Disciplina de Matemática Aplicada Curso Técnico em Alimentos Profª Me. Valéria Espíndola Lessa APOSTILA 1 Aula 1, e 3 Erechim, 014
NOÇÃO DE FRAÇÕES, NÚMEROS DECIMAIS E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Frações As frações ou números fracionários representam quantidades não inteiras, na qual o denominador indica em quantas partes as unidades (espaços entre os inteiros) foram divididas e o numerador indica em qual posição está a parte tomada. Podemos representar uma fração numa reta numérica (como uma medida) ou a partir de figuras geométricas. Exemplo: Representar graficamente as frações seguintes na reta numérica e usando figuras geométricas: (i) 1 (ii) 5 (iii) 10 (iv) 1 5 (v) 9 5 (vi) 8 4 Operações com Frações Veremos aqui os procedimentos de cálculo para as quatro operações com frações. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO a) 3 + 4 = b) 1 + 3 4 = c) 3 + 1 5 = d) 3 + 1 8 = e) 5 3 1 5 = f) 1 + 3 5 1 3 = MULTIPLICAÇÃO a) 3 4 5 6 = b) 1 3 5 = c) 3 3 14 5 = DIVISÃO a) 6 3 15 = b) 14 8 3 = c) 10 5 = d) 8 5 1 1 3 = e) EXPRESSÕES NUMÉRICAS 3 8 15 = f) 1 + 1 1 3 = a) 3 + 1 3 5 = b) (3 + 1 3 ) 5 = c) 5 10 1 =
Números Mistos Os números mistos são compostos por uma parte inteira e uma parte fracionária, por exemplo: 1 3 5 1 3 1 Este número que pode aparecer em contexto de medições, como por exemplo, na quantidade de leite para uma receita. O número 1 representaria duas xícaras de leite mais meia xícara. Vemos que há a adição da parte inteira com a fração. As frações que representam quantidades maiores do que 1 podem ser escritas na forma de número misto: a) 13 5 = b) 5 = c) 34 5 = Os números mistos podem ser transformados em frações: a) 1 3 = b) 5 9 = c) 3 4 = Operações: a) 1 4 + 3 1 5 = b) 3 + 3 5 1 1 6 = Números Decimais Os números decimais são outra forma de representar alguns tipos de frações. Eles possuem uma parte inteira e outra não inteira depois da vírgula. Quando dividimos o numerador pelo denominador de uma fração, podemos obter dois tipos de resultados: Números com casas decimais finitas => número decimal; Números com casas decimais infinitas => dízima periódica. Centena Dezena Unidade, décimos centésimos milésimos Décimos de milésimos 1, 5 6 8 3 0, 0 0 0, 0 1 5 Exemplo: Transformar as frações em números decimais ou dízimas periódicas. (i) 3 = (ii) 4 = (iii) 14 10 = (iv) = (v) = (vi) 9 = 5 3 10000 000 100 00 Exemplo: Transformar os números decimais em frações (i) 0,5 (ii) 4,3 (iii) 0,000014 (iv) 0,0001 (v) 0,05 (vi) 1, Operações com Números Decimais ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO vírgula embaixo de vírgula a) 0,003 + 0,045 = b) 1,34 + 1,5 = c) 10,04 9,005 = MULTIPLICAÇÃO multiplicar normalmente e somar o número de casas decimais a),5 x 0,05 = b) 0,13 x 0,4 = c),5 x = 3
DIVISÃO igualar o número de casas e depois dividir a) 1,5 0,5 = b) 0,009 3 c) 8 0,004 Frações de Quantidades Em muitas situações as frações aparecem indicando uma parte de uma certa quantidade. Exemplos 1)O aluguel do apartamento de certa pessoa custa ¾ de seu salário. Sabendo que a pessoa ganha mensalmente R$ 1.00,00, quanto ela paga de aluguel? ) Uma jarra contém 150 ml de suco. Sabendo que /5 de suco já foi bebido, quanto de suco ficou na jarra? 3) Uma caixa contém 50 camisetas para serem distribuídas entre os estudantes do Curso Técnico de Alimentos do IFRS. Destas camisetas, 3/5 são pretas e o restante são brancas. Quantas camisetas tem de cada cor? 4) Uma pequena indústria de produtos alimentícios pretende produzir biscoitos, mas ainda não conseguiu concluir o trabalho. Até agora já foram produzidos /5 dos pacotes que se pretende fazer até o final da semana, e esta fração corresponde a 360 pacotes. Calcule quantos pacotes de biscoitos ainda faltam e o total que deve ser produzido. 5) De 45 estudantes do Curso Técnico em Alimentos, apenas 15 compareceram a uma certa palestra. Indique a fração que representa o número de estudantes que compareceram e que não compareceram à palestra. 6)Uma indústria de Erechim produz 10.000 unidades de certo produto por semana. Sabendo que /5 destes produtos vão para empresas da cidade de Getúlio Vargas, 1/4 vai para empresas da cidade de Barão de Cotegipe e que o restante fica em empresasde Erechim, calcule: a) A fração correspondente a parte que fica em Erechim. b) O número de unidades entregue em cada cidade. Expressões Algébricas As frações e os números decimais são, muitas vezes, utilizados na álgebra onde trabalha-se com letras em expressões. Os cálculos são os mesmos, porém é necessário observar a incógnita ou variável (letra) que está associada a cada número. Vejamos alguns exemplos: a) x + 3y 5x + 4y 9x b) x 3 + y 4 x + y 3 c) 0,P + 1,Q P + 3Q + 3,4Q POTENCIAÇÃO E NOTAÇÃO CIENTÍIFICA A potenciação é uma operação que envolve dois números: uma base e um expoente. O expoente indica quantas vezes a base se multiplica. Exemplos: a) 3 b) 3 c) 10 5 d) ( 1 4 3 ) e) (0,04) 3 Quando a base é negativa, o que acontece? f) ( ) g) ( ) 3 h)( ) 4 i) ( ) 5 Quando o expoente é negativo, o que acontece? j) k) 10 1 i) 4 3 j) ( 3 ) k) ( 1 4 ) 3 i) ( 5) 4
Propriedades 1ª) Multiplicação de potências de mesma base conserva-se a base e soma-se os expoentes: a) 3. 4 b) 3 4. 3 1. 3. 3 3 c) 10 3. 10. 10 5. 10 d) ( 3 ). ( 3 ). ( 3 ) 11 ª)Divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. a) 3 4 b) 10 5 83 c) 106 8 5 d) 9. 9 3. 9 9 4. 9 3ª) Potência de potência, conserva-se a base e multiplica-se os expoentes: a) (3 4 ) 5 b) ( ) c) [( 1 5 ) 4] 3 Observações Importantes: Expoente zero 5 5 Aplicando a definição: 3 3 1 5 5 55 Aplicando a propriedade: Então: 0 1 Todo número elevado a zero é um 3 4 4 9 6 4.4 4 51 64 16 16 3 4 0 Notação Científica Muitas vezes é conveniente escrever um número muito grande ou muito pequeno, que contenha muitos zeros, na forma de notação científica. Esta notação consiste na representação de um número pela multiplicação de um número racional por uma potência. a) 10.000.000 10101010101010 10 zeros b) 1 1 0,0000001 10 casas 10.000.000 10 decimais zeros c)a distância da Terra ao sol é de 150.000.000 km 1 50.000.000 1510.000.000 1510 1,5 8 casasà esquerda 10 8 d) A massa de um próton é 0,0000000000000000000000000016 kg 0, 0000000000000000000000000016 1,610 casasà direita Podemos entender que para transformar um número muito grande ou muito pequeno em notação científica, basta andar com a vírgula. Número grande terá potência de dez com expoente positivo Número pequeno terá potência de dez com expoente negativo 5
e) 15.000.000 = f) 0,0000045 = g) 0,00000000000034 = h) 1.050.000.000 = i) 5.06.000.000 = j) 0,000000000561 = Da mesma forma para transformarmos uma notação em números grandes ou pequenos, fazemos: 6 6 k) 1,3 10 1, 300000 10 1300000 6 casas para aumentar o número 6 6 l) 1,3 10 000001,3 10 0, 0000013 6 casas para diminuir o número 8 1 m),34 10 n) 1,8810 Devemos ajeitas os números abaixo para que fiquem na forma correta de notação científica: o) 0,0034 10 1 p) 560 10 9 q) 000 10 3 Operações com Notações Científicas ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO a),3 10 9 + 1,5 10 9 b) 1,45 10 3 + 10 19 c) 3,6 10 9 + 1, 10 MULTIPLICAÇÃO d) (,3 10 5 ) (1,9 10 4 ) e) ( 10 9 ) (5,3 10 4 ) DIVISÃO f),5 103 1,8 10 1 g) 5 109 10 9 PROPORÇÕES E REGRA DE TRÊS Regra de Três Simples De forma geral e simplificada, podemos dizer que uma proporção é quando duas grandezas aumentam ou diminuem a mesma quantidade de vezes. Para se calcular proporções, usamos uma técnica chamada Regra de Três. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Se para produzir 3 bolos iguais precisamos de 50 gramas de farinha de trigo, quantos gramas são necessários para produzir 9 bolos destes? E apenas 1 bolo? Exemplo : Um funcionário recebe R$ 836,00 por 0 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? Exemplo 3: Uma máquina produz 600 peças em 4 horas. Em 10 horas produzirá quantas peças? Exemplo 4: Uma viagem foi feita em 1 dias, percorrendo-se 150km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 00km por dia? Exemplo 5: Duas pessoas ganharam na loteria e cada uma receberá R$ 15 milhões. Se fossem 6 ganhadores, quanto cada um receberia? 6
Exemplo 6: Para a entrega de certa encomenda ao final da semana, os operários de uma fábrica precisariam confeccionar 130 unidades por hora trabalhando durante 40 horas. Se os operários conseguissem confeccionar 00 unidades por hora, ao final de quantas horas a encomenda ficaria pronta? Exemplo : Uma indústria produz 1500 unidade de certo produto em 10 dias. Trabalhando neste mesmo ritmo, quantos dias serão necessários para produzir 650 unidades? Porcentagem O cálculo de porcentagem é uma operação muito antiga em termos de cálculos comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada por meio do sinal %, que significa divisão por 100. Há três formas de representar uma porcentagem: usando o símbolo %; na forma de uma razão; ou de um número decimal. 3 0, 3% 0,3 0,% 0, 00 100 100 A porcentagem representa uma quantidade tomada de 100, dessa forma também chamamos de taxa percentual. Já os valores 0,3 e 0,00 representam uma quantidade tomada de 1, portanto, chamamos de taxa unitária. Para os cálculos de Matemática Financeira, sempre se utiliza a taxa unitária. É importante lembrar: As porcentagens indicam valores numéricos que estão relacionados a certas quantidades. Quando dizemos que o salário teve um aumento de 10%, não sabemos ao certo quantos Reais estes 10% significam. Será preciso saber o valor do salário. Se o salário for de R$1.000,00 estes 10% significam R$100,00. Mas se o salário for de R$ 5.000,00 estes 10% significam R$500,00. Quando efetuamos os cálculos de porcentagem na verdade estamos efetuando um simples cálculo de proporção. Vejamos os exemplos: Exemplo 1:Das.500 peças que uma máquina produz, 150 peças saem com defeito. Qual é a taxa percentual da produção de peças com defeito dessa máquina? Exemplo :Quanto é 10% de R$ 800,00? Exemplo 3: Quanto é 5% de 50g? Exemplo 4: Quanto é 0,3% de 100 ml? Exemplo 5: Em litros de suco de laranja, sabe-se que 400 ml são de água. Qual é o percentual de água neste suco de laranja? Exemplo 6: Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.16,5, para obter uma rentabilidade (lucro) de 6%? Exemplo : Este ano, uma fábrica aumentou em 15% o número de funcionário que tinha. Com isso, passou a ter 690 funcionários. Quantos funcionários tinha antes? Exemplo 8: Uma loja estava com desconto de 30% sobre o preço de etiqueta de seus produtos. Quanto sairá uma calça jeans cujo preço de etiqueta é de R$ 165,00? Exemplo 9: Uma peça de vestuário, com desconto de 5% sobre o valor de etiqueta, foi vendida por R$ 90,00. Qual era o preço da etiqueta? Regra de Três Composta Problemas que envolvem mais do que duas grandezas, direta ou inversamente, proporcionais são resolvidos com procedimentos da Regra de Três Composta. Exemplos:
Exemplo 1: Dois operários, depois de 8 dias de serviço, receberam R$ 400,00. Quanto receberão 5 operários por 1 dias de trabalho? Exemplo : Se 1 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintam um edifício em 6 dias. Nas mesmas condições, quantos dias serão necessários para que 9 pintores, trabalhando horas por dia, pintem o mesmo edifício? (R.: 16 dias) Exemplo 3: Se 10 máquinas, funcionando 6 horas por dia, durante 60 dias, produzem 90.000 peças, em quantos dias, 1 dessas mesmas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzirão 19.000 peças? (R.: 80 dias) Exercícios LISTA 1 1) Represente graficamente as frações seguintes: a) /9 b) ¾ c) 3/ d) 6/3 e) 15/0 f) 4/3 g) 9/ h) 3/6 ) Uma pessoa recebeu o seu salário no valor de R$ 1.850,00. Ontem gastou 1/4 do dinheiro, e hoje, gastou /3 do que lhe restava. Com quantos reais a pessoa ficou? 3) Um rolo de tecido possui 0 metros de comprimento por 1,0 metros de largura. Para confeccionar certo tipo de blusa, usa-se 3/5 do comprimento do tecido. Quantos metros de tecido sobraria? 4) De uma peça de tecido de 30 metros de comprimento utilizou-se 4 metros. Indique a fração que representa a quantidade de tecido usada e a quantidade que sobrou. 5) Uma peça de tecido no formato de um retângulo têm 5 metros por 1,5 metros. Sabendo que será usado /5 da área deste tecido, quantos m² de tecido sobrará? 6)Uma caixa contém 90 moldes de três peças diferentes de vestuáriomasculino para serem utilizadas pelos os estudantes do curso de Design de Moda do IFRS. Destesmoldes, 1/3 são de camisetas, 1/5 são de calças e o restante de bermudas. Calcule: a) a fração que representa o número de moldes de bermudas. b) a quantidade de moldes de cada tipo. ) Para um Projeto de Extensão do IFRS, a turma 014/1 do Curso de Design de Moda precisa projetar certo número de peças. Sabendo que /5 do que precisa ser feito já está pronto e que isso equivale a 10 peças, calcule o total de peças que precisam ser projetadas. 8) Dos 90 candidatos para o processo seletivo do IFRS, 55 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados? 9) Uma pessoa devia R$ 0.000,00 e pagou R$.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? 10) Calcule: a) 9% de R$ 1.9,00 b),5% de R$4.300,00c) 0,5% de R$ 1.346,50 d) 14% de R$ 3.000,00 e) 0,6% de R$ 300,00 f) 110% de R$ 90,00 10) Sabe-se que uma máquina está produzindo 35% a menos de peças do que deveria, devido a um defeito. Se hoje ela produziu 1.5 peças, quanto ela deveria produzir se estivesse funcionando corretamente? 11) Na compra de um aparelho de som obtive um desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$10,00 pelo aparelho, qual era o preço original? 1) Uma empresa concedeu aumento de 8% a seus funcionários. Após o aumento, um dos funcionários passou a receber R$ 1.360,80. Qual era o salário desse funcionário? 13) Uma mercadoria que custava R$ 1,50 teve um aumento e passou a valer R$ 13,50. De quantos por cento foi o aumento sobre o preço antigo? 8
14) Um pedaço de tecido com 1,5 m² de área será todo recortado na modelagem de uma peça. Sabendo que 15% do material se tornará retalho, calcule a área, em m², que será aproveitada. 15) Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 m³ cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 m³, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? 16) Com uma certa quantidade de arame pode-se fazer uma tela de 50m de comprimento por 1,0m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior? 1) Em um treino de fórmula 1 um piloto fez o percurso em 18 segundos, com uma velocidade média de 00 km/h. Se a velocidade média fosse de 40 km/h, qual seria o tempo gasto no percurso? 18) Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em 6 dias foram asfaltados 180m da rua. Supondo que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? 19) Uma pessoa devia R$ 0.000,00 e pagou R$.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? 0) Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 10,80, para obter uma rentabilidade (lucro) de 65%? 1) Um comerciante obtém um lucro de R$ 45,50 na venda de certa mercadoria, com uma taxa de lucro de 5% sobre o custo. Qual é o preço de custo e o preço de venda desta mercadoria? ) Um comerciante vendeu certa mercadoria com o lucro de 8% sobre o custo e o preço de venda saiu por R$ 1.350,00. Qual foi seu lucro em reais? 3) Um produtor de alimentos vende certa mercadoria por R$ 19,0 a unidade e ganha R$ 3,0 de lucro. Qual é a taxa de lucro obtida? 4) Sabe-se que para a produção de certo alimento, há desperdício de 1% de matéria prima. Se temos 500g de matéria prima, quantos gramas serão realmente aproveitados? 5) Um carro com a velocidade média de 80km/h percorre, em dias de viagem, 1800km. Se a velocidade for alterada para 60km/h, quanto tempo ele levará para percorrer 3.35km? 6) Em 30 dias, uma frota de 5 táxis consumem 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 40.000 l de combustível? ) Um automóvel com velocidade média de 60km/h, roda 8h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se sua velocidade fosse de 80km/h e se rodasse 9 h por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? Gabarito: ) R$ 1.110,00 3) 8 metros 4) 4/5 e 1/5 5) 4,5 m² 6) (a) /15; (b) 30 camisetas, 18 calças e 4 bermudas ) 5 8) Aprox. 61,11% 9) 3% 10) (a) R$116,3; (b) R$ 10,50; (c) R$ 6,3; (d) R$ 40,00; (e) R$ 1,80; (f) R$ 99,00 11) 3500 peças 1) R$ 10,00 13) R$ 1.60,00 14) 8% 15) Aproximadamente 15 m² 16) 0 caminhões 1) 0 metros 18) 15 segundos 19) 3% da dívida foram pagos 0) R$ 1,8 1) Preço de custo R$ 18,00, preço de venda R$,50 )Lucro de R$ 100,00 3) 0% 4) 440 gramas 5)5 dias 6) 50 dias ) 4 dias 9