DESIGNAÇÃO Introdução Um caso especial do modelo de transportes é aquele em que cada origem tem uma unidade disponível e cada destino necessita também de uma unidade. É o caso de escalar vendedores para regiões de vendas, máquinas para diversos locais etc. Essa característica torna o algoritmo de soluções bastante simples. Antes de aplicá-lo, devemos verificar se o modelo está equilibrado. No modelo de designação, o número de origens deve ser igual ao número de destinos devido a sua característica. Caso isso não ocorra, devemos construir origens ou destinos auxiliares, com custo de transferência zero. Exemplo: o quadro representa os custos de transporte de uma máquina dos locais de depósito para as fábricas onde deverão ser instaladas. Designar uma máquina para cada fábrica com o menor custo total possível: L 1 1 12 15 16 L 2 14 12 13 18 L 3 1 16 19 15 L 4 14 12 13 15 Descrição do Algoritmo a. Subtrair de cada linha seu menor valor. Em seguida fazer o mesmo com as colunas. Cada linha e cada coluna deverá então apresentar pelo menos um elemento nulo. Subtrair o menor número de cada linha L 1 2 5 6 L 2 2 1 6 L 3 6 9 5 L 4 2 1 3
Subtrair o menor número de cada coluna L 1 2 4 3 L 2 2 3 L 3 6 8 2 L 4 2 b. Designar origens para destinos nas células em que aparece o elemento nulo. Dar preferência a linhas ou colunas que tenham apenas um zero disponível. Cada designação efetuada invalida os outros zeros na linha e na coluna da célula designada. Se a designação se completa, o problema está resolvido. L 1 2 4 3 L 2 2 3 L 3 6 8 2 L 4 2 A designação não se completou devido a origem 3 e ao destino 3, então: c. Cobrir os zeros da tabela com o menor número de linhas possível. Isto pode ser feito da seguinte forma: marcar as linhas sem designação; nas linhas marcadas, marcar as colunas com zeros; nas colunas marcadas, marcar as linhas com designação; nas linhas marcadas,voltar a marcar as colunas com zeros até que não seja possível marcar novas linhas ou colunas; riscar as linha não marcadas e as colunas marcadas.
L 1 2 4 3 L 2 2 3 L 3 6 8 2 L 4 2 d. Encontrar o menor valor dentre os números não cobertos, de todos os elementos da tabela. os elementos não cobertos ficam diminuídos deste número; os elementos no cruzamento de coberturas ficam aumentados desse número; ao outros elementos permanecem iguais. L 1 2 1 L 2 4 3 L 3 4 6 L 4 4 e. Fazer nova designação, retornar ao item b. L 1 L 2 4 L 3 L 4 4 2 1 3 4 6 : Designação L 1 -> F 1 Custo 1 L 3 -> F 4 Custo 15 L 2 -> F 2 Custo 12 L 4 -> F 3 Custo 13 Total Custo 5
O Caso de Maximização Caso a tabela de transferência traga retornos que devem ser maximizados, o modelo deverá ser substituído por outro de minimização. Como no problema dos transportes, isto pode ser feito multiplicando a função objetivo por -1, ou transformando o quadro num quadro de perdas (complemento em relação a um valor fixo). Exemplo: o quadro representa as eficiências de quatro vendedores, testados em quatro regiões. Os potenciais de vendas nas regiões são conhecidos. Designar um vendedor para cada região para maximizar o valor total das vendas. Capacidade de cada vendedor de atingir o potencial da região em % V 1 7 6 8 9 V 2 7 8 7 9 V 3 6 9 6 7 V 4 7 8 7 8 Potencial de vendas em milhares de $ R 1 = 1 ; R 2 = 8 ; R 3 = 6 R 4 = 9 : Quadro de vendas ou retornos (% x Potencial de Vendas) V 1 7 48 48 81 V 2 7 64 42 81 V 3 6 72 36 63 V 4 7 64 42 72
Quadro de perdas: subtrair de 81 V 1 11 33 33 V 2 11 17 39 V 3 21 9 45 18 V 4 11 17 39 9 Aplicar o algoritmo do caso de minimização Subtrair o menor número de cada linha V 1 11 33 33 V 2 11 17 39 V 3 12 36 9 V 4 2 8 3 Subtrair o menor número de cada coluna V 1 9 33 3 V 2 9 17 9 V 3 1 6 9 V 4 8 Designar origens para destinos ( item b ) V 1 9 33 3 V 2 9 17 9 V 3 1 6 9 V 4 8 A designação não se completou, origem 2 destino 3 Cobrir os zeros com o menor número de linhas possível ( item c ) V 1 9 33 3 V 2 9 17 9 V 3 1 6 9 V 4 8
Encontrar o menor valor dentre os números não cobertos, de todos os elementos da tabela ( item d ). Subtrair 3 da tabela: V 1 6 3 V 2 6 14 6 V 3 1 6 12 V 4 8 3 Fazer nova designação, retornar ao item b. V 1 6 3 V 2 6 14 6 V 3 1 6 12 V 4 8 3 Designação Vendas (em milhares de $) V 1 R 3 48 V 2 R 4 81 V 3 R 2 72 V 4 R 1 7 Total 271 Exercícios: 1. Resolva o problema de designação: 1 2 3 4 1 1 23 8 9 2 4 5 6 7 3 12 1 1 8 4 6 4 9 7 Origens Destinos 1 3 2 1 3 4 4 2 Custo 24
2. Resolva o problema de designação: 1 2 3 4 1 6 8 1 9 2 4 3 6 5 3 7 9 12 6 Origens Destinos 1 1 2 2 3 4 4 3 Custo 15 3. Resolva o problema de designação, onde o símbolo X indica a impossibilidade da designação da origem para o destino correspondente: 1 2 3 1 6 X 8 2 4 9 3 3 5 6 4 4 8 1 12 Destinos 1 1 2 3 3 2 4 4 Custo 15 Origens 4. Quatro locais, L 1, L 2, L 3, L 4 necessitam de um equipamento. Existem quatro equipamentos disponíveis, um em cada um dos depósitos D 1, D 2, D 3, D 4. A quilometragem entre os locais necessitados e os depósitos estão no quadro: L 1 L 2 L 3 L 4 D 1 1 12 13 14 D 2 8 7 12 9 D 3 1 8 1 11 D 4 9 9 12 8 1 1 2 2 3 3 4 4 Km 35 Determine um programa de expedição de quilometragem mínima.