Exercícios Capítulo 3 Factos Empíricos Estilizados de Séries Temporais Financeiras (01/013)
1. Analise a seguinte informação sobre a série temporal y t : 4 0 4 6 8 10 50 500 750 1000 Y 00 160 10 80 40 0 8 6 4 0 4 Series: Y Sample 1 1000 Observations 1000 Mean 0.00154 Median 0.014917 Maximum 3.80000 Minimum 8.05770 Std. Dev. 1.110184 Skewness 0.74759 Kurtosis 7.17098 Jarque Bera 816.5896 Probability 0.000000 Teste Ljung-Box H 0 : Corr (y t ; y t 1 ) = ::: = Corr (y t ; y t 10 ) = 0; valor-p = 0.86 Teste Ljung-Box H 0 : Corr yt ; yt 1 = ::: = Corr y t ; yt 10 = 0; valor-p = 0.90 Sabe-se que y t é uma série temporal de dados diários; mas não se sabe se é uma série nanceira, macroeconómica ou outra. Duas hipóteses estão em confronto. Hipótese F: y é uma série retornos de uma acção ou de um índice bolsista; hipótese NF: y não é uma série retornos de uma acção ou de um índice bolsista. Exponha todos os argumentos a favor destas duas hipóteses. Em sua opinião, qual é a hipótese mais credível?. Concorda ou discorda da seguinte a rmação: Coe cientes estimados de kurtosis altos (acima de 3) implicam a presença do fenómeno volatility clustering. 3. Concorda ou discorda da seguinte a rmação: O efeito assimétrico implica uma distribuição assimétrica negativa para os retornos. 4. Concorda ou discorda da seguinte a rmação: Se fortes (baixas) variações são normalmente seguidas de fortes (baixas) variações em ambos os sentidos, então rt deve estar correlacionado com r t i (i = 1; ; ::). 5. Seja r t o retorno diário de um activo nanceiro cotado na bolsa de valores. É razoável esperar que jcorr (r t ; r t 1 )j + ::: + jcorr (r t ; r t 100 )j > Corr r t ; r t 1 + ::: + Corr r t ; r t 100? 6. Considere o seguinte correlograma. Concorda ou discorda da seguinte a rmação: Existem fortes indícios de que y é um série nanceira.
7. Imagine uma série de rendibilidades diárias associadas a um activo cotado na bolsa de valores. Nestas circunstâncias: (a) Um valor plausível para a kurtosis é. Justi que o valor. (b) Um valor plausível para Corr r t 1 ; r t é. Justi que o valor. rj>3^) (c) Um valor plausível para P (jrt P (jzj>3) onde Z N (0; 1) é. Justi que o valor. 8. Diga como pode analisar e testar estatisticamente os seguintes aspetos: (a) Fortes variações dos retornos são normalmente seguidas de fortes variações em ambos os sentidos (b) O volume de transações está normalmente correlacionado com volatilidade. 9. Considere o seguinte modelo para o preço de um activo cotado na bolsa log P t = log P t 1 + u t onde u t é um ruído branco. Poderá este modelo pode captar (ou estimar) a existência de um prémio de risco positivo? 10. Considere uma série de preços de uma ação cotada na bolsa. A partir desses preços calcularam-se os retornos diários e obteve-se o valor-p da estatística Bera-Jarque. Seja p d esse valor. De igual forma, a partir dos preços calcularam-se os retornos semanais e obteve-se o valor-p da estatística Bera-Jarque. Seja p s esse valor. Concorda com a seguinte a rmação: é de esperar que p d < p s? Justi que. 11. Foram simuladas duas trajectórias de variáveis aleatórias com distribuição de Pareto f (y) = c y (+1) ; y > c = 1: Numa das trajectórias considerou-se = e na outra = 1:5: Qual das guras seguintes foi simulada com =? Justi que devidamente. Fig. 1 Fig.
1. As curvas apresentadas na gura seguinte representam as abas direitas de duas funções de densidade de probabilidade (fdp). Uma das curvas é proporcional a e x ; a outra é proporcional a x (+1) ; > 0: 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 0.0 1 3 4 5 x Qual das duas funções caracteriza melhor a distribuição marginal de uma série de retornos? 13. Uma classe de distribuições de cauda pesada é de nida a partir da mistura de densidades. Considere f (x) = f 1 (x) + (1 ) f (x) ; 0 1 onde, f 1 (x) é a fdp da N(0; 1) e f (x) é a fdp da N 0;. Suponha = 0:9; 1 = 0:1 e = 3:148: Sabendo que Y tem fdp f; mostre que P (jy j > 3) = 0:0340. Compare com P (jzj > 3) ; onde Z N (0; 1) e comente. 14. Considere o cheiro SP500. (a) Calcule a série dos retornos fr t g onde r t = log (P t =P t 1 ) : (b) Obtenha ^ 1 ; ^ ; ^ 3 ; (estatística) Jarque-Bera, sk; c ^k; [Corr rt ; r t 1 : (c) Faça os seguintes ensaios: i. H 0 : 1 = 0; H 0 : = 0; H 0 : 3 = 0: ii. H 0 : 1 = 0; H 0 : = 0; :::; H 0 : 0 = 0: iii. H 0 : k = 3: iv. H 0 : sk = 0: v. H 0 : k = 3 e sk = 0: vi. H 0 : Corr rt ; r t 1 = 0: (d) Tendo em conta a alínea anterior, identi que alguns dos factos empíricos estilizados. (e) Os testes realizados na alínea (c) podem não ser válidos. Justi que.
15. Considere o cheiro accoes psi0 (dados diários) e escolha um título. (a) Apresente os grá cos das séries temporais dos preços e dos retornos r t : (b) Apresente o valor do retorno anualizado r A ; e teste a hipótese do retorno anualizado ser positivo (este retorno deve ser encarado como um parâmetro populacional). Sugestão: teste E (r) = 0: (c) Apresente o valor de sk c e teste sk < 0: (d) Apresente o valor de b k e teste k > 3. (e) Teste a igualdade de médias dos retornos em relação aos dias da semana. (f) Teste a igualdade de médias dos retornos em relação aos meses do ano. (g) Apresente um grá co da estimativa não paramétrica da fdp dos retornos juntamente com a fdp normal. (h) Calcule o estimador de Hill para a aba esquerda e direita da distribuição de retornos. (i) Estime os primeiros 0 coe cientes de autocorrelação dos retornos e teste a nulidade dos primeiros 0 coe cientes de autocorrelação. Comente os resultados. (j) Estime os primeiros 00 coe cientes de autocorrelação dos retornos absolutos, i.e. de jr t j. Comente os resultados. (k) Existe efeito assimétrico? 16. Repita o exercício anterior para dados mensais.