SUMÁRIO CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS 1 Somas e produtos 1 Propriedades algébricas básicas 3 Mais propriedades algébricas 5 Vetores e módulo 8 Desigualdade triangular 11 Complexos conjugados 14 Forma exponencial 17 Produtos e potências em forma exponencial 20 Argumentos de produtos e quocientes 21 Raízes de números complexos 25 Exemplos 28 Regiões do plano complexo 32 CAPÍTULO 2 FUNÇÕES ANALÍTICAS 37 Funções e aplicações 37 A aplicação w = z 2 40 Limites 44 Teoremas de limites 47 Limites envolvendo o ponto no infinito 49 Continuidade 52 Derivadas 55 Regras de derivação 59 Equações de Cauchy-Riemann 62
xiv SUMÁRIO Exemplos 64 Condições suficientes de derivabilidade 65 Coordenadas polares 68 Funções analíticas 72 Mais exemplos 74 Funções harmônicas 77 Unicidade de funções analíticas 80 Princípio da reflexão 82 CAPÍTULO 3 FUNÇÕES ELEMENTARES 87 A função exponencial 87 A função logaritmo 90 Exemplos 92 Ramos e derivadas de logaritmos 93 Algumas identidades envolvendo logaritmos 97 A função potência 100 Exemplos 101 As funções trigonométricas sen z e cos z 104 Zeros e singularidades de funções trigonométricas 106 Funções hiperbólicas 109 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas 112 CAPÍTULO 4 INTEGRAIS 115 Derivadas de funções w(t) 115 Integrais definidas de funções w(t) 117 Caminhos 120 Integrais curvilíneas 125 Alguns exemplos 128 Exemplos envolvendo cortes 131 Cotas superiores do módulo de integrais curvilíneas 135 Antiderivadas 140 Prova do teorema 145 Teorema de Cauchy-Goursat 148 Prova do teorema 150 Domínios simplesmente conexos 155
SUMÁRIO xv Domínios multiplamente conexos 157 Fórmula integral de Cauchy 162 Uma extensão da fórmula integral de Cauchy 164 Verificação da extensão 167 Algumas consequências da extensão 168 Teorema de Liouville e o teorema fundamental da álgebra 172 Princípio do módulo máximo 174 CAPÍTULO 5 SÉRIES 179 Convergência de sequências 179 Convergência de séries 182 Séries de Taylor 186 Prova do teorema de Taylor 187 Exemplos 189 Potências negativas de (z z 0 ) 193 Séries de Laurent 197 Prova do teorema de Laurent 199 Exemplos 201 Convergência absoluta e uniforme de séries de potências 208 Continuidade da soma de séries de potências 211 Integração e derivação de séries de potências 213 Unicidade de representação em séries 216 Multiplicação e divisão de séries de potências 221 CAPÍTULO 6 RESÍDUOS E POLOS 227 Singularidades isoladas 227 Resíduos 229 Teorema dos resíduos de Cauchy 233 Resíduo no infinito 235 Os três tipos de singularidades isoladas 238 Exemplos 240 Resíduos em polos 242 Exemplos 244 Zeros de funções analíticas 247 Zeros e polos 250 Comportamento de funções perto de singularidades isoladas 255
xvi SUMÁRIO CAPÍTULO 7 APLICAÇÕES DE RESÍDUOS 259 Cálculo de integrais impróprias 259 Exemplo 262 Integrais impróprias da análise de Fourier 267 Lema de Jordan 269 Um caminho indentado 274 Uma indentação em torno de um ponto de ramificação 278 Integração ao longo de um corte 280 Integrais definidas envolvendo senos e cossenos 284 Princípio do argumento 287 Teorema de Rouché 290 Transformada de Laplace inversa 295 CAPÍTULO 8 TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES ELEMENTARES 299 Transformações lineares 299 A transformação w = 1/z 301 Transformações de 1/z 303 Transformações fracionárias lineares 307 Uma forma implícita 310 Transformações do semiplano superior 313 Exemplos 315 Transformações da função exponencial 319 Transformações de retas verticais por w = sen z 320 Transformações de segmentos de reta horizontais por w = sen z 322 Algumas transformações relacionadas 324 Transformações de z 2 327 Transformações de ramos de z 1/2 328 Raízes quadradas de polinômios 332 Superfícies de Riemann 338 Superfícies de funções relacionadas 341 CAPÍTULO 9 APLICAÇÕES CONFORMES 345 Preservação de ângulos e fatores de escala 345 Mais exemplos 348
SUMÁRIO xvii Inversas locais 350 Harmônicas conjugadas 353 Transformações de funções harmônicas 357 Transformações de condições de fronteira 360 CAPÍTULO 10 APLICAÇÕES DE TRANSFORMAÇÕES CONFORMES 365 Temperaturas estacionárias 365 Temperaturas estacionárias em um semiplano 367 Um problema relacionado 369 Temperaturas em um quadrante 371 Potencial eletrostático 376 Exemplos 377 Escoamento de fluido bidimensional 382 A função corrente 384 Escoamento ao redor de um canto e de um cilindro 386 CAPÍTULO 11 A TRANSFORMAÇÃO DE SCHWARZ- -CHRISTOFFEL 393 Transformação do eixo real em um polígono 393 Transformação de Schwarz-Christoffel 395 Triângulos e retângulos 398 Polígonos degenerados 402 Escoamento de fluido em um canal através de uma fenda 407 Escoamento em um canal com estreitamento 409 Potencial eletrostático ao redor de um bordo de uma placa condutora 412 CAPÍTULO 12 FÓRMULAS INTEGRAIS DO TIPO POISSON 417 Fórmula integral de Poisson 417 Problema de Dirichlet de um disco 420 Exemplos 422 Problemas de valores de fronteira relacionados 426 Fórmula integral de Schwarz 428 Problema de Dirichlet de um semiplano 430 Problemas de Neumann 433
xviii SUMÁRIO APÊNDICE 1 BIBLIOGRAFIA 437 APÊNDICE 2 TABELA DE TRANSFORMAÇÕES DE REGIÕES (Ver Capítulo 8) 441 ÍNDICE 451