Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 6 - Multiplicação - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=gppmajolb1s Gabaritos nas últimas páginas! E1: Em relação à imagem: a) Dê o nome dos itens destacados pelas flechas. b) Mostre as duas equações que relacionam os três itens. c) Qual a utilidade das equações mencionadas no item b? E2: Calcule: E3: Página 1 de 10
E4: Usando o conceito mencionado no E1 (letra b) verifique se todos os cálculos efetuados no E3 estão realmente estão corretos. E5: Simplifique: a) 3 4 b) 2 6 c) 2 3 d) 24 e) 3 4 E6: Efetue os cálculos. E7: Se eu tenho 3 camisas, 4 calças e 8 bonés, todos distintos, de quantas maneiras diferentes eu posso me vestir? E8: Carlos ganha mil reais por mês. Se seu primo ganha 12 vezes mais, quanto ganha seu primo? E9: Um biólogo analisou uma população de piolhos que infestavam uma determinada espécie de pássaros que viviam numa árvore gigantesca e concluiu que ela possuía 200 ninhos. Cada ninho possuía 2 adultos e 3 filhotes. Os adultos possuíam 40 piolhos (cada um) e cada filhote 15 piolhos. Qual a população estimada de piolhos presentes na tal árvore? E10: Considerando que todos os dias do ano possuem 24 horas exatas, quantos segundos existem em um ano de 365 dias? Mostre os cálculos. Página 2 de 10
E11: Meu avô viveu exatamente 64 anos, 11 meses, 16 dias e sete horas. Quantos minutos ele viveu? Considere, para facilitar os cálculos, que todo ano possui 365 dias e que todo mês possui 30 dias. E12: Num determinado planeta, desembarcam de uma nave duas espécies amigas: os trípedes (com 3 pés) e os bípedes (com 2 pés). O responsável pela nave contou apenas os pés de ambos os tipos de criaturas, resultando em 23 pés. Quais as possíveis quantidades de trípedes e de bípedes? E13: É chamado palíndromo a sequência de caracteres (letras ou números) que, lidos de trás para frente (ou vice-versa) resultam indistintamente na mesma sequência. São exemplos de palíndromos: 101, ARARA, 8, 77A77, ANA, 333. Ao multiplicar determinado valor numérico por 3, é possível encontrar o maior palíndromo numérico de 8 dígitos. a) Que palíndromo é esse? b) Qual número foi multiplicado por 3 para a obtenção do palíndromo citado? E14 (ITA 2012): Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 Página 3 de 10
Gabarito Nota: Pequenas variações no algoritmo da multiplicação são plenamente normais. O mais importante é o resultado (produto). E1: a) b) Podemos escrever: (Equação I) (Equação II) No caso da Equação II, o produto dividido por qualquer fator (exceto zero) resulta no fator restante. Por exemplo, sabemos que. Então, podemos dizer que: ou Cuidado! Não podemos dividir por zero! Por exemplo (até aqui, tudo bem). No entanto: (absurdo!) (válido!) c) As propriedades citadas permitem a confirmação dos cálculos iniciais. Assim, se ao multiplicarmos 123 por 2 obtivermos 246, podemos dividir este produto encontrado (246) por qualquer dos fatores citados desde que diferentes de zero para obter o outro fator. Além disso, podemos determinar tanto um dos fatores como o produto resultante (de modo algébrico) desde que os demais dados sejam fornecidos. Página 4 de 10
E2: E3: Nota: há muitas variações no algoritmo de multiplicação, principalmente com relação aos zeros. Há pessoas que preferem deixar os zeros ao final, há pessoas que colocam (a cada ciclo de operações) um único zero. Eu prefiro tratar o zero como um número qualquer, afinal se eu precisar fazer (por exemplo) um cálculo como 647 x 0 em determinada linha, acho muito rápido escrever 000 (não perco nem um segundo nisso). Acho que as demais técnicas que prometem ganhar tempo nem oferecem tanto tempo assim e ainda podem provocar erros e esquecimentos (como, por exemplo, o método de se acrescentar zeros ao final). Assim sendo, vamos combinar: não importa o meu método, o que importa é o resultado final. Página 5 de 10
E4: Basta então dividirmos o produto por um dos divisores e o resultado, como visto, será o outro fator. É desnecessariamente trabalhoso testar o mesmo produto dividido pelo mesmo fator. Nota: obviamente, precisaremos utilizar o algoritmo da divisão aqui. Caso você ainda não tenha aprendido a dividir, pule este exercício, mas NÃO SE ESQUEÇA de fazê-lo depois. Nota 2: Para os mais experientes, na letra e) teria sido muito mais fácil ter feito 3084 : 6 (cancelando os dois zeros finais tanto do dividendo, quanto do divisor). Teria dado o mesmo resultado (314). No entanto, fiz do modo mais longo pois nem todo mundo teria entendido. Essas simplificações ficarão mais evidentes em Frações. E5: Lembrete:. Veremos ainda mais sobre a propriedade distributiva numa aula específica (estes exercícios são apenas introdutórios) a) 3 4! b) 2 6! c) 2 3! d) 24!! e) 3 4! "! (Pegadinha!!!) Nota: não confunda #$ com # $. Página 6 de 10
E6: E7: Você verá isso melhor em Análise Combinatória (o princípio multiplicativo) no entanto, é bem fácil de se compreender: observe abaixo: Note que uma única camisa branca gerou 4 combinações possíveis com as 4 calças. Se pegarmos, por exemplo, uma camisa preta, ela formará mais 4 combinações com as mesmas calças e assim por diante. Ou seja, 3 camisas e 4 calças formam (3 4 12) doze combinações. Seguindo a mesma ideia, Essas 12 combinações e os 8 bonés formarão (12 8 96 ) noventa e seis novas combinações. Página 7 de 10
E8: Bem simples, né? Se Carlos ganha R$ 1000,00 e o primo ganha 12 vezes mais (ou seja 121000 12000 Então seu primo ganha R$ 12000,00. Acredito que as contas são bem simples. Se restar alguma dúvida, no entanto, pergunte. E9:Problema clássico de multiplicação. Trabalhoso, mas simples: Em cada ninho há 2 adultos com 40 piolhos (cada um). Isso significa que os dois adultos juntos possuem 80 piolhos (40 2. Os 3 filhotes possuem, cada um, 15 piolhos. Então, juntos, os filhotes possuem 45 piolhos (15 3. Se juntarmos os piolhos dos pais com os piolhos dos filhos no mesmo ninho, note que isso é uma operação de adição (afinal, quando juntamos quantidades estamos somando). Assim sendo, teremos 125 piolhos por ninho (8045. Finalmente, como temos 200 ninhos (e 125 piolhos por ninho) bastará fazer a conta 200 125 25000. Logo, temos 25 mil piolhos na árvore. Que delícia! E10: Você precisa saber que 1 minuto possui 60 segundos e que uma hora possui 60 minutos (além dos demais fatos como o dia possuir 24 horas e assim por diante). Como minuto = 60 segundos, temos: 1hora = 60 minutos = 60 x 60 segundos = 3600 segundos. Como um dia = 24 horas, temos: 1 dia = 24 horas = 24 x 60 minutos = 24 x 3600 segundos = 86400 segundos Finalmente, como estamos considerando o ano de 365 dias: 365 dias = 365 x 86400 = 31536000 segundos Página 8 de 10
E11: Mesmo raciocínio anterior, mas com minutos. 1 hora = 60 minutos. Logo, 7 horas = 7 x 60 = 420 minutos. 1 dia = 24 horas = 24 x 60 minutos = 1440 minutos. Logo, 16 dias = 16 x 1440 = 23040 minutos. 1 mês = 30 dias = 30 x 1440 = 43200 minutos. Logo, 11 meses = 11 x 43200 = 475200 minutos. 1 ano = 365 dias = 365 x 1440 = 525600 minutos. Logo, 64 anos = 64 x 525600 = 33638400 minutos Assim sendo, somando os resultados finais destacados, teremos: 3363840047520023040420 34137060 minutos. E12: Note que a soma da quantidade de pés é ímpar. Como é impossível obter uma contagem ímpar de pés a partir dos bípedes (observe: 1 x 2 = 2, 2 x 2 = 4, 3 x 2 = 6 os valores finais são sempre pares) necessariamente temos uma quantidade ímpar de trípedes (da mesma forma, se tivéssemos uma quantidade par de trípedes, a soma da contagem de pés seria par. Observe: 2 x 3 = 6, 4 x 3 = 12 e assim por diante). Conclusão: os valores possíveis de pés de trípedes são sempre ímpares (1, 3, 5 7...) conhecendo-se esses valores, fica fácil descobrir os valores dos bípedes correspondentes em cada caso: Quantidade de Trípedes Quantidade de Bípedes Soma dos Pés 1 10 23 3 7 23 5 4 23 7 1 23 Note que uma quantidade ímpar acima de 9 trípedes é impossível (afinal 9 3 27 quantidade acima dos 23 pés esperados. Assim sendo, a tabela acima resume todas as possibilidades. Página 9 de 10
E13: Enunciado longo para um problema simples: a) o maior algarismo possível é o 9 e é fácil observar que qualquer sequência de noves é um palíndromo (9, 99, 999...). Assim sendo, o maior palíndromo de 8 dígitos é composto por oito noves : 99999999. b) Basta dividirmos 99999999 por 3 para saber qual número que multiplicado por 3 dá 99999999. Fazendo os cálculos (até mesmo mentalmente) ao dividirmos 99999999 por 3 obteremos 33333333. Logo, este é o número procurado: 33333333. E14: ALTERNATIVA D Parecido com o E12, uma simples tabela resolve o problema. Uma dica: estabeleça uma ordem para a análise: Primeiro a máxima quantidade possível de dez centavos, depois a máxima quantidade possível de 5 centavos e vá decrescendo a cada linha até que as possibilidades se esgotem. Moedas de 10 Moedas de 5 Moedas de 1 Valor total 0 5 0 25 0 4 5 25 0 3 10 25 0 2 15 25 0 1 20 25 0 0 25 25 1 3 0 25 1 2 5 25 1 1 10 25 1 0 15 25 2 1 0 25 2 0 5 25 Portanto, 12 possibilidades. Página 10 de 10