O JOGO DAS LÂMPADAS E SISTEMAS LINEARES

1 O JOGO DAS LÂMPADAS E SISTEMAS LINEARES Rubens Carlos Viriato Júnior Universidade de Brasília rubens.viriato@gmail.com Raquel Carneiro Dörr Universidade de Brasília raqueldoerr@gmail.com Resumo Este minicurso apresenta a resolução de uma situação-problema construída usando um jogo de lâmpadas. Seu objetivo é introduzir temas como os princípios básicos de contagem, os sistemas de equações lineares e congruências módulos 2 e 3. O minicurso é formado por duas atividades. A primeira atividade apresenta a situaçãoproblema para introduzir um sistema de equações lineares e elementos básicos da congruência módulo 2. A fim de estender os resultados da primeira atividade, a segunda atividade traz novos elementos que auxiliarão na fixação dos assuntos tratados. Palavras-chave: formulação de problemas, sistemas lineares, congruências. Público alvo! Anos Finais do Ensino Fundamental! Ensino Médio! Educação Superior! Público em geral! Educação de Jovens e Adultos Objetivo Geral Apresentar, por meio de uma situação-problema, noções básicas sobre sistemas de equações lineares e suas aplicações. Objetivos Específicos Interpretar uma situação-problema; Construir equações lineares em duas variáveis a partir de uma situação-

2 problema; Examinar casos de codificação em módulo 2 e em módulo 3 como aplicações de sistemas lineares. Justificativa Esta atividade foi produzida no âmbito do projeto Escola de Matemática, desenvolvido no Departamento de Matemática da Universidade de Brasília e submetido ao Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). De acordo com Grebot, Gaspar e Dörr (2013), o PIBID da UnB tem como objetivo principal:... a criação de um espaço de ensino-aprendizagem da matemática em que os alunos de licenciatura em matemática possam experimentar propostas diferentes para trabalhar os conteúdos matemáticos e refletir sobre o papel do aluno e do professor no processo de ensino e aprendizagem. As atividades propostas neste minicurso motivam estudantes ao estudo de temas matemáticos considerados, em geral, abstratos para a maioria deles. Ele traz uma proposta de atividade que pode ser usada por professores para motivar ou introduzir sistemas lineares e trabalhar temas não vistos no ensino básico como congruências módulos 2 e 3, oferecendo ao aluno, por meio de uma aplicação prática, conhecimentos matemáticos não incluídos nas diretrizes curriculares. Metodologia do minicurso Por meio de uma leitura atenta, os alunos trabalharão com a codificação em módulo 2 (congruência módulo 2) na primeira atividade deste caderno, onde, ao apertar o botão da primeira lâmpada, o estado (luminosidade) da primeira e da segunda lâmpada são alterados. Porém, ao apertar o botão da segunda lâmpada somente o estado da segunda lâmpada é alterado. Na segunda atividade, os alunos trabalharão com a codificação em módulo 3 (congruência módulo 3), onde as lâmpadas podem assumir três cores diferentes, sendo que, ao apertar o botão da primeira lâmpada, somente a cor dessa lâmpada é alterada. Entretanto, ao apertar o botão da segunda lâmpada, além da cor da própria lâmpada ser alterada, a cor da primeira e também é alterada.

3 Atividades Encontro Atividades 1 Considere duas lâmpadas, uma ao lado da outra, que podem estar acesas ou apagadas. Embaixo de cada lâmpada existe um botão. Esse botão muda o estado das lâmpadas da seguinte forma: o botão X, que está embaixo da primeira lâmpada, muda o estado da primeira lâmpada e também da segunda lâmpada. O botão Y, que está embaixo da segunda lâmpada, muda o estado somente da segunda lâmpada. Considere, ainda, o número zero (0) para lâmpada apagada e o um (1) para lâmpada acesa. 1 Apertando uma vez o botão X e, em seguida duas vezes o botão Y, qual o estado de cada lâmpada, sendo que ambas estavam inicialmente apagadas? 2 Apertando duas vezes o botão X e uma vez o botão Y, qual o estado de cada lâmpada, sendo que a primeira estava inicialmente apagada e a segunda acesa? Complete agora a tabela a seguir. Nela, temos quantas vezes o botão X e o botão Y foram apertados e, também, qual o estado final de cada lâmpada, sendo que, em todos os casos, as lâmpadas estavam inicialmente apagadas. Siga os exemplos: Botão X Botão Y Estado da Lâmpada 1 Estado da Lâmpa 1 1 0 1 0 2 0 1 0 1 3 2 0 4 0 2 5 1 1 6 2 1 7 1 3 8 3 2 3 Observando a tabela, o que podemos concluir quando apertamos 2 vezes o mesmo botão? Observe a Tabela 2, logo abaixo. Nela, temos quantas vezes o botão X e o botão Y foram pressionados para chegar ao estado final de cada lâmpada, ou seja, ela representa um valor de X e outro de Y, tal que X e Y representem o número de vezes que o botão de cada lâmpada foi pressionado para obtermos uma determinada configuração final de cada lâmpada.

4 Botão X Botão Y Estado da Lâmpada 1 Estado da Lâmpada 2 1 1 0 1 0 2 0 1 0 1 3 2 0 0 0 4 0 2 0 0 5 1 1 1 0 6 2 1 0 1 7 1 3 1 0 8 3 2 1 1 Nesta atividade, quando apertamos o botão de uma das lâmpadas da primeira atividade, o estado da lâmpada, se ela estivesse no seu estado inicial, de 0 iria para 1. Se apertássemos mais uma vez, logo em seguida, o seu estado de 1 iria para 0. O número Binário também é conhecido como congruência módulo 2 de um número. Para encontrarmos o congruente de um número em módulo 2, devemos dividir esse número pelo módulo trabalhado, sendo que o resto dessa divisão será o congruente módulo 2. Por exemplo, o número 7 tem, como congruente módulo 2, o número 1, pois 7 dividido para 2 tem resto 1. Observe a tabela e complete-a. Siga os exemplos: Soma Módulo Representação 1 0+0 2 0 2 0+1 2 1 3 1+0 2 1 4 1+1 2 0 5 0+2 2 6 2+1 2 7 0+2 2 8 1+3 2 4 Complete a tabela a seguir. Nela temos a subtração em módulo 2. Siga os exemplos: Subtração Módulo Representação 1 0-0 2 0 2 0-1 2 1 3 1-0 2 1 4 0-2 2 0 5 0-3 2 6 0-4 2 7 1-2 2 8 1-3 2

5 Encontro 2 5 - Sendo a letra X correspondente a primeira lâmpada e a letra Y correspondente à segunda lâmpada, monte duas equações, uma equação para cada lâmpada, igualando as equações ao estado de cada lâmpada, que estão inicialmente apagadas. Considere X e Y o número de vezes que cada lâmpada foi apertada. Atividades Considere, agora, duas lâmpadas, uma ao lado da outra, que podem estar acesas com a cor branca, acesas com a cor azul ou acesas com a cor vermelha. Embaixo de cada lâmpada existe um botão. Cada botão muda a cor das lâmpadas da seguinte forma: o botão R, que está embaixo da lâmpada 1, muda a cor da somente da primeira lâmpada e o botão S, que está embaixo da lâmpada 2, muda a cor da segunda e da primeira lâmpada. Considere, ainda, o número zero (0) quando a lâmpada estiver com a cor branca, o número um (1) quando a lâmpada estiver com a cor azul e o número dois (2) quando a lâmpada estiver com a cor vermelha. 1 Apertando uma vez o botão R e uma vez o botão S, qual é a cor de cada lâmpada, sendo que a primeira estava inicialmente branca e a segunda vermelha? Qual a cor de cada lâmpada quando apertamos três vezes o botão R e quatro vezes o botão S? 2 O que acontece quando apertamos três vezes o mesmo botão? E quando apertamos quatro vezes? 3 - Observe e complete a tabela a seguir. Nas duas primeiras linhas, temos quantas vezes o botão R e o Botão S foram apertados e, também, qual o estado final de cada lâmpada. Considere que em todos os casos as lâmpadas estavam inicialmente com a cor branca. Botão R Botão S Estado da Lâmpada 1 Estado da Lâmpad 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 3 1 0 4 0 1 5 1 2 6 2 1 7 1 3 8 3 2 4 Qual o número mínimo de vezes que devemos apertar o botão R e o botão S para que tenhamos as seguintes cores das lâmpadas: vermelha para a primeira lâmpada e azul para a segunda? 5 - Complete a tabela a seguir. Nela temos a soma em módulo 3. Siga os

6 exemplos: Soma Módulo Representação 1 0+0 3 0 2 0+1 3 1 3 1+0 3 1 4 1+1 3 2 5 2+1 3 6 1+3 3 7 4+3 3 8 2+2 3 6 - Monte duas equações, com uma equação para cada lâmpada, igualando as duas equações ao estado inicial de cada lâmpada, sendo que a primeira estava inicialmente com a cor azul e a segunda branca? 7 - Por meio da equação anterior, quantas vezes devemos apertar o botão R e o botão S para que tenhamos as seguinte cores das lâmpadas: vermelha para a primeira lâmpada e laranjada para a segunda? Referências bibliográficas Grebot, G.; Gaspar, M.T. J.; Dörr, R. C. Experiências matemáticas e experiências com alunos na formação de professores : desdobramentos do programa PIBID/MAT da Universidades de Brasília, Atas CIBEM, 2013. Kolman, Bernard; Hill, David R. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. Poole, David. Álgebra Linear. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. Santos, José Plínio de Oliveira. Introdução à Teoria dos Números. ed. Rio de Janeiro: SBM, Sociedade Brasileira de Matemática, 1998.