A. Equações não lineares

A. Equações não lineares 1. Localização de raízes. a) Verifique se as equações seguintes têm uma e uma só solução nos intervalos dados: i) (x - 2) 2 ln(x) = 0, em [1, 2] e [e, 4]. ii) 2 x cos(x) (x 2) 2 = 0, em [2, 3] e [3, 4]. b) Localize graficamente as raízes reais das equações e verifique se são únicas: i) cos(x) = x 3 ii) ln(x) + x 3 = 0 iii) x - e x = 0 iv) x 3 3x + 1 = 0 ([-2.0, -1.5], [0.0, 0.5] e [1.5, 2.0]) c) Considere a função f(x) = x 3 x - 1. Mostre que f tem um único zero no intervalo [1, 2]. 2. Método da Bissecção. a) Use o método da Bissecção para aproximar a solução, com erro inferior a 10-1, da equação x + 0.5 + 2 cos( x) = 0, no intervalo [0.5,1.0]. b) Determine o número de iterações necessárias para aproximar, pelo método da bissecção e com uma precisão 10-1, a solução de x 3 - x 1 = 0, no intervalo [1, 2]. Determine tal aproximação com a precisão indicada. c) Localize graficamente as raízes da equação seguinte e determine 'um valor aproximado de uma delas com uma casa decimal correta, utilizando o método da bissecção. ln(x) = 3 (3/2) x d) Pretende-se construir um tanque cúbico com a capacidade de 25000 l. Calcule uma aproximação para o comprimento do lado do tanque usando o método da bissecção 4 vezes/iterações e indique a precisão do resultado. 3. Método do Ponto Fixo. a) Pretende-se determinar a raiz da equação x 2 x 2 = 0, contida em [1.5, 2.5] recorrendo ao método do Ponto Fixo. i) Diga para cada uma das seguintes funções se podem ser usadas como função de iteração do método referido, com garantia de haver convergência. g(x) = x 2 2 g(x) = (x + 2) g(x) = 1 + (2 / x) ii) Determine uma estimativa da raiz pretendida efetuando 4 iterações, com cada função de iteração e determine estimativas do limite superior do erro absoluto. Carlos Barrico 1

Computação Científica b) Obtenha uma aproximação x k da raiz positiva da equação x 3 + 2 x 2 + 10 x 20 = 0, pela iteração do ponto fixo, de modo que x k x k-1 < 0.15. c) A excentricidade da órbita de Vénus é dada por e = 0.007. Resolva a equação de Kepler f(x) = x - e sin(x) z = 0 x 0.007 sin(x) z = 0 para z = 0.7. Resolva a mesma equação para e = 0.5 e z = 0.7. 4. Dada a equação x 4 3 x 2 + 75 x 10000 = 0 a) Verificar que existe alguma raiz no intervalo [-1, 8]. b) Verificar que naquele intervalo obtém-se para uma das raízes da equação, e ao fim de 24 iterações, a aproximação com o valor 1.532484 com 6 dígitos significativos (erro < 10-6 ). 5. Dada a equação cos(x) cos(3.1 x) = 0 a) Verificar que não existe alguma raiz no intervalo [0, 1]. b) Verificar que a partir do intervalo [7, 10] obtém-se para uma das raízes da equação a aproximação com o valor 9.886003 com 6 dígitos significativos. 6. Dada a equação x 3 2x 5 = 0, a) localizar e separar os zeros da equação. b) Calcular uma aproximação para uma das raízes usando o método da Bissecção. c) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a raízes diferente da anterior) usando o método da Falsa Posição. d) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a diferentes das anteriores) usando o método do Ponto Fixo. e) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a diferentes das anteriores) usando o método de Newton-Raphson. 7. Dada a equação x 2 + x 6 = 0, a) localizar e separar os zeros da equação. b) Calcular uma aproximação para uma das raízes usando o método da Bissecção. c) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a raízes diferente da anterior) usando o método da Falsa Posição. d) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a diferentes das anteriores) usando o método do Ponto Fixo. 2 Carlos Barrico

e) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a diferentes das anteriores) usando o método de Newton-Raphson. 8. Dada a equação, x ln(x) 1 = 0, (x > 0), a) Verificar que tem uma raiz em [1, 2]. b) Calcular uma aproximação para essa raiz, com 4 dígitos significativos (erro 10-4 ), usando o método da Bissecção. Estimar, à priori, quantos intervalos serão calculados. c) Calcular uma aproximação para essa raiz, com 4 algarismos significativos (erro 10-4 ), usando o método da Falsa Posição. 9. Dada a equação (x 1) e x 2 = 0, a) Calcular uma aproximação para a raiz real da equação usando o método de Newton-Rapson. Estimar o erro. b) Calcular uma aproximação para a raiz real da equação usando o método do Ponto Fixo. Estimar o erro. 10. Dada a equação x 3 x 1 = 0, a) localizar e separar os zeros da equação. b) Calcular uma aproximação para uma das raízes usando o método da Bissecção. c) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a raízes diferente da anterior) usando o método da Falsa Posição. d) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a diferentes das anteriores) usando o método do Ponto Fixo. e) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a diferentes das anteriores) usando o método de Newton-Raphson. 11. Comparar o funcionamento dos métodos da Bissecção, Falsa Posição, Ponto Fixo e Newton- Raphson no cálculo da raiz real de cada uma das equações x 3 x 1 = 0, x e x = 0 Testar com vários intervalos e aproximações iniciais. 12. Dada a equação e -x - sen(x) = 0 a) Calcular uma aproximação à menor raiz positiva da equação, usando o método de Newton- Raphson. Carlos Barrico 3

Computação Científica 13. Calcular a raiz da função f(x) = x 2 + x 6 com erro a < 0.1 % : a) Pelo método da bisseção utilizando x l = 1, x u = 3 b) Pelo método de Newton-Raphson utilizando x 0 = 1.5 c) Pelo método da Secante utilizando x 0 = 1.5, = 1.8 d) Demonstre as iterações graficamente para cada método. 14. Utilize qualquer método para encontrar a raiz da equação x 3 0.165x 2 + 3.993 10 4 = 0. Demonstre o desenvolvimento da sua solução. 15. Porque é que o método da bisseção não pode ser utilizado para encontra o zero de uma equação como x 2 = 0, para a qual existe uma raiz em x =0? 16. Que equação pode ser utilizada para encontrar a raiz quadrada de um número R qualquer pelo método de Newton-Raphson? 17. A raiz da equação x 3 = 4 foi encontrada pelo método de Newton-Raphson. Os valores resultantes de cada iteração são dados na tabela abaixo: Iteração Valor da Raiz Iteração Valor da Raiz 0 2,0000 3 1,5874 1 1,6667 4 1,5874 2 1,5911 Qual a primeira iteração em que podemos afirmar que pelo menos dois dígitos da resposta estão corretos? 18. Para encontrar a raiz da equação sin(x) = 0 pelo método da secante, qual dos seguintes valores iniciais não seria apropriado? Justifique. 1. π/4 e π/2 2. π/2 e π/2 3. π/4 e 3π/4 4. π/3 e π/2 4 Carlos Barrico

B. Sistemas de equações lineares 19. Considere-se o seguinte sistema de equações lineares {4 x + x 1 3 + x 4 = 1 4 x 2 + x 4 = 1 + 4 x 3 = 1 + x 2 + 4 x 4 = 1 Calcular a solução com 5 casas decimais usando a) o Método de Jacobi b) o Método de Gauss Seidel 20. Considere o sistema {2x + x 1 2 + x 3 = 5 2 + 3x 2 + x 3 = 9 + x 2 + 3x 3 = 6 Fazendo x (1) = (0, 0, 0) T e considerando uma precisão, em termos relativos, de e = 10-6, a) Verifique que o método de Jacobi converge ao fim de 129 iterações. b) Verifique que o Método de Gauss Seidel converge ao fim 14 iterações. 21. Considere o sistema {6 x 1 + x + 2 x 2 3 + x 5 = 10 2 + 8 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 2 x 5 = 15 2 x 2 + 8 x 3 + x 4 = 8 x 3 + 9 x 4 = 10 + x 2 x 4 + 7 x 5 = 8 Fazendo x (1) = (0, 0, 0, 0, 0) T e considerando ma precisão, em termos relativos, de e = 10-6, a) Verifique que o método de Jacobi converge ao fim de 13 iterações. b) Verifique que o Método de Gauss Seidel converge ao fim de 9 iterações. 22. Considere o sistema Ax = b, sendo [ 1 0 0 0 0 ] 1/ 6 2/3 1/6 0 0 0 1/ 6 2/3 1/6 0 0 0 1/6 2/3 1/6 0 0 0 0 1 e b = [0, -2, 1, 5, -1, 1] T. Carlos Barrico 5

Computação Científica Verifique que o método de Jacobi precsa de 14 iterações para atingir a solução, usando uma precisão e = 10-6. x = (0, -3.982141, 3.928569, -2.732141, 1) T 23. Considere o sistema { + 0.5 x 2 + 0.5 x 3 = 2 0.5 + x 2 + 0.5 x 3 = 2 0.5 + 0.5 x 2 + x 3 = 2 Use o método de Gauss Seidel para calcular a solução, com uma precisão igual a 10-4. C. Interpolação polinomial 24. Considere os seguintes pontos: ( 3, 1), ( 2, 2), (1, 1) e (3, 10). Determine o polinómio interpolador de Lagrange P(x) que passa por esses pontos e calcule P(0). 25. Determine aproximações de cos(π/8) usando os polinómios interpoladores de Lagrange de grau 2 e 4 no intervalo [0, π]. 26. Considere os seguintes pontos: (-2,1), (-1,0), (1,-3) e (4,8). Determine o polinómio interpolador P(x) que passa por esses pontos e calcule P(0). 27. Obtenha um valor aproximado para a raiz de uma função contínua f(x) da qual se conhece apenas os valores apresentados na tabela seguinte: x i -2 0 1 f(x i ) -12.5 1.5-1 28. Dada a tabela x i 1 2 3 4 f(x i ) 4 15 40 85 determine uma aproximação para f (1.5), usando interpolação de Lagrande de grau 3. 29. De uma função f conhecem-se os valores dados na seguinte tabela: x i -3-2 -1 0 1 2 3 f(x i ) -1-1 -1 0 1 1 1 Determine o polinómio interpolador de Lagrange nos referidos pontos. 6 Carlos Barrico

30. Conhecem-se as coordenadas de cinco pontos de uma curva plana que representa uma região de uma peça em corte. Determine o polinómio de Lagrange de grau 4 que interpola a referida curva sabendo que os pontos de coordenadas conhecidas são: P1 = (1, 2), P2 = (2, 1), P3 = (3, 1), P4 = (4, 2,5) e P5 = (5, 4). Determine ainda valores aproximados para as ordenadas dos pontos cujas abcissas são 0, 2,5 e 6. 31. Dada a tabela x i 1-1 -2 f(x i ) 0-3 -4 determine uma aproximação para f (0), usando interpolação de Newton de grau 2. 32. Uma função g é conhecida exclusivamente através da tabela x i -2-1 1 2 3 g(x i ) -16 0 2 0 4 a) Calcule uma estimativa de g(1.65) usando o polinómio interpolador de Lagrange de grau 2. b) Determine a melhor estimativa de g(1.65) que os dados permitem. 33. Na tabela seguinte encontram-se alguns valores da função f(x) = x ln(x). x i 8 8.1 8.3 8.6 8.7 f(x i ) 16.64 16.94 17.56 18.50 18.82 a) Estime f(8.45) recorrendo a um polinómio interpolador de Lagrange de grau 1. Escolha os 2 pontos mais próximos de 8.45 e de seguida repita com os pontos extremos da tabela. b) Use polinómios interpoladores de Lagrange de grau 1, 2, 3 e 4, para determinar a melhor aproximação de f(8.4). 34. Construa a tabela de diferenças divididas para os pontos da função g tabelados em 18. 35. Dada a tabela de valores de uma função f(x) seguinte: x i 0.0 0.1 0.3 0.4 0.9 1.0 f(x i ) 1 0-1 0 3 4 a) Construa o polinómio interpolador de Newton de grau 3 que melhor aproxima a função, para estimar o valor de f(0.2). b) Use o mesmo polinómio da alínea anterior para estimar f(0.95). c) Quantos zeros tem a função dada pela tabela no intervalo [0, 1]? d) Estime o melhor possível f(0.2) usando um polinómio interpolador de Newton de grau 2. 36. Dada a tabela de valores de uma função f(x) seguinte: Carlos Barrico 7

Computação Científica x i 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.8 1.0 f(x i ) 0 1 1 2 2 3 3 4 pretende-se aproximar f(0.6) usando um polinómio de grau 3. a) Use a fórmula interpoladora de Newton baseada em diferenças divididas. b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior. 37. A função f(x) está definida para o seguinte conjunto de 6 pontos: x i 40 42 45 48 49 50 f(x i ) 1.60206 1.62325 1.65321 1.68124 1.69020 1.69857 Construa a tabela das diferenças divididas. Use um polinómio de grau 3 para aproximar f(47). 38. A seguinte tabela de valores é dum polinómio de grau 4. x i 0 1 2 3 4 p(x i ) 1 10 69 238 601 Construa uma tabela de diferenças divididas e calcule p(5). 39. Considere a tabela x i -2-1 0 1 2 3 f(x i ) 4-2-a a 5 b+3 a-32 a) Calcule os parâmetros a e b, sabendo que P é um polinómio interpolador de Newton de grau 3. b) Determine P. 40. Dada a tabela de valores de uma função real x i 0 1 2 4 y i 2 2 3 6 a) Determine o polinómio interpolador de Newton da função de grau 2, usando a tabela das diferenças divididas. b) A partir do polinómio da alínea anterior, encontre o polinómio de grau 3 que interpola a função nos quatro pontos tabelados. c) Indique a melhor estimativa de y(1.85) que os dados permitem. 41. Sabendo que a função f assume os valores f(0)=-0.5, f(1)=1 e f(2)=4.2, calcule uma estimativa do zero da função existente em [0,1], utilizando a fórmula interpoladora de Newton. 8 Carlos Barrico

D. Aproximação polinomial método dos Mínimos Quadrados 42. Considere a seguinte tabela de valores de uma função x i 2 4 6 8 f(x i ) 2 11 28 40 Determine a recta F(x; a, b) = a + bx que melhor se aproxima de f usando o método dos mínimos quadrados. 43. Considere a seguinte tabela de valores de uma função x i 0 1 2 3 f(x i ) 2 1 1 3 Determine a parábola F(x; a, b, c) = a + bx + cx 2 que melhor se aproxima de f usando o método dos dos mínimos quadrados. 44. Considere a seguinte tabela de valores de uma função x i 1 2 3 4 f(x i ) 5 3 2 3 Determine a parábola F(x; a, b, c) = a + bx + cx 2 que melhor se aproxima de f usando o método dos dos mínimos quadrados. 45. Considere a seguinte função y = f(x), dada sob a forma da seguinte tabela: x i -8-4 -2-1 0 1 2 4 6 9 11 f(x i ) -785-53 13 13 7 7 25 163 517 1663 2997 a) Determine o polinómio de grau 3 que, no sentido do método dos mínimos quadrados que melhor aproxima a tabela dada. b) Estime: f(-2), f(5), f(-10) e f(12). 46. Considere a seguinte função (tabela): x i -1 0 1 2 3 f(x i ) -15-10 -5 0 5 Qual o polinómio do 1º grau que, no sentido do método dos mínimos quadrados, melhor representa a função dada. 47. Considere a seguinte função (tabela): x i -2-1 0 2 3 4 f(x i ) 11 1-5 -5 1 11 a) Qual o grau do polinómio que melhor se adapta à função dada? b) Defina a reta de regressão. Carlos Barrico 9