CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 06
Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da arte matemática que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes de matemática da forma mais clara possível. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará ferramentas matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na sua vida. Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo. No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio. Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo. Página 2
Áreas de figuras planas Introdução São várias as situações do dia-a-dia nas quais está envolvida a idéia de área. No ramo imobiliário, por exemplo, encontramos muito esse conceito. Observe este anúncio que foi publicado no jornal local de Praia Grande/SP. Nesta unidade iremos trabalhar com áreas de figuras planas em suas diversas formas: quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo. Página 3
Área do quadrado O quadrado é um quadrilátero que tem todos os lados com medidas iguais. l l Área do quadrado = medida do lado x medida do lado Aquadrado = l 2 ou Aquadrado = l. l A = 5 2 A = 5. 5 A = 25 cm 2 Área do retângulo Retângulo é um quadrilátero que tem todos os ângulos internos com medidas iguais. Área do retângulo = medida da base x medida da altura Aretângulo = b. h A = 5. 4 A = 20 cm² Página 4
Área do paralelogramo O paralelo é um quadrilátero que tem os lados paralelos dois a dois. Área do paralelogramo = medida da base x medida da altura EXEMPLO: Calcular a área de um paralelogramo que tem 5 cm de base e 3 cm de altura. Aparalelogramo = b. h A = 5. 3 A = 15 cm² Página 5
Área do triângulo Figura plana limitada por três segmentos de retas a que se chamam de lados. Área do triângulo = EXEMPLO: Calcular a área de um triângulo que tem 5 cm de base e 6 cm de altura Solução: A triângulo = A = A = A = 15 cm 2 Página 6
Área do losango Losango é um quadrilátero com os lados opostos paralelos (paralelogramo), com os lados todos iguais entre si. Área do losango = EXEMPLO: Calcular a área de um losango cujas diagonais medem 5 cm e 8 cm. A losango = A = A = A = 20 cm 2 Página 7
Área do trapézio É dado o nome de trapézio a um quadrilátero que possui dois lados paralelos. Área do trapézio = EXEMPLO: Calcular a área de um trapézio cujas bases medem 8cm e 10cm e a altura é 4cm. A trapézio = A = A = A = A = 36 cm 2 Página 8
Questão 01: Calcule as áreas: Exercícios a) b) c) d) e) f) Página 9
g) h) i) j) k) 5 cm 10 cm Página 10
5,0m 3,0m 1,50m 3,5m 4,5m 3,0m 3,0m Questão 02: Veja a planta e responda: 2,5m 2,5m 6,0m 6,0m 5,0m corredor 2,0m 4,0m 2,50m 9,0m a) Quais as medidas de cada cômodo? Cômodos Dimensões Banheiros Exemplo: 2,50m x 3,0m Corredor Quarto I Quarto II Salas Varanda Área de Serviço Cozinha b) Quais as áreas de cada cômodo? Cômodos Dimensões Banheiros Exemplo: 7,5m 2 Corredor Quarto I Quarto II Salas Varanda Área de Serviço Cozinha c) Quantos m 2 de cerâmica são necessários para cobrir o piso dos banheiros, da cozinha e da área de serviço? d) Quanto gastaria para colocar carpete no dormitório e na sala se o metro quadrado custa R$ 20,00? e) Quantas lajotas quadradas de 20cm de lado, serão necessárias para colocar no piso da cozinha? Página 11
Questão 03: Uma costureira confecciona 15 toalhas de retalho por semana. Todos os retalhos tem o formato de um quadrado de 30 cm de lado. Observe as medidas da toalha e responda: a) Quantos retalhos são utilizados na confecção de uma toalha? b) Qual é, em metros, o comprimento da toalha? c) Qual é em metros, a largura da toalha? d) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar uma toalha? e) Quantos metros quadrados de tecido são necessários para confeccionar as toalhas de uma semana? Página 12
Perímetro de um Polígono Perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. POLÍGONO Vários ângulos Ou seja: Polígono = Figura geométrica com vários ângulos. EXEMPLO: 5 cm 4,5 cm 4,5 cm 7,5 cm O Perímetro do quadrilátero é: P = 5 + 4,5 + 7,5 + 4,5 P = 21,5 cm Página 13
Questão 04: Exercícios Calcule o perímetro dos seguintes polígonos: a) 3,5 cm 3,5 cm 2,8 cm b) 5,0 cm 2,5 cm 2,5 cm 2,5 cm 2,5 cm 5,0 cm Questão 05: Uma Sala retangular tem 7 m de comprimento e 3,25m de largura. A porta tem 90 cm. Quantos metros de rodapé foram colocados na sala? Página 14
Comprimento e Área do Círculo Nesta aula vamos aprender um pouco mais sobre o círculo, que começou a ser estudado há aproximadamente 4000 anos. Os círculos fazem parte do seu dia-a-dia. A superfície de uma moeda e de um disco são exemplos de círculos. Para desenhar um círculo utilizamos o compasso como você pode observar na ilustração ao lado. A linha desenhada pelo compasso é conhecida como circunferência. Ela é o contorno do círculo. A medida da abertura do compasso é o raio do círculo ou da circunferência. A distância entre os dois pontos diametralmente opostos da circunferência é o diâmetro, que vale o dobro do raio. Na Matemática, um círculo é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Por vezes, também se chama círculo ao conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor (ao qual chamamos raio). Página 15
Comprimento da circunferência Medir o comprimento desta curva chamada circunferência é o nosso problema. Uma das maneiras de resolver um problema matemático é tentar compreendêlo, observando suas propriedades e fazendo experiências. É desta forma que vamos encontrar uma expressão matemática para o cálculo do comprimento de qualquer circunferência. Uma primeira olhada em várias circunferências nos leva a concluir que seu comprimento depende da medida do raio. É fácil notar que quanto maior o raio maior é o comprimento da circunferência. Podemos partir desta observação para descobrir qual a relação matemática existente entre estas duas medidas. No quadro abaixo foram anotadas algumas medidas dos comprimentos e diâmetros de várias circunferências. Na última coluna dividimos cada medida obtida do comprimento (C) pela medida do diâmetro correspondente (d). Objeto Medido C D ficha telefônica 6,9 cm 2,2 cm 3,13 fundo de um copo 15,5 cm 4,9 cm 3,16 Mesa de jantar 4,40 m 1,40 m 3,14 Faça você mesmo mais algumas medidas e verifique se o resultado da divisão C d é sempre um número um pouco maior do que 3. Quanto mais precisas forem nossas medidas, mais próximo estaremos de um número constante conhecido como número pi, cujo símbolo é. O número é um número irracional cujo valor aproximado é 3,14. Na verdade este número possui infinitas casas decimais, mas na prática utilizamos apenas uma aproximação de seu valor. 3,14159265358979323846264... Podemos utilizar: 3,14 A partir deste resultado obtemos uma expressão geral: Página 16
EXEMPLO: Qual o comprimento da roda de uma bicicleta de aro 26? Uma bicicleta aro 26 tem o raio de sua roda medindo 30 cm. Substituindo r = 30 cm na fórmula temos: Observe este resultado: 188,40 cm = 1,884 m. Isso significa que uma volta completa da roda desta bicicleta equivale a uma distância de aproximadamente 1 metro e 88 centímetros. Exercícios Questão 06: Calcule o comprimento aproximado das circunferências cujo: a) raio = 3 cm c) diâmetro = 10 cm b) raio = 7,5 m d) diâmetro = 30 m Página 17
Questão 07: Determine o comprimento dos seguintes círculos: a ) 3 cm b) 20 cm Questão 08: Uma praça circular tem 200m de raio. Quantos metros de grade serão necessários para cerca-lá? Questão 09: O diâmetro do aro de uma cesta de basquete mede aproximadamente 50 cm. Calcule o comprimento do aro. Questão 10: O círculo central de um campo de futebol deve medir 18,30 m de diâmetro. Calcule o comprimento do contorno do círculo. Página 18
Questão 11: O diâmetro da Terra foi medido pela primeira vez por Eratóstenes. Este feito foi obtido sem que ele saisse da biblioteca em que trabalhava, localizada na cidade de Alexandria, no norte do Egito, entre 276 a.c e 196 a.c. Eratóstenes era o responsável pela biblioteca do museu, tinha muitos interesses sobre as ciências e ouviu comentários de viajantes que tinham estado na cidade de Siene, onde está localizada hoje a represa de Assuam, que exatamente ao meio dia do primeiro dia de verão (21 de junho), o Sol se colocava sobre as cabeças das pessoas, dirigindo os raios de uma forma vertical. Olhando-se um poço profundo, podia-se ver o reflexo do Sol no fundo do poço. Eratóstenes observou que neste mesmo dia e hora em Alexandria havia uma sombra provocada por raios solares que não estavam sendo projetados verticalmente, mas formando um ângulo um pouquinho maior que 7 em relação à cidade de Siene que ficava 800Km mais ao Sul. Partindo destas informações e levando em consideração que muitas medidas da época eram imprecisas, Eratóstenes calculou o diâmetro da Terra fazendo a seguinte análise: Se uma circunferência tem 360 e um deslocamento angular de 7 corresponde aproximadamente a 1/50 de um círculo e esta medida em graus equivale a 800Km, então a volta completa deverá corresponder ao diâmetro da Terra, que deverá ser aproximadamente 800 50Km=40.000Km. Atualmente, o diâmetro da Terra mede 39.830 Km e observamos que a medida obtida para a época era excelente. Com base nas informações acima comprove tal teoria considerando o diâmetro da Terra de aproximadamente 12740km, determine o comprimento da linha do equador da Terra. Lembre-se que: Página 19
Área do círculo Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado. Da mesma forma que o comprimento da circunferência, a área do círculo depende da medida de seu raio. Acírculo Página 20
EXEMPLO: Uma praça circular tem 30m de raio. Quantos metros quadrados tem essa praça? Substituindo r = 30 m na fórmula temos: A área dessa praça é de aproximadamente 2826m 2. Exercícios Questão 12: Calcule a área aproximada das circunferências cujo: a) raio = 3 cm c) diâmetro = 12 cm b) raio = 5 m d) diâmetro = 30 m Questão 13: Determine a área dos seguintes círculos: a ) 4 cm b) 20 cm Página 21
Questão 14: Seu João fez uma pizza de 12 cm de raio. Qual a área dessa pizza? Questão 15: Dona Maria tem um carrinho de pastéis muito freqüentado pelos estudantes na hora do lanche. Para fazer seus pastéis, dona Maria prepara a massa e corta os discos que, quando dobrados e recheados, dão deliciosos pastéis. Ela molda os discos cortando a massa com a borda de uma xícara que tem 10 cm de diâmetro. Qual a área da massa utilizada para fazer esse delicioso pastel? Questão 16: Países com economia inflacionária têm que mudar constantemente o dinheiro em circulação. O ministro das finanças de um país com inflação alta mandou recolher suas moedas de 5 patacas, em circulação, para fundi-las e moldar moedas de 10 patacas. De acordo com a Casa da Moeda, são as seguintes especificações técnicas: Moedas do Banco Central moedas de 5 patacas moedas de 10 patacas diâmetro: 18 mm diâmetro: 20mm Calcule a área da superfície da face de cima de cada moeda. Página 22
Questão 17: Durante 50 anos, a indústria fonográfica fabricou discos de vários formatos. O mais popular nos anos 70 e 80 foi o LP (long-play). Um LP tinha o diâmetro de cerca de 30 cm. Hoje em dia o LP foi substituído pelo CD (compact disc) um dos mais populares meios de armazenamento de dados digitais, principalmente de música comercializada e softwares de computador. O CD tem o diâmetro de cerca de 12 cm. Determine a área de cada um desses importantes instrumentos que marcaram épocas em nossas vidas. Página 23
Gabarito Questão 01: a) 16cm 2 b) 42,25 cm 2 c) 15 cm 2 d) 12,18 cm 2 e) 8 cm 2 f) 105 cm 2 g) 30 cm 2 h) 17,5 cm 2 i) 54 cm 2 j) 32 cm 2 k) 25 cm 2 Questão 02: a) Cômodos Dimensões Banheiros 2,5m x 3,0m Corredor 5,0m x 1,5m Quarto I 6,0m x 3,5m Quarto II 6,0m x 4,5m Salas 9,0m x 5,0m Varanda 2,5m x 5,0m Área de Serviço 2,0m x 3,0m Cozinha 4,0m x 5,0m b) Cômodos Dimensões Banheiros 7,5m² Corredor 7,5m² Quarto I 21m² Quarto II 27m² Salas 45m² Varanda 12,5m² Área de Serviço 6m² Cozinha 20m² c) 33,5m 2 d) R$ 1860,00 e) 500 lajotas Questão 03: a) 48 retalhos b) 2,4 m c) 1,8m d) 4,32m 2 e) 64,8m 2 Página 24
Questão 04: a) P = 9,8 cm b) P = 20 cm Questão 05: 19,6 m de rodapé Questão 06: a) C = 18,84cm b) C = 47,1m c) C = 31,4cm d) C = 94,2m Questão 07: a) C = 18,84cm b) C = 62,8cm Questão 08: 1256m Questão 09: C=157m Questão 10: C=57,462m Questão 11: C = 40.0036km Questão 12: a) A = 28,26cm 2 b) A = 78,5m 2 c) A = 113,04cm 2 d) A = 706,5m 2 Questão 13: a) A = 50,24cm 2 b) A = 314cm 2 Questão 14: A = 452,16cm 2 Questão 15: A = 78,5cm 2 Questão 16: A = 254,34mm 2 A = 314mm 2 Questão 17: A = 706,5cm 2 A = 113,04cm 2 Página 25
Bibliografia Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros: Telecurso 2000 Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, 2000. Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000. Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999. Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, 1994. Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. São Paulo: Moderna, 1999. Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. São Paulo: Moderna, 1998. Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. São Paulo: Atual, 1986. Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. São Paulo: Editora do Brasil, 2002. A Conquista da Matemática Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, 1998. Página 26
Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA Max Dadá Gallizzi, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teorias, ora criando com base nos conteúdos observados. Professores Ednilton Feliciano Francis Mara C. Sirolli Paulo Teles de Araújo Jr Satie Sandra Soares Taira 2010 Página 27