Notas de aula prática de Mecânica dos Solos II (parte 4) Hélio Marcos Fernandes Viana Conteúdo da aula prática Método gráfico direto de Coulomb de determinação de empuxos ativos.
. o ) Determinar empuxo ativo atuante em um murro de arrimo conforme a Figura., através do método gráfico direto de Coulomb para solo com coesão e atrito, e sendo o barranco inclinado; Ainda, tem-se que: a) O muro tem 8 m de altura; b) O ângulo de atrito entre o solo e o muro é = 0 o ; c) O terrapleno ou barranco de solo apresenta uma inclinação i de : 4; d) O peso específico do solo é =,80 ton/m ; e e) A resistência ao cisalhamento do solo é S = +.Tan (5 o ) (ton/m ). OBS. Para resolver este exercício são necessários: régua, esquadros, transferidor papel e borracha. Figura. - Processo de obtenção do empuxo ativo pelo método gráfico direto de Coulomb para solo com coesão e atrito, e sendo o barranco inclinado
Resposta: O exercício é resolvido de forma ordenada de acordo com seguintes passos:. o (primeiro) passo: Desenhar em um papel o problema de campo, com o muro e o barranco de solo inclinado, utilizado a escala de cm no desenho igual a m (ou 00 cm) no campo, ou seja, um desenho na escala : 00.. o (segundo) passo: Prolongar a reta de inclinação do terreno, e também a partir do ponto A, no pé do muro, traçar uma reta que seja perpendicular à reta prolongada da superfície do terreno. Onde, a reta traçada a partir do ponto A cruzar a reta, que é o prolongamento da superfície do terreno, é o ponto K, e a reta AK corresponde altura h das cunhas que serão geradas para resolução do exercício.. o (terceiro) passo: Prolongar a reta AB até uma certa distância do muro, e traçar uma reta perpendicular a este prolongamento. Então, para cima, com o transferidor determina-se o ângulo de atrito muro-solo, entre a reta que é perpendicular ao prolongamento da reta AB e a direção que atua a força de empuxo no muro como é mostrado na Figura.. OBS. Inicialmente, apenas se conhece a direção da força de empuxo e não o seu valor. 4. o (quarto) passo: Desenhar na figura possíveis cunhas de ruptura ativa do solo (ou cunhas hipotéticas de ruptura), no mínimo 4 (quatro) cunhas, como ilustra a Figura.. Na Figura., as cunhas desenhadas foram ABD, ABD, ABD e ABD 4. 5. o (quinto) passo: Determinação da escala de forças. Como o peso da cunha ABD, em duas dimensões ou no plano, é igual a: W.(base da cunha).(altura da cunha)..h..(bd) (.) E como.h. é uma constante para determinar o peso de qualquer cunha desenhada na Figura.; Então, adota-se.h. como sendo a escala de forças do exercício. Assim sendo, tem-se que o peso da cunha (ou cunha ABD ) em escala métrica será:.(bd) BD (m) (.) W
4 Então, com base na escala de forças, tem-se que o peso da cunha é igual ao comprimento da base da cunha, logo: O peso da cunha será W = BD =,9 m; O peso da cunha será W = BD = 4,9 m; O peso da cunha será W = BD = 6,9 m; e O peso da cunha 4 será W 4 = BD 4 = 8,9 m. 6. o (sexto) passo: Determinação do eixo dos pesos. Pelo ponto A traça-se uma vertical perpendicular à horizontal (ou a 90 o da horizontal), que passa pelo pé do muro, como ilustra a Figura.. A vertical, em questão, é denominada eixo dos pesos das cunhas. Sobre a vertical, ou sobre ou eixo dos pesos das cunhas, define-se os seguintes pontos a partir do ponto A. O ponto Q =,9 m, a partir do ponto A, que em escala corresponde ao peso da cunha (ABD ); O ponto Q = 4,9 m, a partir do ponto A, que em escala corresponde ao peso da cunha (ABD ); O ponto Q = 6,9 m, a partir do ponto A, que em escala corresponde ao peso da cunha (ABD ); e O ponto Q 4 = 8,9 m, a partir do ponto A, que em escala corresponde ao peso da cunha 4 (ABD 4 ). 7. o (sétimo) passo: Determinação da coesão, que atua em cada cunha de ruptura do exercício em escala métrica. A coesão que atua na cunha ABD é igual a: C =c.ad (.) em que: C = coesão total que atua na base da cunha (ABD ) (em ton/m); c = coesão do solo (ton/m ); e AD = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D e é medido na própria Figura. (em m). a) S = coesão total da cunha de ruptura ABD em escala métrica: Para transformar a coesão total da cunha (ou cunha ABD ) para a escala métrica, divide-se a coesão total da cunha (ou cunha ABD ) pela escala de forças.h. do exercício; Então, a coesão total da cunha (ou cunha ABD ) em escala métrica será:
5 ton c.(ad ).m m.(9,60) S,44 m ton.,80.7,40.m m em que: S = coesão total que atua na base da cunha (ABD ) (m); c = coesão do solo (ton/m ); AD = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D e é medido na própria Figura. (m); h = altura da cunha (m); e = peso específico do solo (ton/m ). b) S = coesão total da cunha de ruptura ABD em escala métrica: Para transformar a coesão total da cunha (ou cunha ABD ) para a escala métrica, divide-se a coesão total da cunha (ou cunha ABD ) pela escala de forças.h. do exercício; Então, a coesão total da cunha (ou cunha ABD ) em escala métrica será: S ton c.(ad ).m m.(,0) ton.,80.7,40.m m,65 m em que: S = coesão total que atua na base da cunha (ABD ) (m); c = coesão do solo (ton/m ); AD = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D e é medido na própria Figura. (m); h = altura da cunha (m); e = peso específico do solo (ton/m ). c) S = coesão total da cunha de ruptura ABD em escala métrica: Seguindo-se o mesmo raciocínio anterior, tem-se que a coesão total da cunha de ruptura (ou cunha ABD ) em escala métrica será: S ton c.(ad ).m m.(,5) ton.,80.7,40.m m,88 m em que AD = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D e é medido na própria Figura. (em m);
6 d) S 4 = coesão total da cunha de ruptura ABD 4 em escala métrica: Seguindo-se o mesmo raciocínio anterior, tem-se que a coesão total da cunha de ruptura 4 (ou cunha ABD 4 ) em escala métrica será: S ton c.(ad ).m 4 m.(4,) ton.,80.7,40.m m 4, m em que AD 4 = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D 4 e é medido na própria Figura. (em m); Determinados os valores das coesões totais em escala métrica: S, S, S e S 4 ; Então, sobre as retas AD, AD, AD e AD 4 da Figura. marcam-se, respectivamente, os pontos correspondentes às coesões S, S, S e S 4 em escala métrica, os quais são medidos a partir do ponto A, como ilustra a Figura.. Finalmente, pelos pontos S, S, S e S 4 situados, respectivamente, sobre as retas AD, AD, AD e AD 4 é traçada uma reta que cruza a reta AK no ponto R como é mostrado na Figura.. Esta reta é importante, pois através dela é possível determinar graficamente a coesão total de qualquer cunha que seja traçada. 8. o (oitavo) passo: Determinação da direção das forças de atrito das cunhas. Traça-se uma perpendicular a reta AD 4 e em seguida com o uso do transferidor e com base na reta AD 4 e na perpendicular, traça-se para baixo uma nova reta com ângulo correspondente ao ângulo de atrito do solo (); Então, sobre esta nova reta no sentido para cima atua a força de atrito do solo, a qual se conhece a direção. A Figura. ilustra a determinação da direção da força de atrito F 4, a qual atua sobre a reta AD 4 da cunha ABD 4. De modo similar, ao descrito anteriormente, determina-se as direções das forças de atrito F, F e F, que atuam, respectivamente, sobre as retas AD, AD e AD, que pertencem às cunhas ABD, ABD e ABD respectivamente. 9. o (nono) passo: Determinação dos empuxos das cunhas de ruptura e do empuxo máximo. Para determinar as forças de empuxo ativo que atuam sobre o muro de arrimo e do empuxo máximo atuante no murro de arrimo, procede-se do seguinte modo: i) Pelos pontos Q, Q, Q e Q 4 são traçadas retas paralelas à direção do empuxo ativo, como ilustra a Figura.. A direção do empuxo ativo foi definida no início do exercício no o (terceiro) passo.
7 ii) Em seguida pelo ponto S 4 é traçada uma reta paralela à força de atrito F 4 até a reta paralela, que passa por S 4, cruzar a outra reta paralela que passa pelo Q 4 ; O ponto de cruzamento das retas paralelas é o ponto P 4 como ilustra a Figura.. A distância entre os pontos Q 4 e P 4, na escala em metros, corresponde ao empuxo ativo causado pela cunha de ruptura 4. iii) Em seguida pelo ponto S é traçada uma reta paralela à força de atrito F até a reta paralela, que passa por S, cruzar a outra reta paralela que passa pelo Q ; O ponto de cruzamento das retas paralelas é ponto P como ilustra a Figura.. A distância entre os pontos Q e P, na escala em metros, corresponde ao empuxo ativo causado pela cunha de ruptura. iv) Em seguida, segue-se um procedimento similar aos descritos anteriormente para determinar os empuxos das cunhas e. v) Após, serem traçados os segmentos de retas correspondentes aos empuxos de cada cunha de ruptura hipotética; Então, é traçada pelos pontos P, P, P e P 4 a curva correspondente à envoltória dos empuxos ativos, como ilustra a Figura.. vi) Finalmente, na Figura., a máxima distância em metros, paralela às forças de empuxo ativo, entre a reta vertical dos Q e a curva envoltória dos empuxos determina o empuxo ativo máximo atuante no muro, o qual para este exercício é: PQ máx =, m (medido na própria Figura.) Então com base na escala de forças do exercício determinada no 5. o (quinto) passo, tem-se que: Então: PQ máx Força de empuxo escala de forças E A.(PQ ton ).,80.7,40.(,0).m.m 7,99 m E A máx ton /m OBS(s). a) A distâncias, em metros, das retas S 4 P 4, S P, S P e S P representam respectivamente as forças de atrito das cunhas de ruptura ativa,, e 4; as quais podem ser obtidas, multiplicando-se as distâncias S 4 P 4, S P, S P e S P, em metros, pela escala de forças do exercício.. h ; b) A trajetória dos segmentos entre os pontos Q 4 AS 4 P 4 define, em metros, o fechamento do polígono de forças da cunha de ruptura ativa 4. Assim sendo, o mesmo raciocínio deve ser seguido para o fechamento dos polígonos de forças das cunhas de ruptura, e ; e c) O empuxo máximo corresponde à cunha crítica do problema, e o peso da cunha crítica (ABD CRI ), em escala, foi Q = 6,6 m; Assim sendo, tem-se que a cunha crítica ABD CRI tem o comprimento da sua base igual a BD CRI = 6,6 m e está sobre o alinhamento dos BD(s), e deste modo a cunha crítica corresponderá ao polígono ABD CRI.
8 Considerações finais: De acordo com Bueno e Vilar (00), quando se utilizam construções gráficas para determinação de empuxos, pode-se através de um procedimento empírico determinar o ponto de aplicação do empuxo ativo (E a ) da cunha crítica, que fornece o empuxo máximo. Assim sendo, determina-se o centro de gravidade da cunha crítica, ou ponto G, e traça-se pelo ponto G uma reta paralela à superfície de escorregamento da cunha crítica; Então, a interseção da reta paralela que passa por G com o muro será o ponto K, onde atua o empuxo (E a ). A Figura. ilustra a determinação do ponto K, onde atua o empuxo, quando se utilizam construções gráficas como a descrita anteriormente (método gráfico direto de Coulomb). Figura. - Ponto de aplicação do empuxo ativo no muro, quando se utilizam processos gráficos para determinação de empuxos De acordo com Kurt Gieck, as coordenadas do cento de gravidade de um triângulo são obtidas com base nas coordenadas dos vértices do triângulo como mostra a Figura.. Figura. - Determinação das coordenadas do centro de gravidade de um triângulo Referências Bibliográficas BUENO, B. S.; VILAR, O. M. Mecânica dos solos. Vol.. São Carlos - SP: Escola de Engenharia de São Carlos - USP, 00. 9p. GIECK K. Manual de fórmulas técnicas.. edição. São Paulo - SP: Hemus Editora Ltda, Ano?. Paginação personalizada.