Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 2o. semestre/2013
Variáveis Aleatórias
Roteiro Motivação Definição VA s Discretas VA s Contínuas Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Função Distribuição Acumulada (FDA)
Variáveis Aleatórias Motivação Problemas no mundo real envolvem quantidades que não possuem valor fixo ou determinístico: número de bebês que nascem em um determinado hospital por dia tempo de chegada de um ônibus na estação o volume de chuva em SJC em um determinado ano o número de terremotos na Califórnia por mês a produção de trigo em uma certa safra Variáveis Aleatórias Funções complexas de muitos fatores aleatórios sobre os quais não temos controle Transformam um espaço amostral qualitativo em quantitativo
Variáveis Aleatórias (Unidimensionais) Definição Uma variável aleatória é uma função que associa a cada elemento do espaço amostral um número real. Notação: X ( ) : Ω R s X(s) Ω R Probabilidade: {X (s) = x} = P[X (s) = x] = P[X = x] = p(x)
Variáveis Aleatórias Exemplos (1) Componentes eletrônicos fabricados em uma linha de produção são submetidos a inspeção, sendo classificados como defeituosos ou sem defeitos. Temos: Espaço amostral: Ω = {D, N} (discreto) X (D) = 0 e X (N) = 1
Variáveis Aleatórias Exemplos (1) Componentes eletrônicos fabricados em uma linha de produção são submetidos a inspeção, sendo classificados como defeituosos ou sem defeitos. Temos: Espaço amostral: Ω = {D, N} (discreto) X (D) = 0 e X (N) = 1 O número de nascimentos de gêmeos é aproximadamente 1 em cada 90. Seja X a v.a. definida pelo número de nascimentos em um hospital até o nascimento dos primeiros gêmeos. Sejam G o evento representando o nascimento de gêmeos e N o nascimento de uma única crianca. Temos: Espaço amostral: Ω = {G, NG, NNG, NNNG,...} X (NNN }{{... N } G) = i i 1
Variáveis Aleatórias Exemplos (2) Seja X a v.a. definida pelo tempo de espera (em horas) entre dois motoristas consecutivos que ultrapassam a velocidade de uma rodovia, detectados por um radar. Temos: Espaço amostral: Ω = {x R : x 0} (contínuo)
Variáveis Aleatórias Exemplos (2) Seja X a v.a. definida pelo tempo de espera (em horas) entre dois motoristas consecutivos que ultrapassam a velocidade de uma rodovia, detectados por um radar. Temos: Espaço amostral: Ω = {x R : x 0} (contínuo) Um determinado ônibus chega à estação rodoviária todos os dias entre as 11:00h e 11:30h. Seja X a v.a. definida pelo tempo de chegada do ônibus. Temos: Espaço amostral: Ω = {x R : 11 < x < 11,5} (contínuo)
Variáveis Aleatórias Observações: Variável aleatória: nome inadequado v.a. Função Probabilidade Tipos de v.a. s: Qualitativas VA s Discretas Quantitativas Contínuas
VA s Discretas Uma v.a. X é dita discreta se assumir um número finito ou infinito e enumerável de valores reais distintos x 1, x 2,..., x n,... (espaço amostral enumerável: contagem) Neste caso: Ω = n {s : X (s) = x n } = n {X = x n } e {X = x i } {X = x j } =, i j Portanto, do axioma (iii): 1 = P[Ω] = n P[X = x n ]
VA s Contínuas Uma v.a. X é dita contínua se assumir um número infinito não-enumerável de valores e a probabilidade de que X assuma um valor em particular é nula (espaço amostral não-enumerável: medição) Neste caso: P[X = x i ] = 0, i
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso discreto Seja X uma v.a. discreta que assume os valores discretos x 1, x 2,..., x n,... Definimos a fdp de X como sendo a função Condições f X ( ) : R [0, 1] { P[X = xj ], se x = x f X (x) = j, j = 1, 2,..., n,... 0, se x x j 1. f X (x j ) 0 para j = 1, 2,... 2. f X (x j ) = 0 para x x j, j = 1, 2,... 3. j f X (x j ) = 1 Nomenclatura alternativa: função massa, função probabilidade ou função freqüência discreta
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso discreto Exemplo Um lote de 8 computadores em uma loja contém 3 defeituosos. Um cliente seleciona ao acaso e compra 2 destes computadores. Qual a distribuição de probabilidade para o número de computadores defeituosos comprados? Solução
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso contínuo Seja X uma v.a. contínua. Definimos a fdp de X como sendo a função f X ( ) : R [0, ) tal que, para quaisquer números a b Condições P[a X b] = b a f X (u)du 1. f X (x) 0, x R 2. f X (x)dx = 1 3. P[X = c] = 0, c R. Portanto, para quaisquer números a < b: P[a X b] = P[a < X b] = P[a X < b] = P[a < X < b] Nomenclatura alternativa: função densidade ou função densidade de probabilidade
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso contínuo Exemplo Suponha que o erro medido na temperatura de reação ( C) em um experimento controlado em laboratório seja uma v.a. contínua cuja fdp é dada por: { 1 f X (x) = 3 x 2, 1 < x < 2 0, caso contrário Verifique que a condição (2) é válida. Calcule P[0 < X 1]. Solução
Função Distribuição Acumulada (FDA) Definição A FDA de uma v.a. X, representada por F X ( ) é a função F X ( ) : R [0, 1] F X (x) = P[X x], < x < Condições 1. F X ( ) é monotônica não-decrescente: 2. F X ( ) = 3. F X ( ) é contínua pela direita: F X (x 1 ) < F X (x 2 ), x 1 < x 2 lim F X (x) = 0 e F X (+ ) = lim F X (x) = 1 x x + F X (x) = lim F X (x + h) 0<h 0 Nomenclatura alternativa: função distribuição
Função Distribuição Acumulada (FDA) Propriedades Caso Discreto: F X ( ) pode ser obtida a partir de f X ( ) e vice-versa. (i) Dada f X ( ), F X (x) = P[X x] = x j <x f X (x j ) (ii) Dada F X ( ), f X (x j ) = F X (x j ) lim F X (x j h) 0<h 0
Função Distribuição Acumulada (FDA) caso discreto Exemplo: Computadores defeituosos (continuação) 1. Determine a FDA para a v.a. X = no. de computadores defeituosos comprados pelo cliente 2. Usando F X (x), verifique que f X (2) = 3/28 Solução
Função Distribuição Acumulada (FDA) Propriedades Caso Contínuo: F X ( ) pode ser obtida a partir de f X ( ) e vice-versa. (i) Dada f X ( ), F X (x) = P[X x] = x f X (u)du Para cada x, F X ( ) corresponde à área debaixo da curva de f X ( ) à esquerda de x. (ii) Dada F X ( ), f X (x) = df X (x) dx
Função Distribuição Acumulada (FDA) caso contínuo Exemplo: Reação química (continuação) 1. Determine a FDA para a v.a. X = erro na medida da temperatura de reação 2. Usando F X (x), calcule P[0 < X 1] Solução
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Variáveis Aleatórias Multidimensionais Definição Sejam X 1, X 2,..., X k v.a. s definidas no mesmo espaço de probabilidades E = (Ω, A, P[ ]). A coleção X = (X 1, X 2,..., X k ) é chamada v.a. k-dimensional. As v.a. s X 1, X 2,..., X k são chamadas v.a. s conjuntas. (Daqui em diante, consideraremos apenas o caso bidimensional).
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso discreto A v.a. bidimensional discreta Z = (X, Y ) é dita v.a. conjunta discreta se assumir apenas os valores de um conjunto enumerável de pontos (x,y) no espaço R 2. Definimos a fdp discreta de (X,Y ) como sendo a função f X,Y (x,y) = P[X = x, Y = y], para qualquer valor (x,y) que o (X,Y ) possa assumir. Condições 1. f X,Y (x,y) 0 para todo (x,y) 2. X Y f X,Y (x,y) = 1 3. Para qualquer subconjunto A do plano xy P[(X,Y ) A] = f X,Y (x,y) (x,y) A
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso discreto Exemplo Duas canetas esferográficas são escolhidas aleatoriamente de uma caixa que contém 3 canetas azuis, 2 canetas vermelhas e 3 canetas verdes. Seja X a v.a. que representa o número de canetas azuis e Y a v.a. que representa o número de canetas vermelhas selecionadas. Determine: A fdp conjunta de X e Y P[(X,Y ) A], em que A é a região definida por {(x,y) x + y 1} Solução
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso contínuo A v.a. bidimensional discreta Z = (X, Y ) é dita v.a. conjunta contínua se existe uma função f X,Y (, ) tal que F X,Y (x,y) = para todo (x,y) no plano real. Condições y x 1. f X,Y (x,y) 0 para todo (x,y) 2. f X,Y (x,y)dxdy = 1 3. Para qualquer região A do plano xy P[(X,Y ) A] = f X,Y (u,v)dudv A f X,Y (x,y)dxdy
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso contínuo Exemplo Um fabricante de bombons produz caixas de chocolates recheados com creme, caramelo e nozes e cobertura de chocolate amargo ou chocolate ao leite. Para uma certa caixa escolhida ao acaso, sejam X e Y, respectivamente, as proporções de chocolate ao leite e amargo com recheio de creme e suponha que a fdp conjunta correspondente seja dada por { 2 f X,Y (x,y) = 5 (2x + 3y), 0 x 1, 0 y 1 0, c.c Verifique se a condição (2) é válida Determine P[(X,Y ) A], em que A = {(x,y) 0 < x < 1/2, 1/4 < y < 1/2} Solução
Função Distribuição Acumulada (FDA) Definição A FDA conjunta de uma v.a. bidimensional Z = (X,Y ), representada por F X,Y (, ) é a função F X,Y (, ) : R 2 [0, 1], tal que F X,Y (x,y) = P[X x, Y y], (x,y)
Função Distribuição Acumulada (FDA) Definição Condições (análogas ao caso unidimensional) 1. F X ( ) é monotônica não-decrescente: P[x 1 < X x 2 ; y 1 < Y y 2 ] = F X,Y (x 2,y 2 ) F X,Y (x 2,y 1 ) F X,Y (x 1,y 2 ) + F X,Y (x 1,y 1 ) 0, 2. x 1 x 2 ; y 1 y 2 F X,Y (, y) = F X,Y (x, ) = F X,Y (, ) = lim F X,Y (x,y) = 0, x lim F X,Y (x,y) = 0, y lim F X,Y (x,y) = 1 x,y y x 3. F X,Y (x,y) é contínua em cada argumento: F X,Y (x,y) = lim F X,Y (x + h, y) = lim F X,Y (x, y + h) 0<h 0 0<h 0
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Marginal Seja Z = (X,Y ) uma v.a. conjunta. As distribuições marginais de X e Y são dadas por 1. Caso discreto f X (x) = y f X,Y (x,y) e f Y (y) = x f X,Y (x,y) 2. Caso contínuo f X (x) = f X,Y (x,y)dy e f Y (y) = f X,Y (x,y)dx
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Marginal Exemplos Determine as fdp s marginais para os exemplos anteriores. Verifique que as fdp s marginais são, de fato, fdp s. Solução
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Condicional Seja Z = (X,Y ) uma v.a. conjunta com fdp conjunta f X,Y (, ). As distribuições condicionais de X Y = y e Y X = x, representadas respectivamente, por f Y X ( x) e f X Y ( y), são dadas por: f Y X (y x) = f X,Y (x,y), f X (x) com f X (x) > 0 f X Y (x y) = f X,Y (x,y), f Y (y) com f Y (y) > 0 1. Caso discreto P[a < X < b Y = y] = f X Y (x y) 2. Caso contínuo P[a < X < b Y = y] = a<x<b b a f X Y (x y)dx
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Condicional Exemplos 1. Caso discreto: No exemplo das canetas, determine a distribuição condicional de X, dado Y = 1 e a empregue para calcular P[X = 0 Y = 1]. 2. Caso contínuo: A fdp conjunta para as v.a. s (X,Y ), em que X = variação unitária de temperatura e Y = proporção de variação do espectro produzido por uma determinada partícula atômica, é dada por { 10xy f X,Y (x,y) = 2, 0 < x < y < 1 0, c.c. Solução Determine as fdp s marginais fx (x) e f Y (y) e a fdp condicional f Y X (y x) Qual a probabilidade de que o espectro varie mais que a metade do total de observações, dado que a temperatura sofreu um acréscimo de 0,25 unidade.
Independência Estatística Sejam X e Y duas v.a. s (contínuas ou discretas) com fdp conjunta f X,Y (, ) e distribuições marginais f X (x) e f Y (y). As v.a. s X e Y são ditas estatisticamente independentes se, e somente se, f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y), (x,y) (Demonstração) Independência Estatística para v.a. s discretas É possível que o produto das fdp s marginais seja igual à fdp conjunta para algumas (mas não todas as) combinações de (x,y). Portanto, se existir algum ponto (x,y) para o qual f X,Y (x,y) é definida e tal que f X,Y (x,y) f X (x)f Y (y), as v.a. s discretas X e Y não são estatisticamente independentes.
Independência Estatística Exemplos 1. Caso discreto: No exemplo das canetas, mostre que as v.a. s X e Y não são estatisticamente independentes. 2. Caso contínuo: Verifique se as v.a. s X e Y cuja fdp conjunta é dada por { x f X,Y (x,y) = 4 (1 + 3y 2 ), 0 < x < 2, 0 < y < 1 0, c.c. Solução são estatisticamente independentes.