Prova de Análise de Dados Página 1 de (D1) Pulsar Binário Através de buscas sistemáticas ao longo das últimas décadas, astrônomos encontraram um grande número de pulsares de milissegundo (período de rotação < 10 ms). A maioria destes pulsares formam sistemas binários, com órbitas aproximadamente circulares. Para um pulsar em órbita binária, tanto o período de rotação do pulsar (P) quanto a aceleração radial (a) variam de modo sistemático devido ao movimento orbital. Para órbitas circulares, esta variação pode ser descrita matematicamente em função da fase orbital 𝜙 (0 𝜙 𝜋) como 𝑃 𝜙 = 𝑃! + 𝑃! 𝑐𝑜𝑠𝜙 onde 𝑃! = 𝑎 𝜙 = 𝑎! 𝑠𝑖𝑛𝜙 onde 𝑎! =!!!!!!!! 𝜋! 𝑟 𝑃!! onde PB é o período orbital do sistema binário, P0 é o período de rotação intrínseco do pulsar, e r é o raio da órbita. A Tabela abaixo traz uma série de medidas de P e a em diferentes épocas heliocêntricas, com T expresso em Dia Juliano Modificado truncado (tmjd), ou seja, o número de dias desde MJD = 0000. No. 1 8 9 T (tmjd) 0. 0.0.100. 981.811 98.9 00.89 00.8.90 P (µs) 8.8889 8.8 88.100 88.810 8.88 8.8 89.109 89.10 89.18 a (m s-) - 0.9 ± 0.08-0. ± 0.08-1.8 ± 0.0 + 1. ± 0.0 + 0. ± 0.0-0. ± 0.08 + 0. ± 0.08 + 0.00 ± 0.0 + 0.00 ± 0.0 Construindo um gráfico de 𝑎(𝜙) em função de 𝑃(𝜙), obtemos uma curva paramétrica. Como fica evidente através das relações dadas acima, a curva no plano período-aceleração é uma elipse. Neste problema estimaremos o período de rotação intrínseco P0, o período orbital PB e o raio da órbita r, através da análise destes dados, assumindo uma órbita circular. (D1.1) Construa um gráfico da aceleração em função do período para os dados acima, incluindo as barras de erro. Chame este gráfico de D1.1. (D1.) Trace a elipse que melhor se ajusta a estes dados, na mesma folha do gráfico D1.1. (D1.) Com base neste gráfico, estime 𝑃!, 𝑃!, e 𝑎!, incluindo as margens de erro para estes valores. (D1.) Escreva as expressões para 𝑃! e 𝑟 em termos de 𝑃!, 𝑃!, e 𝑎!. (D1.) Calcule os valores aproximados de 𝑃B e 𝑟 com base nas estimativas feitas no item D1., incluindo as margens de erro. (D1.) Calcule a fase orbital 𝜙 correspondente às épocas destas cinco observações: No. 1,,, 8 e 9. (D1.) Refine a estimativa do período orbital 𝑃B utilizando os resultados do item D1. da seguinte maneira:
Página de (D1.a) Primeiramente, determine a época inicial T! correspondente à época mais próxima da fase orbital zero (início do ciclo) anterior à primeira observação. (D1.b) O instante calculado T!"#! do ângulo de fase orbital estimado para cada observação é dado por T!"#c = T 0 + n +!!"# P!, onde n é o número de ciclos orbitais completos ocorridos entre T! e T (ou T!"#! ). Estime n e T!"#! para cada uma das cinco observações do item D1.. Calcule as diferenças T!!! entre T (observado) e T!"#! (calculado). Escreva os resultados destes cálculos na Tabela presente na Folha de Respostas. (D1.c) Construa um gráfico de T O C em função de n. Chame este gráfico de D1.. (D1.d) Determine os valores refinados da época inicial T!,! e do período orbital P!,!. (D) Distância até a Lua As efemérides geocêntricas da Lua para setembro de 01 estão apresentadas na Tabela abaixo. Todos os valores correspondem à 00:00 TU. Data A.R. (α) Dec. (δ) Tamanho Angular Fase Elongação h m s ' '' (θ)'' (ϕ) % Lunar Set 01 0.0 1.8 1991. 0.9 18. W Set 0 1 1..1 19.0 0.8 1. W Set 0 0.0 11 1.1 190. 0.9 11.1 W Set 0 8.8 1. 19.9 0. 10.9 W Set 0.8 1 18. 189. 0. 9. W Set 0 19. 1. 189.8 0.8 8.8 W Set 0 1 19. 18. 18. 0. 0. W Set 08.8 1. 18. 0. 9.0 W Set 09 9 11.0 1 0.0 180. 0.1. W Set 10 8 9 0.9 1. 19.0 0.09. W Set 11 9 11. 10. 180. 0.0.1 W Set 1 10. 0. 1. 0.01 1.1 W Set 1 11 9 1.8 9 8.8 1. 0.001. W Set 1 11 9.80 0 19 0. 1. 0.00.8 E Set 1 1 9 0.01-0. 1.8 0.0 18. E Set 1 1 11. - 18.8 1.0 0.0 9. E Set 1 1 11.1-10 9. 1.8 0.10 0. E Set 18 1 8 0. -1. 18. 0.189 1. E Set 19 1.9-1 1. 199. 0.0. E Set 0 1 8 0.1-1.8 1819.1 0..9 E Set 1 1 1 0.0-18 0. 18.0 0. 8. E Set 18 1. -18 0 1. 180. 0. 9. E Set 19 1.1-1 0 0. 1900.9 0. 110.0 E Set 0 19 19. -1 9 8.0 191.9 0. 1.8 E Set 1 1. -11 9 9. 191.1 0.81 1. E Set 1. -8 10 18. 198. 0.9 10.0 E Set 1. - 8. 00.0 0.981 1.0 E Set 8 0 10 8. 0 8 8. 008. 1.000 18. E Set 9 1 9.89 8. 00. 0.988 1. W Set 0 9.0 9 1.1 1988. 0.9 1. W
Página de A montagem abaixo 1 mostra várias fotos da Lua tomadas em diferentes momentos durante um eclipse lunar total, que ocorreu nesse mesmo mês de set/01. Para cada foto, o centro do quadro coincide com a linha central norte-sul da umbra. Neste problema, vamos considerar que o observador está no centro da Terra, e que o tamanho angular corresponde ao diâmetro angular do objeto ou da sombra. (D.1) Em setembro de 01, o apogeu da órbita lunar ocorreu próximo à Lua Nova (New Moon) / Quarto Crescente (First Quarter)/ Lua Cheia (Full Moon)/ Quarto Minguante (Third Quarter). Marque a resposta correspondente na Folha de Respostas. Não é necessário justificar sua resposta. (D.) Em setembro de 01, o nodo ascendente da órbita lunar com relação à eclíptica ocorreu mais próximo à Lua Nova (New Moon) / Quarto Crescente (First Quarter)/ Lua Cheia (Full Moon)/ Quarto Minguante (Third Quarter). Marque a resposta correspondente na Folha de Respostas. Não é necessário justificar sua resposta. (D.) Estime a excentricidade da órbita lunar e a partir dos dados da Tabela. (D.) Estime o tamanho angular da umbra θ!"#$% em termos do tamanho angular da Lua θ!""#. Mostre como você chegou a este resultado na imagem impressa no verso da Folha de Respostas. (D.) Sabe-se que o ângulo subentendido pelo Sol para um observador na Terra no dia do eclipse era de θ!"# = 191.0. Na Figura abaixo, S! R! e S! R! são raios provenientes de pontos diametralmente opostos na borda do disco solar (a Figura não está em escala). 8 9 Calcule o tamanho angular da penumbra, θ!"#$%&'( em termos de θ!""#. Considere que o observador está no centro da Terra. (D.) Seja θ!"#$% o tamanho angular da Terra como visto do centro da Lua. Calcule o tamanho angular da Lua θ!""# como visto do centro da Terra no dia do eclipse, em termos de θ!"#$%. (D.) Estime o raio da Lua R!""# em km a partir dos resultados acima. (D.8) Estime a menor distância r!"#$%"", e a maior distância r!"#$%%, da Terra à Lua. (D.9) Use os dados apropriados de 10 de Setembro para estimar a distância d!"# do Sol à Terra. 10 1 Crédito: NASA s Scientific Visualization Studio
Página de (D) Supernovas Tipo IA Supernovas de tipo Ia são muito importantes para medidas de distâncias extragalácticas. O aumento e diminuição de brilho observados nessas explosões apresentam uma curva de luz característica, que ajuda a identificar essas supernovas como sendo de tipo Ia. As curvas de luz de todas as supernovas de tipo Ia podem ser ajustadas a um modelo único de curva de luz, quando aplicado um fator de escala. Para fazer isso, precisamos primeiro construir a curva de luz no referencial da galáxia onde a supernova ocorreu, levando em conta a expansão cosmológica do universo nos intervalos de tempo observados Δt!"#, utilizando o fator (1 + z). O intervalo de tempo no referencial de repouso da galáxia hospedeira é denominado Δt!"#. Considere o intervalo de tempo Δt!, medido no referencial da galáxia, no qual a curva de luz da supernova diminui de duas magnitudes com relação ao seu brilho máximo. Seja s o fator de escala aplicado aos intervalos de tempo (Δt! = sδt!"# ), de tal maneira que os valores de Δt! sejam os mesmos para todas as supernovas quando esse fator de escala for aplicado. Desta maneira, todas as curvas de luz das supernovas tipo Ia terão a mesma forma. Outra consequência disso é que s apresenta uma relação linear com a magnitude absoluta de pico da supernova (M!"#$ ). Portanto, podemos escrever s = a + bm!"#$, onde a e b são constantes. Se conhecermos o fator de escala s, podemos então determinar as magnitudes absolutas das supernovas para as quais não sabemos as distâncias, utilizando a equação linear acima. A Tabela abaixo apresenta dados para três supernovas, incluindo o módulo de distância μ para as duas primeiras supernovas, as velocidades de afastamento cz, e suas magnitudes aparentes m!"#, em diferentes épocas. O intervalo de tempo Δt!"# t t!"#$ é o número de dias relativo à data da maior luminosidade da supernova (magnitude de pico). As magnitudes observadas já foram corrigidas para extinção interestelar e atmosférica. Nome SN00TD SN00IS SN00LZ µ (mag).. cz (km s -1 ) 1 9 100 Δt obs (dias) m obs (mag) m obs (mag) m obs (mag) -1.00 19.1 18. 0.18-10.00 1.8 1. 18.9 -.00 1.1 1. 1.8 0.00 1. 1.1 1.8.00 1.0 1.1 1. 10.00 1. 1.8 18. 1.00 1. 1. 18.98 0.00 18.08 1.91 19..00 18. 18.9 0.1 0.00 18. 18. 0.8 (D.1) Calcule Δt!"# para todas as três supernovas, e preencha os espaços em branco nas Tabelas de dados no VERSO da Folha de Respostas. Na folha de gráfico, marque os pontos observados e trace as três curvas de luz para o referencial de repouso. Chame este gráfico de D.1. (D.) Considere o fator de escala s para a supernova SN00IS como sendo 1.00. Calcule os fatores de escala s 1 e s para as outras duas supernovas SN00TD e SN00LZ, respectivamente, calculando Δt! para elas. (D.) Calcule as diferenças de tempo ajustadas Δt! para as três supernovas. Escreva os valores para Δt! nas mesmas Tabelas na Folha de Respostas. Numa outra folha de gráfico, marque os pontos e trace as três curvas de luz. Verifique se elas agora têm perfis idênticos. Chame este gráfico de D.. 1 1
Página de (D.) Calcule as magnitudes absolutas do pico do brilho M!"#$,! para SN00TD e M!"#$,!, para SN00IS. Utilize estes valores para calcular as constantes a e b. (D.) Calcule a magnitude absoluta do pico de brilho M!"#$,! e o módulo da distância μ!, para SN00LZ. (D.) Use o modulo da distância μ! para estimar o valor da constante de Hubble H 0. Depois, estime a idade caraterística do Universo T H (tempo de Hubble).