2 Revisão Bibliográfica 2.1. Introdução A teoria linear elástica ode ser alicada na análise de vigas contínuas de concreto rotendido, desde que o concreto não esteja fissurado. Este rocedimento é razoável, ois, sob cargas de serviço, a maioria dessas vigas não aresenta fissuração, isto orque são rojetadas ara rotensão comleta ou limitada. As vigas, todavia, odem ser submetidas eventualmente a sobrecargas maiores que as revistas ou odem até mesmo ser rojetadas ara ermitir um certo grau de fissuração, como no caso de rotensão arcial (Lin,1981). Nos últimos anos, oucas investigações exerimentais têm sido realizadas sobre redistribuição de momentos. As investigações têm sido rincialmente concentradas no desenvolvimento de rogramas comutacionais ara redizer o comortamento teórico das estruturas. Neste caítulo, aresenta-se uma revisão sobre as rinciais características das vigas construídas em aduelas ré-moldadas, além do conceito sobre redistribuição de momentos segundo a análise lástica e a consideração da redistribuição de momentos segundo as normas e os vários estudos disoníveis na literatura. 2.2. Comortamento de vigas construídas a artir de aduelas rémoldadas Na literatura técnica disonível são encontrados vários trabalhos tanto numéricos (Virlogeux, 1983; Martins, 1989; Désir, 1993; Ramos, 1994) como exerimentais (Hoang et al., 1990, Menezes e Fouré, 1995; Fouré et al., 1993; Regis, 1997, Aaricio et al., 2002) referentes ao comortamento último de vigas construídas em aduelas ré-moldadas. Estes trabalhos são, na grande maioria, restritos ao estudo de vigas isostáticas rotendidas com cabos de aço. Os oucos trabalhos sobre vigas contínuas em aduelas não fazem referências ao comortamento quanto à redistribuição de momentos.
Revisão Bibliográfica 21 De um modo geral, os trabalhos exerimentais sobre vigas em aduelas têm como objetivo estudar, sob cargas de serviço e na rutura, os efeitos da concentração de deformação nas vizinhanças das juntas sobre o comortamento em flexão. A concentração de deformação que ocorre nas juntas é o enfoque rincial dos trabalhos numéricos, que rocuram desenvolver um modelo que seja caaz de redizer com eficiência o comortamento deste tio de estrutura. A seguir são descritas, resumidamente, as rinciais características das vigas construídas em aduelas ré-moldadas em relação aos deslocamentos, à abertura de juntas, às deformações, à concentração de deformação nas juntas e à força na armadura de rotensão. Deslocamentos A figura 2.1 mostra as curvas carga vs. deslocamento de uma viga em aduelas e de duas vigas monolíticas com diferentes taxas de armadura assiva, todas rotendidas com cabos externos de aço (Martins, 1989). A característica tíica das curvas carga vs. deslocamento de uma viga monolítica (ρ s = 0,77%) rotendida com cabos externos é a existência de três estados bem definidos: o rimeiro corresonde ao estado elástico não fissurado; o segundo é o estado elástico fissurado, iniciado com a fissuração do concreto; e o terceiro estado, o lástico, iniciado com o escoamento da armadura assiva. Os dois últimos estados são caracterizados elo declínio na inclinação da curva, ou seja, ela erda de rigidez das vigas. A viga em aduelas difere da viga monolítica (ρ s = 0,77%) or ossuir aenas dois estados bem definidos: o rimeiro, de maior inclinação, corresonde ao estado de não abertura das juntas; e o segundo estado, referente à abertura das juntas e fissuração das aduelas (conforme a relação comrimento/altura, da aduela). Assim como na viga monolítica, este último estado é caracterizado ela erda de rigidez da viga. Entretanto, a viga construída com aduelas tem o mesmo comortamento de uma viga monolítica, com taxa de armadura assiva muito equena, como a mostrada na figura 2.1.
Revisão Bibliográfica 22 800 700 Carga alicada (kn) 600 500 400 300 200 100 0 NM2 - aduelas (ρs = 1,05%) NM6 - monolítica (ρs = 0,02%) NM10 - monolítica (ρs = 0,77%) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Deslocamento (mm) Figura 2.1 - Curvas carga alicada vs. deslocamento ara uma viga em aduelas e duas vigas monolíticas com diferentes taxas de armadura assiva (Martins, 1989). Abertura das juntas Uma curva tíica relacionando carga alicada vs. abertura da junta entre aduelas (Martins, 1989) é mostrada na figura 2.2. Observa-se que, aós a descomressão da junta, a abertura desta cresce raidamente ara equenos incrementos de carga alicada. A abertura da junta ao longo da altura de uma viga rotendida com cabos externos na região de flexão ura é mostrada na figura 2.3 (Fouré et al., 1993). Observa-se que o comortamento da abertura da junta ao longo da altura é raticamente linear até a carga de rutura, o que ossibilita a obtenção da osição da linha neutra (região comrimida) conhecendo o onto de abertura zero na junta. Este onto ode ser obtido quando se tem conhecimento da abertura da junta em dois ontos ao longo da altura da seção.
Revisão Bibliográfica 23 600 Carga alicada (kn) 500 400 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Abertura da junta (mm) Figura 2.2 - Evolução da abertura de uma junta com a carga alicada (Martins, 1989). osição ao longo da altura (m) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 região de comressão carga intermediária carga de rutura 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 Abertura da junta (mm) Figura 2.3 - Abertura de uma junta ao longo da altura da seção (Fouré et al., 1993). Deformações A Figura 2.4 mostra uma curva relacionando carga vs. deformação no concreto na junta entre aduelas, na região de maior comressão. As curvas aresentam forma semelhante à resosta da curva carga vs. deslocamento. A mudança na inclinação observada na curva é devida à abertura da junta. De um modo geral, os valores das deformações nas juntas críticas são elevados devido à concentração de deformação nesta região, ocasionada ela ausência de armadura de tração atravessando a junta.
Revisão Bibliográfica 24 600 Carga alicada (kn) 500 400 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 6 Deformação no concreto ( ) Figura 2.4 - Curva carga vs. deformação no concreto na junta entre aduelas (Martins, 1989). Concentração de deformação Uma característica tíica das vigas construídas em aduelas é a concentração de deformação nas juntas entre aduelas. A figura 2.5 mostra a distribuição de deformação de comressão no concreto em uma viga isostática em aduelas na região de momento constante (Hoang et al., 1990). Observa-se que a deformação na junta tende a crescer com o incremento da carga alicada, atingindo alta concentração de deformação nos instantes róximos da rutura. Nas regiões mais afastadas da junta, as seções são menos solicitadas. As figuras 2.6 e 2.7 mostram a evolução das deformações no concreto nas fibras sueriores ara duas vigas contínuas ensaiadas or Regis (1997), sendo uma viga monolítica e a outra em aduelas, resectivamente. Observa-se que, nas etaas iniciais de carregamento na viga monolítica, quase não existem diferenças nas deformações entre seções e nas etaas seguintes as deformações aumentam suavemente em direção à seção crítica. O mesmo não ocorre na viga em aduelas, na qual as deformações, desde o rincíio, encontram-se concentradas nas juntas. Nas seções fora das juntas as deformações trabalham róximas do regime elástico.
Revisão Bibliográfica 25 Deformação no concreto ( ) 1 0-1 -2-3 -4-5 -6 Carga de 182.9 kn Carga de 300 kn Carga de 400 kn Carga de 500 kn junta -7-80 -60-40 -20 0 20 40 60 80 osição da seção em relação a junta (cm) Figura 2.5 - Deformação no concreto na região de flexão ura de uma viga isostática em aduelas, ara diferentes níveis de carregamento (Hoang et al., 1990). Figura 2.6 Variação de deformação no too da seção da viga monolítica (Regis 1997). Figura 2.7 Variação de deformação média no too da seção da viga em aduelas (Regis 1997).
Revisão Bibliográfica 26 Força no cabo de rotensão A figura 2.8 aresenta uma tíica curva carga vs. força no cabo de rotensão, onde se observa semelhança de formas em relação à curva carga vs. deslocamento. A força na armadura rotendida ermanece raticamente constante até a abertura das juntas. Este é o mesmo tio de comortamento de uma viga monolítica (Regis, 1997). Aós a abertura da junta, com a erda da rigidez inicial, é observado um aumento significativo da força na armadura rotendida. Os resultados exerimentais mostram que a variação de tensão que ocorre nos cabos de rotensão nas vigas em aduelas é menor do que a observada nas vigas monolíticas (Martins, 1989; Regis, 1997). 600 Carga alicada (kn) 500 400 300 200 100 0 1600 1700 1800 1900 2000 Força nos cabos (kn) Figura 2.8 - Curva tíica carga alicada vs. força no cabo de rotensão ara vigas em aduelas com cabo externo (Martins, 1989). 2.3. Análise lástica das vigas 2.3.1. Vigas isostáticas Nas vigas isostáticas, a estrutura entra em colaso quando se esgota a caacidade resistente da seção mais solicitada. ara ilustrar o conceito de rótula lástica, será analisado o comortamento de uma viga simlesmente aoiada, sujeita a uma carga concentrada no meio do vão, como mostrado na figura 2.9a.
Revisão Bibliográfica 27 escoamento a) 2 l b) M e M = max c) κ max κ e Figura 2.9 - Formação de rótula lástica em uma viga de material elasto-lástico erfeito. Considera-se que a viga seja feita de um material elasto - lástico erfeito, cuja relação momento vs. curvatura em uma determinada seção é a mostrada na figura 2.10. O diagrama de momentos fletores tem a forma triangular, com momento máximo (M max ) igual a.l/4 (Figura 2.9b). Quando M max atinge o momento de lastificação (M ), forma-se uma rótula lástica. A lastificação não se restringe exclusivamente a uma seção, ois as deformações lásticas normalmente ocorrem em um determinado comrimento 2.l (Figura 2.9a) denominado comrimento de rótula lástica. ara fins ráticos, considera-se rótula lástica a seção totalmente lastificada e, ortanto, suõe-se a mesma concentrada em uma seção transversal. As zonas totalmente lásticas aarecem hachuradas na figura 2.9a. M Momento M Curvatura ϕ Figura 2.10 - Curva tíica momento vs. curvatura de um material elasto - lástico erfeito.
Revisão Bibliográfica 28 O diagrama da curvatura da viga está reresentado na figura 2.9c. A curvatura aumenta linearmente das extremidades ara o centro até alcançar os ontos limites da região lástica, onde se torna igual ao seu valor de escoamento κ e. Deste onto em diante, o crescimento é mais ráido e alcança o valor máximo κ máx no centro da viga. A curvatura máxima ermanece finita enquanto existir um núcleo elástico no meio da viga, a artir do qual a curvatura se torna extremamente grande. Com isto, a viga se rome devido às rotações excessivas que ocorrem na seção transversal média, enquanto as duas artes que a comõem ermanecem relativamente rígidas or estarem no regime elástico. Assim, a viga comorta-se como duas barras rígidas, ligadas or uma rótula lástica, que ermite às duas barras girarem, uma em relação à outra, sob a ação de um momento constante. No concreto armado a formação da rótula lástica é caracterizada ela lastificação do concreto e da armadura assiva de tração e do concreto (figura 2.11). A rofundidade da zona de comressão decresce com o aarecimento da rótula lástica. A figura 2.11b mostra a distribuição de rotações ao longo do eixo de uma viga solicitada or uma carga concentrada (Silva, 1977). O surgimento de fissuras e a conseqüente variação de rigidez da viga fletida contribuem ara a formação das rotações lásticas localizadas em torno da seção crítica. lastificação do concreto a) fissuras escoamento da armadura θ θ II b) θ I θ I θ II θ rotações na fase não fissurada rotações na fase fissurada rotações lásticas localizadas Figura 2.11 - Formação de rótula lástica em uma viga de concreto armado (Silva, 1977).
Revisão Bibliográfica 29 2.3.2. Vigas hierestáticas Material elasto - lástico erfeito Nas vigas hierestáticas, o esgotamento da caacidade resistente de uma seção não imlica necessariamente no colaso da estrutura. O colaso só ocorrerá quando a estrutura for transformada em um sistema instável, aós a formação de rótulas lásticas em diversas seções. As rótulas lásticas, que se formam com o crescimento do carregamento, só oderão resistir aos momentos até determinados limites, condicionados or sua caacidade de rotação. Uma viga n vezes hierestática entra em colaso quando, sob a ação das cargas, houver a formação de n+1 rótulas lásticas. ara demostrar o comortamento das vigas estaticamente indeterminadas, será aresentado o exemlo uma viga engastada numa extremidade e simlesmente aoiada na outra, com seção transversal constante e sujeita a duas cargas concentradas, nos terços do vão (Figura 2.12a). Considera-se o comortamento do material como elasto lástico erfeito, com curva característica relacionando momento vs. curvatura igual à aresentada na figura 2.10. ara qualquer valor de < e ( e carga corresondente ao início do escoamento) o diagrama de momentos fletores tem a forma mostrada na figura 2.12b. Esta é a fase elástica designada na figura 2.12c como fase 1, na qual: M A M B 1 = L (2.1) 3 1 = L (2.2) 9 M C 2 = L (2.3) 9
Revisão Bibliográfica 30 A A (a) B C L/3 L/3 L/3 D (e) fase 3 B = r C D M A M D D (b) M B M C (f) M B M A M (c) fase 1 B < e C D 2 3 M M M A A M C (d) fase 2 B e < < r C D e r fase 1 fase 2 fase 3 (g) diagrama momento vs. carga Figura 2.12- Análise lástica de vigas estaticamente indeterminadas. Quando o momento de engastamento M A atinge o momento de lastificação (M ), as seções B e C, sujeitas aos momentos M B e M C, ainda estão na fase elástica. Forma-se neste instante, na seção de engastamento (seção A), a rimeira rótula lástica. Seja e a carga corresondente. Então, M A 1 = M = e L (2.4) 3
Revisão Bibliográfica 31 e ortanto, e 3 M = (2.5) L Entretanto, uma única rótula não causa a rutura comleta da viga, ois esta se comorta como uma viga estaticamente determinda, suortando uma carga e e com momento fletor M em A. Se continuar a crescer, o momento de engastamento M A se mantém constante, ao asso que M C aumenta (designada na figura 2.12d como fase 2). Esse acréscimo de momento é igual a: 1 M C = ( e ) L (2.6) 3 Quando o momento em C atinge or sua vez o valor M forma-se nessa seção a segunda rótula lástica e a viga se transforma em um sistema hiostático, entrando em colaso (fase 3 da figura 2.14e). O diagrama momento vs. carga alicada é mostrado na figura 2.12g. ara se determinar a carga de rutura, ode-se usar diretamente a condição de rutura, vista na figura 2.12e, e calcular r com o auxílio da estática. Como os momentos fletores nas rótulas lásticas são iguais a M, o diagrama comleto dos momentos fletores ara a condição de rutura ode ser imediatamente traçado (ver figura 2.12f) e a carga r calculada or considerações de equilíbrio ou utilizandose o rincíio dos trabalhos virtuais. A carga de rutura, obtida or qualquer método de calculo, é dada ela eq. (2.7): r 4 M = (2.7) L Das equações 2.5 e 2.7, obtém-se a relação r e 4 = 1.33 (2.8) 3 Isto significa que a estrutura tem uma reserva de segurança em relação à formação da rimeira rótula lástica em torno de 33%.
Revisão Bibliográfica 32 Material elástico linear Seja agora a viga da figura 2.12a, feita de um material elástico, sem nenhuma caacidade de deformação lástica. Neste caso, a relação momento curvatura da viga é a mostrada na figura 2.13. A curvatura cresce linearmente com M até o momento de rutura (M u ) ser alcançado. Mu Momento M rutura Curvatura ϕ Figura 2.13 - Curva tíica momento vs. curvatura de uma material elástico linear. Tomando-se como referência a figura 2.12b, o valor último de ode ser obtido de: M ou seja, u A 1 = M u = u L (2.9) 3 3 M u = (2.10) L ortanto, quando atinge o valor u, ocorre a rutura na seção A e a viga assa a trabalhar como uma viga simlesmente aoiada, com momentos nas seções B e C iguais a: M B 1 = M C = u L (2.11) 3 Estes valores são iguais ao momento M u, ou seja, ocorre também a rutura em ambas as seções B e C. Em outras alavras, tão logo M u é excedido na seção A, a estrutura inteira rome sem aviso révio. ara uma viga sem ductilidade, tal como esta, a redistribuição de momento não é ossível.
Revisão Bibliográfica 33 Comortamento do concreto armado Os materiais que constituem o concreto armado aresentam comortamento diferenciado e odem ser caracterizados como materiais frágeis ou dúcteis, como mostrado na figura 2.14. O concreto simles aresenta-se em geral frágil e, or ser um material heterogêneo, ode se adequar a equenas mudanças de comortamento, deendendo da ercentagem dos elementos constituintes. Os aços que comõem o concreto armado aresentam comortamento dúctil, com deformabilidade muito suerior à do concreto. Desta forma, se a viga da figura 2.12a fosse de concreto armado, não se oderia afirmar a riori se a seção do engaste teria caacidade de rotação lástica suficiente ara ermitir a formação da segunda rótula lástica. Tensão frágil dúctil Deformação Figura 2.14 - Curva característica do comortamento dos materiais. A disosição da armadura conduz a uma certa influência na distribuição de fissuras na eça. Essas fissuras rovocam significativa diminuição no valor da rigidez à flexão da viga de concreto armado, ocasionando um grande aumento na curvatura nos trechos onde elas se concentram. Devido a grandes aberturas de fissuras, o comortamento da eça foge ao hiotético comortamento elástico - linear (linha tracejada da figura 2.15), definindo a formação das regiões inelásticas, reresentada na figura 2.15 ela área hachurada.
Revisão Bibliográfica 34 curvatura inelástica l curvatura elástica ϕ u Figura 2.15 - Distribuição das curvaturas ao longo de uma viga no estado limite último (ark e aulo, 1975). Numa eça de concreto armado de seção transversal geometricamente constante é ossível disor as armaduras de tal modo que os momentos resistentes acomanhem de erto os momentos solicitantes. ara demonstrar o comortamento de vigas de concreto armado, será considerado, como exemlo, a mesma viga da figura 2.12a, com distribuição diferente de armadura (Figura 2.16). ara o dimensionamento realizado de forma a cobrir o diagrama de momentos obtido de acordo com o cálculo elástico (figura 2.16a), o momento de rutura da seção no engaste (seção A) será igual a 1,5 vezes o momento de rutura da seção C. Isto significa que os momentos de rutura nas duas seções críticas serão atingidos ao mesmo temo. Neste caso não existe a reserva de segurança adicional (Figura 2.16 b). A reserva de segurança só existiria se a seção C fosse suerdimensionada em relação ao cálculo elástico, com a seção do engastamento dimensionada de acordo com este cálculo. Se, entretanto, a viga for dimensionada ara um diagrama de momentos com valores iguais na seção de engaste (seção A) e na seção C (Figura 2.16c), ode-se, neste caso, reroduzir o raciocínio feito ara a viga de material elasto-lástico erfeito de seção transversal constante. A viga romerá de acordo com o diagrama estiulado, desde que a rótula lástica formada na seção de engaste tenha caacidade de rotação suficiente. Embora não haja nas estruturas hierestáticas de concreto armado a reserva de resistência das estruturas hierestáticas de material elasto - lástico erfeito com seção transversal constante (ara efeito de comaração), as rimeiras ossuem, em geral, uma areciável caacidade de adatação a diagramas de
Revisão Bibliográfica 35 momentos que se afastem dos diagramas do cálculo elástico, desde que reseitado as condições de equilíbrio e comatibilidade da estática. A A 12 φ B C 8 φ D 10 φ B C 10 φ D (a) (c) M ru MA M M ru C M ru ru A= M C M A M A M C M C e e r (b) diagrama momento vs. carga (d) diagrama momento vs. carga Figura 2.16 - Vigas de concreto armado com distribuição diferente de armadura. De um modo geral, as vigas suerarmadas aresentam ruturas frágeis (Figura 2.17) que se assemelha ao comortamento aresentado na figura 2.13 e as vigas subarmadas aresentam um comortamento dúctil, regido elo aço na região tracionada, o que ossibilita a redistribuição de momentos nas vigas hierestáticas. Este tio de comortamento dúctil de estrutura subarmada assemelha-se ao retratado na figura 2.10 e é de grande interesse, uma vez que garante a formação da rótula lástica antes da rutura da viga. Momento M suerarmada subarmada Curvatura Figura 2.17 - Curvas tíicas momento vs. curvatura ara vigas de concreto subarmada e suerarmada. ϕ
Revisão Bibliográfica 36 Comortamento do concreto rotendido A armadura de rotensão funciona como uma armadura de tração, de maneira idêntica à armadura das eças de concreto armado. A única diferença é a existência do ré-alongamento da armadura de rotensão, causado ela força de rotensão. O ré-alongamento, ou alongamento inicial, soma-se ao alongamento devido à flexão da eça. Em uma viga isostática de concreto rotendido, como a mostrada na figura 2.18, a força de rotensão afeta aenas as tensões internas. As reações de aoio deendem aenas do carregamento externo, não sendo afetadas ela rotensão. No caso de uma viga descarregada, as reações de aoio serão nulas, indeendentemente da rotensão alicada. Como nesse caso não existe momento externo alicado, o momento resistente em qualquer seção deve ser nulo. or conseqüência, a linha que une os ontos de alicação da força resultante no concreto (R c ) nas seções, dita linha de ressão no concreto, coincide com o traçado do cabo, ou seja, com a linha que une os ontos de alicação da força de rotensão (R ) nas seções. centro de gravidade cabo de rotensão e R Rc R = 0 M = R.e = Rc.e Figura 2.18 - Momento no concreto devido à rotensão em uma viga simlesmente aoiada. Suondo-se que seja introduzido um aoio nesta viga, tornando-a uma viga hierestática de dois vãos. Neste caso, a seção desse novo aoio, que antes aresentava um deslocamento δ B ara cima, terá esse deslocamento imedido elo aoio, como mostrado na figura 2.19. O diagrama do momento fletor M 1, dito rimário, causado ela excentricidade da força de rotensão, obtido tratando-se a viga como coro livre, também encontra-se reresentado na figura 2.19. Como o
Revisão Bibliográfica 37 deslocamento nesse aoio é nulo, aarece uma força R b no aoio que anula δ B (Figura 2.20), rovocando esforços na viga, reresentados elo diagrama M 2 (Figura 2.20), dito secundário. A combinação de M 1 e M 2 fornece o diagrama final M R rovocado ela rotensão, como mostrado na figura 2.20. É claro que o momento secundário em uma viga contínua só existe se o cabo for não concordante, ou seja, a linha de ressão roduzida não coincidir com o traçado do cabo. R e R A B C R δ B A B C e R M = R.e 1 Figura 2.19 - Momento no concreto devido à rotensão em uma viga contínua. O diagrama de momentos rimários M 1 tem a forma do cabo, uma vez que (x) M 1 = e(x) (2.12) Já o momento secundário M 2 varia linearmente entre os aoios, ois é causado elas forças concentradas (reações). R R δ = 0 B R A R B R C M 2 M R Figura 2.20 - Diagrama de momento secundário e resultante.
Revisão Bibliográfica 38 Desta forma, nas vigas hierestáticas estão resentes os mesmos esforços das vigas isostáticas. A eles se somam ainda esforços rórios da rotensão em vigas hierestáticas, que não existem nas vigas isostáticas, ditos esforços devidos aos hierestáticos de rotensão. O hierestático de rotensão é definido como sendo o efeito de reação rovocado na eça rotendida or aoios ou vínculos que imeçam as deformações decorrentes da rotensão no onto onde os mesmos atuam. A determinação do hierestático de rotensão, ara vigas no estado não fissurado, ode ser feita de várias formas utilizando-se, or exemlo, o método das forças ou o método das cargas equivalentes aresentadas em Lin (1981). A resistência última de uma viga contínua de concreto rotendido ode ser estimada or meio de uma análise limite, se a formação de rótulas lásticas em ontos de momento máximo for ossível. A formação do mecanismo de rutura e o momento corresondente na seção crítica só odem ser obtidos ara seções subarmadas com suficiente caacidade de rotação lástica. ara seções suerarmadas, que odem romer bruscamente na zona comrimida antes da ocorrência de rotações areciáveis, a formação de uma rótula lástica não ode ser revista. A relação tíica entre momento e curvatura ara uma seção de concreto rotendido é mostrada na figura 2.21, onde M cr é o momento de fissuração da seção e M u é o momento último. ara valores de momento maiores que M cr, a rigidez é consideravelmente reduzida ela fissuração e elas deformações inelásticas do aço e do concreto. M M u M cr Curvatura Figura 2.21 - Curva tíica momento vs. curvatura ara uma viga de concreto rotendido. ϕ
Revisão Bibliográfica 39 O comortamento tíico carga vs. momento fletor ara uma viga de concreto rotendido com cabo não concordante (figura 2.22a) é mostrado na figura 2.22b (Kodur e Cambell, 1999). Devido à não concordância do cabo, é observada a resença do momento secundário nas curvas referentes ao engaste e ao vão. Aós a fissuração, ocorre a redistribuição de momentos. A elástico lástico u elástico lástico (a) B C D aoio vão M A M sec(vão) M C M Figura 2.22 - Relação tíica carga vs. momento ara uma viga de concreto rotendido (Kodur e Cambell, 1999). (b) M sec(aoio) 2.4. Caacidade de rotação da rótula lástica Nos últimos anos, várias normas vêm revendo análises não lineares admitindo a ossibilidade da formação de um mecanismo de colaso originados or rótulas lásticas nas regiões críticas. ara que o mecanismo de colaso ocorra, faz-se necessário que a caacidade de rotação requerida não ultraasse a caacidade de rotação lástica disonível elas seções de concreto armado ou concreto rotendido. A caacidade de rotação das rótulas lásticas em estruturas de concreto armado ou rotendido deende de diversos fatores, como or exemlo: roriedades mecânicas do concreto à tração e comressão; resistência e ductilidade do aço; forma da seção transversal; taxa geométrica e mecânica da armadura (assiva e de rotensão); confinamento do concreto; tio de carregamento;
Revisão Bibliográfica 40 efeito do cisalhamento; excentricidade do cabo. De acordo com estudos teóricos e exerimentais, deendendo da magnitude dos esforços cisalhamento, dois diferentes tios de rótulas lásticas odem surgir (figura 2.23 ). A chamada rótula de fissuras or flexão que ocorre em regiões onde o momento fletor é redominante (figura 2.23a), e a rótula de fissuras or cisalhamento que ocorre em regiões onde existe momento fletor e uma considerável arcela do esforço cortante atuante (figura 2.23b). a)rótula com momento fletor redominante b) Rótula com considerável arcela de esforço cortante Figura 2.23 Tios de rótulas lásticas (CEB, 1998). As rótulas originadas or fissuras decorrentes de esforços de flexão concentram as deformações lásticas em oucas fissuras, ocasionando uma caacidade de rotação lástica relativamente baixa. As rótulas de fissuras or cisalhamento aresentam um considerável aumento na caacidade de rotações lásticas decorrente das fissuras de flexão e cisalhamento. A maior caacidade de rotações lásticas nas seções submetidas ao efeito conjunto dos esforços de flexão e cisalhamento é decorrente do aumento do comrimento da rótula lástica. Quando os momentos ao longo de uma viga excedem os de lastificação, forma-se uma região com deformações lásticas que se estendem ao longo de um comrimento de lastificação (ara o caso da viga mostrada na figura 2.24 este comrimento equivale a l ). A área sombreada reresenta a rotação inelástica que ocorre na rótula lástica nas roximidades da seção crítica e, em algumas regiões observa-se uma flutuação das curvaturas devido ao acréscimo de rigidez entre as fissuras. A área inelástica no estado limite último ode ser substituída or um retângulo equivalente de altura (ϕ u - ϕ y ) e de comrimento l, que reresenta a mesma área real da distribuição das curvaturas inelásticas. O comrimento l é o
Revisão Bibliográfica 41 comrimento equivalente da rótula lástica, sobre o qual ode-se assumir que as curvaturas lásticas são constantes. Assim, a rotação da rótula lástica, considerando um lado da seção crítica, é dada or θ = ( ϕ ϕ ) l (2.13) u y Algumas exressões emíricas tem sido rostas ara estimar o comrimento equivalente de rótula lástica (l ), bem como a deformação máxima do concreto (ε cu ) à comressão, quando o estado limite último é atingido. Algumas dessas exressões odem ser encontradas na revisão bibliográfica realizada or Camos (1999) e or Cruz (1996). l curvatura inelástica curvatura elástica ϕ - u ϕ y ϕ u Figura 2.24 - Distribuição das curvaturas ao longo de uma viga em balanço no estado limite último (ark e aulo, 1975). Vários autores rouseram exressões teóricas e semi - emíricas ara estimar a caacidade de rotação de rótulas lásticas. A seguir são mostradas algumas equações roostas ara a determinação da caacidade de rotação da rótula lástica (θ ). Baker e Amarakone (1966) Os autores basearam-se em uma série de resultados teóricos - exerimentais (Baker, 1956; 1962) ara roor as seguintes exressões ara o cálculo da rotação da rótula lástica em um lado da seção crítica, considerando concreto sem confinamento:
Revisão Bibliográfica 42 ε ε cu ce θ = l (2.14) onde, l ξd 1/ 4 z = K1K 2K3 d (2.15) d com, z = distância da seção crítica ao onto de momento nulo d = altura útil da seção transversal ε cu = 0.0035, deformação máxima do concreto ε ce = 0.002, deformação máxima do concreto na comressão axial K 1 = 0.7, ara armadura de aço doce e 0.9 ara armadura de aço torcido K 2 = igual a 1 na flexão simles K 3 = varia de 0.6 a 0.9 quando a resistência do concreto está comreendida 350 kgf/cm 2 e 115 kgf/cm 2 ξ = relação entre altura da seção acima da linha neutra e altura útil, na rutura. ara concreto confinado com armadura de aço transversal considera-se, z θ = 0.8.( εcu' εc1)k1k 3 (2.16) d " " 1 ε cu' = 0.0015(1 + 1,5ρ + (0.7 10ρ )) 0.01 (2.17) ξ onde, ε cu' = deformação máxima do concreto confinado. ρ " = ercentagem de estribos (área de armadura transversal/área da seção) ara os valores usuais de l/d e z/d, o autor sugere que os valores de l variem entre 0.4d e 2.4d.
Revisão Bibliográfica 43 CEB-FI (1990) O CEB (1990) sugere que a caacidade de rotação lástica de elementos de concreto armado ode ser obtida através da distribuição das deformações médias do aço ao longo de um lado da seção lastificada. O arâmetro utilizado ara a determinação da caacidade de rotação lástica é a razão entre a rofundidade da linha neutra e a altura útil, d (ξ=x/d), já que este arâmetro resume a influência de imortantes variáveis como geometria da seção, taxa de armadura total e solicitações na seção. As curvas roosta elo CEB (1990), mostradas na figura 2.25, referem-se a seções com armaduras assivas, tios A e B, e são válidas ara a relação vão-altura de 6 (l/d=6). De acordo com a norma, a rotação lástica aumenta com o vão de acordo com a exressão: 0. 5 * * l l l 6. d = θ θ (2.18) 0.020 0.015 Rotação (rad) 0.010 0.005 Aço tio A Aço tio B 0.000 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 Relação x/d Figura 2.25 - Caacidade de rotação lástica em função de ξ=x/d na rutura (aços tios A e B) segundo CEB-FI(1990). Os aço classes A, B, e S são definidos de acordo com o CEB-FI (1990) tomando como base a relação f t /f y e a deformação última ε uk. Segundo o CEB-FI (1990), tem-se
Revisão Bibliográfica 44 Classe A: (f t /f y ) k >1,08 com ε uk = 5% Classe B: (f t /f y ) k >1,05 com ε uk = 2,5% (2.19) Classe S: (f t /f y ) k >1,08 com ε uk = 6% Eurocode 2 (1992) A caacidade de rotação da rótula lástica θ, segundo Eurocode (1992) deende do tio de aço, tio do concreto e rofundidade relativa da linha neutra. ara concreto até o limite de 50 Ma (ε c2u = 0.0035) a caacidade de rotação ode ser obtida ela figura 2.26 ou elas eq. de 2.20 a eq. 2.25 ara concreto com limites entre 55 e 90 Ma, os valores ara θ devem ser reduzidos com o fator ε c2u /0.0035, onde o valor ε c2u deende do tio de concreto (o valor é fornecido elo Eurocode 2, 1992). - Aço tio C ara 0.05 x/d 0.14 ara 0.14 x/d 0.50 - Aço tio B ara 0.05 x/d 0.16 ara 0.16 x/d 0.50 - Aço tio A ara 0.05 x/d 0.16 ara 0.16 x/d 0.50 θ θ θ θ θ θ x 3.738 d = 4.740 ε e (2.20) c2u x 3.480 d = 13.020 ε e (2.21) c2u x 4.644 d = 2.178 ε e (2.22) c2u x 3.351 d = 9.768 ε e (2.23) c2u x 6.301 d = 0.834 ε e (2.24) c2u x 1.382 d = 2.851 ε e (2.25) c2u Os aço classes A, B, e C são definidos de acordo com o Eurocade 2 (1992) tomando como base a relação f t /f y e a deformação última ε uk. Segundo o Eurocade 2 (1992), tem-se Classe A: (f t /f y ) k >1,05 com ε uk = 2,5% Classe B: (f t /f y ) k >1,08 com ε uk = 5% (2.26) Classe C: (f t /f y ) k >1,15 e < 1,35 com ε uk = 7,5%
Revisão Bibliográfica 45 θ Figura 2.26 - Caacidade de rotação lástica em função de x/d na rutura (aços tios A, B e C) segundo Eurocode 2(1992). NBR6118 -rojeto (2000) A caacidade de rotação da rótula lástica θ, de acordo com a norma brasileira NBR6118 (2003), deende do tio de aço e da rofundidade relativa da linha neutra. ara verificações de estados limites últimos ode ser efetuada análise lástica da estrutura, com a simulação de rótulas lásticas localizadas nas seções críticas. Segundo a norma é obrigatório a verificação das rotações nas rótulas lásticas, corresondentes aos mecanismos adotados, que não odem suerar a caacidade de rotação lástica das seções transversais corresondentes. Esse limite, função da rofundidade relativa x/d da linha neutra na seção ara o momento considerado na rótula, ode ser determinado através da figura 2.27, ara razão a/d igual a 6 (onde: a é a distância entre ontos de momento nulo da região que contém a seção lastificada). ara outras relações a/d, a NBR6118 (2003) revê a multilicação dos valores extraídos da figura or ( a / d) / 6.
Revisão Bibliográfica 46 Figura 2.27 - Caacidade de rotação lástica em função de x/d na rutura (aço CA 60 e demais) segundo NBR6118 (2003). Curva 1 - θ l = 2,0% d/x / d/x 0,17 Curva 2 - θ l = 3,5% d/x / d/x 0,15 (2.27) Camos (2001) Camos (2001) vem verificando a alicabilidade do método roosto or ela (Camos, 1999) ara estimar a resistência à flexão de elementos estruturais isostáticos de concreto rotendidos com cabos não aderentes, através de um modelo rígido-lástico simlificado, ara o caso de vigas hierestáticas rotendidas com cabos não aderentes. O modelo rígido-lástico aresentado or Camos (1999) considera que todas as rotações estejam concentradas em uma rótula lástica. A influência de vários arâmetros é levada em consideração como: a taxa de armadura na seção; a resistência do concreto; a força inicial de rotensão; os deslizamentos que ocorrem ao longo da armadura não aderente; e a variação de excentricidade do cabo de rotensão. ara validar as análises foram utilizados resultados exerimentais de vigas rotendidas com cabos externos arafil e outros resultados encontrados na literatura sobre o comortamento à flexão de vigas e lajes rotendidas com cabos de aço internos não aderentes (Camos e Guimarães, 2000). A figura 2.28 mostra a relação entre caacidade de rotação e osição relativa da linha neutra roosta or Camos (1999) e os resultados arciais da análise aramétrica sobre o comortamento à flexão de vigas hierestáticas. Os
Revisão Bibliográfica 47 valores ara a caacidade de rotação foram obtidos com base em um valor médio entre as rotações do aoio e vão. Observa-se que os resultados da análise aramétrica seguem a tendência observada ela curva roosta or Camos (1999) e o emrego destes resultados na análise rígido-lástica ara estimar a variação de tensão em cabos não aderentes (Camos e Guimarães, 2000) fornece uma boa aroximação ara estimar a força final na armadura de rotensão. A autora vem estudando um ajuste da curva roosta em 1999 ara estimar com mais recisão a caacidade de rotação de elementos hierestáticos considerando, searadamente, as rotações no aoio e no vão (figura. 2.29). 0.05 Camos (1999) - L/ d = 15 Resultados da análise aramétrica 0.04 Rotação (rad) 0.03 0.02 0.01 0.00 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 x/ d Figura 2.28 - Relação entre caacidade de rotação e osição relativa da linha neutra ara seção do vão: curva roosta em Camos (1999) e resultados arciais da análise aramétrica considerando o valor médio entre rotações do aoio e vão. Rotação (rad) 0.04 0.03 0.02 0.01 Rotação no aoio Rotação no vão Curva de ajuste ara rotação no vão Curva de ajuste ara rotação no aoio 0.00 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 x/ d Figura 2.29- Relação entre caacidade de rotação e osição relativa da linha neutra ara seções do vão e aoio.
Revisão Bibliográfica 48 2.5. Redistribuição de momentos 2.5.1. Vigas rotendidas com cabos de aço 2.5.1.1. rescrição de normas A norma britânica BS8110 (1985) admite que os momentos fletores obtidos na análise elástica odem ser redistribuídos, desde que seja mantido o equilíbrio estático da estrutura e que a redução máxima de momentos seja de 20% ara todas as ossíveis combinações de carregamento. A ercentagem de redistribuição é dada ela exressão x 50 100 20% (2.28) d que é função exclusiva da rofundidade relativa da linha neutra no estado limite último. Na relação acima, a máxima ercentagem ermitida de redistribuição, isto é 20%, é alcançada ara x/d = 0,3, enquanto que ara redistribuição zero x/d = 0,5. A norma canadense CAN3 - A23.3 M94 leva em consideração o mesmo arâmetro da norma britânica, como também a mesma ercentagem máxima de 20% no acréscimo ou redução nos momentos fletores obtidos na análise elástica ara as ossíveis combinações de carregamento. A ercentagem de redistribuição é dada ela seguinte exressão x 30 50 20% (2.29) d onde se faz necessária a correção dos momentos ositivos em função dos momentos negativos aós a redistribuição, de forma a garantir o equilíbrio da estrutura. De acordo com a eq. (2.29), a máxima ercentagem ermitida de redistribuição, isto é 20%, é alcançada ara x/d = 0,2, enquanto que ara redistribuição zero x/d = 0,6. Estes limites são maiores do que os aresentados ela eq. (2.28).
Revisão Bibliográfica 49 O código ACI-318 (1989) ermite uma redistribuição de momentos limitada. O aumento ou diminuição nos momentos negativos é calculado segundo uma análise elástica. A ercentagem de redistribuição é dada ela exressão com d ω + ( ω ω' ) d 20 1 (%) (2.30) 0.36 β 1 ρ f s ω = (2.31) f ' c ρ f y ω = (2.32) f ' c ρ ' f y ω ' = (2.33) f ' c 0,85 ara f ' c 28 Ma β1 (f ' c 28) 0,85 0,05 0,65 ara f ' c > 28 Ma 7 (2.34) Nestas equações, ρ = taxa geométrica de armadura assiva de rotensão; ρ = taxa geométrica de armadura assiva de tração; ρ = taxa geométrica de armadura assiva de comressão; f s = tensão na armadura de rotensão; f y = tensão de escoamento da armadura assiva; f c = resistência à comressão do concreto; d = distância da fibra comrimida até o centróide da armadura assiva de tração; d = distância da fibra comrimida até o centróide da armadura de rotensão; A modificação nos momentos negativos também ode ser usada ara o cálculo dos momentos em outras seções no vão corresondentes à mesma condição de carregamento. Além disto, a redistribuição dos momentos negativos só é ermitida se
Revisão Bibliográfica 50 ω ou ω + ( ω ω' ) ou + ( ω ω' ) d d d ω w w 0,24β 1 (2.35) d Desta forma, o limite inferior referente à quantidade de redistribuição é de 6,67% quando a eq. (2.30) atinge o valor máximo de 0,24β 1 e limite suerior de 20% caso a taxa total de armadura fosse igual a zero. ara que a redistribuição de momento referida acima também seja válida ara vigas com cabos não aderentes é necessário que tais vigas tenham uma taxa mínima de armadura assiva de tração. A norma do CEB-FI (1990) ermite redução de momentos rovenientes da análise linear. Esta redução ode ser feita multilicando-se o momento obtido na análise linear elo coeficiente de redistribuição δ, que deende do tio de aço e da resistência do concreto, conforme as seguinte condições : ara aços de classes A e S: a) δ 0,44 + 1,25 x/d ara concretos com 12 Ma f ck 35 Ma (2.36) b) δ 0,56 + 1,25 x/d ara concretos com 40 Ma f ck 60 Ma (2.37) O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: a) 0,75 δ 1,00 ara vigas contínuas e órticos indeslocáveis; b) 0,90 δ 1,00 ara órticos deslocáveis. ara aço classe B: δ 0,75 + 1,25 x/d ara concretos com 12 Ma f ck 60 Ma (2.38) com 0,90 δ 1,00 O Eurocade 2 (1992) revê o cálculo da redistribuição de momentos de forma semelhante ao CEB-FI (1990). O coeficiente de redistribuição δ é obtido segundo o tio de aço e da resistência do concreto, conforme as seguinte condições : ara aços de classes B e C: a) δ 0,64 + 0.8 x/d 0,70 ara concretos com f ck 50 Ma (2.39)
Revisão Bibliográfica 51 b) δ 0,72+ 1,25 x/d 0,80 ara concretos com 55 Ma f ck 60 Ma (2.40) ara aço classe A: a) δ 0,64 + 0.8 x/d 0,85 ara concretos com f ck 50 Ma (2.41) b) δ = 0,72+ 1,25 x/d 0,80 ara concretos com 55 Ma f ck 60 Ma (2.42) As normas brasileiras NBR 7197 (1989) e NBR 6118 (1978), que tratam de concreto rotendido e concreto armado, resectivamente, não se referem de forma esecífica à redistribuição de momentos. Entretanto, esta última admite o cálculo de vigas contínuas de edifícios em regime elasto-lástico, unicamente alterando-se a osição da linha de fechamento do diagrama de momentos fletores, determinada no regime elástico, de modo a reduzir os momentos sobre os aoios de no máximo 15%. Atualmente a NBR 6118 (1978) está em rocesso de revisão, onde é revista a sua substituição e a inclusão da NBR 7197 (1989) na mesma. Nesta nova versão é considerada a redistribuição de momentos mediante o emrego da análise linear no cálculo dos momentos fletores. A redistribuição é feita reduzindo-se um momento fletor de M ara δm, em uma determinada seção transversal. O coeficiente de redistribuição δ é função da osição da linha neutra x/d e é dado ela mesma relação fornecida elo CEB-FI (1990), ara o caso de aços classes A e S. As relações neste caso são válidas ara limites diferentes de resistência do concreto, conforme mostrado a seguir a) δ 0,44 + 1,25 x/d ara concretos com f ck 35 Ma (2.43) b) δ 0,56 + 1,25 x/d ara concretos com f ck > 35 Ma (2.44) O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: a) δ 0,75 em qualquer caso; ou b) δ 0,90 ara estruturas de nós móveis.
Revisão Bibliográfica 52 ode ser adotada redistribuição fora dos limites dados, desde que a estrutura seja calculada mediante o emrego da análise não-linear ou da análise lástica, com verificação exlícita da caacidade de rotação das rótulas lásticas. 2.5.1.2. Consideração segundo diferentes estudos Cohn (1986) definiu o grau de redistribuição como a relação entre a variação do momento real na seção no regime não linear e o momento elástico M e. Foi roosta a seguinte exressão ara o cálculo da ercentagem de redistribuição de momentos. M M η = 100 = 100 (1 ) (2.45) M M e e Nesta exressão se M = 0 significa que não existe redistribuição de momentos. Entretanto, não é ossível se fixar uma valor numérico ara M quando a redistribuição for comleta, ou seja, a carga última for igual a carga obtida na analise lástica. Arenas (1986) quantificou a redistribuição de momentos em termos da relação de adatação lástica (AR), que é definida or AR col f el = (2.46) l γ γ f el onde col é igual à caacidade de carga última, l é a caacidade de carga obtida na análise lástica e γ f. el caacidade de carga baseada na teoria elástica - linear afetada elo coeficiente de segurança. A redistribuição de momentos é comleta quando col = l, ou seja, AR = 1, e quando não há redistribuição col = el, ou seja, AR = 0. A mesma exressão acima foi roosta or Moucessian (1986), diferindo aenas or não levar em conta o coeficiente de segurança γ f. A exressão da relação de adatação lástica (AR1) é dada or: AR1 col el = (2.47) l el
Revisão Bibliográfica 53 A artir dos resultados de estudos realizados em 94 vigas, obtidos da analise não-linear elo método dos elementos finitos, Moucessian e Cambell (1988) rouseram um cálculo aroximado da carga de rutura de vigas contínuas de dois vãos, com rotensão arcial, em função da relação de adatação lástica (AR1) e da relação de momento (MR). A relação roosta entre AR1 e MR é dada or AR1 + MR = 1 quando 0 MR 0,75 (2.48) 6.AR1 + 2.MR = 1 quando 0,75 MR 1,50 (2.49) AR1 = 0,0 quando 1,50 MR 2,25 (2.50) 3.AR1-4.MR = 1 quando 2,25 MR 3,00 (2.51) A relação de momento (MR) foi arbitrariamente definida como sendo: [ M c M sec (aoio)] [ M M (vão)] MR = (2.52) s sec onde M c e M s são os momentos últimos no aoio central e na seção critica do vão, resectivamente, e M sec (aoio) e M sec (vão) são os corresondentes momentos secundários. A alicação desta aroximação é limitada a um número reduzido de arâmetros. Alguns arâmetros tais como: forma da seção transversal, resistência à comressão do concreto e a relação vão-altura não foram considerados. Kodur e Cambell (1996) aresentaram uma nova exressão ara o cálculo da relação de adatação lástica (AR1) em função da relação de momento (MR) e da ercentagem de redistribuição (η). A seguinte exressão foi roosta onde η 100 η AR1 = (2.53) MR η = 100 η 2 3 EI 1 EI C 1 EI Cy d L M + 0.1m 1 + M sec c (2.54)
Revisão Bibliográfica 54 Nesta equação EI é a rigidez à flexão do vão, EI C é a rigidez à flexão na rutura na seção crítica do aoio, EI Cy é a rigidez à flexão da seção no aoio no início do escoamento da armadura assiva, d é a distância da fibra comrimida ao centróide da força de tração na seção do aoio central, L é o comrimento do vão, M sec é o momento secundário na seção do aoio central, M C é a caacidade última do momento na seção do aoio e m 1 é a fração do comrimento do vão entre a região da rótula e o onto adjacente de momento nulo. A relação de momento MR é definida como M C + M sec + Tf (M B a M C ) MR = 1 M C a (1 a) s1 (M C + M sec ) (2.55) onde M B é o momento último na seção do vão; a é a relação entre distância da seção crítica do vão ao aoio extremo e o comrimento do vão quando a resistência última do vão e do aoio central são atingidas simultaneamente s 1 = 16/3 ara uma carga concentrada e s 1 = 8 ara uma carga uniformemente distribuída em cada vão e T f = 1,0 ara uma carga concentrada e T f = 2,0 ara uma carga uniformemente distribuída em cada vão. Loes et. al. (1997) aresentaram os resultados de uma investigação exerimental sobre a redistribuição de momentos em vigas contínuas de concreto rotendidas com cabos internos aderentes. As vigas ré-moldadas foram transformadas em vigas contínuas ela concretagem osterior do flange, onde o momento de continuidade sobre os aoios é geralmente desrezado. Os autores também discutiram o conceito do grau de redistribuição de momentos segundo uma análise lástica, considerando o grau de redistribuição como função das cargas de rutura e lástica. Quando ocorre a igualdade entre essas cargas, significa que houve redistribuição total dos esforços. No caso das vigas analisadas exerimentalmente, ocorreu a comleta redistribuição dos esforços. Os autores obtiveram a seguinte exressão ara o fator de redistribuição em função dos vãos e da osição do carregamento em suas vigas 4 1 δ = ( ) (2.56) 3 M vão 0,5 M aoio
Revisão Bibliográfica 55 onde M vão é o momento de resistente do vão e M aoio é o momento resistente no aoio. Com os dados exerimentais, os autores obtiveram os valores máximo e mínimo da relação M vão /M aoio e os substituíram na eq. (2.56). Obtiveram os seguintes limites ara o fator de redistribuição: 0,48 δ 1,19 De acordo com os autores, estes limites são maiores que aqueles aresentados elas normas de cálculo que são: 0,75 δ 1,0 Os limites obtidos or Loes et. al. (1997), referentes ao fator de redistribuição, foram questionados or Cambell e Kodur (1999). Eles atribuíram o aumento nos limites às condições favoráveis das vigas ensaiadas, tal como a relação vão/ altura (aroximadamente 10) e o tio de carregamento (carga concentrada). No estudo realizado Kodur (1992) foi realizada uma análise aramétrica (com um rograma de elementos finitos não-linear) mostrando a influência de algumas variáveis na redistribuição de momentos em vigas contínuas de dois vãos. Os resultados obtidos or Kodur (1992) mostraram que a redistribuição de momentos foi reduzida com o incremento da relação vão/ altura e a redistribuição é maior ara uma carga concentrada do que ara uma carga uniformemente distribuída. ortanto, a influência de tais fatores ode ter contribuído ara o aumento nos limites do fator de redistribuição obtidos or Loes et. al. (1997). Kodur e Cambell (1999) realizaram um estudo aramétrico numérico sobre a redistribuição de momentos, mostrando a influência de algumas variáveis na redistribuição de momentos em vigas contínuas de dois vãos, com carregamento uniforme e rotendidas com cabos aderentes internos. Os resultados indicam que a redistribuição de esforços é influenciada elas características e elo comortamento do elemento estrutural como um todo, ao invés de ser considerada aenas como função da ductilidade de uma seção em articular. Segundo os autores, os fatores que influenciam esta redistribuição são: índice total de armadura, relação vão/altura, magnitude do momento hierestático de rotensão, forma da seção transversal, resistência do concreto, tio de carregamento.
Revisão Bibliográfica 56 Os resultados foram usados ara desenvolver a seguinte equação ara o cálculo da ercentagem de redistribuição de momentos (η) Vigas com cargas concentradas η = MR 0.7 60 1 e 0 η 60 (2.57) Vigas com carregamento uniforme η = 45 1 e MR 0.7 10 0 η 30 (2.58) onde η é relacionado com AR1 ela eq. (2.53) e MR é dada ela eq. (2.55). 2.5.2. Vigas com cabos sintéticos A maioria dos trabalhos realizados com cabos sintéticos são restritos ao estudo de vigas isostáticas. No caso articular dos cabos arafil, vários trabalhos (Branco,1993; Araújo; 1997; Formagini, 1999 ) já foram realizados na UC - Rio, com a finalidade de estudar a influência de alguns arâmetros sobre a resistência à flexão de vigas rotendidas com cabos externos. Na literatura disonível ainda é escassa a ocorrência de trabalhos sobre vigas hierestáticas rotendidas com cabos sintéticos. Em se tratando de trabalhos referentes à redistribuição de momentos em vigas hierestáticas, cabe destacar o trabalho exerimental realizado or Tezuka e Ochiai (1995) e o trabalho numérico que vem sendo desenvolvido or Camos (2001). Tezuka e Ochiai (1995) analisaram exerimentalmente cinco vigas hierestáticas de dois vãos e seção transversal constante, das quais duas com rotensão inicial zero. O objetivo foi investigar a influência de diferentes cabos de rotensão, com e sem resença da rotensão sobre a redistribuição de momentos. Os cabos utilizados foram de materiais lásticos reforçados com fibras (materiais FR) do tio aramida (AFR) e do tio carbono (CFR). Cabos de aço (SWR7A) foram também utilizados com o roósito de comaração. A figura