Elementos de Máquinas

Elementos de Máquinas Engrenages Cilíndricas de Dentes Retos e Helicoidais Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Pernambuco 2013.1

Introdução Considerações Gerais Apenas o dimensionamento mecânico; Cinemática e dinâmica já visto em Mecanismos; Revisão mais do que indicada (Cap. 13 Shigley); Engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais, o dimensionamento é idêntico; Dois procedimentos: Lewis e AGMA.

Equação de Lewis Lewis 1892 Procedimento básico para análise preliminar. σ = M I /c = 6W t l Ft 2 Semelhança de triângulos: ou t/2 x = l t/2 x = t2 4l

Equação de Lewis Lewis 1892 (Cont.) Tensão na base do dente: σ = 6W t l Ft 2 = W t F 1 t 2 /4l = W t F 1 1 t 2 /4l 4 6 Como x = t 2 /4l, Denominando y = 2x/3p σ = W t F 2 3 x = W t p F 2 3 xp σ = W t Fpy

Equação de Lewis Lewis 1892 (Cont.) Usando o passo diametral P = π/p, e Y = πy σ = W t Fpy = W t P FY, onde Y = 2xP 3. Esta equação considera apenas a flexão! Considera carga na ponta do dente, que não necessariamente é a situação mais crítica.

Equação de Lewis Fator de Forma Y de Lewis (P = 1)

Equação de Lewis de Velocidade Existe um aumento de carga em função da velocidade de operação: Para velocidades em pés/minuto: K v = 600 + V, perfil fundido 600 K v = 1200 + V, perfil cortado ou fresado 1200 K v = 50 + V, fresado em caracol ou conformado 50 78 + V K v =, rebarbado ou retificado 78

Equação de Lewis de Velocidade Para velocidades em metros/segundo: K v = 3,05 + V, 3,05 perfil fundido K v = 6,1 + V, 6,1 perfil cortado ou fresado K v = 3,56 + V, fresado em caracol ou conformado 3,56 5,56 + V K v =, rebarbado ou retificado 5,56

Equação de Lewis Equação de Lewis σ = K v W t P FY (US); σ = K v W t FmY (SI). Recomendação de Projeto: 3p F 5p. Base para o projeto pela AGMA, e para o projeto manual. O projeto manual deve ser feito considerando a resistência estática e e a resistência à fadiga.

Equação de Lewis Durabilidade Superficial Os dentes podem falhar sob fadiga superficial também! A tensão Hertziana entre dois cilindros é dada por: p max = 2F πbl onde F : força de compressão, l: comprimento dos cilindros e a semilargura b é: b = { 2F πl com d 1,2 : diâmetros dos cilindros. [(1 ν1 2)/E 1] + [(1 ν2 2)/E } 1 2 2] (1/d 1 ) + (1/d 2 )

Equação de Lewis Durabilidade Superficial (cont.) Usando F = W t / cos φ, d = 2r e l = F, σ 2 C = (1/r 1 ) + (1/r 2 ) πf cos φ [(1 ν1 2)/E 1] + [(1 ν2 2)/E 2] W t r 1,2 : raios de curvatura instantâneos no ponto de contato. Lembrança: só há rolamento puro exatamente no ponto primitivo. Os raios de curvatura no ponto primitivo são r 1 = d P sin φ 2 e r 2 = d G sin φ 2

Equação de Lewis Durabilidade Superficial (cont.) Agrupando as constantes elásticas no Coeficiente Elástico C p = ( 1 ν 2 π P E P 1 ) + 1 ν2 G E G Adicionando também um coeficiente dinâmico, [ Kv W t ( 1 σ C = C p + 1 )] 1 2, F cos φ r 1 r 2 Que também deve considerar a fadiga! 1 2,

Equações de Tensão da AGMA Equações de Tensão AGMA O projeto moderno de engrenagens é feito com base nas equações da AGMA. Claramente inspiradas nas eq. clássicas; Vários fatores de correção experimentais; Tensões chamadas números de tensão; Consideração detalhada de fadiga (superficial e flexional); Equações para flexão e desgaste superficial.

Equações de Tensão da AGMA Equações para Flexão USA: σ = W t K o K v K s P d F SI: K m K B J σ = W t K o K v K s 1 bm t K H K B Y J W t : força tangencial, lbf(n); K o : fator de sobrecarga; K v : fator dinâmico; K s : fator de tamanho; P d : passo diametral transversal; F (b): largura da face, in(mm); K m (K H ): fator de distribuição de carga; K B : fator de espessura de borda; J(Y j ): fator geométrico; m t : módulo transversal.

Equações de Tensão da AGMA Equações para Crateramento Superficial USA: σ c = C p SI: σ c = Z E W t K o K v K s K m d P F K H W t K o K v K s d w1 b C f I Z R Z I W t : força tangencial, lbf(n); K o : fator de sobrecarga; K v : fator dinâmico; K s : fator de tamanho; F (b): largura da face; C p (Z E ): coeficiente elástico, lbf/in 2 ( N/mm 2 ); C f (Z R ): fator de condição superficial; d p (d w1 ): diâmetro primitivo do pinhão, in(mm) I (Z I ): fator geométrico para crateramento.

Equações de Resistência da AGMA Equações de resistência da AGMA Números de tensão admissível: Não são usadas as propriedades normais do material; Gráficos e fórmulas específicas para engrenagens; Dadas em função da dureza superficial e qualidade do aço; de correção para flexão e compressão que consideram efeitos de fadiga; Os números de tensão admissível valem para Carregamento unidirecional; 10 milhões de ciclos de carregamento; Confiabilidade de 99%.

Equações de Resistência da AGMA Flexão Resistência à Flexão Aços Endurecidos por Completo S = 0,533H B + 88,3 MPa, grau 1 S = 0,703H B + 113,3 MPa, grau 2

Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Aços Endurecidos Totalmente por Nitretação S = 0,568H B + 83,8 MPa, grau 1 S = 0,749H B + 110 MPa, grau 2

Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Aços Nitretados

Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Aços Nitretados (cont.) S = 0,594H B + 87,76 MPa, Nitralloy grau 1 S = 0,784H B + 114,81 MPa, Nitralloy grau 2 S = 0,7255H B + 63,89 MPa, 2,5% cromo grau 1 S = 0,7255H B + 153,63 MPa, 2,5% cromo grau 2 S = 0,7255H B + 291,9 MPa, 2,5% cromo grau 3

Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Outros Aços

Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Outros Materiais

Equações de Resistência da AGMA Flexão Flexão Bidirecional Quando houver carregamento bidirecional, a AGMA recomenda que seja usado 70% do valor da resistência S l encontrada nas fórmulas, gráficos ou tabelas.

Equações de Resistência da AGMA Compressão Resistência à Compressão Aços Endurecidos por Completo S = 2,22H B + 200 MPa, grau 1 S = 2,41H B + 237 MPa, grau 2

Equações de Resistência da AGMA Compressão Nitretação Dureza Resultante

Equações de Resistência da AGMA Compressão Resistência à Compressão Outros Aços

Equações de Resistência da AGMA Compressão Resistência à Compressão Outros Materiais

Tensões Admissíveis Flexão Tensão Admissível USA: SI: σ all = S t S F σ all = S t S F Y N K T K R Y N Y θ Y Z S t : tensão de flexão admissível, lbf/in 2 (N/mm 2 ); Y N : fator de ciclagem de tensão; K T (Y θ ): fator de temperatura; K R (Y Z ): fator de confiabilidade; S F : fator de segurança da AGMA;

Tensões Admissíveis Contato Tensão Admissível USA: SI: σ c,all = S c S H Z N C H K T K R σ all = S c S H Z N Z W Y θ Y Z S c : tensão de contato admissível, lbf/in 2 (N/mm 2 ); Z N : fator de ciclagem de tensão; C H (Z W )): fatores de razão de dureza; K T (Y θ ): fator de temperatura; K R (Y Z ): fator de confiabilidade; S H : fator de segurança da AGMA;

Geométricos Geométricos I e J (Z I e Y J ) Usados para introduzir a forma do dente na equação de tensão (analogamente ao fator geométrico Y.) Dependem da razão de contato de face: m F = F p x onde, p x : passo axial, F : largura da face. Para ECDR, m F = 0.

Geométricos Geométricos para Flexão J (Y J ) J = Y K f m N onde, Y : fator de forma (dado, não Lewis); K f : fator de concentração de tensão para fadiga; m N : razão de compartilhamento de carga no dente. Para ECDR, m N = 1,0. Para ECDH, m N = onde, p N : passo de base normal; Z: comprimento da linha de ação. p N 0,95Z

Geométricos Comprimento da Linha de Ação

Geométricos Fator J, ECDR

Geométricos Fator J, ECDH Para engrenagens de 75 dentes.

Geométricos Multiplicadores de J para ECDH Para engrenagens com números de dentes diferente de 75.

Geométricos Fator de Resistência Superficial I (Z I ) Podemos escrever 1 + 1 = 2 ( 1 + 1 ) r 1 r 2 sin φ t d P d G onde φ t é o ângulo de pressão transversal. A razão de velocidades é dada por m G = N G N P = d G d P O que leva a 1 r 1 + 1 r 2 = 2 d P sin φ t m G + 1 m G

Geométricos Fator de Resistência Superficial I (Z I ) (cont.) A equação para tensão de contato é [ Kv W t ( 1 σ C = C p + 1 )] 1 2. F cos φ r 1 r 2 Substituido a soma dos inversos dos raios, [ Kv W t ( σ C = C p F cos φ Rearrumando e redefinindo σ c = σ C = C p [ K v W t d P F 2 m G + 1 d P sin φ t m G 1 cos φ t sin φ t 2 m G m G +1 )] 1 2, ] 1 2.

Geométricos Fator de Resistência Superficial I (Z I ) (cont.) O fator geométrico para crateramento é e I = cos φ t sin φ t 2m N I = cos φ t sin φ t 2m N m G m G + 1, m G m G + 1, onde a razão de compartilhamento de carga é m N = para engrenagens externas, para engrenagens internas, p N 0,95Z.

Geométricos Cálculo de m N O passo normal no círculo de base é p N = p n cos φ n onde p n é o passo circular normal. O comprimento da linha de contato é dado por Z = [ (r P + a) 2 rbp 2 ] 1 2 + [ (r G + a) 2 rbg 2 ] 1 2 (r P + r G ) sin φ t onde, é claro, r b = r cos φ t.

Outros Coeficiente Elástico C p (Z E ) Ou calculado por C p = ( 1 ν 2 π P E P 1 ) + 1 ν2 G E G 1 2, ou tabelado.

Outros Coeficiente Elástico C p (Z E ) (cont.)

Outros Fator Dinâmico K v Considera o erro de transmisão, causado por: erros no espaçamento, perfil, acabamento; vibração do dente; magnitude da velocidade no círculo primitivo; desbalaceameto dinâmico; desgaste e deformação permanente; desalinhamento devido à deflexões lineares e angulares; fricção entre dentes. AGMA define números de qualidade Q v, que determinam as tolerâncias para uma determinada acurácia especificada. 3 Q v 7, engrenagens normais, qualidade comercial; 8 Q v 12, engrenagens precisas.

Outros Fator Dinâmico K v (cont.) onde ( K v = ( A + V A A + 200V A ) B, V em ft/min ) B, V em m/s A = 50 + 56(1 B) B = 0,25(12 Q v ) 2 3. A velocidade máxima para cada número de qualidade é dada por [A + (Q v 3)] 2, em ft/min (V r ) = [A + (Q v 3)] 2 200 em m/s

Outros Fator Dinâmico K v (cont.) Graficamente,

Outros Fator de Sobrecarga K o São aplicados de acordo com a experiência do fabricante, para cobrir: variações de torque; reações da carga; Máquina acionada Choques Choques Fonte de potência Uniforme Moderados Intensos Uniforme 1,00 1,25 1,75 Choque leve 1,25 1,50 2,00 Choque médio 1,50 1,75 2,25

Outros Fator de Condição de Superfície C f (Z R ) Aplicado à crateramento apenas. Não é tabelado, depende de: acabamento superficial devido ao processo de fabricação; tensões residuais; efeitos plásticos (encruamento) A AGMA recomenda o uso deste fator quando há desconfiança que algum efeito de superfície possa ser detrimental à vida por fadiga da engrenagem.

Outros Fator de Tamanho K s Deveria considerar tamanho do dente; diâmetro da peça; razão entre os tamanhos; largura da face; área padrão de tensão; razão entre profundidade da camada e tamanho do dente; capacidade de endurecimento e tratamento térmico. Infelizmente não há valores tabelados. Pode-se usar K s = 1, ou fazer uma análise de fadiga e ( F ) 0,0535 Y K s = 1,192 P

Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) Considera a não uniformidade na distribuição de carga na face de uma engrenagem montada não simetricamente. Supondo que F /d 2; engrenagens montandas entre mancais; F 40 in; contato ocorrendo ao longo de todo o elemento mais estreito,; então podemos usar onde, K m = C mf = 1 + C mc (C pf C pm + C ma C e )

Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) (cont.) C mc = { 1,0 para dentes coroados, 0,8 para dentes sem coroamento F 10d 0,025 F 1 in C pf = F 10d 0,0375 + 0,0125F 0,0207F + 0,000228F 2 17 F 10d 1 F 17 in F 40 in Se F /(10d) < 0,05, F /(10d) = 0,05 deve ser usado no cálculo. C pm = { 1,0 para pinhão montado com S 1 /S < 0,175 1,1 para pinhão montado com S 1 /S 0,175

Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) (cont.)

Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) (cont.) C ma = A + BF + CF 2

Outros Fator de Distribuição de Carga K m (K H ) (cont.) Usar C e = 0,8, para engrenamento ajustado na montagem, ou quando é lapidado, ou ambos. Usar C e = 1, em qualquer outra condição.

Outros Fator de Razão de Dureza C H Ideia geral: Diâmetro do pinhão < diâmetro da coroa; Pinhão submetido a mais ciclos de carga; Para uma durabilidade equivalente, o pinhão deveria ser mais endurecido do que a coroa; Tratamentos diferentes também são possíveis; O fator C H é usado somente para a coroa para compensar esta diferença. C H é dado por C H = 1,0 + A (m G 1,0) com A = 8,98 10 3 ( HBP H BG ) 8,29 10 3 1,2 H BP H BG 1,7.

Outros Fator de Razão de Dureza C H (cont.) onde, m G = N G N P = D G D P. e H BG e H BP são as durezas Brinell da coroa e do pinhão. Além disto, A = 0, para H BP < 1.2, H BG e A = 0,00698, para H BP > 1,7. H BG

Outros Fator de Razão de Dureza C H (cont.) Graficamente,

Outros Fator de Razão de Dureza C H (cont.) Para pinhões muito duros (Rockwell C48 ou maiores), C H = 1,0 + B (450 H BG ), onde B = 0,00075e 0,0112fp e f p é o acabamento superficial do pinhão, medido como a raiz média quadrática da aspereza R a, em µin.

Outros Fator de Razão de Dureza C H (cont.) Graficamente,

Outros de Ciclagem de Tensão Y N e Z N Usados para compensar números de ciclos diferente de 10 10 6. Para flexão:

Outros de Ciclagem de Tensão Y N e Z N (cont.) Para crateramento: Obs: Não é impossível usar fórmulas diferentes para a coroa e o pinhão (para flexão e compressão).

Outros Fator de Confiabilidade K R (Y Z ) Corrige para confiabilidades diferentes de 99%. Para valores tabelados: 0,5 < R < 0,99: K R = 0,658 0,0759 ln(1 R) 0,99 R 0,9999: K R = 0,50 0,109 ln(1 R)

Outros Fator de Temperatura K T (Y θ ) Para temperaturas até 120 C, usar K T = Y θ = 1. Compensar com fatores maiores para temperaturas superiores. Considerar refrigeração ativa, se for o caso.

Outros Fator de Espessura do Aro K B Compensa uma possível fratura ao longo do aro. { 1,6 ln 2,242 m K B = B, para m B < 1,2; 1,0 para m B 1,2, onde m B = t R h T, com h t : altura do dente e t R : espessura do aro.

Outros Fator de Espessura do Aro K B (cont.) Na forma gráfica

Elementos de Máquinas Outros Roteiro de Análise Flexão, Parte 1

Elementos de Máquinas Outros Roteiro de Análise Flexão, Parte 2

Elementos de Máquinas Outros Roteiro de Análise Compressão, Parte 1

Elementos de Máquinas Outros Roteiro de Análise Compressão, Parte 2