Grafos Prismas Complementares Bem-cobertos

Grafos Prismas Complementares Bem-cobertos Rommel M. Barbosa, Márcia R. C. Santana, Instituto de Informática, UFG, Caixa Postal 131, CEP 74001-970, Goiânia, GO E-mail: rommel@inf.ufg.br, marcia@inf.ufg.br, Resumo: Seja G = (V,E) um grafo e G seu complemento. O prisma complementar de G denotado por GG é o grafo formado a partir da união disjunta de G e G, adicionando as arestas para um emparelhamento perfeito entre os vértices correspondentes de G e G. Um grafo G é bem-coberto se todo conjunto independente maximal de vértices em G tiver mesma cardinalidade. Mostramos que os grafos prismas complementares possuem cintura 5 e que os prismas complementares bem-cobertos têm cintura 4. Ainda não há uma caracterização para grafos bem-cobertos com cintura 4. Apresentamos uma forma de construção de infinitos prismas complementares bem-cobertos. Palavras-chave: Teoria dos Grafos, Conjuntos Independentes em Grafos, Produto de Grafos. 1 Introdução Os grafos aqui considerados são grafos simples. As definições e notações utilizadas seguem [1]. Denotamos o conjunto de vértices de um grafo G por V (G) e o conjunto de arestas por E(G). O complemento G é o grafo cujo conjunto de vértices é V e cujas arestas são os pares de vértices não adjacentes de G. N(v) é o conjunto de vértices adjacentes a v em G. Denotamos por u v se o vértice u é adjacente ao vértice v e u v em caso contrário. A cintura de um grafo G com ciclo é o tamanho do menor ciclo de G ou é infinita se G não contém ciclo. Um conjunto K V (G) é uma clique se os vértices de K são mutuamente adjacentes em G e não há um conjunto T satisfazendo esta propriedade tal que K T. Um grafo G é t-partido, para um natural positivo t, se V (G) pode ser particionado em t conjuntos disjuntos tal que não há aresta entre os vértices de uma mesma partição. Um grafo t-partido completo tem todas as arestas possíveis entre vértices de partições distintas. Um conjunto I V (G) é independente se quaisquer dois vértices de I não são adjacentes. Denotamos por α(g) a cardinalidade do maior conjunto independente de vértices de G. Um grafo G é bem-coberto se todo conjunto independente maximal de vértices em G tiver mesma cardinalidade. Um grafo G é um grafo Z m -bem-coberto, m 2, se I J (mod m), para todos I, J conjuntos independentes maximais em V (G). O problema de determinação do número de independência de um grafo é um problema NP-Completo [9] para grafos em geral. Para grafos bem-cobertos este problema torna-se mais simples, pois é suficiente encontrar qualquer conjunto independente maximal, visto que todos tem a mesma cardinalidade. Sejam G e H grafos com V (G) = {u 1,u 2,..,u n } e V (H) = {v 1,v 2,..,v p }. O produto cartesiano G H de G e H é o grafo com conjunto de vértices V (G) V (H), e dois vértices (u i,v j ) e (u h,v k ) de G H são adjacentes se e somente se (v j,v k ) E(H) e i = h ou (u i,u h ) E(G) e j = k. Em [4] podem ser encontrados vários resultados sobre parâmetros de produtos de grafos. Haynes, Slater e Merwe [8] generalizaram o conceito de produto cartesiano. Eles definiram o produto complementar G(R) H(S), R V (G) e S V (H), como segue. O conjunto de vértices V (G(R) H(S)) é {(u i,v j ) : 1 i n,1 j p}. A aresta (u i,v j )(u h,v k ) está em E(G(R) H(S)): 1221

Figura 1: Prismas complementares dos grafos K 4 e C 4. 1. se i = h,u i R, e v j,v k E(H), ou i = h,u i / R, e v j,v k / E(H), ou 2. se j = k,v j S, e u i,u h E(G), ou j = k,v j / S, e u i,u h / E(G). Em outras palavras, para cada u i V (G), substituimos u i por uma cópia de H se u i está em R e por uma cópia de seu complemento H se u i não está em R, e para cada v j V (H), substituímos v j por uma cópia de G se v j está em S e uma cópia de G se v j / S. Haynes, Slater and Merwe [8] chamaram de prisma complementar o produto complementar G K 2 (S), com S = 1, denotado por GG. Eles investigaram, para estes grafos, algumas propriedades como independência, distância e dominação. Haynes, Henning e Merwe [7] consideraram dominação e dominação total e Haynes, Holmes and Koessler [5] assim como Haynes et al [6] investigaram dominação localizada. Na Figura 1 temos o prisma complementar dos grafos K 4 e C 4. Consideramos aqui apenas os parâmetros independência e cintura. Apresentamos formas para contrução de prismas complementares bem-cobertos e Z m -bem-cobertos. Mostramos que os prismas complementares têm cintura 5, enquanto que os prismas complementares bemcobertos têm cintura 4. Ainda não há uma caracterização para grafos bem-cobertos com cintura 4. Note que V (GG) = V (G) V (G). Para simplificação, utilizamos G e G para referência aos subgrafos que são cópias de G e G, respectivamente, em GG. Para um vértice v G, denotaremos por v o vértice correspondente em G e para um conjunto X V (G) denotaremos por X os vértices correspondentes em V (G). 2 Alguns Prismas Complementares Bem-cobertos e Z m -bemcobertos Os limites do número de independência de α(gg) sobre α(g) foram estabelecidos em [8] onde foram caracterizados os grafos que atendem ao limite superior. Teorema 1 [8] Para qualquer grafo G, α(g) + α(g) 1 α(gg) α(g) + α(g), e estes limites ocorrem. Teorema 2 [8] Um grafo G tem α(gg) = α(g)+α(g) se e somente se há conjuntos disjuntos S,T V (G) tais que S é um conjunto independente máximo e T induz uma clique máxima em G. Os grafos completos G = K n atingem o limite superior do Teorema 2 e são grafos bemcobertos. Os únicos prismas complementares bem-cobertos sobre caminhos são para G = P 1 e G = P 2 e sobre ciclos somente para G = C 4. O grafo GG nunca será isomorfo a um ciclo C n. De forma similar à descrita no Teorema 2, os conjuntos independentes maximais em GG podem ser estabelecidos a partir de G, como mostramos no Lema 1. 1222

Lema 1 Seja G um grafo conexo. Se I é um conjunto independente maximal em G e K uma clique no subgrafo induzido por G I então, I K é um conjunto independente maximal em GG. Prova. O conjunto I domina todos os vértices em G e ainda I. Então, é necessário dominar os vértices em G I. Uma clique K em G I corresponde a um conjunto independente maximal em G I e é independente de I. Portanto, G K é um conjunto independente maximal em GG. Se há um conjunto I, independente maximal em G, tal que G I tem componentes com cliques de diferentes tamanhos, podemos concluir que GG não é bem-coberto. O Lema 1 pode ser aplicado para verificar que os prismas complementares de P 4 e C 5 não são bem-cobertos, embora estes grafos e seus complementos sejam grafos bem-cobertos. Se G é bem-coberto, para que GG seja também bem-coberto, todas as cliques em G I devem ter a mesma cardinalidade, para todo I, conjunto independente maximal em G. Se G tem dois conjuntos independentes maximais, digamos I e J, com diferentes cardinalidades, então se G I e G J tem uma clique de mesmo tamanho k, GG não é bem-coberto. Corolário 1 Seja G um grafo conexo. Então, GG é bem-coberto se e somente se, para todo I, conjunto independente maximal em G e K, uma clique em G I, I K = k, k natural fixo. Prova. Pelo Lema 1, I K é independente maximal em GG. Corolário 2 Seja G um grafo conexo. Se G tem I, J, conjuntos indpendentes maximais, com I J e ambos, G I e G J tem uma clique K com a mesma cardinalidade, então GG não é bem-coberto. Prova. Sejam I, J dois conjuntos independentes maximais em G com diferentes cardinalidades e K i e K j duas cliques maximais em G I e G J, respectivamente. Pelo Lema 1, K i I e K j J são conjuntos independentes maximais em G. Como I J, GG não é bem-coberto. Nos grafos t-partidos completos o Corolário 1 ocorre. Se G é um grafo t-partido completo bem-coberto, GG é bem-coberto e G é uma coleção disjunta de t grafos completos de mesma cardinalidade. Proposição 1 Se G é um grafo t-partido completo bem-coberto, então GG é bem-coberto. Prova. Um grafo G t-partido completo bem-coberto é um grafo em que todas as partições de vértices tem a mesma cardinalidade, digamos s 1. Qualquer partição de G forma um conjunto independente maximal e todas as cliques tem cardinalidade t. Para todo conjunto independente I em G, G I tem apenas cliques de tamanho t 1 e pelo Corolário 1, GG é um grafo bemcoberto com α(gg) = s + t 1. De forma similar, quando um grafo G é t-partido completo Z m -bem-coberto, também o grafo GG será Z m -bem-coberto. Proposição 2 Se G é um grafo t-partido completo Z m -bem-coberto, então GG é Z m -bemcoberto. Prova. Um grafo G t-partido completo Z m -bem-coberto é um grafo em que as cardinalidades das partições são congruentes módulo m. Sejam k 1,...,k t as cardinalidades das partições de G. Cada partição forma um conjunto independente maximal I em G e G I tem cliques de tamanho t 1. Pelo Lema 1, teremos conjuntos independentes maximais de cardinalidades k i + t 1, 1223

Figura 2: Grafos G e G. G e GG são bem-cobertos e G não é bem-coberto. i = 1,...,t. Como k i k j (mod m), i,j = 1,...,t, logo k i + t 1 k j + t 1 (mod m) e GG é Z m -bem-coberto. Podemos encontrar grafos prismas complementares bem-cobertos em que um de G e G não seja bem-coberto. Na Figura 2 temos um grafo G que é bem-coberto. O grafo G não é bemcoberto e GG é bem-coberto. Para todo I, conjunto independente maximal em G, G I tem somente cliques de tamanho 2. Neste caso, G é um grafo t-partido e tem conjuntos independentes maximais de tamanhos 2 e 3. Quando tomamos um conjunto independente maximal I com 2 vértices, todas as cliques em G I tem tamanho 3 e para um conjunto independente maximal J com 3 vértices, todas as cliques em G J terão tamanho 2. No Teorema 3 mostramos como construir outros grafos com estas propriedades. Teorema 3 Seja GG um prisma complemetar. Se G ou G é um grafo formado pela união disjunta de m 2 grafos completos K 3, então, se as condições seguintes forem satisfeitas, GG é bem coberto: 1. Sejam x 1,x 2,x 3 os vértices de um componente K 3. Se x 1,x 2,x 3 são adjacentes aos vértices y 1,y 2,y 3, respectivamente, então y 1,y 2,y 3 são os vértices de um mesmo componente K 3. 2. Se y K 3i é adjacente a x 1,x 2 / K 3i, então x 1,x 2 não são adjacentes. Prova. A primeira condição do teorema garante que todo conjunto independente maximal em G terá exatamente um vértice de cada K 3 e, portanto, G é bem-coberto. A segunda condição garante que as arestas entre os K 3 s não induzem um ciclo de tamanho 3 e, portanto, para todo I, conjunto independente maximal em G, G I tem somente cliques de tamanho 2. Logo, pelo Corolário 1, GG é bem-coberto. O complemento dos grafos descritos no Teorema 3 são t-partidos. Estes grafos não são necessariamente bem-cobertos. Na Figura 2 temos um grafo G construido conforme as condições do Teorema em que há arestas entre os K 3 s. O seu complemento G é um grafo 3-partido que não é um grafo bem-coberto. Na Proposição 3, mostramos que um grafo prisma complementar com pelo menos 3 vértices tem cintura 5. Proposição 3 O prisma complementar GG tem cintura 5, exceto se G {K 1,K 2 }. Prova. Se G {K 1,K 2 }, podemos verificar que GG não tem ciclos. Se G tem 3 vértices, independente da quantidade de arestas, teremos um ciclo em GG. Logo, para todo grafo G com pelo menos 3 vértices GG terá um ciclo. Agora, vamos mostrar que a cintura de GG é 5 quando G tem n 3 vértices. Suponha que G contenha um ciclo induzido com seis ou mais vértices. Logo, G tem um caminho induzido com cinco vértices. O complemento deste caminho contém um ciclo com três vértices. Portanto, sempre que G tem um ciclo induzido maior que 5, obrigatoriamente terá um ciclo de tamanho 3. Suponha, agora, que o ciclo com mais de cinco vértices inclua vértices de G e G. Seja x V (G). 1224

Logo, v v. O vértice v deve ter um vizinho em G, digamos u, e portanto, v u. Logo, v é adjacente a outro vértice de G, digamos x. Se x u, temos o C 5 induzido pelos vértices v,v,u,u e x. Caso contrário, x u, formando o C 5 pelos vértices v,v,u,x e x. Portanto o ciclo possível entre os vértices de G e G terá tamanho 5. Ainda, se GG for um grafo bem-coberto e contém pelo menos uma folha, então sua cintura é 3. Lema 2 Se GG é bem-coberto e δ(gg) = 1, então G (ou G) tem cintura 3, exceto se G {K 1,K 2 }. Prova. Quando G = K 1, GG = K 2 e quando G = K 2, GG = P 4 que são grafos bem-cobertos. Caso G tenha n vértices com n 3, quando G tem uma folha, há um vértice v em G que é adjacente a todos os outros vértices de G. Se as arestas incidentes a v são as únicas de G, ele é um grafo bipartido completo K 1,n 1 e GG não é bem-coberto pelo Corolário 2. Logo, há pelo menos mais uma aresta em G. Neste caso, teremos um C 3 induzido. Os grafos bem-cobertos com cintura 5 foram caracterizados em [3]. Mostramos que nenhum grafo bem-coberto com cintura 5 é um grafo prisma complementar. Proposição 4 Os grafos prismas complementares GG bem-cobertos têm cintura < 5, exceto quando G {K 1,K 2 }. Prova. Suponha que GG é bem-coberto e têm cintura 5. Se G = K 1 ou G = K 2, G(G) é bem-coberto. Os grafos bem-cobertos de cintura 5 foram caracterizados em [3]. Destes grafos, apenas os chamados grafos órfãos (Figura 3) e C 5 não possuem folhas. Por inspeção, verificamos facilmente que estes grafos não são prismas complementares. Todos os outros grafos bem cobertos nesta classe possuem folhas e pelo Lema 2 têm cintura 3, o que contradiz a cintura de GG. Figura 3: Grafos Órfãos 1225

Pela restrição da cintura, mostrada na Proposição 3, também podemos concluir que os grafos Z m -bem-cobertos com cintura 6, caracterizados em [2], não são prismas complementares, exceto quando G {K 1,K 2 }. 3 Considerações Finais Os grafos prismas complementares formam uma classe de grafos para a qual muitos parâmetros ainda não foram investigados. Alguns parâmetros já estudados são independência de vértices e distância [8] e dominação [8, 7, 5, 6]. Os grafos bem-cobertos com cintura 5 foram caracterizados [3]. Mostramos que os prismas complementares bem-cobertos, com exceção de G = K 1 e G = K 2, têm cintura < 5. Logo, estão em uma classe de grafos bem-cobertos que ainda não foi caracterizada. Apresentamos formas de construção de grafos prismas complementares bem-cobertos e Z m -bem-cobertos, o que mostra que estas classes tem infinitos grafos. Para todos os prismas complementares bem-cobertos apresentados, notamos que pelo menos um de G e G é bem-coberto. Caso seja uma condição para todos os grafos prismas complementares bem-cobertos, vale a conjectura 1. Conjectura 1 Se GG é um grafo bem-coberto, então G ou G é bem-coberto. Algumas problemas em aberto com relação à independência de vértices são a caracterização dos prismas complementares bem-cobertos, Z m -bem-cobertos e com t tamanhos de conjuntos independentes maximais, para um natural t 2. Referências [1] J.A. Bondy, U.S.R. Murty, Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 2008. [2] Y. Caro, B. Hartnell, A Characterization of Z m -well-covered graphs of girth 6 or more, J. Graph Theory, 33 (2000), 246-255. [3] S. Finbow, B. Hartnell, R.J. Nowakowski. A Characterization of Well Covered Graphs of Girth 5 or Greater. J. Comb. Theory, Ser. B, (1993), 44-68. [4] R. Hammack, W. Imrich, S. Klavzar Handbook of Product Graphs, Second Edition, CRC Press, June, 2011. [5] T.W. Haynes, K.R.S. Holmes, D.R. Koessler, Locating-Domination in Complementary Prisms, JCMCC, 72, (2010) 163-171. [6] T.W. Haynes, K.R.S. Holmes, D.R. Koessler and L. Sewel, Locating-Domination in Complementary Prisms of Paths and Cycles, Congressus Numerantium, 199, (2009) 45-55. [7] T.W. Haynes, M.A. Henning and L.C. Merwe, Domination and Total Domination in Complementary Prisms, J. Comb. Optim., 18, (2009) 23-37. [8] T.W. Haynes, P.J.Slater and L.C.Merwe, The complementary product of two graphs, Bulletin of the Institute of Combinatorics and its Applications, 51, (2007) 21-30. [9] R. M. Karp, Reducibility among combinatorial problems. Em Complexity of Computer Computations (Yorktown Heights), pp. 85-104, Nova York, 1972. 1226