Universidade do Algarve Campeonato de Matemática SUB14 2005/2006 Problema 4 Os sacos de batatas Temos 4 sacos de batatas e pesamos todos os pares possíveis que se podem formar com esses sacos. Depois de registarmos os pesos dos pares de sacos, ficámos com os seguintes valores (em kg): 14, 15, 17, 18, 20, 21. Sabe-se que o peso de cada saco é um número inteiro. Quanto pesa cada um dos 4 sacos de batatas?
RESOLUÇÃO Conhecemos o peso de cada um dos pares que se podem formar com 4 sacos de batatas: 14, 15, 17, 18, 20, 21. Sabemos ainda que o peso de qualquer um dos sacos é um número inteiro. Para encontrarmos o peso de cada um dos sacos, podemos ir fazendo experiências com números inteiros, isto é, podemos usar o método de tentativa e erro, como fizeram vários dos alunos que chegaram à solução correcta. Mas pode não ser muito prático e dar algum trabalho como revela o Maurício Ornelas da EB 2,3 Dr. Horácio Bento Gouveia (Funchal), ao afirmar que encontrou os números pretendidos, depois de várias tentativas e de vários erros! Antes de iniciarmos a pesquisa dos 4 números pedidos, interessa reflectir um pouco sobre os dados e sobre a situação descrita no problema. Por exemplo, se analisarmos os pesos dos 6 pares de sacos, verificamos que são todos diferentes. Isto leva-nos a concluir que não há sacos com pesos iguais. Porquê? Se dois sacos tivessem o mesmo peso, quando juntássemos cada um destes a um terceiro saco, teríamos dois pares com pesos iguais, o que não acontece. A partir da análise dos valores dados para os pesos dos 6 pares de sacos, podem surgir diferentes processos de chegar à solução. 1. Ordenar os pesos dos 4 sacos Vários alunos, como o Roque Rocha da EB 2,3 Dr. Francisco Cabrita (Albufeira), a Andreia de Oliveira e a Mécia Miguel, da EB 2,3 João de Deus (São Bartolomeu de Messines) e o Francisco Chaves, da EB 2,3 Dr. António Francisco Colaço (Castro Verde), pensaram que os pesos dos 4 sacos poderiam ser colocados por ordem crescente. Seguindo esse raciocínio, vamos supor que os pesos dos 4 sacos são designados por A, B, C, D e que os pesos estão ordenados por ordem crescente, ou seja: A < B < C < D Uma primeira conclusão a tirar é a de que os dois sacos mais leves (A e B) correspondem ao par mais leve: A+B=14. De modo análogo, os dois sacos mais pesados (C e D) correspondem ao par mais pesado: C+D=21. Mas, além destes dois pares, podemos ainda identificar outros. O par com o peso imediatamente superior ao do par mais leve é o que inclui o saco A (o mais leve) e o saco C (o mais leve depois de B). Portanto A+C=15. Da mesma maneira, podemos identificar o par com peso imediatamente inferior ao do par mais pesado. Só pode ser o par que inclui o saco D (o mais pesado) e o saco B (o mais pesado antes de C). Portanto, B+D=20.
Com estes pares encontrados, ficamos na posse de novas informações. Comparando o par A,B com o par A,C, ficamos a saber que C pesa mais 1 kg do que B. Comparando o par A,B com o par B,D, ficamos a saber que D pesa mais 6 kg do que A. Deste modo, podemos considerar os 4 sacos da seguinte forma: C D A B B+1 A+6 Resta-nos, nesta altura, identificar os pares que pesam 17 e 18 kg. Temos dois pares para estes valores: o par B,C e o par A,D. Se for B+(B+1) = 17, teremos B = 8. Então, fazendo A+(A+6) = 18, obtemos A = 6. Estes valores estão de acordo com a nossa conclusão acerca do par A,B que pesa 14 kg. Facilmente concluímos, depois, que C = 9 e D = 12. Se tivéssemos experimentado fazer B+(B+1) = 18, chegaríamos a um resultado impossível, pois B não seria um número inteiro e falharia uma das condições do problema. 2. Os pares e os ímpares Outro método para resolver o problema baseia-se na observação da paridade dos valores dados (os números pares e os números ímpares). Foi com base nas propriedades da adição dos pares e dos ímpares que alguns dos "atletas" chegaram à solução. Reparemos no que disse o Rodrigo Teixeira da EB 2,3 de Sto. António (Faro), a propósito das regras para a soma de números inteiros: par + par = par ímpar + ímpar = par par + ímpar = ímpar ímpar + par = ímpar (equivalente à anterior porque a adição é comutativa) Estas propriedades são muito úteis quando pensamos nos pesos dos pares de sacos: 14, 15, 17, 18, 20, 21. Neste conjunto de números há três pares e três ímpares. Ora, isto significa que os pesos dos 4 sacos não podem ser todos pares nem podem ser todos ímpares. Só há duas situações possíveis:
(a) 1 PAR e 3 ÍMPARES (b) 1 ÍMPAR e 3 PARES Se considerarmos o caso (a), o único peso que seria um número par estaria emparelhado com os 3 pesos ímpares para dar os resultados ímpares: 15, 17, 21. Se considerarmos o caso (b), o único peso que seria um número ímpar estaria emparelhado com os 3 pesos pares para dar os resultados ímpares: 15, 17, 21. Qualquer que seja o caso, podemos decidir que é o saco A que se repete nas três pesagens. Poderemos dizer que: A+B = 15 A+C=17 A+D=21 Também sabemos que a soma dos pesos dos 4 sacos é 35. Basta perceber que os dois mais leves pesam 14 kg e que os dois mais pesados pesam 21 kg. Portanto, A+B+C+D = 35 Conjugando estas informações, podemos determinar o peso de qualquer um dos sacos. Sendo A+B = 15, podemos substituir na equação anterior: 15 + C+D = 35, ou seja, C+D = 20. Se compararmos as igualdades A+C = 17 e A+D = 21, notamos que D é igual a C + 4. Finalmente, podemos escrever: C + (C+4) = 20. Encontramos, deste modo, C = 8. Imediatamente, concluímos que D = 8+4 =12. Sendo A+C = 17, ficamos a saber que A = 9. Sendo A+B = 15, ficamos a saber que B = 6. Os pesos encontrados têm os valores 6, 8, 9, 12. Trata-se, afinal, de um ímpar e de três pares. Também o Gonçalo Palma da EB 2,3 D. Jorge de Lencastre (Grândola) teve um bom palpite ou uma intuição que o guiou na procura dos pesos dos sacos. A sua suposição foi a de que seriam 3 números pares e um número ímpar. Isto orientou-o na procura, por tentativas, dos pesos. Vejamos como respondeu ao problema: "Então vamos lá... eu comecei por arranjar 3 números pares para fazer todas as combinações possíveis dos números pares e vi que o 6, o 12 e o 8 davam (6+12=8, 12+8=20, 8+6=14) e depois arranjei o número 9 que acabava as contas, 9+12=21, 9+8=17 e 9+6=15; para arranjar estes números, tive que fazer algumas tentativas".
3. Por meio de um esquema Houve quem recorresse a um esquema para representar o problema. Uma das ideias propostas foi a de imaginar que os 4 pesos a descobrir seriam colocados nos vértices de um rectângulo. A partir daí, os lados do rectângulo e as suas diagonais terão de corresponder às somas dos valores que ficam unidos. Trata-se de transformar o problema e de criar um problema equivalente, que em Matemática também se diz isomorfo ao primeiro Por vezes, esta estratégia é muito eficaz. Revela uma boa compreensão do problema e, normalmente, leva a pessoa que está a resolver o problema a sentir que este fica mais fácil de manejar. A partir de esquemas, surgiram-nos resoluções como a do Pedro Marques, da EB 2,3 nº 2 de Quarteira, a do Miguel Rodrigues, da ES/3 Antero de Quental (Ponta Delgada) e a do grupo formado pelas alunas Cristiana Nóbrega, Nídia Teles e Eva Mendonça da EB/S Gonçalves Zarco (Funchal). Eis o esquema que este grupo apresentou: 14 6 8 15 18 17 20 9 21 12