SIMETRIAS NAS OBRAS DE ESCHER: UMA POSSIBILIDADE DE ENSINO POR MEIO DA ARTE Adeline Laudicéia Pinatti, (IC), Unespar Câmpus de Campo Mourão, adeline_pinati@hotmail.com João Henrique Lorin, (OR), Unespar Câmpus de Campo Mourão, jhlorin@fecilcam.br RESUMO: O presente trabalho apresenta parte de uma pesquisa de IC, que aponta a importânca de se estudar Matemática por meio de sua História, Filosofia e Arte. Diante disso, fizemos um estudo da relação entre Arte e Matemática desde as culturas mais anitgas até o Renascimento, onde é possível identificar uma relação profunda entre ambas. Entretanto, este trabalho se restringirá ao estudo a respeito de simetria, suas principais características e propriedades, para podermos assim, relacionar com obras de Escher. Neste trabalho foi possível estabelecer uma relação entre a pavimentação do plano e mostramos como Escher em suas obras utilizava esse conceito de maneira que tornava-o simples e encantador. Mostrando dessa forma como conceitos muitas vezes difíceis e complexos estavam presentes nas obras do artista Escher de uma maneira magnífica, mostrando sua importância no ensino e aprendizagem destes conteúdos, de forma que possa auxiliar o professor no ensino do mesmo. Palavras-chave: Arte.Matemática.Escher. INTRODUÇÃO Desde a Antiguidade, é possível atrelar a Arte com alguns conceitos pertencentes ao conjunto de conhecimentos que chamamos hoje de Matemática. Vários elementos das culturas Egípcia e Grega, especialmente as ligadas à arquitetura, possuem elementos estéticos relacionados à matemática. Segundo Flores (2002), foi no Renascimento que esta ligação torna-se mais evidente, para ela, este período é tido com um grande movimento cultural, caracterizado pelo surgimento de uma nova maneira de olhar, pensar e agir. Artistas dessa época, estimulados por essas transformações buscaram um modo novo de expressão que pudesse inscrever, de maneira realista, a terceira dimensão no plano. Evidenciada por uma representação medida e padronizada, chamada de perspectiva linear. Relacionar Matemática e Arte parece ser um caminho possível e natural de interdisciplinaridade, pois estas duas áreas estão ligadas desde a Pré-História. Para Zalesk: Essas duas áreas do conhecimento aparecem juntas desde os primeiros registros feitos pelo homem pré-histórico nas cavernas [...]. Ao retratar paisagens e animais e, mais tarde, esculpir em ossos marca que representavam os animais capturados, o homem primitivo iniciou a busca da organização do seu entorno por meio da Arte e da Matemática. (ZALESK, 2013, p.13) Segundo Zago e Flores (2010) pensar a matemática como uma construção humana e histórica, ajuda a estabelecer a relação com a arte. Enfim, a educação matemática e a arte se constituem num campo de pesquisa, bem como, de possibilidades de ensino de matemática e geometria a partir do momento
em que passamos a olhar tanto os saberes matemáticos construídos historicamente, quanto às obras artísticas como produções humanas, culturais e históricas (ZAGO; FLORES, 2010, p. 342). Já no século XIX, o artista holandês Maurits Cornelis Escher, nascido em 1898, surpreendeu o mundo das artes com a aplicação da geometria dos mosaicos muçulmanos em seus desenhos de repetições matemáticas. Escher apoiou-se muito na cultura Árabe quando esteve na Espanha em contato com obras construídas pelos mouros. É aí que a vida e a obra de Escher sofreram uma reviravolta depois da visita que o artista fez ao palácio mourisco de Alhambra, em Granada, construído pelos árabes no século 13, durante a ocupação da Espanha. Esteve ali por duas vezes, a primeira, em 1926, a segunda, dez anos depois. Copiando obsessivamente os ornamentos decorativos das paredes do palácio, o holandês descobriu os segredos da divisão regular do plano (BERRO, 2008, p. 27). SIMETRIA De acordo com o dicionário Aurélio simetria é a correspondência de posição, de forma, de medida em relação a um eixo entre os elementos de um conjunto ou entre dois ou mais conjuntos. Fonseca (2010) define simetria como: [...] um dos princípios básicos na formulação de modelos matemáticos para os fenômenos naturais, além de sua ligação com as artes. A sua ideia é uma das mais ricas na matemática e está associada às transformações geométricas, designadamente às isometrias, fato que justifica o seu estudo já no ensino fundamental. No ensino escolar atual o termo simetria, na maioria das vezes, é tomado como sinônimo de simetria de reflexão. Contudo, no plano há quatro tipos de transformações que preservam distâncias, isto é, há quatro tipos de isometrias: reflexão, translação, rotação e reflexão seguida de translação. Cada uma dessas isometrias gera figuras simétricas a outras figuras e também figuras simétricas a si mesmo (FONSECA, p. 3, 2010). Para Berro (2008) o estudo das transformações do plano através de movimentos de tal forma que não ocorra distorção de formas e tamanhos dá-se o nome de isometria. Pertencem a esta categoria todos os movimentos que conservam a distância e a posição relativa entre pontos. São elas a translação, a rotação, a reflexão e a reflexão com deslizamento. Reflexão: Ocorre através de uma reta chamada eixo. O ponto original e seu correspondente na reflexão têm a mesma distância em relação ao eixo.
Imagem 01 Reflexão, Fonte: (FONSECA, 2010, p. 04) Translação: Transladar um objeto significa movê-lo sem girá-lo ou refletir. Cada translação tem um sentido e uma distância. Todos os pontos de uma figura sofrem um deslocamento na mesma intensidade e na mesma direção, de tal forma que a figura transformada conserva a sua forma e tamanho. Isto significa basicamente que os todos os pontos do objeto mudam de posição. Imagem 02 Translação, Fonte: (FONSECA, 2010, p. 04) Rotação: Outro tipo de isometria é a rotação, que diferentemente da translação, que possui um ponto fixo, na rotação todos os pontos do plano se movimentam, girando em torno de um ponto ou de eixo, aqui designados, ponto central ou eixo de rotação. O fato de o movimento possuir ou não este ponto central ou eixo de rotação diferencia estes dois tipos de isometria.
Imagem 03 Rotação, Fonte: (FONSECA, 2010, p. 05) Reflexão seguida de translação (Reflexão com Deslizamento): Uma reflexão com deslizamento combina uma reflexão com uma translação ao longo do sentido da linha do espelho. As reflexões com deslizamento são os únicos tipos de simetria que envolve mais de uma etapa. Imagem 04 Reflexão seguida de Translação, Fonte: (FONSECA, 2010, p. 05) A RELAÇÃO DE SIMETRIA COM AS OBRAS DE ESCHER De acordo com Berro (2008) é possível relacionar as obras de Escher a vários conteúdos no campo da matemática escolar, porém essa ligação está mais limitada à geometria, principalmente relacionando a simetria, merecendo assim um estudo mais amplo das suas obras. Segundo ele: Cada gravura é minuciosamente planejada, matematicamente estudada e refeita até atingir o efeito desejado; nada é fruto do acaso. Ele tenta nos confundir trazendo a fantasia como elemento desestabilizador da forma de nós olharmos o mundo já que
temos uma maneira que os nossos olhos enxergam o mundo habitual e culturalmente. (BERRO, p. 47, 2008) É através da simetria que se obtém o equilíbrio em uma obra de Arte, segundo Berro (2008) em uma obra equilibrada todos os fatores da mesma determinam-se de modo que nenhuma alteração parece possível, dessa forma o todo assume o caráter de necessidade de todas as partes. Escher através da simetria buscava equilíbrio em suas produções, sedo que, entende-se por simetria aqui como deixar duas partes de uma composição exatamente iguais. Vamos verificar os casos de simetria nas obras do artista Escher e como cada tipo está presente em seus trabalhos. Reflexão: Imagem 05-Reflexão, Fonte:http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/no-45-angel-devil/ Nessa imagem é possível verificar o caso de reflexão, pois a figura está refletida como se estivesse de frente a um espelho. Se considerarmos uma linha reta entre as figuras podemos verificar que estas possuem a mesma distância do eixo. Translação:
Imagem 06-Translação, Fonte:http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/no-22-birdfish/ Nessa obra verificamos o caso de translação, pois as figuras são movidas sem serem refletidas ou giradas. Pois de acordo com o conceito, cada translação tem um sentido e uma distância, todos os pontos de uma figura sofrem um deslocamento na mesma intensidade e na mesma direção, de tal forma que a figura transformada conserva a sua forma e tamanho. Rotação: Imagem 07- Rotação, Fonte: http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/no-42-shells-and-starfish/ Temos o caso de rotação verificado nesta obra do artista Escher. Na rotação todos os pontos do plano se movimentam, girando em torno de um ponto ou de um eixo, denominados, ponto central ou
eixo de rotação. É possível verificar este caso perfeitamente nessa imagem, o ponto central é verificado no centro das conchas e estas giram em torno desse ponto. Reflexão seguida de translação: Imagem 08- Reflexão seguida de translação, Fonte:http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/no-15-lizard/ Na imagem 08 verifica-se o caso de reflexão seguida de translação. Ao analisar a figura é possível ver que as imagens estão refletidas e transladadas. Ou seja, as obras de Escher traziam conceitos matemáticos que podem ser trabalhados em sala de aula pelo professor, como os quatro casos de simetria analisados nas figuras acima, de modo que fazer essa relação da Arte com a Matemática possa contribuir para uma aula menos cansativa e tradicional. ESCHER E A PAVIMENTAÇÃO DO PLANO Além de simetria, outro conceito matemático que Escher explorava em suas obras era a pavimentação do plano. Segundo Sampaio (2006), a obra de Escher é um exemplo de como podemos abordar assuntos complexos e com isso aperfeiçoar e facilitar o entendimento por meio de figuras, ao invés do uso exclusivo das palavras. Sabemos que na Matemática, a única forma de pavimentarmos o plano, é utilizando-se de triângulos equiláteros, os quadrados e os hexágonos regulares, lembrando que, quando falamos em pavimentar o plano, estamos falando em preencher todo o plano com essas figuras, de modo que, não sobre áreas livres. Como na figura abaixo:
Figura 01: Pavimentação do Plano Fonte: (SAMPAIO, 2006, p. 48). Porém, em várias obras de Escher uma coleção de figuras regulares vão cobrindo todo o plano e em suas obras ele não demonstra usar os polígonos acima. Observe a figura 02: Figura 09 Pavimentação do Plano - Fonte:http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/no-41-twofish/ Na figura 02 é possível visualizar o plano sendo todo pavimentado pelas figuras simétricas. Se analisarmos a obra é possível verificar que Escher usava da Arte para explorar a Matemática. Mas como o artista conseguia fazer isso? De acordo com Sampaio (2006) Escher consegue transformar um quadrado em um peixe, pegando um quadrado e recortando aqui e ali conseguia transformá-lo num peixe com a mesma área. Deste modo, as figuras encaixam perfeitamente nas pavimentações do plano e são mais atraentes do que um quadrado. Do mesmo modo é feito para os demais polígonos. De acordo com Sampaio (2006), para Escher o plano se estende sem fronteiras em todas as direções podendo ser preenchido e dividido até o infinito por figuras geométricas similares sem deixar nenhum espaço livre. Mas como esse preenchimento da superfície é um pequeno fragmento da
superfície, ou seja, só imaginamos esse infinito como algo que não termina, dessa forma podemos associar esse fato ao infinito potencial que é um tema também complexo na Matemática. CONSIDERAÇÕES FINAIS O trabalho teve como objetivo explorar as obras do artista Escher e mostrar como este utilizava temas complexos da Matemática de maneira simples e encantadora. Pois através de conceitos matemáticos, mais especificamente a Geometria, Escher conseguia efeitos surpreendentes em suas produções. Voltando para o ensino de Matemática, é mais fácil um aluno não se animar para estudar de uma maneira tradicional apenas resolvendo exercícios, mas demonstrar entusiasmo quando o professor apresentar gravuras de Escher, falando também um pouco da vida deste, explorar todos es elementos matemáticos presentes na obra, tanto o estético e principalmente relacionar aos conteúdos presentes nas grades curriculares. Trabalhar em sala de aula com as gravuras de Escher não está fora do alcançe de nenhum professor, sendo que nas obras é possível trabalhar diversos outros conteúdos que podem ser explorados além de simetria, pavimentaçã do plano e o infinito através da riquíssima produção desse artista. Com isso o professor pode fazer com que suas aulas tornem-se mais atrativas e menos tradicionais, cativando e despertando o interesse dos alunos. Logo esta ligação com a Arte pode ser uma boa alternativa para se trabalhar com alunos que não se identificam com aulas formais. REFERÊNCIAS BERRO, R. T. Relações Entre Arte E Matemática: Um Estudo Da Obra De Maurits Cornelis Escher; 2008; 108 f.dissertação (Mestrado)-Programa Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação Turma Minter, Universidade São Francisco, Itatiba, 2008. FLORES, C. R. A Problemática do Desenho em Perspectiva: Uma Questão de Convenção. ZETETIKÉ CEMPEM FE Unicamp v.11 n. 19, - Jan./Jun. 2002. ZALESK, D. F. Matemática e Arte. Belo Horizonte: Autêntica, 2013. FLORES, C. R.; ZAGO, H. S. Uma Proposta para Relacionar Arte e Educação Matemática. Revista latino Americana de Investigación em Matemática Educativa, vol-13 (3), 2010. BERRO, R. T. Relações entre arte e matemática: um estudo da obra de Maurits Cornelis Escher. Dissertação (mestrado) Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação da Universidade São Francisco. Itatiba, 2008. FONSECA, C. R. C. da. Conceito de Simetria em Livros Didáticos de Matemática para o Ensino Fundamental, Mestrando em Educação Matemática e Tecnológica pela UFPE. Recife, 2010.
SAMPAIO, P. A. da S. R. Concepções de infinito dos alunos do ensino secundário: contributo da webquest Escher e a procura do infinito. Tese de Mestrado em Educação, ramo da Tecnologia Educativa. Universidade do Minho Portugal, 2006.