4ª PARTE: Matemática Básica 1. Porcentagem. 2. Razão e proporção. 3. Grandezas proporcionais. 4. Regras de três simples. 5. Teoria dos conjuntos. webercampos@gmail.com 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.
PORCENTAGEM 1. RAZÃO CENTESIMAL é a razão cujo denominador é igual a 100. 5 50 135 33,8 Exemplos:,,, 100 100 100 100 Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais: 5 5% (cinco por cento) 100 50 50% (cinquenta por cento) 100 135 135% (cento e trinta e cinco por cento) 100 33,8 33,8% (trinta e três vírgula oito por cento) 100 Tais razões estão expressas em taxas percentuais. Toda percentagem está associada a um número decimal. Exemplos: 48% 0,48 ; 0,7% 0,007 ; 7% 0,07 ; 70% 0,7 ; 700% 7 Observação: A porcentagem, quando escrita na forma de 15%, por exemplo, é chamada de forma percentual, enquanto que seu equivalente 0,15 é dito forma unitária ou decimal. 2. TRANSFORMAÇÃO EM TAXAS PERCENTUAIS Multiplicando-se a taxa (fracionária, decimal...) por 100 e acrescentando-se o símbolo %, obtém-se a taxa percentual. Exemplos: 3 3 a) 100 % 3 25 % 75% 4 4 2 2 200 b) 100 % % @ 66,67% 3 3 3 5 5 c) 100 % 5 25 % 125% 4 4 d) 0,374 0,374 x 100 % 37,4% e) 2,50 2,50 x 100 % 250% f) 3 3 x 100 % 300% 2
3. PORCENTAGEM SOBRE QUANTIDADES Para calcular uma porcentagem de uma quantidade qualquer, basta multiplicála pela taxa percentual. Exemplos: a) Quanto é 15% de 300? 15 Solução: 15 % 300 300 15 3 45 100 b) Quanto é 20% de 650? 20 Solução: 20 % 650 650 2 65 130 100 c) Quanto é 12% de 148? 12 1776 Solução: 12 % 148 148 17, 76 100 100 4. AUMENTO E REDUÇÃO PERCENTUAL Se um número N sofre um aumento percentual x%, seu novo valor passará a ser: N + x%.n (1 + x%).n Da mesma forma, se o número N sofre um decréscimo percentual x%, passará a valer: N x%.n (1 x%).n Exemplo: Um produto que custava R$ 80,00 sofreu um aumento de 15%. Quanto passou a custar? Solução: novo preço (1 + 15%) x 80 (1 + 0,15) x 80 1,15 x 80 92,00. Exemplo: Um artigo custa R$ 250,00. Com uma redução de 35% no seu valor, quanto passará a custar? Solução: novo preço (1 35%) x 250 (1 0,35) x 250 0,65 x 250 162,50. 5. TAXAS PERCENTUAIS SUCESSIVAS A fim de estabelecer uma única fórmula para aumentos e descontos sucessivos, podemos definir que aumentos percentuais são taxas percentuais positivas e que reduções (descontos) percentuais são taxas negativas. Desse modo, teremos a fórmula: i ( 1+ i 1) (1+ i 2) (1+ i 3) K (1+ i n ) -1 3
Exemplo: O salário de um jogador de futebol teve três aumentos percentuais num ano: o primeiro de 10%, o segundo de 5% e o terceiro de 20%. Qual foi o aumento percentual de salário obtido pelo jogador nesse ano? Solução: i ( 1+ 10%) (1+ 5%) (1+ 20%) -1 i ( 1+ 0,1) (1+ 0,05) (1+ 0,2) -1 i 1,1 1,05 1,2-1 i 1,386-1 à i 0,386 38,6% Exemplo: O preço de certa mercadoria era de R$ 500,00. Mas nos três primeiros meses do ano, sofreu as seguintes variações mensais: aumento de 30%, em seguida uma redução de 10% e logo depois uma redução de 1%. Qual é o novo preço da mercadoria? Solução: A taxa percentual sofrida nesses três meses será de: i ( 1+ 30%) (1-10%) (1-1%) -1 i ( 1+ 0,3) (1-0,1) (1-0,01) -1 i 1,3 0,9 0,99-1 i1,1583-1 i 0,1583 +15,83% Novo preço da mercadoria 500 + 15,83% x 500 500 + 79,15 579,15 Exemplo: Num certo mês a inflação foi de 10% e no mês seguinte foi de 20%. Qual é a inflação acumulada nesses dois meses? Solução: INF ( 1+ 10%) (1+ 20%) -1. INF ( 1+ 0,1) (1+ 0,2) -1 INF 1,1 1,2-1 INF 1,32-1 0,32 32% 6. LUCRO E PREJUÍZO O lucro é definido como a diferença entre o valor de venda e o valor de custo (ou compra) e simbolizamos por: L(R$) V C Quando o valor de venda (V) for maior que o valor de custo (C), o L será positivo, indicando que houve um lucro. Caso contrário, o valor de venda menor que o de custo, teremos um L negativo, indicando que houve prejuízo. 4
A taxa percentual do lucro pode ter como referência o preço de custo ou o preço de venda. As duas fórmulas são apresentadas a seguir: è Taxa percentual do Lucro sobre o Preço de Custo: V -C L C è Taxa percentual do Lucro sobre o Preço de Venda: V -C L V Exemplo: Um computador que foi comprado nos EUA pelo equivalente de R$ 1.400,00, será vendido no Brasil com um lucro de 15% sobre o preço de compra. Qual foi o valor de venda do computador no Brasil? Solução: Temos os seguintes dados: C 1400 e L 15% A fórmula do Lucro sobre o preço de compra é dado por: V -C L C Vamos substituir os dados na fórmula: -1400 15% V 1400 Resolvendo vem: V -1400 0,15 1400 V 1400+ 210 V 1610,00 (Resposta!) Exemplo: Uma empresa fabrica certo produto a um custo de R$ 250,00. Contudo, o produto não foi bem aceito no mercado e, então, a empresa resolveu vendê-lo pelo preço de R$ 180,00. Qual foi a taxa de prejuízo sobre o preço de venda? Solução: Temos os seguintes dados: C 250 e V 180 O prejuízo equivale a um lucro negativo. Daí, usaremos a fórmula do Lucro sobre o preço de venda que é dado por: V -C L V 5
Vamos substituir os dados na fórmula: 180-250 L 180 Resolvendo vem: - 70-7 L 180 18 Vamos multiplicar por 100 para encontrar o valor percentual: - 7-7 50-350 L 100 % % %@-38,89% 18 9 9 Portanto, o prejuízo foi de aproximadamente 38,89%. 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exemplo: Numa escola de 800 alunos, temos que 60% são meninas. Qual é a quantidade de meninos? Solução: Como a quantidade de meninas representa 60% do total, a quantidade de meninos representará 40% do total. Daí, teremos: Número de meninos 40% de 800 0,4 x 800 4 x 80 320 (Resposta!) Exemplo: Numa urna, 35% das bolas são pretas e as outras 455 são brancas. Quantas bolas há na urna? Solução: A porcentagem de bolas brancas na urna é igual a 65% (100% 35%) do total. Considerando que o total de bolas da urna é X, podemos montar a seguinte equação: 65 % X Resolvendo vem: X 455 0,65 455 Portanto, há 700 bolas na urna. 455 100 91 100 7 100 700 65 13 Exemplo: Certo produto passou de R$ 24,00 para R$ 30,00. Qual foi a taxa percentual de aumento? Solução: Aumento em reais 30 24 6,00 A variação percentual pode ser calculada dividindo-se o aumento em dinheiro pelo valor inicial do produto: 6
6 24 0,25 25% (Resposta!) Exemplo: O salário de Amarildo é 30% maior que o de Bruno e o salário deste é 20% menor que o de Carlos. A soma dos salários dos três é igual a R$ 5680,00. Qual é o salário de cada um deles? Solução: Vamos designar as seguintes letras: A salário de Amarildo B salário de Bruno C salário de Carlos Do enunciado, temos que: à A B + 30%.B 1,3.B à B C 20%.C 0,8.C Devemos trabalhar apenas com uma letra, para tanto vamos colocar A em função de C. Teremos: à A 1,3.B 1,3.(0,8C) 1,04.C A expressão da soma dos salários é: à A + B + C 5680 Vamos substituir as letras A e B em função de C: à 1,04C + 0,8C + C 5680 à 2,84C 5680 à C 5680/2,84 à C 2000 Daí: à A 1,04.C 1,04. 2000 2080 à B 0,8.C 0,8. 2000 1600 Portanto, o salário de Amarildo é R$ 2080,00, o de Bruno é R$ 1600,00 e o de Carlos é de R$ 2000,00. 7
RAZÃO E PROPORÇÃO 1. RAZÃO 1.1. Conceito Sejam a e b dois números racionais e b ¹ 0, denomina-se razão entre a e b o quociente a/b. O primeiro número da razão é chamado de antecedente e o segundo de consequente. Assim, temos: A razão b a a b antecedente consequente ou a : b pode ser lida como razão de a para b ou a está para b. 1.2. Razões Equivalentes São razões que depois de simplificadas tornam-se iguais. 5 15 15 5 5 15 Ex.: e (simplificando ) Logo: 6 18 18 6 6 18 1.3. Razão de Velocidade Média É a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. Exemplo: um carro percorre 240 km em 3 horas. Determine a sua velocidade média. espaço V tempo 240km V 80km/ h 3h 1.4. Razão de Densidade Específica É a razão entre a MASSA e o VOLUME de um corpo. Exemplo: 3 cm 3 de ouro pesam, aproximadamente, 57 gramas. Logo massa 57g d volume 3cm 19g / 3 cm 3 1.5. Razão de Densidade Demográfica É a razão entre a população e a área de um país, estado ou região. Exemplo: um município de 4000 km 2 tem uma população de 120.000 habitantes. 120.000hab. 4.000km 30hab / 2 km 2 8
1.6. Razões Opostas Razões opostas (ou simétricas) são razões de módulos iguais e de sinais diferentes. Exemplos: 3 5 3 e - ; 5 1 10 e - 1 10 1.7. Razões Inversas É quando o antecedente de uma corresponde ao consequente da outra (o produto entre elas é igual a UM). Exemplo: 3 7 3 7 e. O produto entre elas: 1 7 3 7 3 2. PROPORÇÃO 2.1. Conceito É a igualdade entre duas razões. a c ou a : b c : d (lê-se: a está para b assim como c está b d para d) o 4º. Numa proporção temos: a, c são antecedentes b, d são conseqüentes a, d são extremos b, c são meios a, b, c, d são os termos da proporção. a é o 1º termo, b é o 2º, c é o 3º e d é 2.2. Propriedades das Proporções a) Propriedade Fundamental das Proporções: Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: Ex.: 5 20 Û 5 x 8 2 x 20 2 8 b) Numa proporção, a soma (ou diferença) entre os dois primeiros números está para o primeiro (ou para o segundo) assim como a soma (ou diferença) entre os dois últimos números está para o terceiro (ou quarto). Exemplos: 1º) 5 20 5 + 2 20+ 8 Þ 2 8 2 8 Þ 7 28 2 8 9
2º) 9 27 9-4 27- Þ 4 12 4 1212 Þ 5 15 4 12 c) Uma proporção qualquer pode ser transformada em uma nova proporção a partir da soma (ou diferença) entre os antecedentes, e a soma (ou diferença) entre os consequentes. Exemplo: 1º) 2º) 9 4 27 12 27 12 18 8 18 8 27-18 12-8 9+ 27+ 18 4+ 12+ 8 9 4 54 24 2.3. Números Proporcionais pois: Diretamente proporcionais: Duas sucessões de números não nulos são diretamente proporcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais. Exemplo: (8 ; 10 ; 12) e (4 ; 5 ; 6) são sucessões diretamente proporcionais, 8 4 10 5 12 6 2 Nesse exemplo o valor 2 é a constante de proporcionalidade. pois: Inversamente proporcionais: Duas sucessões de números não nulos são inversamente proporcionais quando o produto entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais. Exemplo: (2 ; 3 ; 5) e (15 ; 10 ; 6) são sucessões inversamente proporcionais, 2 15 3 10 5 6 30 Nesse exemplo o valor 30 é a constante de proporcionalidade. 10
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS 1. Divisão em Partes Proporcionais Para dividir um número N em partes proporcionais aos números a, b e c, por exemplo, devemos usar uma das propriedades das proporções. Acompanhe o exemplo: Exemplo: Divida o número 360 em três partes a, b e c, diretamente proporcionais aos números 2, 4 e 6. Solução: que: Primeiramente, vamos chamar essas partes de a, b e c. Desse modo, temos a + b + c 360 Se as sequências (a, b, c) e (2, 4, 6) são diretamente proporcionais, então a razão entre os números correspondentes é constante. Logo : a 2 b c 4 6 Agora vamos aplicar a terceira propriedade da proporção que vimos anteriormente: Daí, resolvendo vem: a b c a+ b+ c 360 30 2 4 6 2+ 4+ 6 12 a 2 30 Þ a 60 b 4 30 Þ b 120 c 6 30 Þ c 180 Resposta: a 60 ; b 120 e c 180. 2. Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Exemplo: Dividir 70 em partes inversamente proporcionais a 6 e 4. Solução: Primeiramente, vamos chamar essas partes de a e b. Desse modo, temos que: a + b 70 Como são inversamente proporcionais, montaremos a proporção usando os inversos de 6 e 4: 11
a 1 6 b 1 4 A fim de eliminar as frações que aparecem na parte debaixo da proporção, vamos tirar o mmc de 6 e 4 e depois multiplicar esse resultado por cada uma das frações: O mmc(6, 4) 12. Teremos: a b 1 1 12 12 6 4 a 2 Aplicando a terceira propriedade da proporção, teremos: a 2 b 3 Daí, resolvendo vem: a 2 b 3 14 14 Þ Þ a+ b 2+ 3 a b Þ 70 5 28 42 Resposta: a 28 e b 42. 14 b 3 3. Regra de Sociedade A regra de sociedade é uma aplicação da divisão em partes proporcionais. O lucro/prejuízo deve ser dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais investidos e/ou ao tempo durante o qual o capital esteve empregado. Exemplo: Três sócios lucraram, juntos, R$ 38.000,00. O primeiro investiu R$ 5.000,00 durante 12 meses, o segundo investiu R$ 4.000,00 durante 6 meses e o terceiro investiu R$ 6.000,00 durante 5 meses. Que parte do lucro cabe a cada dos três sócios? Solução: A questão se traduz em dividir 38.000 em três partes a, b e c diretamente proporcionais a 5, 4 e 6 (capitais em R$ 1.000,00), e também diretamente proporcionais a 12, 6 e 5 (tempo em meses): Resolvendo, encontraremos: a b c a+ b+ c 38.000 1.000 5 12 4 6 6 5 60+ 24+ 30 114 3 a R$ 20.000,00 b R$ 8.000,00 c R$ 10.000,00 12
REGRA DE TRÊS 1. Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais Diretamente Proporcionais Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia no mesmo sentido que a primeira, na mesma proporção. Exemplo: Horas trabalhadas Salário (R$) 10 50,00 20 100,00 30 150,00 As grandezas horas trabalhadas e salário são diretamente proporcionais, pois aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção. Observe que, por serem diretamente proporcionais, a razão entre os números é constante. Inversamente proporcionais Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, variando-se uma delas, a outra varia em sentido contrário à primeira. Exemplo: Velocidade média (Km/h) Tempo de viagem (horas) 90 1 45 2 30 3 As grandezas velocidade média e tempo de viagem são inversamente proporcionais, pois aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção. Observe que, por serem inversamente proporcionais, o produto entre os números é constante. 2. Regras de Três Simples e Composta Regra de três simples É um processo prático para a resolução de problemas que envolvem apenas duas grandezas, que podem ser direta ou inversamente proporcionais. Regra de três composta Quando o problema envolve mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais, o processo é chamado de regra de três composta. 13
- Processo de cálculo: O processo de cálculo de uma regra de três, seja ela simples ou composta, consiste basicamente em comparar grandezas, para verificar se a proporção acontece de forma direta ou inversa. Exemplo: Oito máquinas produziram, em 4 dias, 160 peças. Em quantos dias seis máquinas produziriam 300 dessas peças? Qtde de máquinas Tempo para produzir Qtde de peças produzidas 8 4 160 6 x 300 Grandeza que contém a incógnita. Comparando a grandeza da incógnita com cada uma das demais: - Qtde de máquinas: Quanto mais máquinas produzindo, menos tempo para produzir. Então, as grandezas são inversamente proporcionais. - Qtde de peças produzidas: Quanto mais peças a produzir, mais tempo para produzir. Cálculo: 4 x 6 8 160 300 Então, as grandezas são diretamente proporcionais. Diretamente proporcionais: Mantenha a ordem dos termos. Inversamente proporcionais: Inverta a ordem dos termos. Simplificando os termos, teremos: 4 x Daí: x 10. 2 5 14
TEORIA DOS CONJUNTOS 1. TEORIA DOS CONJUNTOS 1) Relações de Pertinência Relacionam elemento com conjunto. E a indicação de que o elemento pertence ou não pertence a um conjunto é feita pelos símbolos: Î (pertence) e Ï (não pertence). Exemplo 1: a) 2 Î {0, 1, 2} b) 4 Ï {0, 1, 2} 2) Relações de Inclusão Relacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de inclusão: Ì (está contido), Ë (não está contido), É (contém) e É (não contém). Exemplo 2: a) {2, 5} Ì {0, 1, 2, 5} b) {2, 7} Ë {0, 1, 2, 5} c) {0, 1, 2, 5} É {2, 5} d) {0, 1, 2, 5} É {2, 7} 3) Subconjunto Diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. Exemplo 3: a) {2} é subconjunto de {1, 2, 3} b) {1, 3} é subconjunto de {1, 3, 5} 4) Conjunto das Partes de um Conjunto O conjunto das partes de um conjunto A, simbolizado por P(A), é o conjunto cujos elementos são todos partes (subconjuntos) de A. O número de partes (subconjuntos) de um conjunto A é dado por 2 n, em que n é o número de elementos de A. Exemplo 4: Dado o conjunto A{1, 2, 3}, encontrar o conjunto das partes de A. Solução: Como A tem 3 elementos, P(A) terá 8 elementos (2 3 ). O conjunto P(A) é { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, Æ }. Onde o símbolo Æ representa o conjunto vazio. Este é sempre subconjunto de qualquer conjunto. 5) Operações com Conjuntos Considerando os conjuntos A, B e o conjunto-universo U, daremos a definição de cada operação com conjuntos: 15
a) União (È) A união entre dois conjuntos, AÈB, é o conjunto formado pela reunião dos elementos de A e de B. Simbolicamente: AÈB {x xîa ou xîb}. Exemplo 5: {1, 2, 3} È {2, 5, 8} {1, 2, 3, 5, 8} (Resposta!) A representação gráfica da união entre dois conjuntos é dada pelo seguinte desenho: A U B b) Interseção (Ç) A intersecção entre dois conjuntos, AÇB, é o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AÇB {x xîa e xîb}. Exemplo 6: {1, 2, 3} Ç {2, 5, 8} {2} (Resposta!) Representação gráfica da intersecção entre dois conjuntos: c) Diferença ( ) A diferença entre dois conjuntos, B A, é o conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem a A. Simbolicamente: B A {x xîb e xïa}. Exemplo 7: {1, 2, 3} {2, 5, 8} {1, 3} (Resposta!) A representação gráfica da diferença entre dois conjuntos (B-A) é dada pelo seguinte desenho: d) Complementar (') O complementar do conjunto A, simbolizado por A', é o conjunto formado pelos elementos do conjunto universo (U) que não pertencem a A. Simbolicamente: A'{xÎU xïa}. 16
A representação gráfica do complementar do conjunto A é dada pelo seguinte desenho: U A f) Fórmula da União Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união, da intersecção e dos conjuntos individuais. A fórmula é dada por: à n(aèb) n(a) + n(b) n(açb) Se forem três conjuntos a fórmula será: à n(aèbèc)n(a)+n(b)+n(c) n(açb) n(açc) n(bçc)+n(açbçc) Exemplo 9: Calcule o número de elementos da união dos conjuntos A e B a partir dos seguintes dados: n(a)10, n(b)7, n(açb)5. Solução: Substituiremos os dados na fórmula da união. Teremos: à n(aèb) n(a)+n(b) n(açb) 10+7-5 à n(aèb) 12 (Resposta!) Esta não é a única maneira de se chegar à resposta. Fazendo o desenho dos círculos e escrevendo nestes os dados fornecidos, facilmente chegaremos à mesma resposta! Exemplo 10: Considere o diagrama abaixo onde o retângulo representa o conjunto-universo U e os círculos representam os conjuntos A e B. U A B 1 4 6 2 5 7 8 13 10 11 12 Com base no desenho, determine: 17
a) O conjunto A Sol.: A {1, 2, 3, 4, 5} e n(a)5 b) O conjunto B Sol.: B {4, 5, 6, 7, 8,9} e n(b)6 c) O número de subconjuntos de A Sol.: 2 n 2 5 32 subconjuntos d) O número de subconjuntos de B Sol.: 2 n 2 6 64 subconjuntos e) A união de A e B Sol.: A È B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} f) A intersecção entre A e B Sol.: A Ç B {4, 5} g) A diferença A B Sol.: A-B {1, 2, 3} h) A diferença B A Sol.: B - A {6, 7, 8, 9} i) O complementar de A Sol.: A' U - A {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} j) O complementar de B Sol.: B' U - B {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13} QUESTÕES RESOLVIDAS DE CONJUNTOS 01. (TTN 1998 ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A {4, 8, x, 9, 6} e B {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y-(3x + 3) é igual a a) -28 b) -19 c) 32 d) 6 e) 0 Sol.: O conjunto resultante da intersecção de A e B é igual a: AÇB{2, 9, 6}. Agora, devemos descobrir os valores de x e de y presentes nos conjuntos A e B. Observe que o número 2 é o primeiro elemento da intersecção entre A e B. Como o número 2 faz parte da intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e 18
B. Mas veja que o elemento 2 não está presente no conjunto A, então devemos fazer x igual a 2. Acabamos, então, de descobrir que x é 2! O número 9 é o segundo elemento da intersecção entre A e B. Como ele faz parte da intersecção, então ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. No conjunto A temos o elemento 9, mas no conjunto B não aparece o elemento 9, então devemos fazer y igual a 9. Acabamos de descobrir o valor de y! Encontramos que: x2 e y9. O enunciado solicita o valor da expressão y (3x+3), substituindo x e y por 2 e 9, respectivamente, obteremos: à 9 (3.2+3) 9 (9) 0 (resposta!) 02. (ANEEL 2006 ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P Y - X é igual a: a) 4 d) vazio b) 6 e) 1 c) 8 Sol.: O número de subconjuntos de um dado conjunto é calculado por 2 n, onde n é o número de elementos do conjunto. Como o conjunto X tem 64 subconjuntos, então o número de elementos de X pode ser obtido a partir da igualdade: 2 n 64. Resolvendo, vem: à 2 n 64 à 2 n 2 6 à n6 Portanto, o conjunto X tem 6 elementos. O conjunto Y tem 256 subconjuntos, então o número de elementos de Y pode ser obtido a partir da igualdade: 2 n 256. Resolvendo, vem: à 2 n 256 à 2 n 2 8 à n8 Portanto, o conjunto Y tem 8 elementos. Agora, dos conjuntos X e Y sabemos que: à n(x)6; à n(y)8; à n(xçy)2. Vamos lançar esses dados no desenho dos círculos X e Y. X 4 6 2 8 6 Y A quantidade 4, dentro do círculo X, foi obtida da diferença entre 6 e 2. E ela significa que há 4 elementos apenas em X. E a quantidade 6, dentro do círculo Y, foi obtida da diferença entre 8 e 2. E ela significa que há 6 elementos apenas em Y. 19
A questão pede o número de elementos do conjunto diferença Y-X. A região dos círculos correspondente a diferença Y-X é a região do círculo Y que está fora da intersecção. E nesta região há 6 elementos. Resposta: Alternativa B! 03. (FCC) Em uma turma de 32 alunos, o número de alunos que praticam futebol é o triplo da quantidade de alunos que só praticam natação. Metade dos alunos dessa turma não pratica nenhum desses dois esportes. A porcentagem dos alunos da turma que praticam somente natação é: a) 10,0% b) 12,5% c) 17,0% d) 22,5% e) 25,0% Sol.: Temos os seguintes dados: à a turma tem 32 alunos; à o número de alunos que praticam futebol é o triplo da quantidade de alunos que só praticam natação; à metade dos alunos dessa turma não pratica nenhum desses dois esportes. Definiremos os seguintes conjuntos: F conjunto dos alunos que praticam Futebol. N conjunto dos alunos que praticam Natação. O conjunto universo é formado pela turma de 32 alunos. Turma de 32 alunos F N 3x x 16 Como metade dos alunos dessa turma não praticam nenhum desses esportes, então existem 16 ( 32/2) alunos fora dos círculos. Designamos por x o número de alunos que praticam apenas natação. Logo, o número de alunos que praticam futebol é igual a 3x. Se somarmos a quantidade de pessoas que praticam futebol (círculo azul) com a quantidade de pessoas que não praticam futebol (fora do círculo azul), o resultado deve ser igual ao total de alunos da turma: 32 alunos. Temos que: à Pessoas que praticam futebol 3x à Pessoas que não praticam futebol x + 16 20
Somando as quantidades acima tem que dar 32, então: à 3x + (x + 16) 32 Resolvendo, vem: à 4x 16 à x 4 (logo, 4 praticam apenas natação!) A porcentagem dos alunos da turma que praticam apenas natação é igual a razão entre o número de alunos que praticam apenas natação e o número total de alunos. Assim, teremos: à 4/32 1/8 0,125 12,5% (Resposta: Alternativa B) 21
EXERCÍCIOS PORCENTAGEM 01. (Agente de Segurança Penitenciária de Classe I SP 2012 Vunesp) O gráfico a seguir apresenta dados referentes aos participantes de um evento. Analisando o gráfico, pode-se afirmar que (A) 30% dos homens residem na cidade do evento. (B) 20% das mulheres não residem na cidade do evento. (C) 40% dos participantes residem na cidade do evento. (D) 60% dos participantes não residem na cidade do evento. (E) 15% dos homens não residem na cidade do evento. 02. (SPTrans 2012 Vunesp) O jornal Folha de S.Paulo, de 5 de julho de 2012 (Adaptado), publicou o seguinte artigo sobre o interesse dos ingleses pela Olimpíada: De acordo com essas informações, em 500 pessoas pesquisadas, o número de pessoas que acreditam que a economia do Reino Unido irá melhorar durante o ano corresponde a uma porcentagem de, aproximadamente, 22
(A) 38%. (B) 35%. (C) 28%. (D) 23%. (E) 16%. 03. (Prefeitura Municipal de Mogi Das Cruzes 2012 Vunesp) Uma empresa possui uma frota de 400 veículos, sendo que 60% deles utilizam apenas gasolina como combustível. Dos veículos restantes, 44 são flex (utilizam tanto gasolina como álcool) e os demais utilizam apenas álcool como combustível. Em relação ao total de veículos dessa frota, os que utilizam somente álcool como combustível representam uma porcentagem de (A) 29%. (B) 32%. (C) 35%. (D) 38%. (E) 41%. 04. (Guarda Civil Municipal Sorocaba/SP 2012 Vunesp) Para um concurso federal, o total de inscritos é de 1 120 candidatos. O número de homens inscritos é o triplo do número de mulheres. O resultado desse concurso aprovou, do total de inscritos, 15% das mulheres e 5% dos homens. O número de mulheres e de homens, aprovados nesse concurso, respectivamente, é (A) 36 e 48. (B) 38 e 46. (C) 40 e 44. (D) 42 e 42. (E) 44 e 40. 05. (Soldado PM/SP 2011 Vunesp) Do total de 200 funcionários que trabalham em uma empresa, 20% já estão aposentados, mas continuam trabalhando. Desse total de aposentados, 34 são homens. A porcentagem de mulheres aposentadas que trabalham nessa empresa é (A) 15% (B) 12% (C) 9% (D) 6% (E) 3% 06. (Prefeitura Municipal de São Bernardo do Campo 2012 Vunesp) Um professor da EJA apresentou o problema a seguir para seus alunos: Um funcionário de uma indústria ganha R$ 12,50 por hora de trabalho, até o limite de 44 horas semanais, sendo acrescido de 40% no valor/hora a cada hora extra. Qual é o salário bruto semanal desse trabalhador quando trabalha mais de 44 horas semanais? Daniel acertou o problema. Ele apresentou uma expressão que permite calcular o salário bruto semanal desse trabalhador em função do número x de horas trabalhadas 23
quando esse funcionário extrapola as 44 horas semanais. Essa expressão corresponde a (A) 12,5 x 220. (B) 12,5 x +550. (C) 12,50 x 220. (D) 17,5 x +550. (E) 17,5 x + 550 07. (TRT-PE Auxiliar 2006 FCC) Do total de funcionários de certa empresa, sabe-se que: 60% são do sexo masculino e que, destes, 30% usam óculos; das mulheres, 20% usam óculos; os que não usam óculos totalizam 333 unidades. Nessas condições, o total de pessoas que trabalham nessa empresa é (A) 320 (B) 350 (C) 400 (D) 420 (E) 450 08. (Guarda Civil Municipal Sorocaba/SP 2012 Vunesp) Um artigo custava R$ 180,00 e passou a custar R$ 207,00. A porcentagem de aumento desse artigo foi (A) 15%. (B) 16%. (C) 17%. (D) 18%. (E) 20%. 09. (Agente de Segurança Penitenciária de Classe I SP 2012 Vunesp) O salário de Ruy teve um aumento de 8% e passou a ser R$ 1.674,00 por mês. Seu salário, antes do aumento, era de (A) R$ 1.590,00. (B) R$ 1.550,00. (C) R$ 1.535,00. (D) R$ 1.520,00. (E) R$ 1.505,00. 10. (Banco do Brasil 2011 FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em (A) 18,5%. (B) 20%. (C) 22,5%. (D) 25%. (E) 27,5%. 24
11. (Prefeitura Municipal de São Bernardo do Campo 2012 Vunesp) O professor Paulo propôs à sua turma da EJA o seguinte problema: Um turista pagou R$35,00 por um par de sandálias de praia e uma camiseta. À tarde voltou à mesma loja e constatou que o preço do par da sandália de praia foi reajustado em 50% e o preço da camiseta foi reduzido em 20%. Comprou, então, dois pares de sandálias de praia e 5 camisetas, pagando R$120,00. Nessas condições, se o turista, na segunda visita, tivesse comprado apenas um par de sandálias de praia e uma camiseta, quanto pagaria? Sua aluna Cintia acertou a questão e disse que o turista pagaria (A) R$ 42,00. (B) R$ 45,00. (C) R$ 48,00. (D) R$ 54,00. (E) R$ 70,00. RAZÃO E PROPORÇÃO 12. (Agente de Segurança Penitenciária de Classe I SP 2012 Vunesp) Em um concurso participaram 3 000 pessoas e foram aprovadas 1 800. A razão do número de candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é (A) 2/3. (B) 3/5. (C) 5/10. (D) 2/7. (E) 6/7. 13. (Prefeitura Municipal de São Bernardo do Campo 2012 Vunesp) A professora Sílvia perguntou a seus alunos da EJA: Qual é o maior valor possível do quociente entre dois números inteiros x e y, quando os números x e y pertencem aos intervalos: 5 x 10 e 20 y 30? Os alunos que acertaram a resposta assinalaram a alternativa (A) 1/6. (B) 1/4. (C) 1/3. (D) 1/2. (E) 1. 14. (Agente de Escolta e Vigilância Penitenciária Estado de SP 2012 Vunesp) A área que o estado de São Paulo possui é, aproximadamente, 250 000 km 2 e sua população é de, aproximadamente, 41 milhões de pessoas. Sendo a densidade demográfica a razão entre a população e a área ocupada, pode-se afirmar que a densidade demográfica, em habitantes por quilômetros quadrados, do estado de São Paulo é (A) 0,16. (D) 1 640. (B) 16,4. (E) 16 640. (C) 164. 25
15. (Prefeitura Municipal de Presidente Prudente 2012 Vunesp) Em uma quadra, há 30 meninas e 22 meninos. A professora formou o maior número de grupos possíveis, sendo que em cada grupo havia 4 meninas e 3 meninos. Com os alunos que sobraram, a professora formou um grupinho. Nesse grupinho, o número de meninas em relação ao número de meninos era (A) um terço. (B) a metade. (C) igual. (D) o dobro. (E) o triplo. 16. (SPTrans 2012 Vunesp) Em uma concessionária de veículos, a razão entre o número de carros vermelhos e o número de carros prateados vendidos durante uma semana foi de 3/11. Sabendo-se que nessa semana o número de carros vendidos (somente vermelhos e prateados) foi 168, pode-se concluir que, nessa venda, o número de carros prateados superaram o número de carros vermelhos em (A) 96. (B) 112. (C) 123. (D) 132. (E) 138. 17. (Soldado PM/SP 2011 Vunesp) Uma loja de doces comprou alguns tabletes de chocolate branco e outros de chocolate ao leite, num total de 144 tabletes. Se a razão entre os tabletes de chocolate branco e os de chocolate ao leite, nessa ordem, foi de 2/7, então o número de tabletes de chocolate ao leite comprados foi (A) 123 (B) 112, (C) 104 (D) 96. (E) 88. 18. (Prefeitura Municipal de Suzano 2012 Vunesp) Numa campanha de arrecadação de alimentos, a razão entre a quantidade arrecadada pelos alunos de certo colégio e a quantidade doada pelo próprio colégio foi de 13 para 9, nessa ordem, sendo que o total arrecadado foi inteiramente distribuído para 16 entidades beneficentes. Se os alunos contribuíram com 2,08 t, então cada entidade recebeu, em média, (A) 200 kg. (B) 220 kg. (C) 250 kg. (D) 280 kg. (E) 300 kg. 26
19. (Soldado PM/SP 2011 Vunesp) Em um restaurante, a razão entre pratos fundos e pratos rasos, nesta ordem, é de 3/5. Se um prato fundo for quebrado, essa razão passará a ser de 7/12. Pode-se afirmar que o número de pratos rasos desse restaurante é (A) 30. (B) 45. (C) 52. (D) 60. (E) 68. 20. (Prefeitura Municipal de Presidente Prudente 2012 Vunesp) A razão entre as idades de um pai e de seu filho é hoje de 5/2. Quando o filho nasceu, o pai tinha 21 anos. A idade do filho hoje é de (A) 10 anos. (B) 12 anos. (C) 14 anos. (D) 16 anos. (E) 18 anos. 21. (TRF4 - Tec Jud - 2010 FCC) Sejam x, y e z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a (A) 1, 3 e 6. (B) 1, 4 e 6. (C) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. (E) 1, 7 e 8. 22. (UNICAP) Alcir, Luis e Antônio formaram uma sociedade. O 1º entrou com 60 milhões, o 2º com 80 milhões e o 3º com 40 milhões. Ao fim de três meses, houve um lucro de 36 milhões, o qual foi dividido entre os 3 sócios na razão direta ao capital de participação de cada um. Quanto coube, em milhões, a Alcir? a) 8 b) 16 c) 12 d) 18 e) 24 23. (TRT-BA 2003 FCC) Três funcionários, A, B e C, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se A, B e C trabalham no Tribunal há 3, 5 e 6 anos, respectivamente, o número de formulários que B deverá conferir é (A) 100 (D) 240 (B) 120 (E) 250 (C) 200 27
REGRA DE TRÊS SIMPLES 24. (Agente de Segurança Penitenciária de Classe I SP 2012 Vunesp) Em um vazamento de água, observa-se que, em 5 minutos, vazam 34 litros de água. O encanador foi chamado, mas demorará 1 hora e meia para chegar e iniciar o conserto. Nesse tempo (1 hora e meia), mantida a mesma vazão de água, a quantidade de litros que vazará é de (A) 1 200. (B) 1 020. (C) 874. (D) 680. (E) 612. 25. (CEF 2000 FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 26. (Soldado PM/SP 2011 Vunesp) Um artigo publicado pelo jornal Folha de S.Paulo, de janeiro de 2011, trazia: Uma saca de 60 kg de café verde resulta em 50 kg de café torrado. Suponha que uma empresa precise de 420 kg de café torrado, mas que, por algum problema, só consiga comprar 200 kg, precisando, então, comprar algumas sacas de café verde para poder torrá-lo e completar o que está faltando. O número mínimo de sacas de café verde que precisam ser compradas será (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7. 27. (Prefeitura Municipal de Mogi Das Cruzes 2012 Vunesp) Uma cantina vende copos de sucos de laranja contendo 2/6 de litro de suco cada um. Nessas condições, se forem vendidos 15 litros de suco de laranja, pode-se afirmar que tal medida será correspondente a (A) 25 copos. (B) 35 copos. (C) 45 copos. (D) 55 copos. (E) 65 copos. 28
28. (Prefeitura Municipal de Presidente Prudente 2012 Vunesp) São necessários 7,5 kg de celulose para produzir 2 000 folhas de papel. Em uma plantação uniforme de eucalipto, de cada árvore de porte médio, resultam, em média, 30 kg de celulose. Para produzir 200 000 folhas desse mesmo papel, o número necessário dessas árvores é de (A) 18. (B) 20. (C) 22. (D) 24. (E) 25. 29. (Agente de Escolta e Vigilância Penitenciária Estado de SP 2012 Vunesp) Com 1 litro de tinta, Clayton consegue pintar uma parede de 10 m 2 em 25 minutos. Trabalhando no mesmo ritmo e nas mesmas condições de uso da tinta, para pintar uma parede de 14 m 2, Clayton precisa de (A) 1,4 litros e 30 minutos. (B) 1,4 litros e 35 minutos. (C) 1,6 litros e 30 minutos. (D) 1,6 litros e 35 minutos. (E) 1,8 litros e 30 minutos. 30. (Prefeitura Municipal de Presidente Prudente 2012 Vunesp) André e Horácio disputaram uma corrida de 100 metros e André cruzou a linha de chegada com uma vantagem de 10 metros sobre Horácio. Após descansarem, decidiram disputar uma nova corrida, porém André iniciaria 10 metros atrás de Horácio, ou seja, Horácio irá percorrer os mesmos 100 metros e André, 110 metros. Supondose que na segunda corrida, cada corredor manteve a respectiva velocidade da corrida anterior, pode-se afirmar que (A) Horácio cruzará a linha de chegada 1 metro à frente de André. (B) Horácio cruzará a linha de chegada 9 metros à frente de André. (C) Horácio cruzará a linha de chegada ao mesmo tempo que André. (D) André cruzará a linha de chegada 1 metro à frente de Horácio. (E) André cruzará a linha de chegada 9 metros à frente de Horácio. 29
TEORIA DOS CONJUNTOS 31. Considere o diagrama abaixo onde o retângulo representa o conjunto-universo U e os círculos representam os conjuntos A e B. A B U 1 2 4 5 6 7 8 13 10 11 12 Com base no desenho, determine: a) O conjunto A b) O conjunto B c) O número de subconjuntos de A d) O número de subconjuntos de B e) A união de A e B f) A intersecção entre A e B g) A diferença A B h) A diferença B A i) O complementar de A j) O complementar de B 32. (Chesf 2012 Cesgranrio) Se A e B são conjuntos quaisquer e C(A, B) A (A B), então C(A, B) é igual ao conjunto a) Ø b) B c) B - A d) A - B e) (A B) - A 30
33. (TTN 1998 ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A {4, 8, x, 9, 6} e B {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y-(3x + 3) é igual a a) -28 b) -19 c) 32 d) 6 e) 0 34. Na figura abaixo têm-se representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos. A região sombreada representa o conjunto. 35. (DEGASE 2012 CEPERJ) Dois conjuntos B e C são subconjuntos de um conjunto A, porém A também é subconjunto de B e contém os elementos de C. Desse modo, pode-se afirmar que a) A B e C B b) A É B e C É B c) A Î B e C Î B d) A Î B e C B e) A B e B C 36. (BRDE 2012 AOCP) Considere um espaço amostral Ω, e os eventos A e B, definidos em Ω, tal que A B. Nessas condições, assinale a alternativa correta. a) A B A b) A c B B c) A B c A d) B c A c e) A B c Φ 37. (ANEEL 2006 ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P Y - X é igual a: a) 4 d) vazio b) 6 e) 1 c) 8 31
GABARITO: 01 A 02 E 03 A 04 D 05 E 06 anulada 07 E 08 A 09 B 10 D 11 A 12 B 13 D 14 C 15 D 16 A 17 B 18 B 19 D 20 C 21 C 22 C 23 B 24 E 25 E 26 C 27 C 28 E 29 B 30 D 31 32 D 33 E 34 (A Ç B) C 35 A 36 D 37 B 32