QUESTIONÁRIO DO ALUNO Seu nome: Sua idade: Onde nasceu? (cidade/estado): Onde mora hoje? Há quanto tempo? Quando cursou o último ano do ensino fundamental? Trabalha com o quê? Descreva suas atividades no trabalho: Quais assuntos de matemática você lembra ter estudado? Quais são as suas maiores dificuldades em matemática? Diga quais são as suas expectativas para este curso de matemática? (que assuntos tem curiosidade de aprender, o que espera do professor, etc...) Quais são seus planos para depois que concluir o ensino médio? 1
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Hoje em dia, quando queremos expressar números, utilizamos os algarismos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Mas nem sempre foram estes os símbolos empregados pelo homem para representar números. Em 1937, arqueólogos encontraram na Europa um osso de lobo repleto de marcações. O artefato com mais de 30 000 anos, remonta à época em que os homens habitavam as cavernas, viviam da caça, ainda não plantavam e não tinham bens. As marcas no osso sugerem que se tratava de um instrumento utilizado para contar. Alguns estudiosos acham que os números podem ter surgido por motivos religiosos, para marcar o tempo das cerimônias fúnebres. Isso poderia explicar registros numéricos tão antigos quanto do osso do lobo. Adaptado de: IMENES L. M e LELLIS M. Matemática 7º ano.são Paulo. Editora Moderna, 2009. No Egito, há cerca de 5 000 anos, os números eram representados pelos hieróglifos mostrados abaixo: Símbolo Valor um dez cem mil dez mil cem mil um milhão Perceba que os egípcios agrupavam as quantidades de dez em dez. Isso faz com que seu sistema de numeração seja chamado decimal, assim como o nosso. Veja como faziam para escrever alguns números: Símbolo Valor 1 2 3 6 10 23 101 300 1 102 30 010 Perceba que nesse sistema de numeração a posição dos números não tem qualquer importância. 2
Assim, tanto faz escrever ou ; o valor será o mesmo para qualquer caso. Não só os egípcios desenvolveram um sistema de numeração interessante. Também os romanos, há mais de 20 séculos, produziram suas próprias maneiras de representar números. Os símbolos romanos estão apresentados na tabela: Símbolo I V X L C D M Valor Um cinco dez cinquenta cem quinhentos Mil Veja como ficam alguns números no código romano: I 1 II 2 III 3 IV 4 = 5 1 V 5 VI 6 VII 7 VIII 8 IX 9 X 10 XI 11 XL 40 = 50 10 XCI 91 MVI 1006 MMX 2010 Note que, no sistema romano, a posição dos símbolos na escrita dos números pode alterar seu valor. Por exemplo: IV e VI indicam quantidades diferentes (IV altera o número que é representado. VI). Já no sistema egípcio, a posição dos sinais A escrita numérica romana ainda é utilizada na indicação dos séculos e em mostradores de relógios. Esse uso faz parte da tradição e tem valor cultural: faz as pessoas lembrarem-se das raízes romanas, presentes também na língua portuguesa, originária do latim falado na Roma antiga. IMENES L. M e LELLIS M. Matemática 7º ano.são Paulo. Editora Moderna, 2009. PROBLEMAS E EXERCÍCIOS 1. Este desenho está gravado num objeto que pertenceu ao rei egípcio Narmer, há uns 5 000 anos. Abaixo do desenho do touro está escrito, com hieróglifos, o número correspondente à quantidade de animais. Qual é esse número? 3
2. Com apenas estes sinais:, e é possível escrever alguns números de dois hieróglifos. Por exemplo:,,. Há ainda outras três possibilidades. Quais são elas? 5. Complete as palavras cruzadas: a a b 3. Observe uma adição no sistema de numeração egípcio. A maneira como o a adição foi escrita não b P O S I C I O N A L era usada pelos egípcios, mas as idéias são as mesmas. Preste atenção na troca de unidades por dezena. c S HORIZONTAIS a Grupo de cem unidades Efetue como no exemplo. a) b) 4. É tradição numerar os séculos usando o sistema romano. Veja: Século I II III Período 1º de janeiro do ano 1 até 31 de dezembro do ano 100 1º de janeiro do ano 101 até 31 de dezembro do ano 200 1º de janeiro do ano 201 até 31 de dezembro do ano 300 a) O século XII corresponde a que período? b) Em que século Cabral chegou ao Brasil? c) Em que dia se comemorou a entrada do século b Característica do sistema em que, mudando a ordem dos símbolos, muda o valor do número. c Nome dos símbolos que usamos atualmente para escrever números. VERTICAIS a Característica do sistema em que as quantidades são reunidas em grupos de dez. b Número para o qual os egípcios e romanos da Antiguidade não tinham símbolo. 6. Consulte o texto e escreva no sistema egípcio: a) 99 b) 312 c) 1 004 d) 10 000 7. Reescreva os números abaixo no sistema romano: a) 7 b) 19 c) 43 d) 136 e) 499 f) 847 XXI? d) Qual será o último dia do 3º milênio? 4
NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO O sistema numérico usado hoje no mundo todo tem uma longa história. Ele desenvolveu-se na Índia, há mais de 1 500 anos, e foi divulgado e aperfeiçoado para o resto do mundo pelos árabes, por volta do século XVI. Por isso é chamado de sistema de numeração indo-arábico. Vamos destacar algumas características do sistema indo-arábico: 1) Utiliza dez símbolos, chamados algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. A maioria dos sistemas antigos, como o egípcio e o romano, não possuía um símbolo para indicar zero. Acredita-se que os árabes foram os responsáveis por essa inovação fabulosa 2) É um sistema decimal porque se formam grupos de dez em dez. Dez unidades formam uma dezena. Dez dezenas é uma centena. Dez centenas equivalem a um milhar e assim por diante. 3) É um sistema posicional porque o valor do algarismo depende da sua posição na escrita do número. Observe que, em 4 324 o algarismo 4 da esquerda representa 4 000, enquanto o da direita denota apenas 4 unidades. Observe: 4 3 2 4 4 milhares 4 000 ou 4 x 10 3 3 centenas 300 ou 3 x 10 2 2 dezenas 20 ou 2 x 10 1 4 unidades 4 ou 4 x 10 0 Um aspecto notável do sistema criado pelos hindus é que com apenas dez algarismos, podem ser escritos infinitos números naturais. Compare com o sistema egípcio: com os símbolos e eram escritos todos os números até 99. Para prosseguir, precisavam de mais um sinal:. Para escrever 1 000, havia outro sinal,, e assim por diante. No sistema indo-arábico, para continuar depois do 99, não é necessário criar um novo algarismo. Escrevemos 100 e o zero assume a função de mudar a posição do 1 para indicar a centena, sem acrescentar qualquer outro símbolo. Texto adaptado de: IMENES L. M e LELLIS M. Matemática 7º ano.são Paulo. Editora Moderna, 2009. a. Onde encontramos números escritos segundo o sistema Romano? b. Por que o sistema numérico que usamos é chamado indo-arábico? c. Diga quais são as principais características de nosso sistema de numeração. d. Mencione ao menos uma vantagem do nosso sistema de numeração em relação aos sistemas antigos. 5
Número de Habitantes (milhões) PROBLEMAS E EXERCÍCIOS 1. Para ler números grandes, convém separá-los em grupos de três algarismos. Assim você identifica os milhares, os milhões, os bilhões, etc. Veja: 157 070 163 157 milhões 70 mil 163 unidades 41 841 800 000 000 a) O número aproximado da população de Fortaleza é 1 600 000, 2 200 000 ou 2 900 000? Faça uma estimativa com base no gráfico. b) Baseando-se no gráfico, estime a população de Salvador. c) A população do Rio de Janeiro é, aproximadamente, quantas vezes a de Salvador? d) Qual é a cidade mais populosa do país? Qual a sua população aproximada? 41 trilhões 841 800 bilhões milhões Escreva os números por extenso: a) 5 004 240 b) 3 800 650 247 2. O gráfico mostra a população aproximada das seis cidades brasileiras mais populosas em 2004, de acordo com estimativas do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). 3. Leia o texto: Com 4,6 bilhões de anos, o sol tem um milhão de vezes o diâmetro da Terra e temperatura que chega a 20 milhões de graus Celsius no núcleo. Seu brilho, 600 mil vezes mais intenso que o da lua cheia, leva oito minutos para chegar até nós. Imenso reator nuclear, a estrela cospe chamas a mais de 150 mil metros de altura. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Cidades Populosas do Brasil No texto, foram citados seis números. Escreva-os em ordem crescente usando somente algarismos. Por exemplo: 4,6 bilhões de anos escreve-se 4 600 000 000. 4. A febre amarela é uma doença que afeta principalmente as regiões Norte e Centro-Oeste. A vacinação é uma das formas de evitá-la. O gráfico a seguir mostra o número de pessoas que contraíram a doença e o número de mortes ao 6
longo da última década do século XX, em nosso país. 90 Casos confirmados 80 Mortes 70 60 50 40 30 20 10 0 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Baseando-se no gráfico, responda: a) Quantos foram, aproximadamente, os casos confirmados de febre amarela em 1999? b) Qual foi o ano da década de 1990 que apresentou o maior número de casos confirmados da doença? c) Qual foi o ano da década de 1990 que apresentou o maior número de mortes provocadas por febre amarela? d) Estime a quantidade de mortes causada pela febre amarela na década de 1990. CÁLCULO MENTAL Em lojas, bancos e supermercados, os funcionários costumam usar calculadoras. Algumas vezes, quando a conta é muito grande, as pessoas fazem os cálculos com lápis e papel. Além desses dois modos de fazer contas, existe um outro muito utilizado: o cálculo mental. Fazer contas de cabeça, ou mentalmente, é indicado quando os números envolvidos nas operações não são muito grandes ou possuem poucas casas decimais. Algumas pessoas calculam mentalmente para conferir o troco, os gastos numa compra, verificar se tem dinheiro para passar o fim de semana, etc. Vamos, então, desenvolver um pouco seu cálculo mental. Para isso, daremos algumas dicas e, aos poucos, praticando, você inventará outras maneiras de calcular mentalmente. 7
ADIÇÕES Veja como Júlia faz adições mentalmente: 37 mais 45? Faço 37 mais 40, que dá 77. E 77 mais 5, que dá 82. Para somar 37 a 45, Júlia separou as dezenas das unidades do 45, obtendo 4 dezenas e 5 unidades. Somou 37 a 40 e, depois, a 5. Veja o registro dessa conta: 37 + 45 = 37 + 40 + 5 = 77 + 5 = 82 Agora, faça as adições mentalmente e, depois, registre os cálculos, mostrando como pensou. a) 23 + 25 b) 19 + 24 A seguir, dê apenas as respostas para as adições procurando fazer o cálculo mentalmente, do mesmo modo que Júlia. c) 56 + 26 = d) 67 + 28 = e) 62 + 43 = f) 75 + 35 = SUBTRAÇÕES Efetue mentalmente as subtrações abaixo, escrevendo os resultados: a) 42 4 = b) 52 6 = c) 53 5 = d) 53 7 = e) 62 6 = f) 65 6 = g) 77 8 = h) 84 9 = i) 85 7 = Agora, veja como efetuar 73 48: 73 48? Primeiro, faço 73 40 = 33 Agora, subtraio 8. O resultado dá 25! O método é parecido com aquele usado na adição. Observe o registro. 73 48 = 73 40 8 = 33 8 = 25 8
Calcule e registre os cálculos da maneira que mostramos: a) 45 12 b) 58 33 A seguir, escreva apenas as respostas: c) 83 55 = d) 56 24 = e) 61 32 = f) 98 49 = MULTIPLICAÇÕES Veja como você pode efetuar 7 vezes 24 mentalmente. 7 x 24? Primeiro, faço 7 x 20 = 140 Agora, 7 x 4 = 28 Adiciono 140 a 28 que dá 168. Para efetuar 7 x 24, separe as dezenas e unidades do 24. Efetue 7 x 20 e 7 x 4 e, depois, some os resultados. Observe o registro desse modo de pensar: 7 x 24 = 7 x (20 + 4) = 7 x 20 + 7 x 4 = 140 + 28 = 168 Primeiro efetuamos a multiplicação; depois é só somar! Os parênteses foram usados para indicar que estamos multiplicando 7 por 20 + 4, se escrevêssemos sem parênteses, pareceria que estamos multiplicando 7 somente por 20. Efetue fazendo o registro: a) 3 x 12 b) 5 x 13 Agora, escreva os resultados das multiplicações, calculando mentalmente. c) 5 x 24 = d) 5 x 12 = e) 18 x 4 = f) 26 x 6 = 9
DIVISÕES Como faríamos para dividir 642 por 6? 642 6? Primeiro, faço 600 6 = 100 Agora, 42 6 = 7 Adiciono 100 a 7 que dá 107. Veja o registro desse cálculo: 642 6 = (600 + 42) 6 = 600 6 + 42 6 = 100 + 7 = 107 Primeiro efetuamos a divisão; depois é só Faça as divisões mentalmente e registre seu raciocínio a) 318 3 b) 606 6 Agora, registre apenas o resultado das divisões calculadas mentalmente c) 240 4 = d) 420 5 = e) 432 4 = f) 432 8 = NÚMEROS DECIMAIS Até agora falamos de números naturais, isto é, aqueles que representam quantidades inteiras. No entanto, com freqüência nos deparamos com números que representam quantidades não inteiras. 10
Uma outra vantagem do nosso sistema de numeração é que ele também serve para representar quantidades fracionárias. Para isso, usamos a vírgula em conjuntos com os dez algarismos. Examine o diagrama com o valor de cada algarismo: 1 1 1, 1 1 1 100 ou 1 centena 10 ou 1 dezena 1 ou 1 unidade 0,1 ou 1 décimo 0,01 ou 1 centésimo 10 10 10 10 10 0,001 ou 1 milésimo Os algarismos à direita da vírgula compõem a parte fracionária do número decimal. Os algarismos escritos à esquerda da vírgula representam a parte inteira do número decimal. Cada algarismo da parte fracionária surge da divisão da unidade por 10, 100, 1 000, etc. Assim, para produzir 1 décimo, basta dividir a unidade por 10. Já 1 centésimo é o resultado da divisão de uma unidade por 100. E, finalmente, 0,001 (um milésimo) é a milésima parte da unidade. É costume chamar os números com vírgula (como 21,32 ou 7,5) de números decimais. Os números naturais também podem ser chamados decimais uma vez que podem ser escritos com vírgula e uma parte fracionária nula. Por exemplo: 322 é o mesmo que 322,0 Mas ATENÇÃO! Quando acrescentamos um zero à direita de um número natural, o mudamos completamente. Veja, por exemplo, o que acontece com o 45. Se acrescentarmos um zero à sua direita, produziremos 450. O zero mudou a posição dos algarismos e, conseqüentemente, seus valores; o 4 deixou de valer 40 para representar 400 e o 5, que antes valia 5 unidades, passou a ter valor de 50. Agora, se acrescentarmos um zero à direita do número 0,45, não obteremos um novo número pois os algarismos não mudarão de posição. a. Qual é o resultado de 10 x 396? E o de 396 x 10? b. Leia esta regra: Para multiplicar um número natural por 10, basta escrever um zero à sua direita. A regra é válida? c. Agora leia esta outra regra: Para multiplicar um número com vírgula por 10, basta escrever um zero à sua direita. A regra é válida? d. Quantos décimos formam uma unidade? Quantos centésimos formam um décimo? e. Um décimo e dois centésimos equivalem a quantos centésimos? 11
PROBLEMAS E EXERCÍCIOS 1. Veja duas maneiras de ler e escrever o número 30,65: trinta inteiros, seis décimos e cinco centésimos. trinta inteiros e sessenta e cinco centésimos. Agora, fale e registre de duas maneiras os seguintes números: a) 2,14 b) 100,038 c) 0,34 d) 5,506 2. Ao preencher um cheque, indica-se o valor com algarismos e por extenso. 5. Veja o que está escrito no cartaz. Será que isso indica um número? Indica sim, se for em um país de língua inglesa. Nesse caso, a vírgula tem a mesma função dos espaços entre os algarismos. Por exemplo, nós escrevemos 1 000 e eles escrevem 1,000. Já quando usamos vírgula, eles usam ponto. Nós escrevemos 2,3 e eles 2.3. Agora responda: a) O número escrito no cartaz é maior do que uma dezena? b) É maior do que 10 3? c) É maior do que 10 6? d) É maior do que dez milhões? Escreva por extenso: a) R$ 3 028,27 b) R$ 148 010,50 c) R$ 93 000,00 d) R$ 7 500 040,42 6. Qual é a quantidade indicada por 4,1 milhões? Veja duas formas de interpretar essa maneira de escrever: 3. Diga se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F): a) 0,3 = 0,30 ( ) b) 0,500 = 0,5 ( ) c) 0,06 = 0,6 ( ) d) 8,8 = 8,80 ( ) e) 12,5 = 12,05 ( ) e) 13,0 = 13 ( ) 4. Escreva em ordem crescente: 0,019; 0,009; 23,05; 23,009, 0,002. Interprete do jeito que você preferir. E escreva só com algarismos. a) 0,4 milhão b) 1,8 milhão c) 11,8 milhões d) 0,3 bilhão e) 4,6 bilhões f) 10,5 bilhões 12
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