Utilização de Softwares Gráficos no Estudo de Funções

Universidade Federal do Paraná UFPR Utilização de Softwares Gráficos no Estudo de Funções Amanda Carvalho de Oliveira Juliana Rodrigues de Araújo Marcelo José Cardozo Caldeira Mayara Poyer da Silva Verediana Ukan Kovalski Curitiba 2013

SUMÁRIO INTRODUÇÃO...3 O SOFTWARE WINPLOT...4 FUNÇÕES...5 FUNÇÃO DO 1º GRAU...5 FUNÇÃO DO 2º GRAU...5 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA...9 FUNÇÃO MODULAR...11 ATIVIDADES...12 PRIMEIRA ATIVIDADE...12 SEGUNDA ATIVIDADE...20 OUTROS SOFTWARES GRÁFICOS...22 IGEOM...22 CABRI-GEOMETRE...22 GEOGEBRA 4.2...23 GRAPH 4.3...23 GRAFEQUATION...24 CONCLUSÃO...25 REFERÊNCIAS...26

3 INTRODUÇÃO Em uma era de tecnologia e comunicação é fundamental que os alunos se familiarizem com o computador e com programas específicos para aprofundar mais e melhor sua aprendizagem Matemática. Como, por exemplo, numa resolução de problemas, onde o aluno pode se concentrar mais nos métodos, nas estratégias, nas descobertas, no relacionar logicamente ideias matemáticas e na generalização do problema, deixando os cálculos para que a máquina execute. O objetivo a ser alcançado com este material é fazer com que o aluno visualize os diferentes gráficos das funções de 1º e 2º graus, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e modulares, compreendendo o significado dos coeficientes e do comportamento dessas funções. Considerações serão feitas sobre alguns softwares gráficos e geométricos; porém, daremos ênfase ao software gráfico Winplot, o qual será utilizado para a realização da sequência de atividades.

4 O SOFTWARE WINPLOT Como ferramenta didática para o ensino da Geometria Analítica (plana e espacial), o Winplot é o software mais completo. Além da versão original, em inglês, o Winplot possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português. Algumas de suas vantagens é ser um programa leve ; pode ser usado na graduação, além de outros níveis educacionais; possui recursos que variam desde uma função do 1º grau até funções mais complexas. O software plota gráficos e possui uma interface gráfica muito boa que dispensa que os usuários decorem comandos para utilizá-lo. O Winplot é um freeware, o que significa que é gratuito. O download do software Winplot pode ser feito através do link http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wppr32z.exe.

5 FUNÇÕES FUNÇÃO DO 1º GRAU Diz-se função do 1º grau, ou função afim, qualquer função tipo, com e reais, e 0. do O gráfico da função do 1º grau é representado por uma reta onde é o coeficiente angular, responsável pela inclinação da reta com relação ao eixo, e é o coeficiente linear da reta, ordenada do ponto onde a reta corta o eixo. Além disso, o coeficiente determina se a reta será crescente ou decrescente a partir do seu sinal: Quando > 0 a reta é crescente. Quando < 0 a reta é decrescente. Figura 1: Figura 2: FUNÇÃO DO 2º GRAU A função do segundo grau, também denominada função quadrática, é definida por uma expressão do tipo, com, e e 0. No caso de e/ou serem iguais a zero, a função será considerada incompleta. O gráfico de uma função do 2º grau é representado por uma parábola:

6 Quando > 0 a concavidade da parábola fica voltada para cima e seu vértice representa o menor ponto da função. Quando < 0 a concavidade da parábola fica voltada para baixo e seu vértice representa o maior ponto da função. Figura 3: Figura 4: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Figura 5: Círculo trigonométrico FUNÇÃO SENO Chamamos de função seno a função associa a cada número real, o seu valor correspondente para seno., que

7 O domínio da função é definido no conjunto dos números reais e sua imagem pertence ao intervalo [-1,1], uma vez que a circunferência trigonométrica possui raio unitário. Portanto, -1 1. Sinal da função: como é a ordenada do ponto-extremidade do arco de amplitude, temos que é positiva no primeiro e segundo quadrantes (ordenada positiva) e negativa no terceiro e quarto (ordenada negativa). O gráfico da função seno é representado por uma curva chamada senóide: Figura 6: FUNÇÃO COSSENO Chamamos de função cosseno a função associa a cada número real, o seu valor correspondente para cosseno., que Assim como na função seno, o domínio da função cosseno é definido no conjunto dos números reais e sua imagem pertence ao intervalo [-1,1]. Então, -1 1. Sinal da função: é positiva no primeiro e quarto quadrantes (abscissa positiva) e negativa no segundo e terceiro (abscissa negativa). Seu gráfico será definido pela curva denominada co-senóide:

8 Figura 7: FUNÇÃO TANGENTE Chamamos de função tangente a função que a cada número, com, associa a tangente desse número. O domínio dessa função é e sua imagem é. Sinal da função: é positiva no 1º e 3º quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positivo) e negativa no 2º e 4º quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativo). seguir: O gráfico da função tangente é chamado tangentóide, e se apresenta a Figura 8:

9 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Toda função definida pela lei de formação, com 1 e > 0, é denominada função logarítmica de base. Neste tipo de função temos que o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Para podermos construir o gráfico da função logarítmica, devemos analisar dois casos: > 1 e 0 < < 1. Para > 1: Figura 9: Para 0 < < 1: Figura 10:

10 FUNÇÃO EXPONENCIAL A função exponencial pode ser definida como a inversa da função logarítmica natural,, com > 0 e 1. No gráfico de uma função exponencial, podemos dividir sua construção em dois casos: > 1 e 0 < < 1. Para > 1: Figura 11: Para 0 < < 1: Figura 12:

11 FUNÇÃO MODULAR Definição de módulo: Chama-se módulo (ou valor absoluto) de um número real o próprio número, se ele for positivo ou nulo, ou o seu oposto, se ele for negativo: modular: Chamamos de função modular a função tal que. Observe os gráficos das funções do 1º grau que definem a função Figura 10: Figura 11: Assim, como a função modular está bem definida para todos os números reais, seu gráfico resulta da junção dos outros dois: Figura 12:

12 ATIVIDADES PRIMEIRA ATIVIDADE Resolva as questões de 1 a 5, com o auxílio do Software Winplot. 1) Faça as atividades a seguir, as quais envolvem funções do 1º grau. a) Construa o gráfico da função. b) Construa o gráfico da função. c) O que ocorre quando adicionamos uma unidade à função? Resposta: A reta que representa a função é deslocada uma unidade para cima, com relação ao eixo das ordenadas. d) E se subtraíssemos uma unidade da função, o que ocorreria? Tente responder intuitivamente, sem a construção do gráfico. Resposta: A reta que representa a função seria deslocada uma unidade para baixo, com relação ao eixo das ordenadas. e) Construa o gráfico da função.

13 f) O que ocorre quando multiplicamos por 2 a variável da função? Resposta: A reta que representa a função aumenta sua inclinação com relação ao eixo das abscissas. g) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem utilizar a construção geométrica. Resposta: A inclinação da reta aumentaria ainda mais, tendo como referência a função. h) Seja a função. Como as constantes e interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante interfere na inclinação da reta com relação ao eixo das abscissas e a constante interfere no deslocamento da reta com relação ao eixo das ordenadas e na ordenada do ponto com relação a Y. 2) Faça as questões a seguir, as quais envolvem funções do 2º grau. a) Construa o gráfico da função.

14 b) Construa o gráfico da função. c) O que ocorre com o gráfico quando adicionamos oito unidades à função? Resposta: O termo livre (ou coeficiente constante) resultante é 2, o que altera a altura da parábola de -6 para 2 (ordenada no ponto em Y). d) E se subtraíssemos uma unidade da função, o que ocorreria? Tente responder intuitivamente, sem a construção do gráfico. Resposta: O termo constante resultante seria -7 e, consequentemente, seria a altura onde a parábola cortaria o eixo Y (ordenada no ponto do eixo das abscissas). e) Construa o gráfico da função. f) O que ocorre ao multiplicar a variável da função? Resposta: A parábola declina com relação ao eixo das ordenadas, para a esquerda.

15 g) E se multiplicássemos por -4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: A parábola declinaria para a direita, com relação ao eixo Y. h) Construa o gráfico da função. i) O que ocorre ao multiplicarmos por 2 a variável na função? Resposta: A abertura da parábola fica mais estreita decorrente do aumento da velocidade das imagens de. j) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem esboçá-lo. Resposta: A abertura da parábola focaria ainda mais estreita. k) Construa o gráfico da função.

16 l) O que ocorre ao multiplicarmos por -2 a variável da função? Resposta: A parábola passa a apresentar a concavidade voltada para baixo e sua abertura mais estreita. m) E se multiplicássemos por -4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem a construção. Resposta: A concavidade da parábola continuaria voltada para baixo e sua abertura diminuiria (ficaria ainda mais estreita). n) Seja a função. O que as constantes, e interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante interfere na velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice, a constante interfere na declividade da parábola de acordo com o eixo Y, e a constante interfere na altura da parábola com relação ao eixo Y, uma vez que determina onde a parábola corta o eixo das ordenadas. 3) Faça as questões a seguir, as quais envolvem funções exponenciais. a) Construa o gráfico da função. b) Construa o gráfico da função.

17 c) O que ocorre quando multiplicamos por 3 a função? Resposta: A gráfico da função corta o eixo y na altura 3. d) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem a construção. Resposta: O gráfico da função cortaria o eixo das ordenadas na altura 4, por se tratar da ordenada do ponto no eixo Y. e) Construa o gráfico da função. f) O que ocorre ao trocarmos por 5 a base da exponencial? Resposta: O gráfico cresce mais rapidamente, com relação ao eixo y. g) E se trocássemos por 7, o que ocorreria? Tente responder sem construir o gráfico. Y. Resposta: O gráfico cresceria ainda mais rápido, com relação ao eixo h) Seja a função. O que as constantes e interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante interfere na velocidade com que há o crescimento (ou decrescimento) do gráfico com relação ao eixo das ordenadas e a constante determina se a função é crescente ou decrescente. 4) Faça as questões a seguir, as quais envolvem funções logarítmicas. a) Construa o gráfico da função.

18 b) Construa o gráfico da função. c) O que ocorre quando multiplicamos por 4 a função? Resposta: O gráfico apresenta um afastamento do eixo X, significando que há uma diminuição da velocidade de crescimento do gráfico com relação ao eixo X. d) E se multiplicássemos por 8, o que ocorreria? Tente responder sem construir o gráfico. Resposta: O gráfico que representa a função se afastaria ainda mais do eixo das abscissas, representando uma diminuição maior da velocidade de crescimento do gráfico. e) Construa o gráfico da função. f) O que ocorre ao multiplicarmos o por 2? Resposta: A posição onde o gráfico corta o eixo X é alterado, no caso é deslocado mais para a esquerda, se aproximando de zero.

19 g) E se trocássemos por -3, o que ocorreria com o gráfico? Tente responder sem a construção. Resposta: O gráfico da função seria invertido, com relação ao eixo X, e a posição onde o gráfico cortaria X seria mais próxima a zero, sendo a aproximação feita pela esquerda. h) Seja a função. O que as constantes e interferem no gráfico dessa função? Resposta: A constante interfere na velocidade de crescimento (ou decrescimento) da função e a constante interfere na posição onde o gráfico corta o eixo das abscissas além de determinar é crescente ou decrescente. 5) Agora, utilizando os métodos que utilizamos para as funções anteriores, chegou sua vez de descobrir o que as constantes, e interferem no gráfico das seguintes funções trigonométricas: a). Resposta: A constante causa mudança na inclinação do gráfico da função sendo que, quando > 1 a inclinação aumenta e quando 0 < < 1 a inclinação diminui. Se é negativo, o gráfico sofre uma reflexão com relação ao eixo das abscissas, quando comparado ao gráfico da função oposta. A constante muda o período da função alterando assim a abertura de cada onda da senóide, estreitando o gráfico à medida que o valor de aumenta. A constante causa uma transladação do gráfico com relação ao eixo das abscissas de unidades. b). Resposta: Da mesma forma que na função seno, a constante irá causar uma mudança na inclinação do gráfico da função visto que, quando > 1 a inclinação aumenta e quando 0 < < 1 a inclinação diminui. Se é negativo, o gráfico sofre uma reflexão com relação ao eixo das abscissas, quando comparado ao gráfico da função oposta. A constante muda o período da função alterando assim a abertura de cada onda da cossenóide,

20 estreitando o gráfico à medida que o valor de aumenta. A constante irá interferir no deslocamento do gráfico com relação ao eixo das abscissas de unidades. c). Resposta: A constante causa uma mudança na inclinação do gráfico da função. Quando > 1 a inclinação aumenta e quando 0 < < 1 a inclinação diminui. Para negativo, o gráfico sofre uma reflexão com relação ao eixo horizontal, considerando-se o gráfico da função oposta. A constante provoca uma mudança no período da função. A constante provoca uma translação do gráfico da função com relação ao eixo horizontal de unidades. SEGUNDA ATIVIDADE Utilizando o conhecimento adquirido até aqui sobre funções e a influência que suas respectivas constantes causam na construção de seus gráficos (como pode ser analisado na atividade anterior), construa a imagem abaixo no software Winplot, utilizando as funções que julgar necessário. E vale lembrar que é necessário delimitar as funções para criar o desenho desejado. y x Figura 13: Paisagem construída a partir de funções

21 Resolução: Para a construção da grama foi utilizado o gráfico da função trigonométrica seno com a seguinte forma. Para a construção da árvore foram utilizados os gráficos de exponencial na forma com (tronco esquerdo) e com circunferência na forma (tronco direito), e ainda o gráfico de para a cúpula. Para a montanha foi utilizado um gráfico de função de segundo grau na forma com. E para terminar, na construção da casa foram utilizados gráficos das funções do primeiro grau,,,, e, ainda, o gráfico da função modular.

22 OUTROS SOFTWARES GRÁFICOS IGEOM igeom é um software para ensino de geometria que utilizam a interatividade para facilitar o aprendizado de conceitos matemáticos. Desenvolvido sob supervisão do professor Leônidas de Oliveira Brandão, do Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, o igeom é uma ferramenta gratuita para ensinar de maneira ativa e interativa, que pode ser usado no ensino fundamental, médio e superior. Por intermédio do programa é possível, por exemplo, determinar a localização do ponto médio, estudar as funções de seno, cosseno, tangente, modelos matemáticos, algoritmos e recorrências (que é uma única figura repetida várias vezes em pontos específicos). Este software de Geometria Interativa é livre (gratuito) e ainda é um programa escrito na linguagem de programação Java, e portanto funciona em qualquer plataforma. O download do software pode ser encontrado no link http://www.matematica.br/igeom/instala.html. CABRI-GEOMETRE O Cabri-Géomètre é um software que permite construir todas as figuras da geometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de um compasso. Uma vez construídas, as figuras podem se movimentar conservando as propriedades que lhes haviam sido atribuídas. Essa possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contínuo a todos os casos, constituindo-se numa ferramenta rica de validação experimental de fatos geométricos. Ele tem outros aspectos que vão muito além da manipulação dinâmica e imediata das figuras.

23 O download do software Cabri-Geometre pode ser encontrado no link http://www.cabri.com/download-cabri.html. GEOGEBRA 4.2 Este software permite realizar construções com pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas bem como funções e mudá-los dinamicamente depois. Do ponto de vista da Álgebra, permite inserir equações e coordenadas diretamente. Assim, o Geogebra tem a habilidade de tratar das variáveis como de funções e oferece comandos como Raízes ou Extremos. Por fim, é um software em português e livre (gratuito) para o ensino e a aprendizagem da matemática, então é permitido copiar e distribuir o aplicativo para fins não comerciais. O download do software Geogebra pode ser encontrado no link http://www.geogebra.org/cms/pt_br. GRAPH 4.3 O software Graph suporta uma ampla variedade de funções já integradas (seno, co-seno, tangente, logaritmo, raiz quadrada, fatorial, etc.), que podem ser feitas em diferentes cores e estilos de linha. Assim, elas são facilmente distinguidas uma das outras. Sombras e pontos também podem ser colocados em todo o sistema de coordenadas. As funções podem ser salvas como um arquivo gráfico, impressa ou exportada para outros softwares. O software Graph permite ainda que se realizem alguns cálculos baseados na função representada no desenho. O software além de ser um programa de fácil manipulação, é livre (gratuito).

24 O download do software Graph 4.3 pode ser encontrado no link http://www.padowan.dk/graph/download.php. GRAFEQUATION O GrafEq é um software Educacional intuitivo, flexível e preciso para produzir gráficos de relações implícitas. Foi projetado para nutrir um entendimento visual forte da Matemática, fornecendo um criador de gráficos de equações e inequações de figuras planas. Este software é somente gratuito para testar, e seu diferencial é sua capacidade para lidar com equações e outras relações além de funções, algo alem do pálido para apresentar graficamente calculadoras e sistemas de álgebra computacional. O download do software GrafEq pode ser encontrado no link http://www.peda.com/download/.

25 CONCLUSÃO A linguagem gráfica permite uma melhor visualização e compreensão de conteúdos Matemáticos, levando em consideração as dificuldades de alunos com tal manipulação e interpretação. Normalmente este estudo é feito somente na questão algébrica, onde os gráficos são quase sempre feitos a partir de tabelas numéricas com pontos magicamente sugeridos pelo professor. Porém com este material e sugestão de atividades, o aluno pode concretizar as idéias que já conhece sobre funções, utilizando os softwares sugeridos, podendo além de interpretar os gráficos, também aplicá-los na construção de imagens.

26 REFERÊNCIAS http://www.peda.com/ http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/midias_digitais_ii/modulo_iii/recursos3 3.html http://mandrake.mat.ufrgs.br/~mat01074/20072/grupos/tche/grapheq.htm http://www2.mat.ufrgs.br/~mat01074/20072/tais_aline/atividades.htm http://www.gregosetroianos.mat.br/ http://www.geogebra.org/cms/pt_br http://celcoluiz.wordpress.com/prd-tutoriais/ http://www.nre.seed.pr.gov.br/cascavel/modules/conteudo/conteudo.php?conte udo=36 MACHADO, Amanda Rosa Liria; LIMA, Ingrid Mariana Rodrigues de; VENTURI, Simone. Estudo de Gráficos de Funções através de Softwares Gráficos e Geométricos. Curitiba, 2011.