Sarah Lima Douglas Frederico Guimarães Santiago Raquel Anna Sapunaru Paloma Paranhos Amanda Lélis Arthur Claudino Bruno Alves João Vitor Rodrigo Barros Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri - UFVJM
Estudar como as grandezas racionais e irracionais são entendidas em Os Elementos. Estudar como a lógica utilizada em Os Elementos, baseada fortemente na geometria e em conceitos aparentemente contraditórios, foi usada na época para demonstrar as proposições do livro. Comparar as demonstrações presentes em Os Elementos com as que poderíamos fazer atualmente. Entender os Objetivos deste livro histórico no que concerne os conceitos de racionais e irracionais.
Comensurabilidade Incomensurabilidade Retas irracionais Áreas irracionais Apótomo Primeira Bimedial Retas racionais Mediais Primeiro apótomo de um medial Áreas racionais Binomiais Segunda Bimedial Segundo apótomo de um medial Maior Menor A que serve para produzir um racional e um medial A que faz com um racional o todo medial A que serve para produzir dois mediais A que faz com um medial o todo medial...
1. Magnitudes (Retas*) Comensuráveis são aquelas que são medidas pela mesma medida. Ex1: 9 e 12 Ex2: 3 2 e 4 2 * Em (BICUDO, 2009) usa-se a palavra reta no sentido de segmento de reta e é neste sentido que usaremos até o final da apresentação.
2. Retas são comensuráveis em potência quando os quadrados sobre elas são medidos pela mesma área. Ex1: 3 e 4 Ex2: 3 e 2 Ex3: 3 e 5
Seja uma reta proposta chamada de racional 3. Reta racional Todas as retas comensuráveis com a proposta (em comprimento ou apenas em potência) serão também chamadas de retas racionais. 4. Área racional Todas as áreas comensuráveis com o quadrado sobre a proposta racional serão também chamadas áreas racionais (e as que servem para produzir as áreas irracionais também serão chamadas de irracionais). Contradição: Se a proposta racional tiver medida 1, as grandezas 2 e 3 representam retas racionais, mas vistas como áreas, somente 2 representa uma área racional, 3 representa uma área irracional.
O Retângulo contido por retas racionais, comensuráveis somente em potência, é irracional, e a que serve para produzí-lo é irracional, e seja chamado medial. b a ab Exs: 2, 15, 8
Basta provar que a área ab é irracional. 1. Construa o quadrado b 2 sobre a reta de lado b. Como b representa uma reta racional, logo b 2 representa uma área racional. 2. Já foi provado que b = b2, como a e b são a ab incomensuráveis e b 2 é racional, logo a área ab é irracional, portanto a que serve para produzí-la também é. ab b b 2 a
Quatro grandezas a, b, c e d são ditas terem a mesma razão, como a para b, assim c para d, ( a = c ) se existem constantes K e K tal que: b d Ka>K b Kc>K d Ka=K b Kc=K d Ka<K b Kc<K d
Segue da construção abaixo, usando o fato provado em Os Elementos de que paralelogramos com mesma base e sob as mesmas paralelas tem mesma área. ab ab b 2 b 2 b 2 a b K a Kb
A composição (soma) de duas racionais comensuráveis somente em potência forma uma reta irracional, seja esta chamada binomial. a b Ex1: 1+ 2 Ex2: 3+ 2 a+b
Basta provar que a área do quadrado (a + b) 2 é irracional. (a + b) 2 a b
1. a e b são retas incomensuráveis, então as áreas ab e b 2 são incomensuráveis. a b ab b 2
2. 2ab e b 2 são incomensuráveis, mas b 2 e a 2 + b 2 são comensuráveis, então 2ab e a 2 + b 2 são incomensuráveis. Como a 2 + b 2 e 2ab são incomensuráveis, então a 2 + b 2 + 2ab e a 2 + b 2 são incomensuráveis. Mas (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2a. Logo (a + b) 2 é incomensurável. a 2 ab ab b 2 a b
A matemática contida em Os Elementos, mesmo sobre tópicos que atualmente possuem uma roupagem fortemente algébrica, é baseada predominantemente na geometria. As demonstrações sobre grandezas racionais e irracionais presentes no livro X de Os Elementos, permanecem válidas apesar dos conceitos de racional e irracional utilizados serem distintos dos que temos atualmente. Estudar as diferentes formas de pensar a matemática através dos tempos auxilia não apenas no conhecimento da história da matemática, mas também da própria matemática.
Bicudo, I. (2009), Os elementos, UNESP. Joyce, D. E. (1998), Euclid s elements, Clark University. URL http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/eleme nts/bookx/bookx.html, Worcester, Massachusetts. Fowler, D. H. (1992), An invitation to read book x of euclid s elements, Historia Mathematica 19, 233 264.