Tópico Trigonometria do Triângulo Rectângulo. Comentários Objectivos Identificar e determinar as trigonométricas de ângulos agudos de um triângulo rectângulo. Conhecimentos Prévios Noção de triângulo rectângulo, de ângulo agudo, de amplitude de um ângulo, do Teorema de Pitágoras e de grandezas directamente proporcionais. Formato de Ensino Explorações em pares. Actividade Motivacional A empresa Trigonoma fez um esboço de um projecto para a construção de um teleférico entre a EB2, 3 de Lamaçães (A) e o Bom Jesus (B) com 22,6º de inclinação, tendo como referência o seguinte triângulo rectângulo [ABC]: E 130 F β o B 75m Com esta actividade pretende-se que os alunos revejam o teorema de Pitágoras, como também se pretende favorecer a introdução de dois casos de semelhança de triângulos (a existência de dois ângulos iguais entre os triângulos, e a proporcionalidade entre os seus lados). Escola E2,3 de Lamaçães A 22.6º 60m D 25m 120 Para o esboço de tal projecto, a empresa considerou que o desnível entre a tua escola e o Bom Jesus é de 75m e que [FG] e [DE] representam os pilares do teleférico. 1. Quantos triângulos decompõem o esboço do teleférico? Relativamente aos seus ângulos o que têm de comum? G C Na abordagem desta actividade procurar-se-á questionar os alunos sobre as designações dos lados de um triângulo rectângulo, e sobre o teorema de Pitágoras. 1
2. Determina AE e FG. 3. Sendo os lados correspondentes dos triângulos que compõem o triângulo [ABC] proporcionais, determina AC e o comprimento do cabo necessário para ligar o Bom Jesus à tua escola. 4. Completa: DE FG BC 4.1. =...; =... =..., o que observas? AD AG AC DE FG BC 4.2. =...; =...; =..., o que observas? AE AF AB Com esta questão pretende-se introduzir as trigonométricas de um ângulo agudo de um triângulo rectângulo. AD AG AC 4.3. =...; =... ; =..., o que observas? AE AF AB Exploração 1. Da análise de exemplos e de contra-exemplos de triângulos semelhantes, procurar que os alunos definam os casos de semelhança de triângulos. 2. Da análise das entre as medidas dos lados correspondentes dos triângulos apresentados na actividade motivacional, identificar as trigonométricas de um dos seus ângulos agudos. 3. Considerando um triângulo rectângulo qualquer cujas medidas dos seus lados sejam a, b e c pedir aos alunos para determinarem as trigonométricas dos ângulos agudos do triângulo. Generalização das trigonométricas. Prática 1) Para se fazerem arranjos no telhado de sua casa, o Senhor João encostou à parede uma escada de 3 metros, fazendo um ângulo de 30º. Qual é a distância h? Aplicação das trigonométricas na resolução de problemas. x 2
2) De um barco, um pescador avista o cimo de uma falésia segundo um ângulo de 50º. O barco dista 100 metros da falésia. Determina aproximadamente a distância do barco ao ponto mais alto da falésia.? 100 3) O Manuel e a Sara pretendem saber a que distância do solo está o balão. A Sara, que mede 1,65 metros, vê o balão olhando na vertical e o Manuel, que está distanciado da Sara 100 metros, vê o balão segundo um ângulo de 40º com a horizontal. A que altura se encontra o balão? 4) Considera alfa igual a 63,4º. Calcula x: 4.1. Usando a trigonometria. 4.2. Usando o teorema de Pitágoras. 3
5) Observa a figura: No ponto T está colocado um observador. O ângulo sob o qual vê o Sol é de 32º. TO é a bissectriz do ângulo ATB. Qual o diâmetro do Sol se a distância TO = 150 10 6 Km? Desafio No Verão passado, a Joana, a irmã e os pais foram passar férias. Estavam acampados perto de um castelo antigo, bem conservado, que tinha um fosso a toda a volta. O fosso do castelo estava seco e podiam ver completamente a torre do castelo. Sugeriu a mãe: Meninas tentem determinar a altura da torre do castelo! Observando a figura seguinte, que tem os dados que as irmãs recolheram, tenta responder à sugestão da mãe. Síntese/Discussão Imagina que te encontras na posição A numa das margens de um rio e pretendes saber a distância de A a C. Como farias? B A C 4
Tarefa adicional As diagonais de um losango têm 12 cm e 16 cm. Sendo α a amplitude do ângulo que a diagonal menor faz com um dos lados, calcula: 1. sen α α 2. cos α 3. tg α Trabalho de casa Determinar a altura de um edifício, de uma árvore ou de algo à escolha dos alunos com o recurso a um medidor de ângulos e com um T. Materiais: Quadro, giz, multimédia, computador. 5