1. Formule o problema de Programação Linear. Defina convenientemente as variáveis que achar mais relevantes e explique as restrições utilizadas. Através da análise do problema torna-se relevante definir apenas duas variáveis, visto as quantidades consumidas e preços serem definidos tendo em conta a quantidade produzida de um produto em dois regimes de produção diferentes. Assim: x Quantidade produzida na linha de produção 1 y Quantidade produzida na linha de produção 2 Como os custos das máquinas estão expressos em euros/hora, e o total de tempo disponível das máquinas também estar expresso em horas, faz sentido, construir uma nova tabela, passando os minutos necessários à produção de cada unidade para o seu equivalente em horas. Máquina A Máquina B Máquina C Linha de Produção 1 1/4-1/6 Linha de Produção 2-1/5 2/15 Horas Disponíveis 450 400 500 Com base nos dados presentes nas tabelas e na condição de produção, desenham-se inicialmente sete restrições à função objetivo, sendo elas: Restrições das Horas de Máquinas disponíveis: Primeira Restrição:! x 450 x 1800 (Máquina A) " Segunda Restrição:! y 400 y 2000 (Máquina B), Terceira Restrição:! x + 1 y 500 (Máquina C) /!, Restrição do Consumo de Matérias-Primas: Quarta Restrição: 3x 5550 x 1850 (Matéria-Prima 1) Quinta Restrição: 2,5 y 3500 y 1400 (Matéria-Prima 2) Sexta Restrição: 4x + 5y 13500 (Matéria-Prima 3) Restrição da Quantidade Produzida: Sétima Restrição: x + y 3000 Restrições Gerais: x e y 0 A função objetivo é constituída com base nos custos dos diversos fatores produtivos que são utilizados na fabricação de um produto, em cada uma das linhas de produção, pelo que a função objetivo pode ser dada pela seguinte expressão: CT = x 1 4 10 + 1 6 12 + 3 0,6 + 4 0,5 + y 1 5 18 + 2 12 + 2,5 0,6 + 5 0,5 15 = x 2,5 + 2 + 1,8 + 2 + y 3,6 + 1,6 + 1,5 + 2,5 = 8, 3 x + 9, 2 y
Como no processo produtivo existem matérias-primas e máquinas que só se utilizam numa linha de produção, acabam por existir 2 restrições diferentes para cada variável. Deste modo, é possível simplificá-las, através da sua interseção: Restrições da variável x: Primeira Restrição:! x 450 x 1800 (Máquina A) " Quarta Restrição: 3x 5550 x 1850 (Matéria-Prima 1) Daqui resulta, que a restrição a utilizar deve ser: x 1800 Restrições da variável y: Segunda Restrição:! y 400 y 2000 (Máquina B), Quinta Restrição: 2,5 y 3500 y 1400 (Matéria-Prima 2) Daqui resulta, que a restrição a utilizar deve ser: Quinta Restrição: y 1400 Assim, podemos concluir, que a formulação deste problema pode ser esquematizada como: Função Objetivo: CT = 8,3 x + 9,2 y Restrições (sujeito a) x 1800 (Restrição da Máquina A)! x + 1 y 500 (Restrição da Máquina C) /!, 2,5 y 3500 y 1400 (Restrição da Matéria-Prima 2) 4x + 5y 13500 (Restrição da Matéria-Prima 3) x + y 3000 (Restrição da Quantidade Produzida) x e y 0 2. Calcule, utilizando o solver, a solução ótima deste problema. Interprete detalhadamente o output gerado incluindo a tabela respeitante às restrições. A solução ótima do problema é dada quando a empresa consegue maximizar a produção, e ao mesmo tempo obtém um custo mínimo, ou seja, a solução ótima do problema é dada no mínimo da função (minimização dos custos). Assim a formulação do problema é: Min CT = 8,3 x + 9,2 y s. a x 1800 (Restrição da Máquina A)! x + 1 y 500 (Restrição da Máquina C) /!, 2,5 y 3500 y 1400 (Restrição da Matéria-Prima 2) 4x + 5y 13500 (Restrição da Matéria-Prima 3) x + y 3000 (Restrição da Quantidade Produzida) x e y 0
Trabalho de Grupo de Otimização Com recurso ao solver é possível concluir que a solução ótima deste problema é dada quando a empresa produz 1800 unidades através da linha de produção 1 e 1200 unidades através da linha de produção 2. Assim, a função objetivo (output gerado) irá apresentar um custo de produção de 25.980. Figura 1 - Resolução com recurso ao solver (produção de 3000 unidades) Figura 2 - Solução para cada restrição com recurso ao solver Recursos utilização na produção: De acordo com a Restrição 1 (restrição da quantidade produzida) verificamos que a quantidade mínima exigida de produção foi cumprida. De acordo com a Restrição 2 (restrição do número de horas da máquina A) verifica-se que a empresa utilizou a totalidade de horas disponíveis desta máquina, pelo que o fator limitante para a produção de mais unidades utilizando esta linha de produção foi o número de horas de máquina disponível. Na Restrição 3 (restrição do consumo de matéria-prima 2) verifica-se que a empresa não utilizou a totalidade de matéria-prima 2 que tinha disponível, apresentando um excesso, que corresponde aquilo que é necessário para produzir 200 unidades (200 x 2,5 = 500, a empresa só utilizou 3.000 unidades de matéria-prima 2) A Restrição 4 (restrição do número de horas da máquina C) indica que a empresa não utilizou as 500 horas que tinha disponível da máquina C, apresentando um excedente de 40 horas. A Restrição 5 (restrição do consumo de matéria-prima 3) indica-nos que a empresa não utilizou 300 unidades da matéria-prima C, usando apenas 13.200 unidades. Na solução ótima verifica-se ainda que a empresa:
Solução Ótima = CT = 25980 Produção com recurso à linha de produção 1 = x = 1800 Produção com recurso à linha de produção 2 = y = 1200 Utilização da Máquina A = 450 Utilização da Máquina B =! 1200 = 240, Utilização da Máquina C = 460 Utilização da Matéria-Prima 1: 3 1800 = 5400 Utilização da Matéria-Prima 2 = 2,5 1200 = 3000 Utilização da Matéria-Prima 3 = 13200 Figura 3 - Análise de sensibilidade para variáveis e restrições Análise de sensibilidade: Intervalo de sensibilidade para a variável x = ; 9,2, para que a solução ótima se mantenha a mesma, é possível que a empresa reduza custos até 0 (não há custos negativos, pelo que, apesar de ele poder diminuir infinitamente, não faz sentido economicamente) ou que a empresa aumente os seus custos até 9,2x. Intervalo de sensibilidade para a variável y = 8,3;, para que a solução ótima se mantenha a empresa pode reduzir custos até 8,3y. Para além disto a empresa poderá optar por aumentar os custos infinitamente apesar de economicamente não fazer qualquer sentido, visto o nosso objetivo ser reduzir custos e não precisamente o contrário. Intervalo de sensibilidade para a restrição 1 = 1800, 3060 (ceteris paribus) Intervalo de sensibilidade para a restrição 2 = 1600, 3000 (ceteris paribus) Intervalo de sensibilidade para a restrição 3 = 1200, (ceteris paribus) Intervalo de sensibilidade para a restrição 4 = 460, (ceteris paribus) Intervalo de sensibilidade para a restrição 5 = 13200, (ceteris paribus) Podemos concluir que se os aumentos ou diminuições, estiverem compreendidos entre os intervalos anteriormente referidos, a solução ótima não irá sofrer qualquer alteração, partindo do pressuposto que todas as outras condições se mantêm inalteradas.
Preço sombra (Indica a variação do valor da função objetivo, causada pela alteração de uma unidade de cada restrição indicada, partindo do pressuposto que as outras condições se mantêm constantes): Restrição 1 Preço sombra = 9,2 (se ocorrer um aumento de uma unidade na quantidade mínima produzida, a função objetivo aumenta 9,2) Restrição 2 Preço sombra = -0,9 (se ocorrer um aumento de uma unidade, a função objetivo vai diminuir em 0,9) 3. Até que valor pode aumentar o custo de uma hora de máquina A, sem que isso afete a solução ótima? Por análise do relatório de sensibilidade, o coeficiente da função objetivo relativo à utilização da máquina A pode aumentar 0,9, sem que a solução ótima de produção sofra qualquer alteração. Custo por hora da máquina A = 10 /hora Como por cada unidade são necessárias 0,25 horas, o custo por hora da máquina A pode aumentar 3,6 /hora, pelo que, o custo da máquina A por hora pode passar de 10 /hora para 13,6 /hora. Aumento do custo admissível por hora = N,O = 3,6 /hora N,1, Custo admissível por hora da máquina A = 10 + 3,6 = 13,6 /hora 4. Se a quantidade mínima a fornecer passar a ser de 3050 unidades, o que pode dizer sobre o custo e a solução ótima do novo problema. A solução ótima nas novas condições é obtida através de uma análise da sensibilidade. Visto a alteração da produção estar compreendida entre o intervalo 1800, 3060 e os restantes parâmetros se manterem inalterados, então podemos concluir que o valor sombra da restrição da quantidade produzida, contínua válido, assim como todas as outras variáveis básicas continuam a ser as mesmas (neste caso as variáveis básicas são o x, y, e s3, s4, s5) porém tem de ser recalculados (recorremos ao solver). Após recorrer ao solver verificamos que a solução ótima é nas novas condições de produção, obtida quando se produz 1800 unidades na linha de produção 1 e 1250 unidades na linha de produção 2, ou seja, quando a empresa produz 3050 unidades e incorre em 26.440 de custos. Ao compararmos os dados com os da resposta 2, podemos concluir que a quantidade produzida pela linha 1 se mantém inalterada (1800 unidades) para as novas condições de produção exigidas. Quant. produzida na linha 1 (questão 4) = Quant. produzida na linha 1 (questão 2) Logo, Custos de x (alínea 4) = Custos de x (alínea 2) Custos de x (alínea 4) = 1800 x 8,3 = 14.940
Trabalho de Grupo de Otimização Relativamente à quantidade produzida na linha de produção 2, regista-se um aumento, passando de 1200 para 1250, ou seja, regista um aumento de 50 unidades produzidas. Quant. produzida na linha 2 (questão 4) = 50 + Quant. produzida na linha 2(questão 2) Logo, Custos de y (alínea 4) > Custos de y (alínea 2) Custos de y (alínea 4) = 1250 x 9,2 = 11.500 Figura 4 - Resolução com recurso ao solver (produção de pelo menos 3050 unidades) 5. A partir da solução obtida em 2, sem resolver o novo problema e justificando cuidadosamente as suas conclusões, responda às seguintes questões: a) Se por motivos legais fosse imposto um máximo de distribuição total de 3500 unidades o que sucederia à solução ótima? A solução ótima mantém-se, visto que a restrição inicial da questão 2, nos indica que a quantidade produzida tem de ser maior ou igual que 3000. Na nova situação, a quantidade máxima produzida nunca poderá ser superior a 3500. Por análise gráfica, conseguimos entender que a solução ótima está compreendida entre os dois valores (3000 <= solução ótima <= 3500). Dado isto, e como anteriormente referimos, a solução ótima será a mesma que foi apresentada na questão 2, ou seja, a solução ótima é dada quando a empresa produz 3000 unidades, das quais 1800 são produzidas na linha de produção 1 e as restantes 1200 são produzidas na linha de produção 2. Restrições da Produção = 𝑥 + 𝑦 3500 𝑥 + 𝑦 3000 Figura 5 - Gráfico resultante da intersecção de duas restrições - WolframAlpha
b) Se, em simultâneo, a capacidade disponível para laboração das máquinas de tipo B e C se reduzisse para 300 e 480 horas, respetivamente, o que aconteceria à solução ótima? De acordo com os resultados obtidos na questão 2, verificamos que a empresa utiliza 240 horas da máquina B e 460 horas da máquina B para produzir 3.000 unidades de um produto. Ora com a redução da capacidade de laboração das máquinas do tipo B e C, a solução ótima (ponto ótimo de utilização dos recursos) não sofrerá qualquer alteração visto tanto na máquina B e C a quantidade de horas utilizadas ser inferior à nova capacidade de laboração da máquina B e C. Assim a empresa continuará a produzir as mesmas unidades (3.000 unidades), das quais 1.800 são fabricadas na linha de produção 1 e as restantes 1.200 na linha de produção 2. c) Qual seria a nova solução ótima se, devido à inflação, os preços aumentassem todos em 10%? Se considerarmos que ocorre um aumento de preço das matérias-primas devido à inflação, então o novo preço das matérias-primas passa a ser calculado com base no preço atual e na taxa de inflação. Assim: Preço da Matéria-Prima 1 = P QRQSQTU 1 + taxa QRWUTçãZ = 0,6 1 + 0,1 = 0,66 Preço da Matéria-Prima 2 = P QRQSQTU 1 + taxa QRWUTçãZ = 0,6 1 + 0,1 = 0,66 Preço da Matéria-Prima 3 = P QRQSQTU 1 + taxa QRWUTçãZ = 0,5 1 + 0,1 = 0,55 Partindo do pressuposto que o custo das diversas máquinas não se altera, a função objetivo vai sofrer alterações, causadas pelo aumento do preço das matérias-primas. Função Objetivo Inicial = Min CT = 8,3 x + 9,2 y Nova Função Objetivo = MinCT = x! 10 +! 12 + 3 0,66 + 4 0,55 + " / 1 y 5 18 + 2 12 + 2,5 0,66 + 5 0,55 = 8, 68 x + 9, 6 y 15 Para que a solução ótima se mantenha é necessário que os aumentos registados sejam aceitáveis tendo em consideração os intervalos de sensibilidade da variável x e y, assim: 8,68 < 9,2 (intervalo de sensibilidade de x ; 9,2 ) então a solução ótima não sofre alteração pelo aumento de x 9,6 < (intervalo de sensibilidade de y 8,3; ) então a solução ótima não sofre alterações pelo aumento de y Logo, como o aumento de x e y é comportável sem que ocorra uma alteração da solução ótima, podemos concluir que a solução ótima é a mesma (com a produção de 1800 unidades na linha de produção 1 e 1200 na linha de produção 2). Porém como a função objetivo sofreu uma alteração, o valor da função objetivo no ponto ótimo também sofrerá uma alteração.
Valor da Função Objetivo Inicial = 8,3 1800 + 9,2 1200 = 25980 Valor da Nova Função Objetivo = 8, 68 1800 + 9, 6 1200 = 27. 144 d) O que pode afirmar com toda a certeza sobre o custo ótimo se a empresa tivesse uma terceira forma de produção? Como não conhecemos a natureza dos custos da terceira forma de produção, não sabemos se os custos são superiores, iguais ou inferiores aos das duas formas que anteriormente utilizamos. Contudo, à priori, sabemos que se os custos relativos a esta nova forma de produção forem elevados, a escolha do processo produtivo manter-se-á igual pois, numa ótica de minimização de custos, serão mantidos os processos produtivos mais económicos e consequentemente o custo ótimo mantém-se. Sabemos também que se os custos subjacentes a esta nova forma de produção forem inferiores aos utlizados, a escolha recairá sobre este processo produtivo e neste sentido, o custo ótimo (solução ótima do problema) diminui. Desta forma, podemos com toda a certeza garantir que o custo ótimo da empresa nunca aumentaria.