Projecto IMLNA Promover a Aprendizagem Matemática em Números e Álgebra ESTUDO DAS FUNÇÕES NO PROGRAMA DE MATEMÁTICA A COM PROBLEMAS E TAREFAS DE EXPLORAÇÃO Tarefas para o 10.º e o 11.º Anos do Ensino Secundário Materiais de Apoio ao Professor Manuel Joaquim Saraiva Ana Madalena Teixeira Jael Miriam Andrade Setembro 2010
Projecto financiado pela FCT Fundação para a Ciência e Tecnologia, contrato N.º PTDC/CED/65448/2006 Materiais divulgados com o apoio da Associação de Professores de Matemática
Índice Introdução 2 O conceito de função, as diversas representações e as suas conexões 3 As aulas de Matemática com tarefas exploratórias e investigativas 4 Objectivos gerais de aprendizagem 5 10.º Ano: Funções e gráficos. Funções polinomiais. Função Módulo 6 11.º Ano: Funções racionais e com radicais 8 As tarefas apresentadas 10 Referências 11 Tarefas 10.º Ano 12 Como comprar uma Playstation Portable? 13 Transformações de funções 27 De quem é a responsabilidade? 43 Funções polinomiais 53 Tarefas 11º Ano 70 Transformações de funções racionais 71 Explorando funções racionais 88 Operações com funções I 107 Operações com funções II 118 1
Introdução As tarefas matemáticas apresentadas na presente publicação poderão ser utilizadas pelos professores dos 10.º e 11.º anos nas suas aulas, para o desenvolvimento do tema das Funções. Para cada tarefa são apresentados os objectivos gerais de aprendizagem, os conhecimentos prévios dos alunos, possíveis estratégias de resolução, resoluções de alunos e algumas reflexões sobre elas. São dadas indicações i) sobre as diversas representações das funções, com realce para a representação gráfica, e ii) sobre a importância das conexões entre elas através das quais os alunos poderão adquirir mais significativamente o conceito de função, as suas propriedades e as operações com funções, nomeadamente com as funções racionais. A experiência matemática dos alunos é enriquecida se a sua actividade matemática contemplar a resolução de situações do quotidiano, envolvendo o uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC). Cabe sempre ao professor a responsabilidade de decidir sobre as tarefas a propor aos seus alunos. Para tal decisão terá em conta, decerto, a importância que o estudo das funções tem não só em termos estritamente matemáticos (por exemplo, para a aprendizagem de conceitos fundamentais como o de derivada e de limite), mas também na sua influência para a aprendizagem de conceitos de disciplinas como a Física, a Química, a Biologia e a Economia. Com os materiais apresentados nesta publicação pretendemos mostrar como certos tipos de tarefas, usadas regularmente nas aulas de Matemática, podem potenciar a experiência matemática dos alunos, promovendo a sua compreensão do conceito de função, o desenvolvimento da sua capacidade em trabalhar com os vários tipos de representações, com a promoção da capacidade de identificar propriedades das funções, incluindo as racionais (domínio, contradomínio, variação, paridade, sinal e assímptotas), e da análise do efeito provocado pela mudança de parâmetros nas famílias de funções (polinomiais e racionais). Procuraremos contrariar a ideia redutora de que uma função é uma expressão analítica, realçando a importância dos diversos tipos de representações de uma função, nomeadamente a conexão entre eles. É aconselhável que o professor proponha tarefas matemáticas que permitam aos alunos explorar, analisar e comparar os vários tipos de representações. 2
O conceito de função, as diversas representações e as suas conexões O conceito de função é um dos conceitos mais importantes da Matemática. É extraordinário na diversidade das suas interpretações e representações. Porém, os alunos enfrentam muitas dificuldades quando tentam compreendê-lo. Uma função pode ser apresentada aos alunos como sendo uma correspondência entre dois conjuntos (o de partida e o de chegada), onde a cada elemento do conjunto de partida (objectos) corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada (imagens), sendo, desta forma, um conjunto de pares ordenados. A definição de função como uma relação entre duas variáveis uma variável é função da outra, y = f ( x ), onde y é função de x deve também ser apresentada aos alunos, pois facilitará a compreensão das diversas representações de uma função. As funções normalmente são conceptualizadas como um tipo especial de relação (Chazan & Yerushalmy, 2003). De facto, toda a equação linear do tipo ax + by = c, com a a, b 0 pode ser escrita através de uma equação equivalente, y = x + b c, que é, também, b uma função afim numa variável. Para construir uma representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis poderá ser útil escrevê-la como uma função linear com uma variável aliás, o uso da calculadora gráfica a tal exige. As representações são a chave para a aprendizagem conceptual e determinam muitas vezes o que é aprendido. A capacidade de representar e identificar o mesmo conceito em diferentes representações permite aos alunos observar relações importantes e desenvolver uma compreensão profunda do conceito. No estudo das funções, é necessário promover a distinção entre o conceito de função e os seus diferentes tipos de representação (numérica/tabelar; algébrica; gráfica; linguagem natural). O uso da representação gráfica tem um papel fundamental na compreensão de tal distinção. As conexões entre as representações gráficas e as expressões algébricas trazem benefícios para a sua compreensão. Entende-se por gráfico de uma função f o conjunto de todos os pares ordenados ( x, y ), em que x pertence ao domínio da função e y é a imagem correspondente, tal que a cada x só corresponde um e um só y, podendo este ser ou não o mesmo que um outro anterior (ou seja, o gráfico de uma função pertence ao produto cartesiano D f CDf ); entende-se por representação gráfica a representação geométrica, num referencial, do gráfico da função; assim, há muitas representações gráficas para um mesmo gráfico; normalmente, e por um 3
abuso de linguagem, usa-se indiferentemente o termo gráfico de uma função como sendo uma representação gráfica de uma função. Uma das dificuldades dos alunos na compreensão do conceito de função deve-se à dualidade da sua natureza (Sajka, 2003). De facto, uma função pode ser entendida numa perspectiva estrutural como um objecto, ou numa perspectiva operacional como um processo. Na primeira, uma função é um conjunto de pares ordenados, enquanto na segunda perspectiva uma função é um processo computacional, ou um método bem definido para passar de um sistema para outro. Estas duas perspectivas completam-se uma à outra, constituindo-se numa unidade coerente, tal como as duas faces da mesma moeda. Por exemplo, f ( x) = 2 x + 3 diz-nos duas coisas ao mesmo tempo: i) apresenta o conceito de função no seu todo, qualquer que seja o argumento (apresentando, assim, o objecto), e ii) indica-nos a forma como calcular o valor da função para um determinado argumento (evocando o processo). Desta forma, poderemos dizer que f ( x ) representa, simultaneamente, quer o nome da função f, quer o seu valor. Ou seja, no contexto das funções, quando escrevemos y, por vezes estamos a referir-nos à ordenada de um certo ponto do sistema de coordenadas, e, outras vezes, estamos a referir-nos a um certo valor da função. A interpretação depende do contexto, o que pode confundir o aluno. Torna-se, assim, claro que esta notação é ambígua e provoca algumas dificuldades junto dos alunos, evidenciando que os contextos nos quais são trabalhados os símbolos funcionais nas aulas de Matemática acabam por desempenhar um papel fundamental para as dificuldades que os alunos apresentam (Sajka, 2003) muitas das tarefas que os professores propõem aos seus alunos são de natureza fechada, e o conceito de função está muitas vezes ligado ora ao conceito de fórmula, ora ao processo gráfico, para o qual precisam de uma fórmula para o desenhar. Torna-se urgente que os professores, na sua prática profissional, tenham em conta a ambiguidade da notação de uma função, bem como o papel crucial da experiência matemática dos alunos na sala de aula, onde o professor deve propor tarefas matemáticas de natureza mais aberta. As aulas de Matemática com tarefas exploratórias e investigativas Em última análise, aprender Matemática é compreender a sua natureza (Goldenberg, 1999). Neste sentido, é muito importante promover a actividade matemática dos alunos, para 4
que eles tomem conhecimento dos factos e dos métodos de descoberta matemática que os matemáticos usam. Assim, é fundamental que os alunos ocupem tempo com a resolução de tarefas de exploração e de natureza investigativa, de modo que aprendam a ser investigadores astutos e, para tal, é necessário que investiguem. Esta ideia está presente nas orientações curriculares de muitos países, nomeadamente em Portugal. A chave do desenvolvimento do desempenho matemático dos alunos num certo domínio como a Álgebra não é através da criação de um conjunto de procedimentos bem afinados (finely-tuned) cada vez mais elaborado, mas antes pela mudança da natureza do ensino (NCTM, 2000). Não podemos ignorar as concepções dos alunos e é necessário confrontá-los com as suas contradições. Embora o foco da aprendizagem não deva ser exclusivamente através da resolução de tarefas exploratórias e investigativas (há outras, como os exercícios), estas podem conduzir ao envolvimento dos alunos na criação e descoberta genuína de processos matemáticos (Pereira, 2004; Ponte, Oliveira, Brunheira, Varandas, Ferreira, 1998; Ponte, Oliveira & Brocardo, 2003; Teixeira, 2005). O papel do professor na promoção da actividade matemática dos alunos é crucial; os seus interesses serão estimulados pelas tarefas matemáticas seleccionadas pelo professor e pelas situações e contextos que este promove na sala de aula, bem como pela capacidade em desenvolver e em conduzir com sucesso a actividade dos alunos. Serão as resoluções das tarefas matemáticas e das situações que darão a oportunidade aos alunos para desenvolverem o seu raciocínio matemático. O professor, para elaborar tarefas de exploração e investigativas, precisa mobilizar não só teorias e técnicas mas também as suas concepções, os seus sentimentos e o seu conhecimento prático (Saraiva, 2001). Objectivos gerais de aprendizagem De acordo com o Programa de Matemática para o Ensino Secundário (Matemática A), a resolução, pelos alunos, das tarefas seleccionadas pelo professor deve contribuir para o desenvolvimento do seu pensamento científico, promovendo a intuição, a conjecturação, a experimentação, a prova, a avaliação, bem como o reforço das atitudes de autonomia e de cooperação. A selecção das tarefas a propor aos alunos deve ter também em conta a importância do almejar o desenvolvimento da comunicação matemática, do conhecimento da história da Matemática, da lógica e do raciocínio matemático, da resolução de problemas e de tarefas exploratórias e investigativas, e, ainda, do uso das Tecnologias de Informação e Comunicação. 5
Os conhecimentos sobre funções são fundamentais para a compreensão do mundo em que vivemos e, neste ciclo de estudos, eles irão ser ampliados com base no estudo analítico, numérico e gráfico, com níveis progressivos de rigor e formalização. Neste sentido, e de acordo com documentos de apoio à aplicação do programa de Matemática A (Teixeira, P. et al, 1997), é sugerido que o estudo das funções seja feito colocando a ênfase nas abordagens gráficas e intuitivas e que se relacionem de forma sistemática as abordagens gráficas e analíticas. Deverá, também, haver realce para o trabalho intuitivo com funções que relacionam variáveis da vida real, da Geometria, da Física, da Economia e de outras disciplinas. O estudo de funções é um tema central a abordar ao longo dos três anos deste ciclo de estudos. Assim, segundo o Programa de Matemática para o Ensino Secundário (Matemática A): no 10.º ano far-se-á uma abordagem a generalidades de funções e gráficos bem como o estudo detalhado de algumas funções polinomiais e da função módulo; no 11.º ano, no desenvolvimento do tema Introdução ao Cálculo Diferencial I, proceder-se-á ao estudo das funções racionais e com radicais, da taxa de variação média e da derivada; já no 12.º ano, na exploração do tema Introdução ao Cálculo Diferencial II, estudar-se-ão as funções exponenciais e logarítmicas, teoria de limites e cálculo diferencial. Em seguida, procura fazer-se uma análise dos principais objectivos gerais de aprendizagem e das sugestões didácticas, preconizados no Programa de Matemática para o Ensino Secundário, para os 10.º e 11.º anos, com especial incidência nos conteúdos abordados nas tarefas propostas nesta publicação. 10.º Ano: Funções e gráficos. Funções polinomiais. Função Módulo De acordo com o programa para o 10.º ano, aquando do estudo detalhado de algumas funções polinomiais e da função módulo, resolver-se-ão analítica, gráfica e numericamente algumas equações e inequações. Neste tema a ênfase deve centrar-se na ligação entre as fórmulas e as representações geométricas, aspecto que assume particular importância para todos os utilizadores de Matemática. Como é referido, a capacidade de relacionar diferentes modos de representar uma função é uma capacidade fundamental para o mundo de hoje, e do futuro, e, assim, este tema deverá fornecer uma formação para a vida toda, tão básica como a tabuada. No desenvolvimento deste tema, far-se-á um estudo intuitivo de propriedades das funções e dos seus gráficos, tanto a partir de um gráfico particular como usando calculadora gráfica, para as seguintes classes de funções: i) funções quadráticas; ii) função módulo. 6
As propriedades sugeridas são: domínio, contradomínio, pontos notáveis (intersecção com os eixos coordenados), monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relação ao eixo das ordenadas e à origem, limites nos ramos infinitos. Os alunos deverão determinar pontos notáveis e extremos tanto de forma exacta como de forma aproximada (com uma aproximação definida a priori) a partir do gráfico traçado na calculadora gráfica ou computador. No estudo intuitivo de propriedades das funções e dos seus gráficos devem recorrer a: análise dos efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos das famílias de funções dessas classes (considerando apenas a variação de um parâmetro de cada vez); transformações simples de funções: dada a função, esboçar o gráfico das funções defi- = + = + = = y = f x, com nidas por y f ( x) a, y f ( x a ), y a f ( x ), y f ( a x ) e ( ) a positivo ou negativo, descrevendo o resultado com recurso à linguagem das transformações geométricas. Como é sugerido, no estudo das famílias de funções os alunos poderão realizar pequenas investigações. Nestas, é recomendada a utilização da calculadora gráfica como meio incentivador do espírito de pesquisa e como ferramenta que favorece o estudo e classificação do comportamento de diferentes classes de funções e a elaboração e análise de conjecturas. O estudo das transformações simples de funções deverá ser feito tanto usando papel e lápis como calculadora gráfica ou computador; a função f tanto pode ser dada a partir de um gráfico como a partir de uma expressão analítica ou uma tabela. A resolução de problemas deverá ser explorada ao longo do desenvolvimento deste tema, nomeadamente quando estes se referem a situações que envolvem funções polinomiais (com particular incidência nas dos graus 2, 3 e 4), e deverá fazer-se uma discussão da possibilidade da decomposição de um polinómio em factores. Este assunto será estudado para casos simples, por divisão dos polinómios e recorrendo à regra de Ruffini, fazendo-se a justificação desta regra. Deverá, também, ser dada ênfase especial à Modelação Matemática (por exemplo, usando dados concretos recolhidos por calculadoras gráficas ou computadores acoplados a sensores adequados) e à resolução de problemas usando métodos numéricos e gráficos, nomeadamente quando forem usadas inequações. A partir das situações propostas, os alunos deverão reconhecer que o mesmo tipo de função pode constituir um modelo para diferentes tipos de situações problemáticas. 7
A resolução numérica ou gráfica deverá ser sempre confrontada com conhecimentos teóricos e com a relação entre os diferentes tipos de representações de uma função. Os alunos deverão ficar conscientes de que a determinação rigorosa de determinados elementos de uma função, em muitos casos, só poderá ser alcançada pela via analítica (por exemplo, a determinação de um zero de uma função f resulta da resolução da equação f ( x ) = 0, pois a simples observação da abcissa do ponto de intersecção da representação gráfica da função com o eixo Ox nem sempre nos dá o seu valor mas, sim, a certeza da sua existência). Assim, a resolução analítica deverá ser usada sempre que a natureza do problema o aconselhar e deverá ser acompanhada da verificação numérica ou gráfica. Ao usar a calculadora gráfica ou o computador, os alunos deverão observar que podem ser apresentadas diferentes representações gráficas de um mesmo gráfico, variando as escalas; deverão sempre traçar um número apreciável de funções tanto manualmente em papel quadriculado ou papel milimétrico como usando calculadora gráfica ou computador escolhendo o melhor rectângulo de visualização, ou seja, escolher a melhor representação gráfica para o gráfico da função em estudo é importante que os alunos associem a escolha do melhor rectângulo de visualização à construção de uma das muitas possíveis representações gráficas do gráfico de uma função. Os alunos deverão ser incentivados a elaborar conjecturas, evitando conclusões apressadas, sendo sistematicamente treinados na análise crítica de todas as suas conclusões. Os alunos deverão, ainda, estudar situações em que uma descrição qualitativa satisfatória do comportamento da função só é possível com uma representação gráfica múltipla (conjunto de representações gráficas em diferentes rectângulos de visualização). 11.º Ano: Funções racionais e com radicais Com os conteúdos abordados ao longo do desenvolvimento do tema Cálculo diferencial I, pretende-se que os alunos ampliem os conhecimentos do 10.º ano relativos a funções, a partir do uso numérico e gráfico de novas funções racionais e envolvendo radicais. Na abordagem às funções racionais, deve proceder-se ao estudo intuitivo das propriedades das funções e dos seus gráficos, tanto a partir de um gráfico particular como usando calculadora grá- b fica, para a seguinte classe de funções: f ( x) = a +. Deste modo, pretende-se enfatizar cx + d a análise dos efeitos das mudanças dos parâmetros nos gráficos das funções de uma mesma família. Como é salientado no programa da disciplina, os alunos devem retomar os conheci- 8
mentos de polinómios, e devem ser capazes de transformar expressões como 3 x +, ou x +1 ( 1) x + 3 x + 1 2 em 1+ x +1 2 x + 2 x + 1 em, e observar que, do ponto de vista computacional, normalmente ganha-se em precisão, pois efectua-se um número mais reduzido de operações. Por outro lado, esta simplificação permitirá que se estude o comportamento no infinito sem necessidade de recorrer ao gráfico. Contudo, os alunos deverão efectuar este tipo de transformações e, simultaneamente, confirmarem pelo gráfico da função antes de concluírem alguma coisa sobre o limite no infinito de uma função racional. Defende-se, porém, que o uso da representação gráfica tem um papel fundamental na compreensão do conceito de função e das suas propriedades. Neste sentido, as conexões entre as representações gráficas e as expressões algébricas trarão benefícios para a compreensão das equivalências e das diferenças existentes. As indicações metodológicas apontadas são, aqui, semelhantes às dadas para o 10.º ano. Pretende-se que os alunos recordem propriedades das funções de preferência num contexto de modelação matemática. Sugere-se que sejam exploradas as seguintes propriedades: domínio, contradomínio, pontos notáveis, monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relação ao eixo das ordenadas e à origem, assímptotas, limites nos ramos infinitos. A resolução de problemas que envolvem funções é um tópico que atravessa todo o tema e deve abranger progressivamente as novas classes de funções. O trabalho a desenvolver com os alunos deve, também, centrar-se na interligação das resoluções analítica, gráfica e numérica de uma mesma situação e devem, também, ser privilegiadas funções que relacionem variáveis com significados concretos. Ao resolverem problemas com natureza exploratória e investigativa os alunos deparar-se-ão com representantes de novas famílias de funções, que aparecerão como boas oportunidades para discutir as noções de domínio de funções nos contextos das situações por elas modeladas. As operações com funções são abordadas neste tema e estudar-se-á a soma, a diferença, o produto, o quociente e a composição de funções no contexto do estudo das funções racionais, envolvendo polinómios do 2.º e do 3.º grau. Far-se-á também o estudo da função inversa, procedendo à análise de casos em que será possível inverter uma função e verificando a relação entre os gráficos de uma função e da sua inversa. Este deve ser o ponto de partida para 9
o estudo das funções com radicais quadráticos e cúbicos e para a abordagem das operações com radicais quadráticos e cúbicos e com potências de expoente fraccionário. A utilização de exemplos concretos de outras disciplinas (como, por exemplo, da Economia, da Biologia, da Física e da Química) é impulsionadora de uma exploração em coordenação com aquelas disciplinas. As tarefas apresentadas As tarefas apresentadas estão concebidas para uma realização em sala de aula em dois momentos distintos: o primeiro no trabalho autónomo dos alunos (aos pares; ou em grupo; ou individualmente) e o segundo numa discussão colectiva com toda a turma. Este segundo momento é fundamental, o que leva a que o primeiro seja limitado no tempo. Na discussão colectiva cada aluno reflecte sobre o seu trabalho e confronta-o com resoluções e modos de pensar provavelmente diferentes. Nela, os alunos desenvolvem a sua capacidade de argumentação e de comunicação matemática, permitindo-lhes aprofundar e consolidar os seus conhecimentos. Todos os alunos deverão ter a oportunidade de participar, devendo evitar-se repetições de ideias e estratégias já apresentadas por grupos/alunos anteriormente. Claro que, desta forma, ficarão valorizadas quer a diversidade das estratégias, quer a forma como elas são comunicadas e apresentadas, a par da resposta correcta. Se as aulas decorrerem num clima de trabalho agradável e se este for um tipo de aula usual, os alunos rapidamente perceberão que têm oportunidade de expor as suas estratégias e resoluções, bem como as suas dificuldades. Perceberão, ainda, que o facto de eventualmente não terem concluído a resolução da tarefa no primeiro momento da aula, isso não os impedirá de participar no segundo momento. Sugere-se que os professores adaptem as tarefas aqui propostas às características da sua turma, deixando tempo, sempre que possível, para que a discussão colectiva (o segundo momento da aula) seja feita na mesma aula do trabalho autónomo, de modo que a sua resolução esteja presente na memória dos alunos, facilitando uma discussão mais rica. 10
Referências Chazan, D. & Yerushalmy (2003). On Appreciation the Cognitive Complexity of School Algebra: Research on Algebra Learning and Directions of Curricular Change. In Jeremy Kilpatrick, W. Gary Martin e Deborah Schifter (Eds.), A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics, pp. 123-135. EUA: NCTM. Goldenberg, E. P. (1999). Quatro Funções da Investigação na Aula de Matemática. In P. Abrantes, J. P. Ponte, H. Fonseca & L. Brunheira (Eds), Investigações Matemáticas na aula e no currículo (pp. 35-50). Lisboa: APM e Projecto MPT. Ministério da Educação (2004). Programa de Matemática A. Lisboa. NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Sajka, M. (2003). A secondary school student understands of the concept of function a case study. Educational Studies in Mathematics, 53, 229-254, 2003. Saraiva, M. (2001). O conhecimento e o desenvolvimento profissional dos professores de Matemática (PhD thesis). Lisboa: DEFCUL. Pereira, M. (2004). As Investigações Matemáticas no Ensino-Aprendizagem das Sucessões Uma experiência com alunos do 11º ano de escolaridade. Dissertação de Mestrado. Covilhã: UBI. Ponte, J. P., Oliveira, H., Brunheira, L., Varandas, J. M. & Ferreira, C. (1998). O trabalho de um professor numa aula de investigação matemática. Quadrante, Vol. 7(2), pp. 41-70. Ponte, J. P., Oliveira, H. & Borcardo, J. (2003). Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica. Teixeira, A. (2005). Tarefas de investigação matemática no currículo do 7.º ano do 3.º ciclo do ensino básico. Dissertação de Mestrado. Covilhã: UBI. Teixeira, P. (coord.), Precatado, A., Albuquerque, C., Antunes, C. & Nápoles, S. (1997). Funções: Matemática 10.º ano de escolaridade. Lisboa: ME DES. Teixeira, P. (coord.), Precatado, A., Albuquerque, C., Antunes, C. & Nápoles, S. (1998). Funções: Matemática 11.º ano de escolaridade. Lisboa: ME DES. 11
TAREFAS 10.º ANO 12
COMO COMPRAR UMA PLAYSTATION PORTABLE? A época de saldos começou no fim de Dezembro e os gémeos João e José querem comprar, a meias, uma PlayStation Portable (PSP). O custo é de 250 euros, pois já vem com dois jogos incluídos, mas encontra-se actualmente em promoção, uma vez que vai surgir um novo modelo no mercado. Como são fortes defensores do ambiente, os irmãos decidiram fazer esculturas com materiais reutilizáveis que tinham em casa (latas, sacos de plástico, tampas, ) e vender aos parentes e amigos para conseguirem comprar a playstation e ficarem com algum dinheiro de reserva. A figura indica a evolução do dinheiro de reserva com que os irmãos iam ficando à medida que o número de esculturas vendidas ia aumentando, sendo vendidas todas pelo mesmo preço. 1. Com o auxílio da representação gráfica, responda às questões que se seguem, justificando: 1.1. Qual o preço, na promoção, da PSP? 1.2. Qual o preço de cada escultura? 1.3. Determine o lucro obtido com as esculturas vendidas pelos irmãos. 1.4. Escreva um modelo matemático que defina a situação apresentada. 1.5. Se os irmãos tivessem vendido 145 esculturas, com quanto dinheiro ficariam após a compra da PSP? 2. Como sabe, as representações gráficas das funções reais de variável real da família f ( x) = mx + b são rectas. Estude as representações gráficas desta família de funções, indicando a influência que nelas têm os parâmetros m e b. 13
Conhecimentos prévios dos alunos Com o trabalho desenvolvido anteriormente, os alunos devem ser capazes de: Identificar e relacionar objecto e imagem; Observar e interpretar representações gráficas; Identificar expressões algébricas que definem uma função representada por uma recta; Determinar a expressão algébrica de uma recta dados dois pontos da mesma. Aprendizagens visadas Com o trabalho na tarefa Como comprar uma PlayStation Portable?, pretende-se que os alunos desenvolvam a capacidade de analisar e interpretar representações gráficas de funções no contexto de um problema e a capacidade de identificar os efeitos das mudanças de parâmetros nas representações gráficas de famílias de funções afim. Em particular os alunos devem ser capazes de: Observar e interpretar representações gráficas; Fazer o estudo da função afim função de domínio R tal que f ( x) = mx + b, com m, b R e dos casos particulares da função linear (caso em que b = 0 ) e da função constante (quando m = 0 ): - domínio e contradomínio; - zeros; - sinal e variação da função; Exprimir processos e ideias matemáticas, oralmente e por escrito, utilizando a notação, simbologia e vocabulário próprios; Formular conjecturas. Orientações para o professor 1. Indicações gerais A tarefa foi planificada para noventa minutos (cinquenta minutos para exploração e quarenta minutos para discussão e formalização dos conceitos abordados na tarefa). 14
Como comprar uma PlayStation Portable? Duração Prevista Exploração Apresentação e Discussão de Resultados 90 min 50 min 40 min Na exploração da tarefa pretende-se que os alunos, numa primeira fase, analisem a representação gráfica e procurem contextualizá-la e dar-lhe significado à medida que vão reflectindo e respondendo às questões formuladas e, numa segunda fase, explorem algumas famílias de funções afins, com o auxílio da calculadora. Durante os quarenta minutos seguintes serão confrontadas e discutidas as ideias e respostas às questões, assim como os processos utilizados pelos alunos. Durante este período, o professor poderá formalizar os conceitos estudados ao longo da aula. Nesta tarefa os alunos podem trabalhar aos pares ou em grupos de três elementos e pretende-se que, juntamente com as respostas, elaborem um pequeno relatório que reflicta cada pensamento e raciocínio seguido na resolução da tarefa. Esta tarefa permite ao aluno a identificação de algumas características desta função por exemplo, objectos, imagens, domínio, contradomínio, zeros a partir de uma situação adaptada da vida real. A tarefa possibilita ainda o desenvolvimento de diferentes estratégias na resolução das questões que envolvem representações de funções e relações entre as mesmas, assim como a manifestação de algumas dificuldades que possam existir na interpretação da representação gráfica e resolução das questões. 2. Algumas explorações Através do primeiro conjunto de questões, os alunos podem desenvolver a capacidade de analisar funções, observando e interpretando a representação gráfica que é indicada. Podem começar por observar que esta representação é um conjunto discreto de pontos, definidos por pares ordenados (segundo o número de esculturas vendidas). Observando o gráfico, os alunos devem concluir directamente que o valor da PSP é 100 euros, já que, quando o número de esculturas é zero, a dívida dos irmãos é 100. Como os gémeos tinham que vender 50 esculturas para ficarem sem a dívida, ou seja, os 100, então cada escultura tinha que custar, aproximadamente, 2 euros (para obter este valor, basta dividir 100 por 50). Além disso, como venderam 120 esculturas, os irmãos conseguiram acumular 140 euros (120 2 100 = 140). 15
O modelo matemático que define a situação apresentada pode ser determinado da seguinte forma: seja n o número de esculturas vendidas e l o lucro obtido pelos irmãos, em euros. Tem-se dois pontos cujas coordenadas são conhecidas: ( 0; 100) e ( 120;140 ). Então, um modelo que pode traduzir a situação é l = 2n 100, com n N 0 e 0 n 120. Fazendo um prolongamento da função anterior, substituindo n por 145, obtém-se o lucro com que os gémeos ficariam após a compra da PSP: ou seja, lucraram 190 euros. l = 2 145 100 l = 190, Na segunda questão desta tarefa, os alunos devem escolher vários valores a atribuir aos parâmetros m e b de modo a identificar propriedades comuns nas diferentes famílias de funções afins, observando as alterações nas representações gráficas das novas funções relativamente à mudança do parâmetro. Os alunos devem fixar inicialmente um dos parâmetros e analisar o outro, atribuindo a cada um deles diferentes valores e analisando as representações gráficas que resultam da variação do parâmetro em causa. Por exemplo, usando o modelo determinado na questão anterior, tem-se a expressão y = 2x 100, em que b = 100. Fixando este valor de b e fazendo variar o parâmetro m, tem-se a expressão y = m x 100. Podem, então, obter-se as seguintes representações gráficas para m > 0, para m < 0 e para m = 0, respectivamente: Representações gráficas de alguns elementos da família de funções y = mx 100, com m > 0 16
Representações gráficas de alguns elementos da família de funções y = mx 100, com m < 0 Observando as representações gráficas, os alunos podem identificar algumas características e propriedades das funções correspondentes, como as que se sintetizam no quadro da página seguinte. Desta forma, os alunos podem indicar que o domínio de qualquer função da forma y = mx 100 é todo o conjunto R ; o contradomínio é R no caso de m 0 ; já para m = 0, o contradomínio é, neste caso, { 100} (pois o declive nulo indica que a recta representativa do gráfico da função é paralela ao eixo das abcissas, pelo que todos os objectos têm como correspondência um único valor). Representação gráfica do elemento da família de funções y = mx 100, com m = 0 Os alunos devem observar também que o ângulo que a recta faz com o eixo das abcissas aproxima-se cada vez mais de 90º à medida que aumentam os valores absolutos atribuídos ao parâmetro m. O valor de m influencia a inclinação da recta, embora não afecte a ordenada na origem. Além disso, o sinal do valor atribuído a m determina se a função é crescente, de- 17
crescente ou constante, mas não afecta a monotonia; a injectividade de cada função apenas é afectada se m toma o valor zero. y = mx 100 m > 0 m = 0 m < 0 Domínio: R ; Contradomínio: R ; A função é crescente; As imagens tomam valores negativos no intervalo de a x 0 e valores positivos no intervalo de x 0 a +, sendo x 0 o zero da função; Embora m varie, as ordenadas na origem, das rectas que representam cada uma das funções da família, coincidem; A recta faz um ângulo agudo com o semi-eixo positivo das abcissas; Quanto maior é o valor absoluto de m, mais inclinada é a recta (a amplitude do ângulo que a recta faz com o semi-eixo positivo das abcissas aproxima-se cada vez mais de 90º). Domínio: R ; Contradomínio: 100 ; { } A função é constante; A função não tem zeros (neste caso, b = 100 ); As imagens tomam sempre valores negativos pois b é negativo; A recta é paralela ao eixo das abcissas. Domínio: R ; Contradomínio: R ; A função é decrescente; As imagens tomam valores positivos no intervalo de a x 0 e valores negativos no intervalo de x 0 a +, sendo x 0 o zero da função; Embora m varie, as ordenadas na origem, das rectas que representam cada uma das funções da família, coincidem; A recta faz um ângulo obtuso com o semi-eixo positivo das abcissas; Quanto maior é o valor absoluto de m, a amplitude do ângulo que a recta faz com o semieixo positivo das abcissas aproxima-se cada vez mais de 90º. 18
Numa segunda fase, os alunos devem fixar o parâmetro que estudaram antes (neste caso, m ) e estudar a influência do outro (neste caso, b ), atribuindo-lhe diferentes valores e analisando as representações gráficas que resultam da sua variação. Fixando um valor para m (utilizando o exemplo anterior, m = 2, correspondente ao valor que se tinha determinado a partir da representação gráfica) e fazendo variar o parâmetro b, tem-se a expressão y = 2x + b. Podem então obter-se as seguintes representações gráficas para b > 0 e para b < 0, respectivamente, tomando como referência y = 2x (em que b = 0 ): Representações gráficas de alguns elementos da família de funções y = 2x + b, com b > 0 Representações gráficas de alguns elementos da família de funções y = 2x + b, com b < 0 Observando as representações gráficas, os alunos podem identificar algumas características e propriedades das funções correspondentes, como as que se sintetizam no quadro como o que a seguir se apresenta: 19
y = 2x + b b > 0 b = 0 b < 0 Domínio: R ; Contradomínio: R ; Domínio: R ; Contradomínio: R ; Domínio: R ; Contradomínio: R ; As sucessivas variações de b dão origem a rectas paralelas; A função toma o valor zero quando x é zero; As sucessivas variações de b dão origem a rectas paralelas; do vector ( ) Quanto maior é o valor de b, maior é o comprimento 0,b, que determina a translação vertical da representação gráfica de y = 2x + b relativamente à representação gráfica de y = 2x. A função representa uma situação de proporcionalidade directa. Quanto maior é o valor absoluto de b, maior é o comprimento do vector 0,b, que determina a ( ) translação vertical da representação gráfica de y = 2x + b relativamente à representação gráfica de y = 2x. Desta forma, os alunos podem indicar que o domínio de qualquer função da forma y = 2x + b é todo o conjunto R, bem como o contradomínio. Ou seja, o valor do parâmetro b não afecta o domínio ou o contradomínio das funções daquela família. Os alunos devem observar também que quanto maior é o valor absoluto de b, maior é o afastamento da representação gráfica relativamente à origem, pois existe uma translação vertical associado ao vector ( 0,b ), tomando como referência a representação gráfica da função y = 2x. Além disso, as representações gráficas das funções obtidas através das sucessivas variações de b são paralelas, pois o valor deste parâmetro não influencia a inclinação da recta. Podem, ainda, observar que o ponto de intersecção das rectas representativas de cada uma das funções com o eixo Oy varia de acordo com o valor atribuído ao parâmetro b, ou seja, que este influencia a ordenada na origem. Por outro lado, o sinal do valor atribuído a b não influencia a monotonia ou a injectividade da função. 20
Explorações de Alunos Nesta tarefa é pedido aos alunos que analisem e interpretem a representação gráfica, escrevam uma expressão algébrica que represente a situação e estudem a influência que os parâmetros das representações algébricas têm nas representações gráficas de uma família de funções do tipo f ( x) = mx + b. Na resolução da primeira questão, os alunos devem observar e analisar a representação gráfica e, posteriormente, avaliar quais os objectos, quais as imagens e a que eixos correspondem, e, também, relacionar objecto e imagem o que os alunos fazem com alguma facilidade, particularmente quando se trata de uma situação de contexto próximo do real. Na questão 1.1, especificamente, os alunos podem identificar a imagem que corresponde ao objecto zero: Nas questões 1.2 e 1.3 os alunos devem relacionar objectos e imagens a partir de determinada representação da função. Por exemplo, perante a questão de como saber o preço da escultura, os alunos podem identificar o preço da escultura através da análise da representação gráfica. 21
Após o estabelecimento dessa relação, os alunos podem utilizar o resultado na questão seguinte, para saber o lucro que tiveram com a venda das esculturas. O professor deve estar atento às resoluções dos alunos, no sentido de verificar quais as suas dificuldades na observação da representação gráfica, e aos raciocínios que estabelecem nesta primeira fase da tarefa. De facto, estas questões servem de base para todo o trabalho posterior, tanto com a representação gráfica fornecida no enunciado como com outros tipos de representação (como algébrica ou tabelar), pelo que uma boa interpretação inicial promoverá uma boa resolução em seguida. Após a análise da correspondência entre alguns objectos e as respectivas imagens, os alunos devem também relacionar algumas das representações da função. Como tal, na questão 1.4, perante a representação gráfica e usando os objectos e respectivas imagens observados, os alunos devem escrever a expressão algébrica que traduz a situação apresentada pelo problema, recorrendo a conhecimentos anteriores com os quais já estão familiarizados. 22
Mesmo com o raciocínio correcto, a observação errada de objectos e imagens, focada nas questões anteriores, pode fazer com que os alunos descrevam uma representação algébrica que não traduz o problema. É pertinente ter-se em conta que a passagem da representação gráfica para a representação algébrica nem sempre é fácil para os alunos. Como tal, na fase de discussão de resultados o professor deve enfatizar a importância de terem em atenção os diversos passos na procura de um modelo matemático que represente a situação. O professor deve então esclarecer os alunos sobre a importância da escolha correcta de objectos e imagens na resolução do problema, bem como incentivá-los a verificar, com alguns valores concretos, se o modelo matemático que definiram é o adequado à representação gráfica apresentada no enunciado. Após definirem a expressão algébrica que traduz o modelo matemático da situação apresentada pelo problema, os alunos devem utilizá-la para determinar uma imagem a partir de um objecto dado. 23