Econometria Financeira

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1 1 Econometria Financeira 2011/2012 João Nicolau

2 2 1 Introdução 1.1 Objecto e Método Financial econometrics is simply the application of econometric tools to financial data (Engle, 2001). Vamos estudar alguns métodos econométricos para séries temporais financeiras. Estes métodos servem de suporte a variadíssimos estudos: Modelação dos retornos e previsão da volatilidade; Avaliação do risco (por exemplo, através do Value at Risk); Avaliação de opções, etc.; Selecção e gestão de portfolios; Análise da previsibilidade e eficiência dos mercados, etc.;

3 3 1.2 Séries Financeiras versus Séries Macroeconómicas Principais diferenças entre as séries financeiras e séries macroeconómicas: dados de natureza macroeconómica (consumo, produto, taxa de desemprego) podem ser observados mensalmente, trimestralmente ou anualmente; dados financeiros, como por exemplo, retornos de acções ou taxas de câmbio podem ser observados com uma frequência muito superior; nalguns casos, com intervalos de minutos ou segundos entre duas observações consecutivas; o número de observações disponíveis é muito maior com séries financeiras; os dados macroeconómicos são menos fiáveis as séries financeiras exibem habitualmente fortes efeitos não lineares e distribuições não normais.

4 4 1.3 Preços e Retornos Ponto de partida: P 1, P 2,..., P n (por exemplo, a série das cotações de fecho do BCP num certo intervalo de tempo). Depois: calculam-se os retornos. Duas formas de calcular os retornos: R t = P t P t 1 P t 1 r t = log P t log P t 1

5 5 Relação entre R t e r t : r t = log P t log P t 1 = log P t = log P ( t P t P t 1 = log (1 + R t ). P t 1 ) Mas, em geral, r t R t

6 6 Para dados diários, semanais ou mensais r t R t. Retornos mensais da IBM: R r Jan 00 Jul 00 Jan 01 Jul 01 Jan 02 Jul 02 Jan 03 Jul 03 Jan 04 Jul 04 Jan 05 Jul 05

7 7 60 Preços Microsoft Jan 88 Jan 90 Jan 92 Jan 94 Jan 96 Jan 98 Jan 00 Jan 02 Jan 04 Jan Retornos Microsoft Jan 88 Jan 90 Jan 92 Jan 94 Jan 96 Jan 98 Jan 00 Jan 02 Jan 04 Jan 06 Estudam-se os preços ou os retornos? Prefere-se os retornos porque: os retornos fornecem tanta informação quanto os preços; os retornos são mais fáceis de modelarem.

8 8 Estuda-se r t ou R t? Prefere-se geralmente r t. Retornos Anualizados Qual é a taxa de rendibilidade anual, r A, tal que, aplicada a um investimento P 0 permite ao fim de T anos obter o investimento P n? Ou seja, qual é o valor r A que resolve a equação P 0 e r AT = P n? r A = 1 T log ( Pn P 0 ). Se os preços P 0, P 1,...P n são diários e se admitirmos que num ano se observam 250 preços, então deduz-se a relação T = n/250. Nestas condições, r A = 250 n log ( ) Pn Em termos gerais, se num ano se observam N preços (por exemplo, N = 12 se as observações são mensais) e dispomos de n observações sobre os preços, então T = n/n e P 0 r A =... = N r..

9 9 Volatilidade Anualizada Retorno anual X = log P N log P 0 = Supondo E (r 1 ) = E (r 2 ) =... = E (r N ), tem-se que o retorno médio anual é dado por E (X) = N E (r t ). Estimativa de E (X) é, precisamente, r A = N r. N t=1 r t. Suponha-se que a sucessão {r t } é não autocorrelacionada e que Var (r t ) = σ 2. Nestas condições, a variância anualizada é dada por Var (X) = Var N r t t=1 = Nσ 2.

10 10 Entre os investidadores fala-se numa volatilidade anualizada dada por Nσ onde σ é o desvio padrão associado a um medida intra anual. Dados diários, vol. anualizada 250σ d (σ d é o dp associado aos dados diários); Dados mensais, vol. anualizada 12σ m (σ m é o dp associado aos dados mensais). A informação anualizada pode ser dada em percentagem: N r 100%, Nσ 100%.

11 Retorno Multi-Períodos {P 1, P 2,..., P n } preços diários. Retorno semanal (supondo 1 semana = 5 dias)? Basta considerar De uma forma geral, r t (m) = log r t (5) = log ( Pt P t m ) ( Pt P t 5 ) = log (P t ) log (P t m ). Como calcular r t (m) a partir dos retornos em t = 1, 2,...? Para exemplificar, suponha-se que se têm retornos diários e procura-se o retorno semanal, i.e., admita-se o seguinte: retorno 2 a feira r 1 = log P 1 log P 0 retorno 3 a feira r 2 = log P 2 log P 1 retorno 4 a feira r 3 = log P 3 log P 2 retorno 5 a feira r 4 = log P 4 log P 3 retorno 6 a feira r 5 = log P 5 log P 4 retorno da semana log P 5 log P 0 = r 1 + r r 5

12 12 A tabela anterior sugere que o retorno da semana é igual à soma dos retornos diários da semana. Com efeito, Conclui-se: log P 5 log P 0 = log P 5 log P }{{ 4 + log P } 4 log P 3 + log P }{{} 3 log P }{{ 2 } r 5 r 4 r 3 +log P 2 log P }{{ 1 + log P } 1 log P }{{ 0 } r 2 r t (m) = r t + r t r t m+1. r 1

13 13 2 Revisões: Modelos ARMA A variável dependente é y (pode ser um retorno, uma taxa de juro, etc.). Começaremos por admitir que a única informação que dispomos sobre y é a própria série: Como explicar y t a partir da informação F t 1 = {y t 1, y t 2,...}? Se y t não está correlacionado de alguma forma com os seus valores passados y t 1, y t 2,... a abordagem de séries temporais é inútil. Pelo contrário, se existe evidência de autocorrelação, então os valores passados da série podem explicar parcialmente o comportamento futuro de y.

14 Definições Preliminares Autocorrelação de Ordem s (FAC) Suponha-se que y é um processo estacionário de segunda ordem (E2O). Para medir a associação linear entre y t e y t s considera-se o coeficiente de autocorrelação de ordem s, ρ s = Cov(y t, y t s ) Var (y t ) Var (y t s ). Como Var (y t ) = Var (y t s ) escrevemos Var (y t ) = Var (y t s ) = γ 0. Naturalmente, ρ s = Cov(y t, y t s ) Var (y t ) Var (y t ) = γ s γ 2 0 ρ s 1. = γ s γ 0.

15 15 Em geral, devemos esperar (sem contar com sazonalidade): ρ s > ρ k para s < k. Os eventos remotos, por estarem mais afastados no tempo, devem estar menos correlacionados com os eventos contemporâneos. ρ s 0 quando s +. O passado muito remoto não deve estar correlacionado com o presente Autocorrelação Parcial de Ordem s (FACP) Quando se calcula a correlação entre, por exemplo, y t e y t 2, por vezes sucede que a correlação detectada se deve ao facto de y t estar correlacionado com y t 1, e y t 1, por sua vez, estar correlacionado com y t 2. Com a autocorrelação parcial procura-se medir a correlação entre y t e y t s eliminando o efeito das variáveis intermédias, y t 1,..., y t s+1. A análise desta forma de autocorrelação é importante na medida em que permite, juntamente com a FAC, identificar o processo linear subjacente.

16 16 Considere-se: y t = c + φ 11 y t 1 + ξ t y t = c + φ 21 y t 1 + φ 22 y t 2 + ξ t y t = c + φ 31 y t 1 + φ 32 y t 2 + φ 33 y t 3 + ξ t... y t = c + φ s1 y t 1 + φ s2 y t φ ss y t s + ξ t A autocorrelação parcial de ordem i é dada pelo coeficiente φ ii. Por exemplo, a autocorrelação parcial de ordem 2 é dada pelo coeficiente φ 22 na regressão y t = c + φ 21 y t 1 + φ 22 y t 2 + ξ t. Podemos usar o OLS para obter ˆφ22. Este coeficiente mede a relação entre y t e y t 2 depois do efeito de y t 1 ter sido removido.

17 17 Exemplo Y FEDERAL FUNDS RATE

18 Processos Lineares Estacionários Processos Média Móvel Processo MA (1) y t = µ + θu t 1 + u t onde u t é um ruído branco, Var (u t ) = σ 2. Interpretação: y t é uma combinação linear de choques aleatórios (u t 1 e u t );.y t resulta de um mecanismo de correcção: utilizamos o erro cometido no período anterior, u t 1, como regressor (i.e., como variável explicativa); Modelo indicado para modelar fenómenos de memória muito curta (veremos que a autocorrelação de y extingue-se muito rapidamente). Para sabermos alguma coisa sobre as propriedades estatísticas de y t é necessário calcular momentos, covariâncias, correlações, etc.

19 19 Momentos Marginais Os primeiros momentos marginais (ou não condicionais) são E (y t ) = E (µ + θu t 1 + u t ) = µ Var (y t ) = Var (µ + θu t 1 + u t ) = θ 2 σ 2 + σ 2 Covariâncias Pode-se provar γ 1 = Cov (y t, y t 1 ) = E [(y t µ) (y t 1 µ)] = E [(θu t 1 + u t ) (θu t 2 + u t 1 )] = θσ 2 γ s = 0 para s > 1. O processo y t é E2O pois: E (y t ) e Var (y t ) são constantes; γ s não depende de t.

20 20 FAC e FACP Conclui-se agora que as autocorrelações são dadas por ρ 1 = γ 1 θσ 2 = γ 0 θ 2 σ 2 + σ 2 = ρ k = 0 para k > 1. θ θ Só o primeiro coeficiente de autocorrelação, ρ 1, é diferente de zero Memória curta (o que se passou há dois períodos atrás não está associado com o valor corrente). Relativamente às autocorrelações parciais tem-se φ 11 = ρ 1 = θ θ e (pode-se provar) φ kk 0, mas φ kk 0, quando k.

21 21 Momentos Condicionais Considere-ne novamente: y t = µ + θu t 1 + u t. Momentos condicionais: E (y t F t 1 ) = µ + θu t 1 Var (y t F t 1 ) = σ 2 Se u t é um ruído branco Gaussiano então y t F t 1 N ( µ + θu t 1, σ 2).

22 22 Processo MA (q) y t = µ + θ 1 u t 1 + θ 2 u t θ q u t q + u t, O processo y t continua a representar-se como uma combinação linear de choques aleatórios. Pode-se provar: Pode-se provar ainda: E (y t ) = µ Var (y t ) = σ 2 ( 1 + θ θ2 q { 0 se k = 1, 2,..., q ρ k = 0 se k = q + 1, q + 2,... ) φ kk 0, mas φ kk 0, quando k +.

23 Processos Autoregressivos Agora, em vez de y t ser explicado pelos erros passados, y t é explicado pelos seus próprios valores passados. Processo AR (1) onde u t é ruído branco. y t = c + φy t 1 + u t Este modelo é muito importante porque reproduz razoavelmente a dinâmica de muitas séries económicas e financeiras.

24 24 Momentos Marginais Comece-se por calcular a média marginal E (y t ) = E (c + φy t 1 + u t ) = c + φ E (y t 1 ). Se assumirmos à partida a condição de E2O (implicando E (y t ) = E (y t 1 ) = E (y)) vem Seguindo um raciocínio idêntico vem: E (y) = c + φ E (y) E (y) = c 1 φ Var (y t ) = Var [c + φy t 1 + u t ] = φ 2 Var (y t 1 ) + Var [u t ] = φ 2 Var (y t 1 ) + σ 2 Sob a hipótese de E2O, tem-se Var (y t ) = Var (y t 1 ) = Var (y) e, portanto, Var (y) = φ 2 Var (y) + σ 2 Var (y) = σ2 1 φ 2.

25 25 FAC e FACP Pode-se provar: ρ k = φ k. Por outro lado, tendo em conta a definição de autocorrelação parcial, tem-se: y t = c + φ 11 y t 1 + u t φ 11 = ρ 1 y t = c + φ 21 y t 1 + φ 22 y t 2 + u t φ 22 = 0 Assim, φ kk = { ρ1 se k = 1 0 se k > 1

26 26 Os dois primeiros momentos condicionais são E (y t F t 1 ) = E (y t y t 1 ) = E [c + φy t 1 + u t y t 1 ] = c + φy t 1, [ Var (y t F t 1 ) = E (yt c φy t 1 ) 2 ] [ ] yt 1 = E u 2 t yt 1 = σ 2. Se u t é um ruído branco Gaussiano então y t F t 1 N ( c + φy t 1, σ 2). Pode-se provar que a condição de estacionaridade do processo AR(1) é φ < 1.

27 27 Reversão para a Média Processos estacionários são, por vezes, designados por processos com reversão para a média. Exemplo com o AR(1): Quatro processos AR(1) simulados de acordo com o modelo y t = 100 (1 φ) + φy t 1 + u t, u t N (0, 1) y fhi=0.1 fhi=0.8 fhi=0.98 fhi= t

28 28 Processo AR (p) y t = c + φ 1 y t φ p y t p + u t Estacionaridade Proposição O processo AR(p) é estacionário sse as raízes da equação ( 1 φ1 L φ 2 L 2...φ p L p) = 0 são em módulo superiores a um. AR(1), φ p (L) = (1 φl) AR(2), φ p (L) = ( 1 φ 1 L φ 2 L 2), etc.

29 29 FAC e FACP Suponha-se que y é E2O. Nestas condições, pode-se provar: ρ k não se anulam mas ρ k 0 quando k. φ kk = { 0 se k = 1, 2,..., p 0 se k = p + 1, p + 2,... É óbvio que φ kk = 0 se k > p. Por exemplo φ p+1,p+1 = 0 porque y t = φ 1 y t φ p y t p + 0y t p 1 + u t

30 30 FAC e FACP teóricas de um AR(2) (de cima para baixo): (a) φ 1 > 0, φ 2 > 0; (b) φ 1 < 0, φ 2 > 0; (c) φ 1 > 0, φ 2 < 0; (d) φ 1 < 0, φ 2 < 0. 1 FAC 1 FACP FAC 1 FACP FAC 1 FACP FAC 1 FACP

31 Processos ARMA Por que não combinar os dois processos AR e MA? Modelo ARMA(p,q): y t = φ 1 y t φ p y t p + θ 1 u t θ q u t q + u t Resumo: AR(p) MA(q) ARMA(p,q) Estac. Raízes φ p (L) = 0 Sempre Raízes φ p (L) = 0 fora do círc. unitár. estacionários fora do círc. unitár. FAC Decaimento expo- Decaimento brusco Decaimento exponencial e/ou sinu- para zero a partir de nencial e/ou sinusoidal para zero k = q + 1 soidal para zero FACP Decaimento brusco Decaimento expo- Decaimento expopara zero a partir de nencial e/ou sinu- nencial e/ou sinuk = p + 1 soidal para zero soidal para zero Fonte: Murteira et al. (1993), pág. 69

32 32 Exercício Na figuras seguintes traçam-se as FAC e FACP de vários processos lineares simulados (n = 50000). Procure identificá-los FAC FACP FAC FACP FAC FACP FAC FACP FAC FACP FAC FACP FAC FACP

33 FAC FACP FAC FACP FAC FACP FAC FACP FAC 0.4 FACP FAC 0.4 FACP

34 MA AR θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 Modelo Fig. dois slides atrás MA(3) AR(2) MA(3) AR(3) AR(1) MA(1) MA(3) Fig. do slide anterior AR(4) ARMA(1,1) ARMA(4,4) AR(4) RBranco RBranco 34

35 Modelação ARMA Procura-se: definir um modelo parcimonioso (em termos de parâmetros); que apresente boas propriedades estatísticas; e descreva bem a série em estudo. Para alcançarmos estes objectivos seguimos a metodologia de Box-Jenkins. etapas: identificação, estimação e avaliação do diagnóstico. Propõe três

36 36 Etapa 1: Identificação Escolha de um modelo Etapa 2: Estimação Estimação dos parâmetros NÃO Etapa 3: Avaliação do diagnóstico Adequação do modelo escolhido Utilização do modelo SIM Modelo satisfatório Metodologia de Box-Jenkins

37 37 Etapa 1: Identificação Estacionarização da série; Identificação da ordem p e q através da FAC e FACP. Etapa 2: Estimação Estimador de Máxima Verosimilhança. No caso AR(p) pode ser usado o estimador OLS que é consistente mesmo que a distribuição dos erros não seja Gaussiana.

38 38 Etapa 3: Avaliação do Diagnóstico É necessário analisar os seguintes aspectos: significância estatística dos parâmetros; invertibilidade e estacionaridade; análise da matriz de correlação dos estimadores; redundância entre as estimativas; branqueamento dos resíduos; se existir mais do que um modelo que cumpra as condições anteriores é necessário seleccionar o melhor (à luz de determinado critério).

39 39 Analise-se a questão do Branqueamento dos Resíduos Considere-se o ARMA(1,1) y t = φy t 1 + θ 1 u t 1 + u t. Suponha-se que se estima (por engano) o AR(1) y t = φy t 1 + η t onde η t representa o erro da equação anterior. Como detectar o erro de especificação? Como η t = θ 1 u t 1 +u t MA(1) é natural esperar que os resíduos ˆη t venham autocorrelacionados. É muito importante que os resíduos venham branqueados, i.e. não exibam autocorrelações (caso contrário, parte da média condicional não foi modelada).

40 40 Análise da FAC e FACP dos resíduos: Teste Kendal e Stuart H 0 : ρ k (û) = 0 nˆρk (û) d N (0, 1) Teste Ljung-Box H 0 : ρ 1 (û) =... = ρ m (û) = 0 Q = n (n + 2) m k=1 1 n kˆρ2 k (û) d χ 2 (m p q) Teste Jenkis e Daniels H 0 : φ kk (û) = 0 nˆφkk (û) d N (0, 1)

41 41 Finalmente, discuta-se a última questão. Pode suceder que dois ou mais modelos cumpram as condições anteriores. Como seleccionar o melhor? O objectivo último é a previsão avaliar a qualidade preditiva dos vários modelos concorrentes; Outra abordagem: escolher o modelo mais preciso (melhor ajustamento) com o menor n o de parâmetros (parcimónia). Há certamente um trade-off a resolver: maior precisão implica menor parcimónia. O coeficiente de determinação ajustado é, provavelmente, o indicador mais utilizado. É um bom indicador no âmbito do modelo de regressão linear clássico, com distribuição normal. Mais gerais são os critérios de informação de Akaike e de Schwarz porque se baseiam no valor da função de verosimilhança.

42 42 O critério de informação de Akaike (AIC) é dado pela expressão AIC = 2 log L n n O critério de Schwarz é dado pela expressão + 2k n. SC = 2 log L n + k log n. n n Valor alto de log L n (função log verosimilhança) precisão; n o parâmetros, k é baixo modelo parcimonioso Logo: minimizar as estatísticas AIC e SC. Em certos casos, um modelo pode minimizar apenas um dos critérios. Como proceder nestes casos? Vários estudos têm revelado o seguinte: o critério SC, em grandes amostras tende a escolher o modelo correcto; em pequenas/médias amostras pode seleccionar um modelo muito afastado do modelo correcto; o critério AIC, mesmo em grande amostras tende a seleccionar o modelo errado, embora não seleccione modelos muito afastados do correcto.

43 3 Factos Empíricos Estilizados das Séries Financeiras Regularidade Empíricas relacionadas com a Distribuição Marginal Comece-se por considerar a fdp marginal f de um certo retorno r t. Estamos interessados em saber algo sobre f (que é geralmente desconhecida). Obtém-se alguma informação sobre f calculando vários momentos da amostra. Pelo método dos momentos, os parâmetros populacionais desconhecidos, ( ) ( µ = E (r), σ = Var (r), sk = E (r µ) 3, k = E (r µ) 4 ) podem ser estimados de forma consistente, respectivamente, pelos estimadores nt=1 nt=1 r t (r t r) 2 r =, ˆσ =, n n ŝk = n 1 n t=1 (r t r) 3 n ˆσ 3, ˆk 1 n = t=1 (r t r) 4 ˆσ 4. σ 3 σ 4

44 44 Os factos empíricos estilizados que descreveremos a seguir envolvem explicitamente estes momentos. Concretamente, mostraremos a seguir que r tende a ser maior do que o retorno do investimento sem risco; ˆσ depende da natureza do activo; ŝk tende a ser negativo; ˆk tende a ser superior a Prémio de Risco Positivo PR ou Equity Risk Premia valor esperado do retorno de um investimento no mercado de capitais - o retorno do investimento sem risco. De acordo com a teoria financeira este prémio deve ser positivo... Dimson, Marsh e Staunton (2002) fizeram o seguinte exercício:

45 45 Um investimento de 1 dólar em acções norte americanas no início do ano 1900 (num indice representativo do mercado de acções norte-americano) seria vendido por dólares em Um investimento de 1 dólar em bilhetes do tesouro (investimento sem risco), seria vendido por 119 dólares. Os retornos anualizados são respectivamente r A 100% = log r A 100% = log ( ( ) ) 100% = 9.6% 100% = 4.7%

46 Desvios Padrão Diferentes Consoante os Activos r A % ˆσ A % ŝk ˆk ˆP ( r t r >3ˆσ) P ( Z >3) Cotações de Acções Microsoft (01-88 a 7-05) 23.9% 36.3% Coca-Cola (11-86 a 12-05) 7.2% 33.2% PT (6-95 a 12-05) 12.3% 33.2% Índices Bolsistas Dax (11-90 a 11-05) 8.4% 22.1% CAC40 (03-90 a 11-05) 5.7% 20.5% Nikkei225 (01-84 a 11-05) 1.6% 20.5% FTSE100 (04-84 a 11-05) 7.3% 15.8% PSI20 (01-93 a 03-06) 8.6% 15.8% Taxas de Câmbio USD/EUR(12-98 a 11-05) 0.1% 7.9% YEN/USD (1-71 a 7-05) -3.4% 9.4% Na última coluna assume-se que Z N (0, 1) ; ˆσ A % = 250ˆσ100%

47 47 Os activos com maior variabilidade (e, portanto com maior risco associado) são os títulos de empresas, seguidos dos índices bolsistas e taxas de câmbio (bilhetes do tesouro - resultados não apresentados - apresentam a menor variabilidade). Vários estudos indicam que a variabilidade dos retornos tende a diminuir à medida que a dimensão das empresas aumenta Retornos de Acções e de Índices tendem a Apresentar Assimetria Negativa A distribuição de r é assimétrica negativa (positiva) se sk < 0 (> 0). distribuição é simétrica. Se sk = 0 a Podemos ter uma estimativa ŝk negativa se as variações negativas fortes forem mais acentuadas do que as variações positivas fortes. Ver a tabela anterior. As distribuições das rendibilidades de acções e índice bolsistas tendem a ser assimétricas negativas. As fortes variações dos preços são maioritariamente de sinal negativo. Estas variações são obviamente crashes bolsistas.

48 48 homocedásticas com dis- Sob certas hipóteses, incluindo {r t } é uma sequência de v.a. tribuição normal, a estatística de teste Z 1 = ŝk n 6 tem distribuição assimptótica N (0, 1). A hipótese nula H 0 : sk = 0 pode ser testada a partir deste resultado. Mas as hipóteses de partida, normalidade e homocedasticidade, são relativamente severas. O estimador ŝk é por vezes criticado por não ser robusto face à presença de valores extremos. Para as taxas de câmbio não há razão especial para esperar sk > 0 ou sk < 0

49 Retornos Apresentam Distribuições Leptocúrticas Diz-se que a distribuição f é: mesocúrtica se k = 3 platicúrtica se k < 3 leptocúrtica se k > 3. Valores altos de ˆk (acima de 3) indicam que certos valores da amostra se encontram muitos afastados da média, comparativamente aos demais valores da amostra. A existência de outliers faz aumentar a estatística ˆk Y1 Y2 Qual das duas séries tem kurtosis estimada mais alta?

50 50 O coeficiente k estimado vem quase sempre (bastante) acima de 3, o que sugere que a distribuição dos retornos (de cotações, índice, taxas de câmbio e mesmo taxas de juro) é leptocúrtica. r A % ˆσ A % ŝk ˆk ˆP ( r t r >3ˆσ) P ( Z >3) Cotações de Acções Microsoft (01-88 a 7-05) 23.9% 36.3% Coca-Cola (11-86 a 12-05) 7.2% 33.2% PT (6-95 a 12-05) 12.3% 33.2% Índices Bolsistas Dax (11-90 a 11-05) 8.4% 22.1% CAC40 (03-90 a 11-05) 5.7% 20.5% Nikkei225 (01-84 a 11-05) 1.6% 20.5% FTSE100 (04-84 a 11-05) 7.3% 15.8% PSI20 (01-93 a 03-06) 8.6% 15.8% Taxas de Câmbio USD/EUR(12-98 a 11-05) 0.1% 7.9% YEN/USD (1-71 a 7-05) -3.4% 9.4% Na última coluna assume-se que Z N (0, 1) ; ˆσ A % = 250ˆσ100%

51 51 R Z Bandas ( 3,3) Painel Esquerdo: retornos diários do Dow Jones no período 02/10/1928 a 3/02/2011 (20678 observações). Painel direito retornos estandardizados, z t = (r t r) /ˆσ Se os retornos seguissem uma distribuição normal seria de esperar que z t = (r t r) /ˆσ excedesse os limiares 3 e 3 em cerca de 0.27% das vezes, tendo em conta, P ( Z > 3) = , supondo Z N (0, 1). Ora, na verdade z t excede os limiares 3 e -3 em cerca de 1.73% das observações (z t excede os limiares 359 vezes, em observações). Tem-se assim ˆP ( r t r > 3ˆσ) P ( Z > 3) = = 6.29

52 52 Por que razão a distribuição leptocúrtica se designa habitualmente de distribuição de caudas pesadas? Normal Normal 0.2 Leptoc Leptoc

53 53 O ensaio H 0 : k = 3 [y Normal & y é i.i.d] pode ser conduzido pela estatística de teste ) (ˆk 3 Z 1 = n 24 d N (0, 1). Por exemplo, para a Microsoft e sabendo que no período considerado se observaram 4415 dados diários (n = 4415) tem-se z 1 = (6.8 3) 4415 = O valor-p é P ( Z 1 > 51.54) 0. Existe forte evidência contra H 0. Podemos ainda testar a hipótese conjunta H 0 : k = 3 & sk = 0 [assumindo r Normal & r é i.i.d] através da estatística de Bera-Jarque ) 2 Z1 2 + Z2 2 = n (ˆk 3 ŝk 2 + d χ (2)

54 Aumento da Frequência das Observações Acentua a Não Normalidade das Distribuições r ˆσ ŝk ˆk Retornos Diários Frankfurt Hong Kong Londres Nova York Paris Tóquio Retornos Semanais Frankfurt Hong Kong Londres Nova York Paris Tóquio

55 55 A diminuição da frequência das observações atenua o problema da não normalidade - Explicação Teórica: P 0, P 1, P 2,... preços diários. P 0, P 5, P 10,... preços semanais (5 dias úteis). Retornos semanais são: log P 5 log P 0, log P 10 log P 5,... }{{} retorno 1 a semana }{{} retorno 2 a semana Para h geral, o primeiro retorno observado é r 1 = log P h log P 0. Tem-se r 1 (h) = log P h log P 0 = r 1 + r r h = h r i i=1 (r i são os retornos diários). Pelo TLC (sob certas condições) ( hi=1 hi=1 ) r i E r i h ( r E (r Var ( ) = i )) d N (0, 1) quando h. hi=1 r σ i

56 Efeitos de Calendário Efeitos de calendário : quando a rendibilidade e/ou a volatilidade varia com o calendário. Por exemplo, se certo título regista maior rendibilidade e/ou volatilidade às segundas-feiras, temos um efeito de calendário. Serão estes efeitos de calendário anomalias? Dia da Semana Efeito de segunda-feira Rendibilidade mais alta? Volatilidade mais alta?

57 57 Testar este e outros efeitos: r t = β + δ 1 ter t + δ 2 qua t + δ 3 qui t + δ 4 sex t + u t onde ter, qua, etc. são variáveis dummy... Grupo base = segunda-feira. Ensaio: H 0 : δ 1 = δ 2 =... = δ 4 = 0 corresponde a testar a não existência de diferenças nas médias dos retornos dos vários dias da semana. A estatística habitual: F = R 2 / (k 1) ( 1 R 2 ) /(n k) F (k 1, n k) sob H 0. Na presença de heterocedasticidade, os teste t e F são inválidos. Uma solução passa pela utilização de erros padrão robustos (ou da estatística F robusta) contra a presença de heterocedasticidade.

58 Distribuições Leptocúrticas para Retornos Distribuição t-student kurtosis k = 3 + v 4 6. Quando mais baixo for o número de graus de liberdade mais pesadas são as caudas. No caso v = 4 a kurtosis não existe. f(x) Abas da t-student ( v = 4.1, - - v = 5, v = 30) x

59 59 Mistura de Normais da seguinte forma: A variável X, que representa a mistura de normais, pode escrever-se X = (1 U) X 1 + UX 2, U Bernoulli, X 1 N ( µ 1, σ 2 1), X2 N ( µ 2, σ 2 2). Pode-se mostrar que, E (X) = αµ 1 + (1 α) µ 2 ; Var (X) = ασ (1 α) σ2 2 + α (1 α) (µ 1 µ 2 ) 2 ; E ( (X E (X)) 3) = α (1 α) (µ 1 µ 2 ) ( (1 2α) (µ 1 µ 2 ) ( σ σ2 2)) ; k = 3 + 3α(1 α)(σ2 1 σ2 2 )2 (ασ 2 1 +(1 α)σ2 2 )2 > 3 supondo, para simplificar, que µ 1 = µ 2 = 0.

60 60 Representa-se f (x) para α = 0.5, µ 1 = 1, µ 2 = 1, σ 1 = 1/5, σ 2 = 5. f(x) Mistura de Normais x

61 61 Distribuição com Caudas de Pareto A fdp de Pareto é g (y) = αc α y (α+1), y > c. À primeira vista pode parecer que esta distribuição não serve... Porquê? Diz-se que uma fdp f (y) tem distribuição com caudas de Pareto (mesmo que não seja uma distribuição de Pareto) se f (y) Cy (α+1), α > 0 (C é uma constante). O sinal significa aqui que lim y f (y) /Cy (α+1) = 1. f (y) tem um decaimento polinomial para zero (decaimento lento para zero) e, portanto, caudas pesadas. As caudas são tanto mais mais pesadas quanto menor for o valor de α.

62 62 fdp Cauda de Pareto vs. Cauda Gaussiana x Estimador de Hill Suponha-se f (y) Cy (α+1). Como estimar α? Passo 1: admita-se um cenário mais simples: f (y) tem distribuição (exacta) de Pareto, y P areto (c, α), ou seja f (y) = αcα yα+1, y > c.

63 63 Resulta: ˆα = n nt=1 log (y t /c), n (ˆαn α) d N ( 0, α 2) Passo 2: retome-se agora a hipótese f (y) Cy (α+1). Se só para valores grandes de y se tem f (y) Cy (α+1) então devemos considerar apenas os dados y t tais que y t > q (onde q pode ser interpretado como um quantil de y, geralmente um quantil ordem superior a 0.95). O estimador para α (designado por estimador de Hill) é agora Pode-se mostrar ˆα (q) = n (q) nt=1 log (y t /q) I {yt >q}, n (q) = n (q) (ˆα (q) α (q)) d N ( 0, α 2) quando n, n (q) e n (q) /n 0. Observe-se Var (ˆα (q)) = α2 n (q), Var (ˆα (q)) = ˆα 2 n (q) n I {yt >q}. t=1

64 64 Exemplo Resulta do quadro seguinte que ˆα (0.01) = 3/5.193 = y t I {yt >0.01} log (y t /0.01) I {yt >0.01} Qual é o valor do threshold q que devemos escolher? Temos um dilema de enviesamento versus variância: se q é alto a estimação de ˆα (q) é baseada em poucas observações, i.e., n (q) é baixo, pelo que a variância de ˆα (q) é alta (observe-se Var (ˆα (q)) = α 2 /n (q)); se q é baixo, perde-se a hipótese f (y) Cy (α+1) e, como consequência, o estimador ˆα (q) é enviesado e mesmo inconsistente (recorde-se que ˆα (q) é baseado na hipótese f (y) Cy (α+1) ).

65 65 Exemplo Estimação do índice de cauda (dentro de parênteses encontram-se o número de observações efectivamente utilizadas para estimar α). Retornos ˆα (q 0.96 ) ˆα (q 0.97 ) ˆα (q 0.98 ) ˆα (q 0.99 ) ORACLE (153) (115) (73) (39) DOWJONES 2.67 (1114) EURO/DÓLAR 4.70 (65) 2.74 (835) 5.12 (49) 2.85 (557) 5.33 (33) 3.0 (279) Em todos os casos é razoável admitir-se que a variância existe. Porquê? A distribuição dos retornos do DOWJONES parece ter as caudas mais pesadas; o quarto momento pode não existir (17)

66 Estimação Não Paramétrica da Função Densidade de Probabilidade A forma mais simples de estimar f (x) consiste em obter o histograma das frequências relativas. Existem, no entanto, estimadores preferíveis. Uma estimativa não paramétrica de f (x) pode ser dada por ˆf (x) = 1 nh n i=1 K ( x xi onde K (u) é uma fdp. Sob certas condições, incluindo h 0, n, nh pode-se provar ˆf (x) p f (x). h )

67 67 Exemplo Retornos Microsoft 3/1/1995-4/2/2010 R R Density Density Kernel Histogram Kernel Student's t Normal

68 Regularidade Empíricas relacionadas com a Distribuição Condicional Neste ponto discutimos regularidades que envolvem especificações dinâmicas (por exemplo, veremos como o retorno depende dos seus valores passados, ou como o quadrado dos retornos depende do quadrado dos retornos passados, entre outras especificações condicionais) Autocorrelações Lineares Baixas entre os Retornos Em geral os coeficientes de autocorrelação dos retornos são baixos. Por exemplo:.

69 69 Funções de autocorrelação dos retornos diários (Microsoft ) Faria sentido existir correlações altas?

70 70 Teste Kendal e Stuart H 0 : ρ k = 0 n (ˆρk + 1/n) d N (0, 1), ˆρ k N ( 1 ) n, 1 n Teste Ljung-Box H 0 : ρ 1 =... = ρ m = 0 Q m = n (n + 2) m k=1 1 n kˆρ2 k d χ 2 (m) Analise-se H 0 : ρ 1 =... = ρ 20 = 0. Fixe-se por exemplo, m = 20. Tem-se Q 20 = valor-p= Existe evidência estatística contra a hipótese nula H 0 : ρ 1 =... = ρ 20 = 0. Esta conclusão parece contraditória com a ideia de baixas autocorrelações dos retornos. Há explicação?

71 71 Uma forma de mitigar a presença de heterocedasticidade consiste em estandardizar os retornos pelo padrão de heterocedasticidade: r t = r t r ˆσ t onde ˆσ t é uma estimativa da volatilidade no momento t (rt retornos expurgados de heterocedasticidade). pode ser encarado como os Como obter ˆσ t? Solução ( subóptima ): ˆσ 2 t = (1 λ) r 2 t 1 + λˆσ2 t 1, λ = 0.96

72 72 Coeficientes de autocorrelação de r t : Funções de autocorrelação dos retornos diários estandardizados (Microsoft )

73 73 Para apreciarmos a diferença com uma série macroeconómica, veja-se: Funções de autocorrelação de y t = log (GNP t /GNP t 1 ) onde GNP é o PIB dos EUA (dados trimestrais de 1947 a 2003).

74 Volatility Clustering Vimos: valores muitos altos e muito baixos ocorrem frequentemente. Este valores extremos não ocorrem isoladamente: tendem a ocorrer de forma seguida (volatility clustering). Uma das propriedades mais importantes: fortes (baixas) variações são normalmente seguidas de fortes (baixas) variações em ambos os sentidos.

75 Oct 28 May 32 Dec 35 Jul 39 Feb 43 Sep 46 Apr 50 Nov 53 Jun 57 Jan 61 Aug 64 Mar 68 Oct 71 May 75 Dec 78 Jul 82 Feb 86 Sep 89 Apr 93 Nov 96 Jun 00 Jan 04 Retornos diários do Dow Jones ( ) Retornos diários do Dow Jones dispostos por ordem aleatória

76 76 Se fortes (baixas) variações são normalmente seguidas de fortes (baixas) variações em ambos os sentidos, então rt 2 deve estar correlacionado com r2 t i (i = 1, 2,...). Funções de autocorrelação dos quadrados dos retornos (Dow JOnes)

77 Forte Dependência Temporal da Volatilidade Vimos: (1) valores muitos altos e muito baixos ocorrem frequentemente e (2) estes valores extremos aparecem de forma seguida (volatility clustering). Neste ponto reforça-se a ideia de volatility clustering: se a volatilidade é alta (baixa), então é razoável esperar que a volatilidade se mantenha alta (baixa) durante bastante tempo. Períodos de grande e baixa volatilidade prolongam-se por vários anos! Oct 28 Apr 31 Oct 33 Apr 36 Oct 38 Apr 41 Oct 43 Apr 46 Oct 48 Apr 51 Oct 53 Apr 56 Oct 58 Apr 61 Oct 63 Apr 66 Oct 68 Apr 71 Oct 73 Apr 76 Oct 78 Apr 81 Oct 83 Apr 86 Oct 88 Apr 91 Oct 93 Apr 96 Oct 98 Apr 01 Oct 03 Retornos diários do Dow Jones (Jan-1928 a Fev-2006)

78 78 Para confirmarmos a ideia de forte dependência temporal da volatilidade calcule-se a FAC associado aos valores absolutos dos retornos do Dow Jones: FAC de r t onde r t é o retorno diário do Dow Jones (Jan a Fev. 2006)

79 79 Processos ARMA decaimento exponencial da FAC: ρ k = Ca k, 0 < C <, 0 < a < 1. Processos de memória longa decaimento hiperbólico da FAC: ρ k = C k β, β > 0 Rho Decaimento Exponencial (0.9 k ) vs. Hiperbólico (k 0.5 ) k A figura do slide anterior sugere um decaimento...

80 Efeito Assimétrico Correlação entre a volatilidade e a ocorrência de perdas significativas nos mercados de capitais. Índices Bolsistas Ĉorr ( r t 1, rt 2 Amesterdão Frankfurt Hong Kong Nova York Taxas de Câmbio Libra Britânica Dólar Canadiano Yen Franco Suíço Como verificar se as estimativas são estatisticamente significativas? )

81 Aumento da Frequência das Observações Acentua a Não Linearidade Vários estudos indicam que os coeficientes de autocorrelações de rt 2 aumentar com o aumento da frequência das observações. e de r t tendem a Co-Movimentos de Rendibilidade e Volatilidade Ao se analisarem duas ou mais séries financeiras de retornos ao longo do tempo, geralmente observam-se co-movimentos de rendibilidade e volatilidade, isto é, quando a rendibilidade e a volatilidade de uma série aumenta (diminui), a rendibilidade e a volatilidade das outras tende, em geral, a aumentar (diminuir).

82 CAC 9000 DAX.08 CAC.08 DAX DJ EURO STOXX FTSE DJ EURO STOXX FTSE PSI S&P PSI20.06 S&P Índices Bolsistas Retornos de Índices

83 83 CAC DAX DJ EURO 50 FTSE 100 PSI 20 S&P 500 CAC 1 DAX DJ EURO FTSE PSI S&P Matriz de correlações dos retornos diários (Jan 90-Nov 06) CAC DAX DJ EURO 50 FTSE 100 PSI 20 S&P 500 CAC 1 DAX DJ EURO FTSE PSI S&P Matriz de correlações dos retornos diários ao quadrado (Jan 90-Nov 06)

84 4 Modelação da Heterocedasticidade Condicionada: Caso Univariado Introdução Oct 28 Apr 31 Oct 33 Apr 36 Oct 38 Apr 41 Oct 43 Apr 46 Oct 48 Apr 51 Oct 53 Apr 56 Oct 58 Apr 61 Oct 63 Apr 66 Oct 68 Apr 71 Oct 73 Apr 76 Oct 78 Apr 81 Oct 83 Apr 86 Oct 88 Apr 91 Oct 93 Apr 96 Oct 98 Apr 01 Oct 03

85 85 Por que razão a volatilidade não é constante? Uma parte da volatilidade pode ser relacionada com a especulação. Episódios de extrema volatilidade ocorrem quando uma bolha especulativa rebenta. Graves crises económicas e políticas também explicam momentos de alta volatilidade. Conceito "chegada de informação".

86 86 Replicar o fenómeno de volatilidade não constante a partir do conceito de chegada de informação. Seja N t o número de notícias no dia t. N t = 1 variação do preço numa quantidade aleatória dada por ε 1,t log P t = log P t 1 + µ + ε 1,t N t = 2 variação do preço numa quantidade aleatória dada por ε 1,t + ε 2,t log P t = log P t 1 + µ + ε 1,t + ε 2,t

87 87 Retorno do activo: r t = µ + N t i=1 ε i,t. Resulta do modelo que a variância de r t dado N t é não constante, pois Var [r t N t ] = N t σ 2 (quanto maior é o número de notícias que chegam ao mercado, maior é a volatilidade) t

88 88 O modelo anterior sugere a especificação u t tem variância condicional σ 2 t Processos Multiplicativos Considere-se e as seguintes hipóteses: r t = µ + u t, u t = σ t ε t. não constante. u t = σ t ε t H1: {ε t } é uma sequência de v.a. i.i.d. com E [ε t ] = 0 e Var [ε t ] = 1; H2: ε t é independente de u t k, k N; H3: σ t é F t 1 mensurável. Calcule-se E [u t F t 1 ] e Var [u t F t 1 ] e conclua: Processos multiplicativos do tipo u t = σ t ε t (H1-H3) são processos heterocedásticos (variância não constante) mas não autocorrelacionados.

89 89 Que função especificar para σ t ou σ 2 t? Volatility clustering: fortes variações são normalmente seguidas de fortes variações em ambos os sentidos Corr ( r 2 t, r2 t 1) > 0 Corr ( u 2 t, u 2 t 1) > 0. Se u 2 t 1 é um valor alto (baixo), u 2 t tenderá também a ser um valor alto (baixo). Faz sentido escrever o seguinte modelo para σ 2 t : σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1, ω > 0, α 1 0. Com efeito, u 2 t 1 é alto σ2 t é alto u 2 t é alto.

90 90 Distribuições de Caudas Pesada Seja u t = σ t ε t sob as hipóteses H1-H3. Admita-se ε t N (0, 1). Tem-se E (u t ) = 0 ( ) Var (u t ) = E u 2 t = E [ σ 2 t ] E ( u 3 t ) = 0 skweness = 0 (Verifique) ) ( k u = E u 4 t ( ) E u 2 2 > 3 [quadro] t Este resultado sugere que um modelo de HC pode ser adequado para modelar retornos...

91 91 Vantagens dos modelos de HC Iremos ver que os modelos de HC permitem: modelar a volatilidade (e as covariâncias condicionais, no caso multivariado); como se sabe, a volatilidade é uma variável fundamental na análise do risco de mercado, na construção de portfolios dinâmicos, na valorização de opções, etc.; estimar de forma mais eficiente os parâmetros definidos na média condicional; estabelecer intervalos de confiança correctos para y. Isto é, se y exibe HC e esta é negligenciada, os intervalos de previsão para y são incorrectos. Observe-se, com efeito, que os intervalos de confiança dependem da variância do erro de previsão e o erro de previsão depende (entre outros aspectos) da variância (condicional) da v.a. residual.

92 Modelo ARCH Considere-se o seguinte modelo y t = µ t + u t, µ t = E (y t F t 1 ) média condicional u t = σ t ε t Assumam-se as hipóteses H1-H3. Definição u t segue um modelo ARCH(q) (ou tem representação ARCH(q)) se u t = σ t ε t σ 2 t = ω + α 1 u 2 t α qu 2 t q, ω > 0, α i 0 É importante constatar que σ 2 t F t 1. Como a vol. exibe forte dependência temporal, raramente se considera q = 1.

93 93 Exercício de simulação: r t = u t, (µ t = 0) u t = σ t ε t, ε t RB Gaussiano com variância 1 σ 2 t = ω + α 1 u 2 t α 8u 2 t 8. Painel (a) ARCH(0) α 1 = α 2 =... = α 8 = 0 Painel (b) ARCH(1) α 1 = 0.8, α 2 =... = α 8 = 0; Painel (c) ARCH(3) α 1 = 0.3, α 2 = 0.3, α 3 = 0.2, α 4 =... = α 8 = 0; Painel (d) ARCH(8) α 1 = 0.2, α 2 =... = α 8 = 0.1

94 94 Panel (a) retornos volatilidade r(t) sigma(t) Panel (b) retornos volatilidade r(t) sigma(t) Panel (c) retornos volatilidade r(t) sigma(t) Panel (d) retornos volatilidade r(t) sigma(t)

95 Dois Primeiros Momentos de u t Como ε t é independente de u t k, k > 0, segue-se que σ 2 t (que é uma função de u t k) é independente de ε t. Prove-se: E (u t ) = 0, ( σ 2 t ) Var (u t ) = E Cov ( ) u t, u t k = 0, k N.

96 Representação AR de um ARCH Existem dependências no segundo momento do processo. A representação autoregressiva do processo ARCH mostra exactamente esse aspecto. Prove-se: u 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + v t, α 1 0. Como E (v t ) = 0 e Cov ( v t, v t k ) = 0 conclui-se u t ARCH(1) u 2 t AR(1). Logo o processo u 2 t é autocorrelacionado (se α 1 > 0) e apresenta as características básicas de um processo AR(1). De igual forma se conclui: u t ARCH(q) u 2 t AR(q).

97 Estacionaridade Segunda Ordem no ARCH(q) Estude-se a ESO de u t. Vimos que E (u t ) e Cov ( u t, u t k ) são finitos e não dependem de t; só falta estudar Var (u t ). O ARCH(1) na sua representação autoregressiva: u 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + v t, α 1 0. Da estrutura autoregressiva resulta que a condição de ESO é 0 α < 1. Se u t é ESO vem ( ) E u 2 ω t = 1 α 1 No caso geral, ARCH(q). Condição de ESO: α 1 + α α q < 1, (α i 0). Neste caso, depois de algumas contas, obtém-se ( ) Var (u t ) = E u 2 ω t = 1 (α 1 + α α q ).

98 98 Observação: Embora a expressão Var [u t F t 1 ] seja variável, Var (u t ) é constante. Assim: u t é condicionalmente heterocedástico (heterocedasticidade condicional) mas em termos não condicionais ou marginais, u t é homocedástico. De forma análoga, também num processo estacionário, a média condicional é variável e a não condicional é constante. Por exemplo, num processo AR(1) estacionário, a média condicional é variável ao longo do tempo e dada por µ t = c + φy t 1 ; no entanto, a média marginal c/ (1 φ) é constante FAC e FACP de um u 2 t e Identificação do Processo ARCH(q) Suponha-se que os quatro primeiros momentos de u são finitos não dependem de t. Vimos u t ARCH(q) u 2 t AR(q). Assim a FAC e a FACP de u2 exibem o comportamento típico de um AR: [completar] ρ k { não se anula se φ kk = se Em particular, tem-se num ARCH(1) ρ k = α k 1, k 1, φ 11 = α e φ kk = 0, k 2.

99 99 Passos para a identificação da ordem q de um processo ARCH(q) 1. Estima-se o modelo y t = µ t + u t supondo σ 2 t constante; 2. Obtêm-se os resíduos û t = y t ˆµ t, t = 1,..., n; 3. Calcula-se û 2 t, t = 1,..., n; 4. Calcula-se a FAC e a FACP de û 2 t e identifica-se a ordem q. Na figura seguinte simulou-se um ARCH(q), n = 5000 observações. Qual a ordem de q? FAC de u^ FACP de u^

100 Características da Distribuição Marginal de u t i.i.d. Suponha-se que ε t N (0, 1). Então a distribuição condicional de u t é N ( 0, σ 2). MAS f (u t ) não é normal! Sabe-se: E (u t ) = 0 ( ) Var (u t ) = E u 2 ω t = 1 (α α q ) E ( u 3 t ) = 0 skweness = 0 ) ( k u = E u 4 t ( ) E u 2 2 > k ε = 3 (já vimos). t f tem caudas de Pareto i.i.d. Podemos obter uma expressão exacta para k u. Suponha-se u t ARCH(1), ε t N (0, 1) e 3α 2 1 < 1. Pode-se mostrar: k u = 3 + 6α α 2 1 > 3 [fazer gráfico]

101 101 Algumas conclusões: Embora {u t } seja um processo não autocorrelacionado, {u t } não é uma sequência de variáveis independentes (basta observar, por exemplo, Cov ( u 2 t u2 t 1) 0 ou que E ( u 2 t Ft 1 ) depende de u 2 t 1 ); Mesmo que u t seja condicionalmente Gaussiano a distribuição marginal não é Gaussiana. Em particular, se u t é condicionalmente Gaussiano então a distribuição marginal é leptocúrtica.

102 Momentos e Distribuição de y Seja y t = µ t + u t, u t = σ t ε t (assumam-se as hipóteses habituais para ε t ). Então [completar]: E (y t F t 1 ) = Var (y t F t 1 ) = Se ε t é Gaussiano então y t F t 1 E (y t ) = Var (y t ) =

103 Volatilidade: Definições A volatilidade condicional no momento t (= σ t ) é uma medida da magnitude das variações (ou flutuações) não explicadas dos preços no momento t, (y t µ t ). No entanto, como µ t 0 podemos dizer que a volatilidade condicional é uma medida da magnitude das variações (ou flutuações) dos preços no momento t. É medida por σ t.um título A pode exibir, comparativamente a um outro título B, maior volatilidade condicional em certos momentos do tempo mas, globalmente A pode ser menos volátil do que B. 4 Retorno A 4 Retorno B t 4 t Qual é o retorno mais volátil?

104 104 Falamos neste caso de volatilidade não condicional que é uma medida da magnitude das variações (ou flutuações) dos preços num hiato de tempo (meses ou anos) (que não são explicadas). Pode ser medida através das estatísticas Var (u t ) = nt=1 û t 2 n ou Var (u t ) = ˆω 1 (ˆα ˆα q ). No exemplo acima, o retorno B apresenta volatilidade constante. Também se pode usar mas ˆσ 2 y Var (u t ). ˆσ 2 y = 1 n (yt ȳ) 2

105 Modelo GARCH Tendo em conta a forte dependência temporal da volatilidade, era usual, nas primeiras aplicações (ainda na década de 80) considerar-se um ARCH de ordem elevada. Um ARCH de ordem elevada levanta problemas de estimação. A melhor solução apareceu com o modelo GARCH. Definição u t segue um modelo GARCH(p,q) se u t = σ t ε t ω > 0, α i 0, β 0. σ 2 t = ω + α 1 u 2 t α qu 2 t q + β 1 σ 2 t β pσ 2 t p Surpreendentemente, o modelo mais simples GARCH(1,1), σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 veio a revelar-se suficiente em muitas aplicações.

106 GARCH(p,q) representa um ARCH( ) Mostrar para o GARCH(1,1) Representação ARMA de um GARCH Mostrar para o GARCH(1,1).

107 107 Concluir: u 2 t ARMA(1, 1). No caso geral pode-se mostrar u t GARCH(p,q) u 2 t ARMA(max {p, q}, p). Por exemplo, u t GARCH(1,2) u 2 t ARMA(2,1) u t GARCH(2,1) u 2 t ARMA(2,2) u t GARCH(2,2) u 2 t ARMA(2,2) Em geral é problemático identificar o GARCH a partir das FAC e FACP de u 2 t. Por duas razões: 1) o GARCH implica uma estrutura ARMA para u 2 t e, como se sabe, no ARMA, nenhuma das funções de autocorrelação (FAC ou FACP) é nula a partir de certa ordem; 2) não existe uma correspondência perfeita entre a estruturas ARMA e GARCH.

108 108 As funções de autocorrelação não são interessantes nesta fase? De forma alguma, por duas razões: 1) se FAC e a FACP de u 2 t não apresentarem coeficientes significativos então 2) a existência de vários coeficientes de autocorrelação e de autocorrelação parcial significativos é indício Como regra geral, não devemos usar o ARCH; o GARCH é preferível. A identificação das ordens p e q do GARCH faz-se na fase da estimação.

109 Estacionaridade de Segunda Ordem num GARCH(p,q) Como se sabe E (u t ) = Cov ( u t, u t k ) = 0, k N. Assim, para discutir a ESO do processo u, basta analisar E ( u 2 t ). Pode-se provar que a condição de ESO é No caso GARCH(1,1): q i=1 α i + p i=1 β i < 1. α 1 + β 1 < 1.

110 Modelo IGARCH Vamos analisar apenas o IGARCH(1,1): σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1, α 1 + β 1 = 1. A designação Integrated GARCH resulta do facto de u 2 t possuir uma raiz unitária: u 2 t = ω + (α 1 + β 1 ) u 2 t 1 β 1v t 1 + v t } {{ } 1 u 2 t = ω + u2 t 1 β 1v t 1 + v t (1 L) u 2 t = ω β 1 v t 1 + v t Nestas condições, u t não é ESO. Durante algum tempo pensou-se que u t seria também não estacionário em sentido estrito. Isso é falso. Pode-se mostrar: 1) a condição necessária e suficiente para que u t seja EE é E [ log ( β1 + α 1 ε 2 t )] < 0; 2) e que esta condição acaba por ser menos exigente que a condição de ESO, α 1 + β 1 < 1.

111 Alterações de Estrutura e o IGARCH Modelos aparentemente IGARCH podem também dever-se a alterações de estrutura (tal como processos aparentemente do tipo y t = y t 1 + u t podem dever-se a alterações de estrutura). Por exemplo, considere-se a seguinte simulação de Monte Carlo: y t = u t, t = 1, 2,..., 1000 u t = σ t ε t σ 2 t = ω + αu2 { t 1 + βσ2 t 1, 0.5 t = 1, 2,..., 500 α = 0.1, β = 0.6, ω = 1.5 t = 501, 502,..., 1000 Este modelo foi simulado 500 vezes. Na figura seguinte representa-se uma das 500 trajectórias simuladas

112 Em cada simulação estimaram-se os parâmetros. Embora o modelo simulado não seja claramente um IGARCH, conclui-se que: em 83% das simulações a soma dos parâmetros ˆα + ˆβ esteve acima de 0.99; em 99.6% das simulações a soma dos parâmetros ˆα + ˆβ esteve acima de 0.95; em todos os casos ˆα + ˆβ esteve acima de 0.9. Assim, num aplicação empírica, se ˆα+ˆβ estiver próximo de um, convém verificar se o modelo subjacente é de facto um IGARCH ou, pelo contrário, se existem alterações de estrutura que causem um falso IGARCH. Neste último caso modelar a alteração de estrutura, por exemplo, através de uma dummy.

113 Modelo GJR-GARCH O modelo GJR-GARCH é devido a Glosten, Jagannathan e Runkle. Leverage Effect (i.e. momentos de maior volatilidade são despoletados por variações negativas nos preços). Vimos a medida (naive) Cov ( y 2 t, y t 1) < 0. Veremos agora uma forma bastante mais eficiente de estimar esse efeito. O modelo ARCH/GARCH apenas detecta o chamado efeito magnitude. Isto é, a volatilidade só responde à magnitude do valor de u t. Em esquema: u 2 t 1 σ2 t (efeito magnitude) Para modelar o efeito assimétrico é necessário que a volatilidade responda assimetricamente ao sinal de u t. Mais precisamente, a volatilidade deve aumentar mais quando u t < 0 ( má notícia ) do que quando u t > 0 ( boa notícia ).

114 114 Modelo GJR-GARCH modela não só o efeito magnitude como também o efeito assimétrico. A especificação mais simples: σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 + γ 1u 2 t 1 I {u t 1 <0}, I {ut 1 <0} = { 1 se ut 1 < 0 0 se u t 1 0. De acordo com o efeito assimétrico devemos esperar γ 1 > 0. Para ensaiar o efeito assimétrico podemos considerar o ensaio H 0 : γ 1 = 0. Pode-se provar que a condição de ESO (no caso em que a distribuição de ε é simétrica) é α 1 + γ 1 /2 + β 1 < 1. Nesta circunstâncias, [ ] Var (u t ) = E σ 2 ω t = 1 (α 1 + γ 1 /2 + β 1 )

115 Modelo de Het. Cond. com Variáveis Explicativas Considere-se um modelo GARCH(1,1) (poderia ser outro modelo qualquer) com variáveis explicativas: y t = µ t + u t u t = σ t ε t σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 + g (x t) onde ω + g : R R + (exigimos que g (x t ) + ω > 0). Que variáveis poderemos considerar para x t? Vejamos alguns exemplos: Dias da semana (ou qualquer outro efeito de calendário): σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 + δ 1S t + δ 2 T t + δ 3 Q a t + δ 5 Q u t onde S t = 1 se t é uma segunda-feira, etc. (deverá ter-se ω + min {δ i } > 0 σ 2 t > 0).

116 116 Ocorrência de factos, notícias significativas. Por exemplo, good t = bad t = σ 2 t = ω + α 1u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 + δ 1good t + δ 2 bad t { 1 t = são divulgados resultados da empresa ABC acima do esperado 0 0 { 1 t = são divulgados resultados da empresa ABC abaixo do esperado 0 0 Variação do preço do crude. Medida de volatilidade de outro activo/mercado. Volume de transacções: σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 + δ 1vol t 1 onde volt 1 = vol t 1 σ ou vol vol t 1 = log (vol t 1) ou volt 1 = vol t 1/vol t 2. Observe-se que o volume pode ser considerado como uma variável proxy da variável não observada chegada de informação. Qualquer outra variável (estacionária) que supostamente afecte a volatilidade.

117 117 Exemplo A literatura dos modelos de taxas de juro (a um factor) sugere que a volatilidade da taxa de juro depende do nível da taxa de juro: r t = c + φr t 1 + u t u t = σ t ε t σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + βσ2 t 1 + γr t 1. O ensaio H 0 : γ = 0 vs. H 1 : γ > 0 permite analisar se a nível da taxa de juro influencia positivamente a volatilidade. Geralmente conclui-se γ > 0. A figura sugere (claramente) γ > Jan 54 May 56 Sep 58 Jan 61 May 63 Sep 65 Jan 68 May 70 Sep 72 Jan 75 May 77 Sep 79 Jan 82 May 84 Sep 86 Jan 89 May 91 Sep 93 Jan 96 May 98 Sep 00 Jan 03 May 05 Taxa de Juro (Bilhetes do Tesouro a 3 meses -EUA)

118 Estimação Considere-se y t = µ t (θ) + u t u t = σ t (θ) ε t, ε t D (0, 1) A v.a. ε t tem distribuição conhecida D (normal, t-student ou outra) de média zero e variância um. Por exemplo, y t = γ 0 + γ 1 x t + φ 1 y t 1 + u t u t = σ t ε t, ε t N (0, 1) σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 + δseg t θ = (γ 0, γ 1, φ 1, ω α 1, β 1, δ)

119 Estimador de Máxima Verosimilhança O estimador de máxima verosimilhança é ˆθ n = arg max θ n t=1 log f (y t I t ; θ), I t = {y t 1, y t 2,...; x t, x t 1,...}. Escreva-se log f (y t I t ; θ) no caso ε t i.i.d N (0, 1). Pode-se mostrar: n (ˆθn θ 0 ) d N ( 0, I (θ 0 ) 1) onde I (θ 0 ) = A (θ 0 ) = B (θ 0 ) é a matriz de informação de Fisher e ( 2 ) ( l t (θ) lt (θ) l t (θ) A (θ) = E θ θ, B (θ) = E θ θ ) Ver EVIEWS

120 Estimador de Pseudo (ou Quase) Máxima Verosimilhança Na prática, a distribuição de ε t não é conhecida. Podemos ainda assim supor, por exemplo, ε t N (0, 1) ou ε t t (n)? A resposta é afirmativa. Suponhamos que a verdadeira mas desconhecida fdp condicional de y é f. O estimador de máxima verosimilhança ˆθ n = arg max θ n t=1 log f (y t I t ; θ) não pode ser implementado, pois a função f é desconhecida. O estimador de pseudo máxima verosimilhança usa como pseudo verdadeira fdp a função h (que na generalidade dos casos é diferente de f), ˆθ pmv n = arg max θ n t=1 log h (y t I t ; θ).

121 121 Sob certas condições, mesmo que h f, o estimador de pseudo máxima verosimilhança apresenta boas propriedades. As condições são: h pertence à família das densidades exponenciais quadráticas (a normal e a t-student, entre muitas outras distribuições, pertencem a esta família); a média condicional está bem especificada; a variância condicional está bem especificada. Pode-se provar, sob estas condições: ˆθ pmv n p θ 0 (ˆθpmv ) d n n θ 0 N ( 0, A (θ 0 ) 1 B (θ 0 ) A (θ 0 ) 1) Se, por acaso, a função h é a própria função f, i.e., f = h, então o estimador de pseudo máxima verosimilhança é o estimador de máxima verosimilhança e A (θ 0 ) = B (θ 0 ).

122 122 ˆθ pmv n Em suma, mesmo que a distribuição de ε t não seja conhecida podemos supor, por exemplo, ε t N (0, 1) (ou ε t D tal que a densidade h satisfaça as condições estabelecidas), porque é ainda assim um estimador consistente (embora não assimptoticamente eficiente) e tem distribuição assimptótica normal. O único cuidado adicional é tomar como matriz de variâncias-covariâncias (assimptótica) a expressão A (θ 0 ) 1 B (θ 0 ) A (θ 0 ) 1 e não I (θ 0 ) 1. Como fazer isto no EVIEWS? Basta escolher a opção heteroskedasticity consistent covariance (Bollerslev-Wooldrige) no menu options da estimação. Esta opção convém estar sempre activa.

123 Método da Máxima Verosimilhança Revisitado: Distribuições Não Normais No âmbito do método da máxima (ou da pseudo máxima) verosimilhança, normalmente assume-se ε t N (0, 1). Contudo, verifica-se habitualmente que os resíduos estandardizados, ˆε = û t /ˆσ t apresentam um valor de kurtosis quase sempre acima do valor 3, i.e., kˆε > 3. Este resultado é, até certo ponto, inesperado. Porquê? Também a distribuição condicional u t F t 1 (e não só a marginal) é leptocúrtica. Já vimos uma forma de lidar com este problema: basta tomar o estimador de pseudo máxima verosimilhança. Uma alternativa consiste em formular uma distribuição leptocúrtica para ε t tal que E [ε t ] = 0 e Var [ε t ] = 1.

124 124 Hipótese: ε t t-student(v) Estima-se também v, n o de graus de liberdade. Se ˆv é baixo (abaixo de 10) evidência de caudas pesadas para a dist. condicional kurtosis Kurosis k ε = v 4 graus de liberdade

125 125 EVIEWS: Escreva as equações que definem o modelo.

126 126 Output: Dependent Variable: R Method: ML ARCH (Marquardt) Student's t distribution Sample: 6/06/1995 5/02/2010 Included observations: 3689 Variable Coefficient Std. Error z Statistic Prob. C R( 1) MONTH= Variance Equation C RESID( 1)^ RESID( 1)^2*(RESID( 1)<0) GARCH( 1) HIGH( 1) LOW( 1) T DIST. DOF R squared Mean dependent var Adjusted R squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan Quinn criter F statistic Durbin Watson stat Prob(F statistic)

127 Ensaios Estatísticos Há basicamente dois momentos de interesse na realização de ensaios estatísticos. Num primeiro momento, interessa verificar se existe evidência do efeito ARCH. Posteriormente, depois da estimação, haverá que analisar a adequabilidade do modelo estimado.

128 Ensaios Pré-Estimação ARCH Teste ARCH (teste multiplicador de Lagrange) Considere-se y t = µ t + u t u t = σ t ε σ 2 t = ω + α 1 u 2 t α qu 2 t q. Existe efeito ARCH se pelo menos um parâmetro α i for diferente de zero. Se todos forem zero, não existe efeito ARCH. Pode-se provar, sob a hipótese H 0 : α 1 = α 2 =... = α q = 0 que nr 2 d χ 2 (q) onde R 2 é o coeficiente de determinação da regressão de û 2 t sobre as variáveis [ 1 û 2 t 1... û 2 t q ].

129 129 Para a realização do teste os passos são: 1. Estima-se o modelo y t = µ t + u t supondo σ 2 t = σ2 constante; 2. Obtêm-se os resíduos û t = y t ˆµ t, t = 1,..., n; 3. regressão OLS de û 2 t sobre [ 1 û 2 t 1... ] û2 t q ; 4. obtenção de R 2 da equação anterior e cálculo do valor-p

130 130 FAC de û 2 t Como se viu, a existência de um processo GARCH implica a correlação das variáveis u 2 t e u 2 t k. O teste Ljung-Box é assimptoticamente equivalente ao teste ARCH. A sua hipótese (û2 ) (û2 ) (û2 ) nula é H 0 : ρ 1 t =... = ρm t = 0, sendo ρi t o coeficiente de autocorrelação entre û 2 t e û2 t i. Q = n (n + 2) m i=1 1 n iˆρ2 i (û2 t ) d χ 2 (m k) onde k é o número de parâmetros estimados. Evidência contra a hipótese nula sugere a existência de um efeito ARCH.

131 131 EVIEWS Heteroskedasticity Test: ARCH F statistic Prob. F(10,3668) Obs*R squared Prob. Chi Square(10) Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 21/02/10 Time: 23:59 Sample (adjusted): 20/06/1995 5/02/2010 Included observations: 3679 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t Statistic Prob. Dependent Variable: R Method: Least Squares Sample: 6/06/1995 5/02/2010 Included observations: 3689 Variable Coefficient Std. Error t Statistic Prob. C R( 1) MONTH= R squared Mean dependent var Adjusted R squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan Quinn criter F statistic Durbin Watson stat Prob(F statistic) C RESID^2( 1) RESID^2( 2) RESID^2( 3) RESID^2( 4) RESID^2( 5) RESID^2( 6) RESID^2( 7) RESID^2( 8) RESID^2( 9) RESID^2( 10) R squared Mean dependent var Adjusted R squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan Quinn criter F statistic Durbin Watson stat Prob(F statistic) O teste Ljung-Box corrobora as conclusões do teste ARCH:

132 132

133 Ensaios Pós-Estimação Depois do modelo estimado (pelo método da máxima (ou da pseudo) verosimilhança) há interesse em testar determinada suposição envolvendo os parâmetros ou em analisar a adequabilidade do modelo. Teste de Wald O teste de Wald baseia-se no resultado conhecido: ) d n (ˆθn θ 0 N (0, V 0 ). Permite analisar: 1) a significância das estimativas; 2) hipóteses envolvendo vários parâmetros e combinações lineares entre eles. Ver EVIEWS

134 134 Testes de Diagnóstico O modelo em análise é y t = µ t + u t, u t = σ t ε t e as hipóteses são: {ε t } é um processo diferença de martingala ou ruído branco e {ε t } é um processo homocedástico. Nestas circunstância, se o modelo está bem especificado, deve ter-se: {ε t } deve ser não autocorrelacionado e {ε t } deve ser condicionalmente homocedástico. Assim, se (a) y é, por exemplo, um ARMA e a média condicional não captar esta estrutura, os processos {u t } e {ε t } exibirão autocorrelação; (b) de igual forma, se y segue um GARCH e a variância condicional não captar esta estrutura ε 2 t = u2 t /σ2 t exibirá autocorrelação; (c) finalmente, se ε segue uma distribuição leptocúrtica então kˆε > 3. Para analisar (a), (b) e (c) devemos: 1. estimar um modelo ARMAX+GARCH; 2. obter os resíduos û t ; 3. obter os resíduos estandardizados ˆε t = û t /ˆσ t ;

135 135 Análise da questão (a). Efectuar o teste Ljung-Box tomando como hipótese nula, H 0 : ρ 1 (ˆε t ) =... = ρ m (ˆε t ) = 0 (ρ i (ˆε t ) é o coeficiente de autocorrelação entre ˆε t e ˆε t i ) e estatística de teste Q = n (n + 2) m i=1 1 n iˆρ2 i (ˆε t) d χ 2 (m k) onde k é o número de parâmetros estimados. Evidência contra a hipótese nula sugere que ˆε t é autocorrelacionado. Neste caso é necessário rever a especificação da média condicional. Análise da questão (b). Efectuar o teste Ljung-Box tomando como hipótese nula, H 0 : ρ 1 (ˆε 2 t ) =... = ρm (ˆε 2 t ) = 0 (ρi (ˆε 2 t ) é o coeficiente de autocorrelação entre ˆε 2 t e ˆε 2 t i ) e estatística de teste Q = n (n + 2) m i=1 1 n iˆρ2 i (ˆε 2 t ) d χ 2 (m k) onde k é o número de parâmetros estimados. Evidência contra a hipótese nula sugere que ˆε 2 t é autocorrelacionado. Neste caso é necessário rever a especificação da variância condicional.

136 Previsão Suponha-se que y segue um modelo do tipo ARMA+GARCH. Temos {y 1, y 2,..., y n } e procura-se: prever y n+1, y n+2,...; estabelecer ICs para y n+1, y n+2,...; prever σ 2 n+1, σ2 n+2,...; estabelecer ICs para σ 2 n+1, σ2 n+2,...;

137 Previsão da Variância Condicional Previsor com EQM mínimo para σ 2 n+h (dada a informação em F n): ( ) E σ 2 n+h Fn. ( ) ( Note-se que E u 2 n+h Fn = E σ 2 n+h ε 2 ) ( ) n+h F n = E σ 2 n+h Fn. Para facilitar a notação considere-se σ 2 n+h,n := E ( σ 2 n+h Fn ). Vejam-se os exemplos seguintes.

138 138 Modelo GARCH(1,1) σ 2 t = ω + α 1u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 h = 1 h = 2 h geral σ 2 n+1,n =... = ω + α 1u 2 n + β 1 σ 2 n σ 2 n+2,n =... = ω + (α 1 + β 1 ) σ 2 n+1,n σ 2 n+h,n =... = ω + (α 1 + β 1 ) σ 2 n+h 1,n Pode-se provar, sob a condição 0 α 1 + β 1 < 1: σ 2 n+h,n = ω ( 1 (α 1 + β 1 ) h + (α 1 + β 1 ) h 1 1 α 1 β 1 ) ( α1 u 2 n + β 1 σ 2 ) n. Assim, no caso α 1 + β 1 < 1, tem-se σ 2 n+h,n ω = Var (u t ) (quando h ). 1 α 1 β 1 No caso α 1 + β 1 = 1 (IGARCH(1,1)) vem σ 2 n+h,n = σ2 n+1,n, se ω = 0 σ 2 n+h,n, se ω > 0 (quando h ).

139 A Previsão da Variável Dependente y A previsão pontual de y n+h não envolve qualquer novidade... Todavia, a estimação por intervalos deve agora reflectir a presença de HC. IC a (1 α) 100% para y n+h : E ( y n+h F n ) ± q1 α/2 Var ( y n+h F n ) Supondo normalidade, o IC a 95% para y n+h é E ( y n+h F n ) ± 1.96 Var ( y n+h F n ). Infelizmente esta expressão só pode ser usada para h = 1. Veremos um procedimento de bootstrap que permite obter IC correctos para y n+h, com h finito. No limite, quando h, o IC a (1 α) 100% para a previsão de longo prazo é E (y) ± ζ 1 α/2 Var (y)

140 140 Exemplo Considere-se o modelo AR(1)+GARCH(1,1) y t = c + φy t 1 + u t, σ 2 t = ω + α 1 u 2 t 1 + β 1σ 2 t 1. Sabendo u t F t 1 N ( 0, σ 2 ) t, obtenha então um IC a 95% para yn+1.

141 141 Exemplo Obtenha um IC a 95% para r n+1 tendo em conta os seguintes resultados: Dependent Variable: R Method: ML ARCH (Marquardt) Normal distribution Date: 05/03/10 Time: 17:46 Sample: 6/06/1995 5/02/2010 Included observations: 3689 Variable Coefficient Std. Error z Statistic Prob. C R( 1) Variance Equation C RESID( 1)^ RESID( 1)^2*(RESID( 1)<0) GARCH( 1) HIGH( 1) LOW( 1)

142 Intervalos de Confiança para y e para a Volatilidade baseados em Boostrap Vimos até agora as seguintes questões: intervalos de confiança para y n+1 ; previsão de σ 2 t para os períodos n + 1, n + 2,...; Estas questões são relativamente simples tratar. Já a obtenção de intervalos de confiança para y n+h, h > 1 e para σ 2 n+h, h 1 é problemática, pois não são conhecidas as distribuições de interesse. Estas questões resolvem-se de forma muito satisfatória recorrendo ao bootstrap. Para exemplificar considere-se o modelo y t = c + φy t 1 + u t u t = σ t ε t σ 2 t = ω + αu2 t 1 + βσ2 t 1. (1) onde ε tem distribuição desconhecida de média nula e variância um. O algoritmo é o seguinte:

143 Estimar o modelo (1) e obter {ˆε t, t = 1,..., n}, onde ˆε t = ût ˆσ t ˆσ 2 ˆω = ˆµ = ĉ 1 ˆα ˆβ, 1 ˆφ ˆθ = ( ĉ, ˆφ, ˆω, ˆα, ˆβ) 2. Simular o modelo yt = ĉ + ˆφy t 1 + u t u t = σ t ε t σ 2 t = ˆω + ˆαu 2 t 1 + ˆβσ 2 t 1 com os seguintes valores iniciais: σ 2 0 = ˆσ2 e y0 = ˆµ. Os valores de ε t aleatoriamente com reposição do conjunto {ˆε 1,..., ˆε n }. (2) são retirados

144 Estimar o modelo (2) e obter as seguintes previsões: yn+h = ĉ + ˆφ y n+h 1 ˆσ 2 n+h = ˆω + ˆα u 2 n+h 1 + ˆβ ˆσ 2 n+h 1 Note-se que ˆθ = ( ĉ, ˆφ, ˆω, ˆα, ˆβ ) é o vector das estimativas obtidas no contexto do modelo simulado (2). 4. Repetir os passos 2 e 3 B vezes. Com este procedimento obtêm-se as seguintes séries: { { y (1) 2 (1) ˆσ n+j, y (2) n+j n+j, ˆσ 2 (2) n+j,..., y (B) n+j,..., ˆσ } } 2 (B) n+j, j = 1,..., h,, j = 1,..., h. 5. Um intervalo de previsão a (1 α) 100% para y n+j é [qα2, q 1 α2 ] onde qα 2 e q 1 α 2 são os quantis empíricos da amostra { y (1) n+j, y (2) n+j,..., y (B) n+j }.

145 Um intervalo de previsão a (1 α) 100% para σ 2 n+j é [ q σ 2 α 2 ], q1 σ 2 α 2 onde agora qα 2 e q 1 α 2 são os quantis empíricos da amostra { 2 (1) ˆσ n+j, ˆσ 2 (2) n+j,..., ˆσ } 2 (B) n+j.

146 5 Modelação da Heterocedasticidade Condicionada: Caso Multivariado Introdução Estimação multivariada: relevante na selecção de portfolios, da gestão do risco, etc. estimação dos co-movimentos de rendibilidade e volatilidade. Por exemplo, como se transmite a volatilidade de um mercado aos demais mercados? qual a magnitude do impacto da volatilidade de um mercado sobre outro? Para tratar estas questões vai considerar-se um modelo genérico, envolvendo m equações: y 1t = µ 1t + u 1t,... y mt = µ mt + u mt

147 147 Notação mais compacta: y t = y 1t. y mt, µ t = µ 1t. µ mt, u t = u 1t. u mt. Assim y t = µ t + u t. Modelo para µ t. Por exemplo VAR(1), m = 2 : ( y1t y 2t ) ) ( ) y1,t 1 + y 2,t 1 }{{} µ t ( φ11 φ = 12 0 φ 22 ( u1t u 2t )

148 148 Modelo de heterocedasticidade condicional multivariado: u t = H 1/2 t ε t ε t vector de v.a. i.i.d. (condicionalmente homocedástico) tal que E (ε t ) = 0, Var (ε t ) = I m. H t é uma matriz quadrada de ordem m, simétrica, definida positiva e F t 1 mensurável. H 1/2 t é uma matriz quadrada ordem m tal que H 1/2 ( t H 1/2 t ) = Ht. Dadas as hipóteses, tem-se Var (y t F t 1 ) =... = H t

149 Densidade e Verosimilhança Assuma-se normalidade dos erros: ε t N (0, I m ). Tem-se: ε t N (0, I m ) u t F t 1 N (0, H t ) y t F t 1 N (µ t, H t ). Assim, a densidade conjunta condicional de y t é f (y t F t 1 ) = (2π) m/2 H t 1/2 exp A função log-verosimilhança é então log L n (θ) = n t=1 log f (y t F t 1 ) =... = nm 2 log (2π) n t=1 { 1 } 2 (y t µ t ) H 1 t (y t µ t ). n t=1 log H t (θ) (y t µ t (θ)) H 1 t (θ) (y t µ t (θ)). É necessário definir uma hipótese sobre a estrutura de µ t e de H t.

150 Modelo VECH (ou VEC) Modelo VECH (ou VEC) GARCH(1,1): vech (H t ) = w + A 1 vech ( u t 1 u t 1) + B1 vech (H t 1 ). No caso m = 2 (processo bivariado) e GARCH(1,1): vech (H t ) = + h 11,t h 12,t h 22,t = w 11 w 12 w 22 β 11 β 12 β 13 β 21 β 22 β 23 β 31 β 32 β 33 + α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 h 11,t 1 h 12,t 1 h 22,t 1. u 2 1,t 1 u 1,t 1 u 2,t 1 u 2 2,t 1 Por exemplo, h 12,t = E (u 1t u 2t F t 1 ) = w 12 + α 21 u 2 1,t 1 + α 23u 2 2,t 1 +α 22 u 1,t 1 u 2,t 1 + β 21 h 11,t 1 + β 22 h 12,t 1 + β 23 h 22,t 1

151 151 Correlações condicionais: ρ ij,t = h ij,t hii,t h jj,t, i, j = 1,..., m. {u t } é ESO se todos os valores próprios de A + B forem em módulo menores do que um. Nestas condições: E ( vech ( ut u t)) = E (vech (H t )) = (I A 1 B 1 ) 1 w.

152 152 Vantagem do modelo VEC: grande flexibilidade, todos os elementos de H t dependam de todos os produtos cruzados de vech ( u t 1 u t 1) e de todos os elementos de Ht 1. Desvantagens (superam largamente as suas vantagens): O número de parâmetros a estimar é excessivamente alto. No GARCH(1,1) multivariado com m equações, o número de parâmetros a estimar é m (m (m + 1) /2) (1 + (m (m + 1))) Por definição a matriz H t deve ser definida positiva, mas não é fácil garantir isso a partir das matrizes A 1 e B 1. Se H t não é definida positiva, é possível, por exemplo, que ρ ij,t > 1 ou h t,ii < 0.

153 153 Exemplo Existem efeitos de rendimento e de volatilidade do PSI20 que possam ser antecipados através do Dow Jones (DJ)? Seja y 1t e y 2t o retorno diário associado, respectivamente, aos índices, PSI20 e DJ. As variáveis y 1t e y 2t foram previamente centradas (razão?). Depois de vários ensaios, definiu-se o seguinte modelo onde vech (H t ) = ( y1t + y 2t ) h 11,t h 12,t h 22,t = ( φ11 φ 12 0 φ 22 = β β w 22 + ) ( y1,t 1 h 11,t 1 h 12,t 1 h 22,t 1 y 2,t 1 ) α 11 0 α α H 1/2 t ε t γvol t u 2 1,t 1 u 1,t 1 u 2,t 1 u 2 2,t 1.

154 154 Usando os dados no período 31/12/92 a 15/03/99 (1496 observações) obteve-se, ŷ 1t =.2343 (.028) y 1t (.023) y 2t 1, ŷ 2t =.0753 (.023) y 2t 1 ĥ 1t = (.0466)û t 1 + (.0151)û t ĥ 1t vol t 1 (.0459) (.0062) ĥ 2t = ( ) + (.0195)û t ĥ 2t 1, h 12,t = 0. (.0227) Escreva  1 e ˆB 1 e analise os resultados.

155 Modelo Diagonal VECH Podem obter-se modelos VECH com menos parâmetros impondo que as matrizes A 1 e B 1 sejam diagonais. Por exemplo, no caso m = 2, vem vech (H t ) = + h 11,t h 12,t h 22,t = w 11 w 12 w 22 β β β 33 + α α α 33 h 11,t 1 h 12,t 1 h 22,t 1 u 2 1,t 1 u 1,t 1 u 2,t 1 u 2 2,t 1 (este princípio aplica-se naturalmente no caso de modelos multivariados GARCH(p,q)).

156 156 Com matrizes A 1 e B 1 diagonais pode optar por escrever o modelo diagonal VECH na forma equivalente H t = ω + a 1 u t 1 u t 1 + b 1 H t 1 onde ω, a 1 e b 1 são matrizes simétricas de tipo m m e é o produto de Hadamard. Por exemplo, no caso m = 2, o modelo anterior escreve-se ( h11,t h 12,t h 12,t h 22,t ) = ( w11 w 12 w 12 w 22 ( b11 b 12 b 12 b 22 ) ) ) ( u 2 1,t 1 ( a11 a + 12 a 12 a 22 u 1,t 1 u 2,t 1 ( ) h11,t 1 h 12,t 1 h 12,t 1 h 22,t 1 onde a 11 = α 11, a 12 = α 22, a 22 = α 33, etc. Note-se, portanto, que u 1,t 1 u 2,t 1 u 2 2,t 1 ) + h 11,t = ω 11 + a 11 u 2 1,t 1 + b 11h 11,t 1 h 12,t = ω 12 + a 12 u 1,t 1 u 2,t 1 + b 12 h 12,t 1 h 22,t = ω 22 + a 22 u 2 2,t 1 + b 22h 22,t 1.

157 157 A vantagem do modelo: menos parâmetros a estimar 3m (m + 1) /2. Desvantagem: Considere-se o caso m = 2 e GARCH(1,1). h ii,t só depende dos termos u 2 i,t 1 e h ii,t 1, e h 12,t só depende dos termos u 1,t 1 u 2,t 1 e h 12,t 1, A especificação Diagonal VECH elimina a possibilidade de interacção entre as diferentes variâncias e covariâncias condicionais. Por outro lado, a matriz H t, por construção, não resulta definida positiva. Há várias formas de ultrapassar este último problema. Por exemplo: H t = ω 1 ( ω 1 ) + ã 1 (ã 1 ) u t 1 u t 1 + b 1 ( b 1 ) Ht 1 com ω = ω 1 ( ω 1 ), a 1 = ã 1 (ã 1 ) e b 1 = b 1 ( b1 ) e ω1, ã 1 e b 1 são matrizes quadradas de ordem m. As matrizes ω, a 1 e b 1 assim construídas implicam uma matriz H t definida positiva. Ver EVIEWS

158 158 Um modelo ainda mais restritivo (mas que é usado com algum sucesso na modelação de sistemas com muitas equações) foi desenvolvido pela J.P. Morgan (1996): h 11,t h 12,t h 22,t = 1 λ λ λ u 2 1,t 1 u 1,t 1 u 2,t 1 u 2 2,t 1 + λ λ λ h 11,t 1 h 12,t 1 h 22,t 1 Existe uma redução dramática do número de parâmetros a estimar (passamos para apenas 1, qualquer que seja o número de equações do modelo)..

159 Modelo Triangular Introdução e Formalização do Modelo Em certas aplicações é admissível supor: ( E y1t F y 1 t 1 ( Fy 2 t 1) = E y1t F y ) 1 t 1 Var ( y 1t F y 1 t 1 ) ( Fy 2 t 1 = Var y1t F y 1 t 1 ) (*) A equação (*) implica que y 2 não causa à Granger y 1. Exemplo: y 1t é o retorno do NASDAQ e y 2t é o retorno do PSI20. Para processos y 1 e y 2 com as características acima descritas, é possível definirem-se processos multivariados simplificados.

160 160 Considere-se o processo y = (y 1, y 2, y 3 ) e suponham-se as seguintes relações: y 1 y 2 y 3 onde y 1 y 2 significa y 1 influencia y 2 dado F y 2 t 1 e y 2 não influencia y 1 dado F y 1 t 1. Suponha-se y VAR(1). Tem-se: y 1t y 2t y 3t = c 1 c 2 c 3 + φ φ 21 φ 22 0 φ 31 φ 32 φ 33 y 1,t 1 y 2,t 1 y 3,t 1 + u 1t u 2t u 3t. A matriz dos coeficientes autoregressivos é triangular, porque na média condicional y 1,t apenas depende de y 1,t 1, y 2t depende de y 1,t 1 e y 2,t 1 e y 3t depende de y 1,t 1, y 2,t 1 e y 3,t 1.

161 161 Estrutura de dependências do segundo momento condicional: onde: u 1t = e 1t u 2t = ae 1t + e 2t u 3t = be 1t + ce 2t + e 3t (e 1t, e 2t, e 3t ) são independentes entre si; u 1t u 2t u }{{ 3t } u t e it F t 1 N ( 0, σ 2 it), σ 2 it = ω i + α i e 2 i,t 1 + β iσ 2 i,t 1. = a 1 0 b c 1 e 1t e 2t } e {{}}{{ 3t Ψ e t } u 2t depende de e 2t (efeitos idiossincrásicos) e ainda dos choques e 1t (volatility spillover). u 3t depende de e 3t (efeitos idiossincrásicos) e ainda dos choques e 1t e e 2t. A designação modelo triangular é agora óbvia: sendo Φ e Ψ matrizes triangulares inferiores. y t = c + Φy t 1 + Ψe t

162 162 Dadas as hipótese sobre o vector e t, defina-se Logo, Σ t := Var (e t F t 1 ) = σ 2 1,t σ 2 2,t σ 2 3,t. H t = Var (u t F t 1 ) = Var (Ψe t F t 1 ) = Ψ Var (e t F t 1 ) Ψ = ΨΣ t Ψ. Pode-se provar que a condição de ESO do processo {u t } é α i + β i < 1, i = 1, 2, 3. H t como função dos termos u t 1 u t 1 e H t 1 H t =... = ΨWΨ + Ψ ( A Ψ 1 u t 1 u ( t 1 Ψ 1 ) ) ( Ψ +Ψ B Ψ 1 ( H t 1 Ψ 1 ) ) Ψ. Resulta, por exemplo, que h 22,t = a 2 ω 1 + ω 2 + a 2 (α 1 + α 2 ) u 2 1,t 1 2aα 2 u 1,t 1 u 2,t 1 + a 2 (β 1 + β 2 ) h 11,t 1 2aβ 2 h 12,t 1 + β 2 h 22,t 1

163 163 H t como função de σ 2 1,t, σ2 2,t e σ2 3,t Resulta: H t = ΨΣ t Ψ = = a 1 0 b c 1 σ 2 1,t σ 2 2,t σ 2 3,t 1 a b 0 1 c σ 2 1,t aσ 2 1,t bσ 2 1,t aσ 2 1,t a 2 σ 2 1,t + σ2 2,t abσ 2 1,t + cσ2 2,t bσ 2 1,t abσ 2 1,t + cσ2 2,t b 2 σ 2 1,t + c2 σ 2 2,t + σ2 3,t. h 11,t = Var (y 1t F t 1 ) = Var (u 1t F t 1 ) = σ 2 1,t h 22,t = Var (y 2t F t 1 ) = Var (u 2t F t 1 ) = a 2 σ 2 1,t + σ2 2,t h 33,t = Var (y 3t F t 1 ) = Var (u 3t F t 1 ) = b 2 σ 2 1,t + c2 σ 2 2,t + σ2 3,t h 12,t = Cov (y 1t, y 2t F t 1 ) = aσ 2 1,t h 13,t = Cov (y 1t, y 3t F t 1 ) = bσ 2 1,t h 23,t = Cov (y 2t, y 3t F t 1 ) = abσ 2 1,t + cσ2 2,t

164 164 Coeficientes de correlação condicionados: ρ 12,t = aσ 2 1,t σ 2 1,t a 2 σ 2 1,t + σ2 2,t = aσ 1,t a 2 σ 2 1,t + σ2 2,t ρ 13,t = bσ 2 1,t σ 2 1,t b 2 σ 2 1,t + c2 σ 2 2,t + σ2 3,t = bσ 1,t b 2 σ 2 1,t + c2 σ 2 2,t + σ2 3,t ρ 23,t = abσ 2 1,t + cσ2 2,t a 2 σ 2 1,t + σ2 2,t b 2 σ 2 1,t + c2 σ 2 2,t + 3,t. σ2 Os sinais dos coeficientes a, b e c são decisivos nos sinais dos coeficientes de correlação condicionados.

165 165 Rácios de Variância e Transmissão da Volatilidade ao longo do Tempo Análise do mercado 2 Tendo em conta tem-se a 2 σ 2 1,t + σ2 2,t h 22,t = 1 RV 1,2 t = a2 σ 2 1t h 22,t, RV 2,2 t = σ2 2,t h 22,t = 1 a2 σ 2 1t h 22,t a proporção da variância do mercado 2 que é causada pelo efeito de volatility spillover do mercado 1 (efeito do mercado 1 para 2). RVt 1,2

166 166 Análise do mercado 3 Tendo em conta tem-se b 2 σ 2 1,t + c2 σ 2 2,t + σ2 3,t h 33,t = 1 RV 1,3 t = b2 σ 2 1t h 33,t, RV 2,3 t = c2 σ 2 2t h 33,t, RV 3,3 t = 1 b2 σ 2 1t h 33,t c2 σ 2 2t h 33,t.

167 Estimação Considere a representação y t = c + Φy t 1 + Ψe t, isto é, y 1t = c 1 + φ 11 y 1,t 1 + e 1t (1) y 2t = c 2 + φ 21 y 1,t 1 + φ 22 y 2,t 1 + ae 1t + e 2t (2) y 3t = c 3 + φ 31 y 1,t 1 + φ 32 y 2,t 1 + φ 33 y 3,t 1 + be 1t + ce 2t + e 3t (3) onde e it F t 1 N ( 0, σ 2 it), σ 2 it = ω i + α i e 2 i,t 1 + β iσ 2 i,t 1. Passos: 1. Estimar a eq. (1), pelo método da máxima verosimilhança, e obter os resíduos {ê 1t }. 2. Substituir, na eq. (2), e 1t por ê 1t e estimar o modelo. Obter os resíduos {ê 2t }. 3. Substituir, na eq. (3), e 1t por ê 1t e e 2t por ê 2t e estimar o modelo.

168 Exemplo Pinto (2010) analisou a transmissão de volatilidade do mercado Norte-Americano (US) para o mercado Europeu (EU) e, em particular, as repercussões destes dois mercados no mercado Português (PT), através de um modelo triangular. Período: 4 de Janeiro de de Setembro de r 1t - retorno do SP500, r 2t - retorno do DJ Euro 50, r 3t - retorno do PSI 20. Passo 1 Dependent Variable: R1 Method: ML ARCH Sample (adjusted): 6/01/1993 4/09/2009 Included observations: 4055 after adjustments Variable Coefficient Std. Error z Statistic Prob. C R1( 1) Variance Equation C RESID( 1)^ GARCH( 1)

169 169 Passo 2 Dependent Variable: R2 Method: ML ARCH Sample (adjusted): 6/01/1993 4/09/2009 Included observations: 4055 after adjustments Variable Coefficient Std. Error z Statistic Prob. C R1( 1) R2( 1) RES Variance Equation C RESID( 1)^ GARCH( 1) Passo 3 Dependent Variable: R3 Method: ML ARCH Sample (adjusted): 6/01/1993 4/09/2009 Included observations: 4055 after adjustments Variable Coefficient Std. Error z Statistic Prob. C R1( 1) R2( 1) R3( 1) RES RES Variance Equation C RESID( 1)^ GARCH( 1)

170 170 Discutir: Efeitos de volatility spillover do mercado US para o mercado EU? Efeitos de volatility spillover dos mercado US e EU para o mercado PT? PT EU PT US EU US Coeficientes de Correlação Condicional

171 171 Transmissão da volatilidade dos mercados EU e US para o mercado PT através dos rácios de volatilidade. São considerados os seguintes rácios RV _US t = RV 1,3 t = ˆb 2ˆσ 2 1t ĥ 33,t, RV _EU t = RVt 2,3 = ĉ2ˆσ 2 2t, ĥ 33,t RV _P T t = 1 RV _US t RV _EU t RV_EU RV_PT RV_US Rácios de Volatilidade

172 Testes de Diagnóstico A hipótese de partida é u t = H 1/2 t ε t onde ε t N (0, I m ). Se o modelo estiver correctamente especificado, {ε t } deve ser uma sucessão de vectores i.i.d., com matriz de variânciascovariâcias (contemporânea) dada por I m. Naturalmente que ε t é desconhecido, mas pode ser estimado da seguinte forma ˆε t = Ĥ 1/2 t û t. ˆε t é o vector dos resíduos estandardizados (e û t é o vector dos resíduos). A matriz Ĥ 1/2 t pode obter-se a partir da decomposição Cholesky. Por exemplo, considere-se um sistema de duas equações (m = 2) [ ] [ σ 2 H t = 1t σ 12,t σ = 2 ] 1t ρ t σ 1t σ 2t. σ 12,t ρ t σ 1t σ 2t A decomposição de Cholesky fornece Ĥ 1/2 t = σ 2 2t [ σ1t 0 ρ t σ 2t σ 2t 1 ρ 2 t ] σ 2 2t.

173 173 Assim, Ĥ 1/2 t = 1 σ 0 1t ρ t. σ 1t 1 ρ 2 t σ 2t 1 1 ρ 2 t e [ ˆε1t ˆε 2t ] = 1 ˆσ 0 1t ˆρ t ˆσ 1t 1 ˆρ 2 t ˆσ 2t 1 1 ρ 2 t [ û1t û 2t ] = û 2t ˆσ 2t 1 ˆρ 2 t û 1t ˆσ 1t û1tˆρ t ˆσ 1t 1 ˆρ 2 t. Para avaliar se os efeitos de heterocedasticidades estão convenientemente modelados: sobre as seguintes variáveis (para além de um termo con- Primeiro passo: regressão de ˆε 2 1t stante): resíduos quadráticos ˆε 2 i,t k, com i = 1,..., m e k = 1,..., L (L desfasamentos) e termos cruzados ˆε i,t kˆε j,t k, com i, j = 1,..., m e k = 1,..., L.

174 174 Segundo passo: teste F de nulidade de todos os parâmetros com excepção do do termo independente. Se existir evidência estatística contra a hipótese nula, podemos suspeitar que a matriz H t não foi convenientemente modelada. Nos passos seguintes repete-se o procedimento, tomando sucessivamente ˆε 2 i,t como variável dependente na regressão auxiliar. i = 2,..., m

175 175 Aplicação Selecção de Portfolios: problema da determinação dos pesos óptimos de uma carteira constituída por m activos com risco. Por exemplo, suponha-se que o valor da carteira de um investidor é de 1 mihão de Euros e está assim distribuída: Euros em A1, em A2 e em A3. Logo m = 3 e o vector de pesos da carteira é Considere-se ω = vector do valor esperado condic. dos retornos: µ t = (E (R 1t F t 1 ),..., E (R mt F t 1 )) ; Matriz das variâncias-covariâncias condicionais dos retornos: Var (r t F t 1 ) = H t ;

176 176 Vector dos pesos da carteira no momento t: ω t = (ω 1t,..., ω mt ) ; Retorno do portfolio: R pt = m i=1 ω it R it = ω tr t ; Valor esperado condicional do portfolio: E ( Rpt Ft 1 ) = E ( ω t r t Ft 1 ) = ω t µ t ; Variância condicional do portfolio V pt = Var ( R pt Ft 1 ) = Var ( ω tr t Ft 1 ) = ω t Var (r t F t 1 ) ω t = ω th t ω t.

177 177 O problema de optimização (horizonte de investimento h = 1): min ωn+1 Var ( ) R p,n+1 Fn s.a E ( Rp,n+1 Fn ) = µp e m i=1 ω i,n+1 = 1 { minωi ω n+1 H n+1ω n+1 s.a ω n+1 µ n+1 = µ p e ω n+1 1 = 1

178 178 6 Risco de Mercado e o Valor em Risco 6.1 Introdução