SISTÊI MTS Tracção e ompressão - struturas Hiperestáticas olecção de exercícios resolvidos para apoio à disciplina de esistência de Materiais do 3º ano do urso de Licenciatura em ngenharia ivil da FUP. Por Luis Filipe Pereira Juvandes. Juvandes, L. F. P., 1989, "esistência de Materiais: Tracção e ompressão struturas Hiperestáticas", colecção de exercícios resolvidos para apoio da disciplina de esistência de Materiais (3º ano) do, 14 pp.
esistência de Materiais strutura Hiperestática SIMBOLOGI - área da secção transversal σ d - valor de cálculo da tensão normal resistente do material σ cd - valor de cálculo da tensão normal resistente do betão σ sd - valor de cálculo da tensão normal resistente do aço σ cd - valor de cálculo da tensão normal à compressão resistente do material σ td - valor de cálculo da tensão normal à tracção resistente do material σ Sd - valor de cálculo da tensão normal actuante m - coeficiente de homogeneização - esforço normal Sd - valor de cálculo do esforço normal actuante d - valor de cálculo do esforço normal resistente 1
esistência de Materiais strutura Hiperestática POBLMS SOLVIOS 1. imensione as barras B e da estrutura articulada representada na Figura 1 e determine, seguidamente, o deslocamento do nó (não há perigo de encurvadura). ados: σ 35 MPa ( Barra B) td σ 135 MPa ( Barra ) cd 0 MPa 30 k Y X 30º B 3.00 Figura 1 esolução: eterminação dos esforços nas barras X e Y quações de equilíbrio no nó (esforços em serviço) X + Y cos 30º 0-30 + Y sen30º 0 X 51.9 k (compressão) Y 0.00k (tracção) Valor de cálculo dos esforços nas barras ( ) 1.5 ( 51.9) 77.94 k Sd B ( ) 1.5 0.00 90.00 k Sd imensionamento das barras σ Sd Sd σ d 77.94 B 5.77 m 5.77cm 3 135
esistência de Materiais strutura Hiperestática 90.00 3.83 m 3.83cm 3 35 eterminação dos deslocamentos no nó 51.9 3 0 5.77 0.0013m B B B B 0.13cm (encurtamento) 0.00 3.4 0 3.83 0.00m 0.cm (alongamento) H δ B B α 30º B V δ 30º δ Figura 0. / cos α cos 30º H δ 0.30cm δ ( 0.30 + 0.13) / tg30º 0.75cm V δ 0.75 + 0.13 0.7cm 3
esistência de Materiais strutura Hiperestática. O pilar metálico (HB 00) representado na Figura 3, foi envolvido em betão, ficando com uma secção de 40 40cm. Qual a carga máxima que o pilar assim reforçado pode suportar, sabendo que aquando do reforço, actuavam no perfil metálico cargas permanentes no valor de 400 k. (esprezar o peso próprio e o efeito de instabilidade do pilar) ados: σ sd 35MPa ( Fe 30) σ cd 9.1MPa ( B 0) 3.0m HB 00 m S 15 0.40 Figura 3 0.40 esolução: Fase I I S I 400 k 0 Fase S 78.1cm 4 0.4 0.4 78.1 0.15 m Supondo que o aço é o material condicionante da rotura σ ssd σ sd ssd sd 3 sd 35 78.1 1835.35 k omo no momento do reforço já estava instalado no pilar de aço um esforço axial de 400 k. final ssd s 1.5 400 + 1.5 83. k s 1835.35 4
esistência de Materiais strutura Hiperestática o Fase termos uma barra constituída por dois materiais diferentes perfeitamente solidarizados, logo S + S S S S S S m [1] 83. 15 70.01 k 78.1 0.15 Verificar a estabilidade do betão 1.5 70.01 σcsd.545 > σ csd 9.1 MPa 0.15 logo não verifica, portanto o material condicionante da rotura è o betão e não o aço 3 cd 9.1 0.15 1385.0 k 1385.0 /1.5 93.35 substituíndo em [1] s 78.1 15 93.35 0.15 s 7.71 k Logo a carga máxima actuante (serviço) na Fase será s 7.71 + 93.35 134.0 k carga máxima total em serviço S 400 + 134.0 034.0 k 5
esistência de Materiais strutura Hiperestática 3. onsidere a estrutura representada Figura 4, constituída por uma barra rígida B e pelas barras deformáveis e com as seguintes características: 0 cm 4.0 4.0 0 GPa a) alcule os esforços nas barras e para a acção da carga P 0 k. 4.0 B P b) Sob a acção da carga P fixada em a), qual o valor do assentamento vertical do apoio 4.0 " " que anula o esforço no tirante. δ Figura 4 esolução: a) Problema hiperstático de grau 1 Sistema base eformada da estrutura α 0 X B α δ δ Figura 5 Figura ota: escolha do sentido do esforço da incógnita hiperstática deverá ser concordante com o sentido escolhido para a deformada do sistema base. o caso da estrutura representada para a deformada do sistema-base escolhida, o ponto desloca-se de cima para baixo o que impõe uma compressão na barra. Logo X (incógnita hiperstática) é dirigida de baixo para cima. barra sofre um alongamento, automaticamente está traccionada.
esistência de Materiais strutura Hiperestática quação de equilíbrio + 4Χ 4Χ 4 P 0 M 0 B [] + 4Χ 4 P quação de compatibilidade da deformada δ δ [3] δ X 4 0 0 δ 3 senα 0 0 Substituindo em [3] 4 X 0 0 0 3 0 4 X 1 X 4 [4] Substituindo em [] + 4 4 4 P 4 P 1 + X 91.88 k.97 k b) plicação do princípio da sobreposição dos efeitos δ Figura 7 - FS 1 Figura 8 - FS 7
esistência de Materiais strutura Hiperestática FS1 1 1 0 δ + FS 4 1 + 1 1 + O cálculo da Fase é semelhante à alínea a) actuando em vez de P. evido ao assentamento do apoio 4 1 + 1 1 + sforços finais nas barras e, devido ao assentamento do apoio e à actuação da carga P, aplicado o princípio da sobreposição de efeitos que é válido em regime elástico. a) + b) 4 P 1 + 4 + 1 + a) + b) 1 1 + 1 + 1 + 0 ondição imposta pelo enunciado ssim 4 0 4 + 1148.5 k 1 + 1 + 1 0 1 + 1 + 1 + 0 87.15 1148.5 4 0.0111 m 1.1cm 4 0 0 δ 8
esistência de Materiais strutura Hiperestática 4. alcule as reacções nos apoio, sabendo que o corpo B representado na Figura 9 é infinitamente rígido, é o assentamento do apoio e não há plastificação em nenhuma das barras. k/m B 50 k.0 F.0.0.0.0.0 Figura 9 a) onsidere 0. b) onsidere 1 cm. c) barra está submetida a uma variação de temperatura de +0º. Barras B e 0MPa 1cm α.1 5 1 º esolução: a) estrutura é uma vez hiperstáctica k/m 50 X Incógnita hiperstática esforço na barra B quações de equilibrio [5] Σ F kx 0 Χ + 50 0 Σ F ky 0 + + 0 0 Σ M 0 + 0 3 0 4 Figura - Sistema-base δ B B 90º B F Figura 11 - eformada 9
esistência de Materiais strutura Hiperestática quação de compatibilidade de deformação B cos 45º X Ω Ω 8 X [] Substituindo em [5] + 50 X 3.94 k + 0 18.47 4 + 180 0 18.47 k 43.0 k 3.88k F 3.94 ( ) 43.0 ( ) 18.47 ( ) 3.88 ( ) b) eterminação das reacções nos apoios devido ao assentamento 1cm B (1) () Figura 1 Fixando o ponto B Figura 1-(1) Ω 1 0 9 1 3 k (compressão) Libertando o nó B e aplicando a força (Figura 1-())
esistência de Materiais strutura Hiperestática quações de equilíbrio [7]: + Χ 3.0 + 0 + + 0 4 + 0 quações de compatibilidade de deformação: B cos 45 X' Ω Ω 8 X ' Substituindo em [7] + 3 + ' X 7.09 k + 38.04 4 + 0 0 ' 3 + + 38.04 k 7.08 k 38.04k eacções devidas ao assentamento do apoio 3.0 + 7.09.91 k ( ) F 38.04 k 38.04 k 7.08 k ( ) ( ) ( ) 11
esistência de Materiais strutura Hiperestática eacções devidas ao assentamento e à acção exterior.91 + 3.94.03 k F 18.47 + 38.04 5.51 k 43.0 + 38.04 81. k 3.88 7.08 7.0 k c) t +0º α.1 5 º 1 Fixando o ponto determina-se a reacção nesse apoio, produzido pela variação de temperatura. α t.1 5 0 0 1 8.5 k barra fica comprimida. etirando o apoio fictício e aplicando a acção do efeito da temperatura. B Figura 13 Figura 14 eterminação dos esforços devido à variação de temperatura quações de equilíbrio [8]: ΣF ΣF ΣM kx ky 0 0 0 X + 4 + 0 + + 0 0 1
esistência de Materiais strutura Hiperestática quações de compatibilidade de deformação: B X (ver alínea a) cos α Substituindo em [8] e resolvendo o sistema de equações 4.5 k 9.04 k. k X 4.5 k eacções nos apoios devido à acção exterior e à verificação de temperatura. 43.0 + 4.5 38.54 k 3.88 9.04 5.1 k B ( ) ( ) 3.94 + 0 4.5 3.4 k ( ) F 18.47 8.5 +..8 k ( ) 13