprimento, área, proporcionalidade, semelhança de figuras e quadriláteros com o conceito de escala, na 8ª série. Todas essas conexões formam identificadas em alguns textos explicativos e em situações-problema presentes nos 4 livros da Coleção. 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS A pesquisa que deu origem a esse artigo se propôs discutir as possibilidades de integração entre conceitos matemáticos, principalmente entre os conceitos de escala, proporcionalidade, semelhança e da grandeza geométrica comprimento, numa perspectiva de trazer alguma contribuição para a quebra da fragmentação dos conteúdos matemáticos, no processo ensinoaprendizagem. Nossa intenção neste momento é a de sintetizar os principais resultados obtidos durante o estudo e retornar a algumas perguntas iniciais da pesquisa. Como os autores de livros didáticos abordam as conexões entre os conceitos de escala, proporcionalidade, semelhança e da grandeza geométrica comprimento? A escala é tratada como elemento de articulação? Como podemos constar na análise descrita acima, o conceito de escala não possui um espaço exclusivo, porém, nos quatro livros da coleção, os autores se remetem a esse conceito, em vários momentos, fazendo conexões com vários conteúdos matemáticos, como números racionais, proporcionalidade, semelhança de figuras, grandezas geométricas, propriedades da circunferência, entre outros.

10 10 Todas essas conexões ocorrem tanto em textos explicativos como em problemas propostos nos quatro livros da Coleção. Foi observado que na maioria dos problemas solicita-se que o aluno calcule a distância real a partir da distância medida sobre a representação. No entanto, também foram encontrados situações-problema remetendo o aluno ao cálculo da distância imagem a partir da distância real, ao cálculo da escala e a problemas complexos. Em todos os problemas os alunos eram convidados a realizar a conversão das unidades de comprimento. As representações para uma escala encontrada, na sua maioria, tanto nos textos explicativos como no enunciado das situações-problema, evidenciavam representações numéricas do tipo 3 para escala uma escala numérica sob a forma de uma razão. Porém, em alguns poucos casos podíamos encontrar representações do tipo 1 escala descritiva; do tipo 2 escala gráfica; e do tipo 4 escala numérica sob a forma de uma fração. Tais constatações reforçam nossa hipótese da importância do papel articulador do conceito de escala na Matemática escolar. A abordagem desse conceito na coleção analisada contribui para uma aprendizagem significativa dos campos conceituais das estruturas multiplicativas, da geometria e das grandezas e medidas. 4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BODIN, Antoine. Les échelles: préparation d une situation d enseignement en classe de cinquième. IREM de Besançon. Collège d Ornans. Petit X, nº p. 35 à 49. CARRAHER, Terezinha Nunes. Passando da planta para a construção: um trabalho de mestres. In: SCHILLEMAN, Analúcia Dias. Na vida dez na escola zero. 8ª ed. São Paulo: Cortez, IMENES, Luis Márcio Pereira & LELLIS, Marcelo. Matemática Imenes e Lellis. São Paulo: Scipione, LEVAIN, Jean-Pierre. Proportionnalité, agrandissement et échelle. Petit X. nº p

11 11 LIMA, Elon Lages. Medida e forma em Geometria: Comprimento, Área, Volume e Semelhança. Coleção Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática MELO, Maria Sônia Leitão de. Um estudo sobre o ensino e aprendizagem do conceito de escala, no quarto ciclo do Ensino Fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação) Programa de Pós-Graduação em Educação. Centro de Educação. Universidade Federal de Pernambuco. Recife, MELO, Maria Sônia Leitão de. BELLEMAIN, Paula Moreira Baltar. A abordagem do conceito de escala nos parâmetros curriculares nacionais de matemática: uma análise à luz da teoria dos campos conceituais. In: Anais do XVII Encontro de Pesquisa em Educação Norte e Nordeste. Belém: UFPA, SPINILLO, Alina Galvão. Proporções nas séries iniciais do primeiro grau. In: SCHLIEMANN. A. D. et. al. Estudos em Psicologia da Educação Matemática. Recife: Editora Universitária da UFPE, VERGNAUD, Gérard. La Théorie des Champs Comceptuels. In : Recherches en didactique des mathématiques. vol. 10, nº p