MATLAB para H-Álgebra Linear II Melissa Weber Mendonça 1 1 Universidade Federal de Santa Catarina 2011.2 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 1 / 15
Lembrando... >> v = [1 2 3] >> size(v) >> w = [1;2;3] >> size(w) >> u = [10 20 11] >> size(u) >> A = [5 2 3;3 8 9;1 6 4] >> size(a) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 2 / 15
Resolução de Sistemas Lineares com MATLAB Se quisermos encontrar x R n tal que Ax = b com A R n n e b R n, então fazemos >> x = inv(a)*b >> x = A\b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 3 / 15
Sistemas Retangulares Se A = LU, Ax = b LUx = b, e assim: >> [L,U] = lu(a) >> y = L\b >> x = U\y ou ainda: >> x = U\(L\b) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 4 / 15
Sistemas Retangulares Se A = LU, Ax = b LUx = b, e assim: >> [L,U] = lu(a) >> y = L\b >> x = U\y ou ainda: >> x = U\(L\b) Exemplo: x 1 2 0 1 1 0 1 1 0 x 2 1 x 1 2 0 1 3 = 5 1 x 4 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 4 / 15
Sistemas Retangulares Se A = LU, Ax = b LUx = b, e assim: >> [L,U] = lu(a) >> y = L\b >> x = U\y ou ainda: >> x = U\(L\b) Exemplo: x 1 2 0 1 1 0 1 1 0 x 2 1 x 1 2 0 1 3 = 5 5 x 4 M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 4 / 15
Imagem de uma matriz Quando usamos o comando >> B = orth(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço coluna (imagem) de A, ou seja, span(b) = span(a) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 5 / 15
Imagem de uma matriz Quando usamos o comando >> B = orth(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço coluna (imagem) de A, ou seja, span(b) = span(a) >> size(b) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 5 / 15
Espaço nulo de uma matriz Quando usamos o comando >> Z = null(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço nulo de A. M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 6 / 15
Espaço nulo de uma matriz Quando usamos o comando >> Z = null(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço nulo de A. >> A*Z M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 6 / 15
Espaço nulo de uma matriz Quando usamos o comando >> Z = null(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço nulo de A. >> A*Z >> size(z) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 6 / 15
Espaço nulo de uma matriz Quando usamos o comando >> Z = null(a) obtemos uma base ortonormal para o espaço nulo de A. >> A*Z >> size(z) >> Z *Z M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 6 / 15
Posto de uma matriz Para calcularmos o posto de uma matriz, usamos o comando >> rank(a) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 7 / 15
Calcular o produto interno entre dois vetores Para calcular o produto interno entre dois vetores, basta fazermos: >> v = [1;0;0] >> u = [0;1;0] M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 8 / 15
Calcular o produto interno entre dois vetores Para calcular o produto interno entre dois vetores, basta fazermos: >> v = [1;0;0] >> u = [0;1;0] >> u *v M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 8 / 15
Calcular o produto interno entre dois vetores Para calcular o produto interno entre dois vetores, basta fazermos: >> v = [1;0;0] >> u = [0;1;0] >> u *v >> v *u M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 8 / 15
Calcular o produto interno entre dois vetores Para calcular o produto interno entre dois vetores, basta fazermos: >> v = [1;0;0] >> u = [0;1;0] >> u *v >> v *u >> u *u M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 8 / 15
Norma de um vetor >> sqrt(u *u) >> norm(u) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 9 / 15
Exemplo Calcule o ângulo entre os seguintes vetores: u = (1, 1), v = ( 1, 1) Observação: 1 = π 180 radianos M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 10 / 15
Exemplo Calcule o ângulo entre os seguintes vetores: u = (1, 1), v = ( 1, 1) u = (2, 0, 0), v = (1, 3, 0), w = (4, 0, 1), t = (2, 1, 1) Observação: 1 = π 180 radianos M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 10 / 15
Exemplo Calcule o ângulo entre os seguintes vetores: u = (1, 1), v = ( 1, 1) u = (2, 0, 0), v = (1, 3, 0), w = (4, 0, 1), t = (2, 1, 1) u = (1, 1, 1, 1, 1), v = (2, 3, 4, 5, 6) Observação: 1 = π 180 radianos M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 10 / 15
Exemplo (Exercício 15, lista 3) A molécula de metano (CH 4 ) está organizada como se o átomo de carbono estivesse no centro de um tetraedro regular com quatro átomos de hidrogênio nos vértices. Se os vértices forem colocados em (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1) e (0, 1, 1) - observando que todas as seis arestas medem 2, de forma que este é um tetraedro regular - qual será o cosseno do ângulo entre os raios que vão do centro ( 1 2, 1 2, 1 2 ) aos vértices? M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 11 / 15
Produto externo: matrizes de posto 1 >> u = [1;1;1] >> A = u*u >> rank(a) >> null(a) >> orth(a) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 12 / 15
Sistemas sobredeterminados Ax = b = Solução: A T Ax = A T b x = (A T A) 1 A T b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 13 / 15
Sistemas sobredeterminados Ax = b = Solução: A T Ax = A T b x = (A T A) 1 A T b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 13 / 15
Sistemas sobredeterminados Ax = b = Solução: A T Ax = A T b x = (A T A) 1 A T b x = A + b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 13 / 15
Exemplo 1 2 3 A = 3 4 2 4, b = 7 6 5 1 6 >> x = inv(a *A)*A *b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 14 / 15
Exemplo 1 2 3 A = 3 4 2 4, b = 7 6 5 1 6 >> x = inv(a *A)*A *b >> x = (A *A)\(A *b) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 14 / 15
Exemplo 1 2 3 A = 3 4 2 4, b = 7 6 5 1 6 >> x = inv(a *A)*A *b >> x = (A *A)\(A *b) >> x = pinv(a)*b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 14 / 15
Exemplo 1 3 ( ) 4 A = 3 9 1 2 6, b = A = 12 1 8 5 15 20 >> x = inv(a *A)*A *b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 15 / 15
Exemplo 1 3 ( ) 4 A = 3 9 1 2 6, b = A = 12 1 8 5 15 20 >> x = inv(a *A)*A *b >> x = pinv(a)*b M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 15 / 15
Exemplo 1 3 ( ) 4 A = 3 9 1 2 6, b = A = 12 1 8 5 15 20 >> x = inv(a *A)*A *b >> x = pinv(a)*b Conclusão O MATLAB não resolve todos os nossos problemas :) M. Weber Mendonça (UFSC) MATLAB para H-Álgebra Linear II 2011.2 15 / 15