UFCG Universidade Federal de Campina Grande CCT Centro de Ciências e Tecnologia UAF Unidade Acadêmica de Física Mecânica II Turma 01 Professor: Rômulo Rodrigues Relatório do Projeto do 3º Estágio Análogos Elétricos Grupo 02: André Gomes, Hugerles Silva, João Paulo Agra, Rodrigo Coelho, Thamiles de Melo. Campina Grande 06/06/2011
1. INTRODUÇÃO 1.1 MOTIVAÇÂO E OBJETIVO Muitos sistemas mecânicos possuem um sistema elétrico análogo. Isto porque as equações diferenciais que modelam o movimento de corpos num sistema mecânico podem ser muito similares às equações diferenciais que descrevem tensões e correntes num sistema elétrico, diferindo apenas por alguns coeficientes. Construir um circuito elétrico em geral é uma tarefa muito mais simples do que construir um grande, e muitas vezes caro, sistema mecânico. Portanto, os análogos elétricos se fazem uma ferramenta extremamente conveniente para a análise de certos sistemas mecânicos. O projeto aqui descrito tem por objetivo exemplificar a utilidade dessa ferramenta. 1.2 MATERIAL UTILIZADO: - Simulador de circuitos elétricos Multisim; - 1x protoboard; - 5x capacitores de 100μF; - 2x indutores de 820μH; - 1x resistor de 100Ω; - Fios condutores; - 1x gerador de sinais; - 1x osciloscópio digital.
2. O ANÁLOGO ELÉTRICO 2.1 O SISTEMA ELÉTRICO O circuito elétrico que representa o sistema mecânico do nosso projeto é o seguinte: Circuito Elétrico Definimos os ramos 1, 2 e 3 do nosso circuito como sendo: - Ramo 1: ramo que contém a FEM, o capacitor C1 e o indutor L1; - Ramo 2: ramo que contém o capacitor C2 e o indutor L2; - Ramo 3: ramo que contém o resistor R e o capacitor C3. Definimos ainda: - Corrente I1: corrente que passa pelo ramo 1, indo da FEM passando pelo capacitor C2 até o indutor L1; - Corrente I2: corrente que passa pelo ramo 2, indo do indutor L2 para o capacitor C2; - Corrente I3: corrente que passa pelo ramo 3, indo do resistor R para o capacitor C3; - Tensões V C1, V C2, V C3, V R, V L1 e V L2 : tensões nos capacitores C1, C2 e C3, no resistor R e nos indutores L1 e L2, respectivamente, seguindo a convenção passiva, ou seja, tensão positiva no terminal onde a corrente entra e em relação ao terminal de onde a corrente sai. - Cargas q1, q2 e q3: cargas nos capacitores C1, C2 e C3, respectivamente.
Considerando ainda a equação da capacitância, como segue: Na qual C é a capacitância do capacitor, q é a carga armazenada e V é a tensão nos terminais dele, podemos ter o seguinte esquema para o circuito: Podemos definir ainda as malhas do circuito, desta forma: - Malha 1: malha formada pelos ramos 1 e 3; - Malha 2: malha formada pelos ramos 2 e 3. Então, as equações de tensões em cada malha serão: - Para a malha1: - Para a malha 2: Podemos escrever essas equações em função das cargas q1 e q2, obtendo assim as equações diferenciais de cargas de cada malha. Basta apenas considerarmos que:
- No resistor: - No indutor: - Para circuitos de forma geral: - E para o capacitor C3: Uma vez que: Assim obtemos as equações diferenciais de malha como seguem: - Para a malha 1: - Para a malha 2:
2.2 O SISTEMA MECÂNICO O sistema mecânico a ser representado pelo nosso circuito elétrico é como representado no esquema a seguir, já com as forças introduzidas e representadas pelas setas, com os valores indicados próximos, referência positiva da esquerda para a direita: Sistema Mecânico Do esquema, podemos definir: - Bloco 1: bloco da esquerda; - Bloco 2: bloco da direita; - Massas m1 e m2: massas dos blocos 1 e 2, respectivamente. - Posições x1 e x2: deslocamentos dos blocos 1 e 2 respectivamente, em relação às origens individuais; - Velocidades v1 e v2: velocidades dos blocos 1 e 2, respectivamente. No esquema supomos v1>v2 para representar as setas, mas a quantificação é geral para quaisquer valores. - Molas 1, 2 e 3: respectivamente, as molas da esquerda, da direita e do meio. - Coeficientes k1, k2 e k3: coeficientes de elasticidade das molas 1, 2 e 3 respectivamente. - Coeficiente b: coeficiente de amortecimento do amortecedor entre os blocos 1 e 2.
Do esquema podemos extrair as equações diferenciais dos blocos 1 e 2 em função das posições x1 e x2 a partir das equações de forças dos blocos. Definindo: - Acelerações a1 e a2: acelerações dos blocos 1 e 2, respectivamente. E sabendo que: Em que a é a aceleração, v é a velocidade e x é a posição ou o deslocamento, temos: - Para o bloco 1: - Para o bloco 2:
2.3 ANALOGIA ENTRE OS SISTEMAS Comparando as equações 1 com 3 e 2 com 4, observamos que elas são exatamente do mesmo tipo, diferindo apenas pelos coeficientes. Desta forma, a carga q1 é uma grandeza elétrica análoga ao deslocamento x1, uma grandeza física. Do mesmo modo, a carga q2 é análoga ao deslocamento x2. Podemos então escrever que: temos: De modo que λ é uma constante arbitrária. Reescrevendo então as equações 1 e 2 - Eq. 1: - Eq. 2: Igualando as equações 5 com 3 e 6 com 4, chegamos a que: - Eq. 5 = Eq. 1:
-Eq. 6 = Eq. 2: Desta forma se relacionam as propriedades elétricas do circuito com as propriedades físicas do sistema mecânico. Devemos escolher valores coerentes dos componentes elétricos para que um sistema mecânico aceitável seja simulado. Como não temos como medir facilmente a carga nos capacitores C1 e C2, devemos medir a tensão (o instrumento mais adequado é o osciloscópio), uma vez que essas grandezas vão diferir apenas por uma constante que as relaciona, a capacitância: E a partir dessas medidas de tensão podemos extrair informações sobre o movimento dos blocos 1 e 2 do sistema mecânico:
2.4 ATRIBUIÇÃO DOS VALORES ÀS CONSTANTES E RESULTADOS Os seguintes valores foram atribuídos às constantes elétricas: De modo que, pudemos obter pelas relações de 2 a 7 as seguintes constantes mecânicas análogas (a massa foi definida de modo que obtivéssemos as outras constantes em valores aceitáveis): As frequências aplicadas no circuito, considerando, foram as seguintes:
Arbitrando a constante, e com, achamos pela relação 1 que: Deste modo, medido V C1 e V C2 no osciloscópio obtemos o deslocamento dos blocos 1 e 2 do sistema mecânico do projeto. Para verificar o comportamento do circuito análogo, primeiramente montamos o circuito no simulador Multisim, e posteriormente no protoboard: Circuito no Simulador Multisim
Circuito no protoboard nas imagens: Na simulação e dos osciloscópios, obtivemos respectivamente V C1 e V C2 como segue - Para ω = 60Hz, com abscissa em 10ms/div e ordenada em 20V/div: Respectivamente: V C1 x t e V C2 x t
- Para, com abscissa em 500μs/div e ordenada em 500mV/div: Respectivamente: V C1 x t e V C2 x t - Para, com abscissa em 500μs/div e ordenada em 1V/div: Respectivamente: V C1 x t e V C2 x t
- Para, com abscissa em 10ms/div e ordenada em 20V/div: Respectivamente: V C1 x t e V C2 x t Sinal obtido na prática pelo osciloscópio
Como podemos observar, para altas frequências (por exemplo: 2,5kHz e 3,5kHz) o sinal fica próximo do sinal senoidal fornecido pela FEM, no entanto a amplitude é muito pequena. Já para baixas frequências (por exemplo, frequências menores ou próximas de 350Hz), o sinal tende a ficar modulado e a amplitude aumenta. Os gráficos do movimento dos blocos são iguais aos gráficos obtidos para a tensão nos capacitores, diferindo apenas em escala e tipo de grandeza (em vez de volts, metros). As relações a seguir, exibidas anteriormente neste relatório, demonstram isso: 2.5 ALGUNS PROBLEMAS ENCONTRADOS Um dos principais problemas na realização deste projeto foi encontrar indutores nos valores ideais, uma vez que estes dispositivos estão disponíveis no mercado numa variedade de valores muito limitada. Para tentar eliminar esta dificuldade tentamos simulá-los utilizando amplificadores operacionais. No entanto, a tentativa foi infrutífera e tivemos que utilizar os dispositivos reais, tendo que adaptar o restante do circuito a eles. Outro problema, que pode ser percebido na pequena diferença entre os resultados obtidos via simulação e o obtido na prática, é que os elementos elétricos reais diferem dos ideais. Um modelo bem mais avançado desses dispositivos seria necessário para uma melhor aproximação entre os resultados esperados e os obtidos. Por exemplo, o indutor apresenta outras propriedades além da indutância, como uma pequena resistência interna ocasionada pelo fio utilizado em seus enrolamentos, e até uma diminuta capacitância uma vez que os fios enrolados estão dispostos paralelamente e bem próximos. Em eletrônica o indutor é considerado um elemento muito problemático e seu uso é evitado, preferindo-se simular o seu comportamento com outros dispositivos, a exemplo do amplificador operacional já citado.
3. CONCLUSÃO O sistema mecânico relativo a este projeto foi simulado de forma satisfatória pelo circuito elétrico elaborado, como podemos constatar por meio do resultado dos cálculos aqui apresentados, dos dados experimentais expostos e dos dados complementares obtidos via simulação. Deste modo, conseguimos mostrar que os análogos elétricos são ferramentas muito úteis e convenientes, evitando grandes gastos e esforços, tanto para montar quanto para realizar medições num sistema mecânico. Montando um simples circuito conseguimos obter informações de um equivalente mecânico muito mais problemático de se obter e analisar na prática.
4. ANEXOS -Realização dos cálculos para analogia entre os sistemas em estudo: - Atividade experimental: