Nome: Nº Colégio Nossa Senhora das Dores 1º ano EM Prof. Manuel Data: / /009 Estudo Dirigido de Matemátia o Trimestre Prezado(a) aluno(a), Devido à interrupção das aulas durante o período ompreendido entre 01 e 16 de agosto, apresento a voê uma proposta de estudo visando a agilizar os estudos e repor, da melhor maneira possível, os onteúdos orrespondentes a este semestre. Segue uma abordagem sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo de forma suinta e abrangente. Aredito que voê onseguirá obter êxito no proesso de aprendizagem, pois a apresentação da teoria e os exeríios propostos favoreem a ompreensão e a assimilação do onteúdo. Vale ressaltar que independentemente da apresentação desta atividade que será onsiderada para efeito de nota de omprometimento e partiipação estarei sempre à disposição para quaisquer eslareimentos que se fizerem neessários. Bom estudo! Prof. Manuel Del Campo Rodriguez TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Razões trigonométrias no triângulo retângulo A Trigonometria naseu entre os gregos para resolver problemas de Astronomia Pura. Suas primeiras apliações prátias oorreram om Ptolemaios, por volta do ano 150 d.c., que a usou para determinar a latitude e a longitude de idades e de outros pontos geográfios em seus mapas. Do mundo grego, a Trigonometria passou para a Índia, onde era usada, a partir do séulo V, nos álulos astrológios. No ano 800, aproximadamente, ela hega a mundo islâmio, onde foi muito desenvolvida e apliada na Astronomia e Cartografia. Alança, om os livros de Ptolemaios, a Europa Cristã em torno de 1100. Com os portugueses enontra uma apliação de enorme valor eonômio na navegação oeânia. Até era de 1600, todas as apliações da Trigonometria (Astronomia, Cartografia e Navegação Oeânia) nada tinham a ver om problemas de agrimensura ou topografia. É importante observar que, nesse período, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no Ensino Médio. Para iniiar este estudo abem algumas perguntas: 1) O que voê entende por razão entre dois números? ) Por que um triângulo pode ser lassifiado omo triângulo retângulo?
3) O que são razões trigonométrias? Razões trigonométrias no triângulo retângulo A C α β B Observando o triângulo retângulo C, da figura ao lado, podemos identifiar e nomear os seguintes segmentos e ângulos: : Hipotenusa : Cateto BC: Cateto Ângulos agudos: α (alfa) e β (beta) Identifiados os segmentos e ângulos onforme a ilustração anterior estabeleemos a seguintes igualdades entre as razões: BC F (BC e indiam a medida do segmento orrespondente) BC (O número F, assim obtido, é hamado seno do ângulo agudo α e se india por: sen α F ) Observe que o álulo do seno de um ângulo agudo é dado pela razão ateto oposto hipotenusa C. O. HIP. Analisando a igualdade anterior o que voê pode afirmar sobre a razão?... Complete: (O número..., assim obtido, é hamado seno do ângulo agudo... e se india por: sen β G ) Observe o que aontee quando trabalhamos om o ateto adjaente ao ângulo:
Antes uma pergunta: Voê tem lareza de quando um ateto e denominado oposto ou adjaente ao ângulo dado? H (O número H, assim obtido, é hamado osseno do ângulo agudo α e se india por: os α G ) ateto adjaente Observe que o álulo do osseno de um ângulo agudo é dado pela razão hipotenusa C. A. HIP. BC I (O número I, assim obtido, é hamado osseno do ângulo agudo β e se india por: os α BC I ) Uma outra razão trigonométria é onheida omo tangente de um ângulo agudo. Como voê definiria tangente? BC J (O número J, assim obtido, é hamado tangente do ângulo agudo α e se india por: tg α BC J ) Observe que o álulo da tangente de um ângulo agudo é dado pela razão ateto oposto ateto adjaente C. O. C. A. K BC (O número K, assim obtido, é hamado tangente do ângulo agudo β e se india por: tg β K ) BC Resumo Num triângulo retângulo, temos: Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do ateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa. Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do ateto adjaente ao ângulo e a medida da hipotenusa
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do ateto oposto e a medida do ateto adjaente ao ângulo. CONSEQUÊNCIA Aredito que voê deve ter observado o que segue: No triângulo retângulo C da figura, α+ β 90º ( A b α C a B β B^ ^ e C são ângulos omplementares). senα a a osβ b senβ osα b sen α os β sen β os α EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Determine o seno, o osseno e a tangente dos ângulos agudos (α e β) da figura abaixo: A 8 α 17 C 15 B β
Resolução: C.O. BC 15 senα HIP. 17 C.A. osα HIP. C.O. tgα C.A. 8 17 BC 15 8 0,8835 0,47058 1,875 C.O. senβ HIP. C.A. BC 15 osβ HIP. 17 C.O. tgβ C.A. 8 17 8 BC 15 0,47058 0,8835 0,53333 C.A.: Cateto adjaente C.O.: Cateto oposto HIP.: Hipotenusa De aordo omo que foi exposto proure responder as seguintes questões: 1) Em ada aso, alule o seno, o osseno e a tangente do ângulo agudo assinalado: a) A 3 4 β sen β os β tg β C 5 B b) B 5 1 α C A sen α os α tg α Não se esqueça de raionalizar o denominador..das frações. ) Num triângulo retângulo um ateto mede 15 m e a hipotenusa 17 m. Calule o seno, o osseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo. Para fazer este exeríio, antes de tudo, voê deve enontrar a medida do outro ateto. Para fazer este álulo devemos reorrer ao Teorema de Pitágoras. Lembra-se: Hip at + at. Outra questão a ser soluionada - sem o uso de qualquer instrumento (ompasso ou transferidor) e perebendo que a figura não apresenta uma proporionalidade em suas
medidas é qual ângulo agudo devemos onsiderar, pois o enuniado propõem alular o seno, o osseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo. Pereba que o simples onheimento teório sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo não basta para soluionarmos todo e qualquer exeríio, pois muitas vezes devemos utilizar outros onheimentos para poder enaminhar a resolução de um problema. Voê lembra quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer? Se voê souber a resposta vai entender melhor o que segue. A ada ângulo agudo de um triângulo retângulo está assoiado um únio valor para o seno, o osseno e a tangente. Esses valores podem ser indiados para os ânulos de 1º a 90º, variando de grau em grau. Considerando a afirmação anterior, pesquise de quais maneiras os valores do seno, osseno e tangente de um ângulo podem ser determinados. Defina ângulo agudo? Conheendo os valores do seno, do osseno e da tangente dos ângulos agudos podemos resolver algumas situações-problema de ordem prátia. Observe: Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo onstante de 15º om a horizontal. A que altura está e qual distânia perorrida, quando alançar a vertial que passa por um prédio A situado a km do ponto de partida? (Dados: sen 15º 0,6, os 15º 0,97 e tg 15º 0,7). y x 15º B 000 m A Paree ser um problema difíil, mas lendo o enuniado om atenção e onseguindo assoiar os onheimentos até aqui tratados, iremos pereber que a resolução salta aos nossos olhos, pois apliando orretamente os onheimentos sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo temos: x x # Cálulo da altura x em relação ao solo: tg 15º 0,7 x 0,7. 000 540 m 000 000 x 540 540 # Cálulo da distânia perorrida y: sen 15º 0,6 0,6. y 540 y y y y 0, 6 076,9 m
Resp.: A altura é de 540 m e a distânia perorrida é de 076,9 m. TENTE VOCÊ: 1) Um topógrafo foi hamado para obter a altura de um edifíio. Para fazer isto, ele oloou um teodolito (instrumento ótio para medir ângulos) a 00 metros do edifíio e mediu um ângulo de 30, omo indiado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se onluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifíio, em metros, é: Use os valores: sen 30 0,5, os 30 0,866 e t g 30 0,577 a) 11 b) 115 ) 117 d) 10 e) 14 ) Uma esada rolante de 10 m de omprimento liga dois andares de uma loja e tem inlinação de 30. Determine a altura h entre um andar e outro, e m metros. Use os valores: sen 30 0,5, os 30 0,866 e t g 30 0,577 UMA TELA MUITO IMPORTANTE Os ângulos de 30º, 45º e 60º apareem om frequênia em muitos problemas. Para as razões trigonométrias relaionadas a esses ângulos é mais onveniente usar os valores indiados abaixo. 30º 45º 60º sen 1 3 os 3 1 tg 3 3 1 3
Obs.: Pode pareer estranho, mas é mais fáil memorizar as razões trigonométrias destes ângulos omo apresentado na tabela do que em sua forma deimal. DESAFIO Qual a área do triangulo C indiado na figura? B A m 45º 30º C Voê se lembra omo alular a área de um triângulo? Sugestão: Utilize os valores da tabela trigonométria dada.