ROLMS RSOLVIDOS D FÍSI rof. nderson oser Gaudio Departamento de Física entro de iências xatas Universidade Federal do spírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 3/7/5 9: H RSNI, HLLIDY, RN, FÍSI, 4.D., LT, RIO D JNIRO, 1996. FÍSI 1 apítulo 8 - onservação da nergia roblemas 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 17 18 19 1 3 4 5 6 7 8 9 3 31 3 33 34 35 36 37 38 39 4 41 4 43 44 45 46 47 48 49 5 51 5 53 54 55 56 57 58 59 6 61 6 63 64 65 66 67 68 69 7 71 7 73
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS roblemas Resolvidos. lega-se que até 9 kg de água podem ser evaporados diariamente pelas grandes árvores. evaporação ocorre nas folhas e para chegar lá a água tem de ser elevada desde as raízes da árvore. (a) Suponha que em média a água seja elevada de 9, m acima do solo; que energia deve ser fornecida? (b) Qual a potência média envolvida, se admitirmos que a evaporação ocorra durante 1 horas? (ág. 159) (a) água ao ser transportada para o topo da árvore tem sua energia potencial aumentada de U = até U = mgh. Ou seja: Δ U = U U Δ U = mgh O trabalho realizado para elevar a água corresponde à energia que deve ser fornecida: W = Δ U = mgh= 81.6,8 J (b) W 81, kj W mgh = 1,885 W Δt = Δt = 1, 88 W 1. Um carro de montanha russa, sem atrito, parte do ponto (Fig. 5) com velocidade v. alcule a velocidade do carro: (a) no ponto, (b) no ponto, (c) no ponto D. Suponha que o carro possa ser considerado uma partícula e que permaneça o tempo todo no trilho. (ág. 159) omo a única força que realiza trabalho (peso do carrinho) é conservativa, o sistema é conservativo. ortanto é possível aplicar o princípio da conservação da energia mecânica. Vamos supor que na base da montanha russa U g =. (a) + Ug = + Ug 1 1 mv + mgh = mv + mgh Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS (b) (c) v = v + Ug = + Ug 1 1 h mv + mgh = mv + mg v + gh= v + gh v = v + gh D + Ug = D + UgD 1 1 mv + mgh = mv + v + gh= v v = v + gh 13. Uma haste delgada de comprimento L =,13 m e de massa desprezível pode girar em um plano vertical, apoiada num de seus extremos. haste é afastada de θ = 35,5 o e largada, conforme a Fig. 8. Qual a velocidade da bola de chumbo presa à extremidade inferior, ao passar pela posição mais baixa? onsidere o seguinte esquema: (ág. 16) Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 3
roblemas Resolvidos de Física rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS Lcosθ θ L h v m Ug = v = única força que realiza trabalho neste sistema é o peso da massa m. tensão na corda, que é radial, é sempre ortogonal aos deslocamentos tangenciais da massa e, portanto, não realiza trabalho. Logo, a energia mecânica do sistema é conservada: + Ug = + Ug 1 + mgh = mv + gl ( Lcos θ ) = v v = gl(1 cos θ ) =, 749135 m/s v,75 m/s expressão literal da resposta indica que se 1 cos θ = implica em v =. Isso ocorre quando o cos θ = 1 ou θ =. 1. mola de um revólver de brinquedo tem constante elástica de 7,5 N/cm. O revólver é inclinado de 36, o acima da horizontal e dispara uma bola de 78 g à altura de 1,9 m acima da boca do revólver. (a) Qual a velocidade de saída da bola? (b) De quanto deve ter sido comprimida inicialmente a bola? (ág. 161) onsidere o seguinte esquema da situação: y v g v h θ m θ d k omo o sistema é conservativo, vamos aplicar o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos e. Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia x 4
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS + Ug = + Ug No ponto o projétil tem velocidade vertical igual a zero e velocidade horizontal (que é a velocidade do projétil) igual a v cos θ. 1 1 mv ( ) + = m vcosθ + mgh v = v cos θ + gh gh v = = 1,3874 m/s 1 cos θ v 1 m/s (b) plicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos e : + Ug + Ue = + Ug + Ue 1 1 mgd senθ kd mv k + = + + mg senθ mv d d = k k s raízes desta equação são: d1 =,18364 d =,1713 omo d > : d1,11 m 3. Uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito, ficando um quarto do seu comprimento dependurado na borda (veja Fig. 33). O comprimento da corrente é L e sua massa m; que trabalho é necessário para puxar para o tampo da mesa a parte dependurada? (ág. 161) onsiderando-se que a força F irá puxar a corrente para a direita com velocidade constante, seu módulo será sempre igual ao módulo do peso (y) da parte suspensa da corrente. omo o peso o peso da parte suspensa da corrente é variável, F também é variável. Seja μ a densidade linear de massa da corrente: Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 5
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS m μ = L m= μl massa da parte suspensa, que depende do comprimento y (coordenada vertical) vale: Logo: m( y) = μ y F = = m g = μgy ( y) ( y) ( y) ortanto, o trabalho da força F (y) vale: L /4 y L/4 m y mg L ( y). y μ L L 16 W = F dy = gydy = g = mgl W = 3 6. Duas crianças brincam de acertar, com uma bolinha lançada por um revólver de brinquedo situado na mesa, uma caixinha colocada no chão a, m da borda da mesa (veja a Fig. 35). iko comprime a mola de 1,1 cm, mas a bolinha cai a 7, cm antes da caixa. De quanto deve a mola ser comprimida pela iba para atingir o alvo? onsidere o seguinte esquema: y v = (ág. 161) x g 1 v x d l Vamos aplicar o princípio da conservação da energia mecânica no lançamento horizontal da bola pela mola: Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 6
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS + U = + U e 1 1 + kx = mv + kx = mv Logo, para o lançamento 1 teremos: kx1 = mv 1 ara o lançamento, teremos: kx = mv Dividindo-se (1) por (): x1 v1 = x v x x 1 v1 e v = (3) Movimento horizontal da bola: x = x + vxt Logo, para o lançamento 1 teremos: l d = vt 1 ara o lançamento, teremos: l = v t Dividindo-se (5) por (4) e lembrando-se que t tem o mesmo valor nessas equações: l v = l d v 1 Substituindo-se (6) em (3): l x = x1 1, 5388 cm l d = x 1, 5cm (1) () (4) (5) (6) 7. Um pequeno bloco de massa m escorrega ao longo de um aro como mostrado na Fig. 36. O bloco sai do repouso no ponto. (a) Qual a força resultante que atua nele quando estiver em Q? (b) que altura acima do fundo deve o bloco ser solto para que, ao passar na parte mais alta do círculo, esteja a ponto de desprender-se dele? Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 7
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS (a) No ponto Q as forças que atuam no bloco são: Q N y (ág. 161) = mgj x N= Ni () m Q a força normal (N) é a própria força centrípeta do movimento circular de raio R, uma vez que o peso do bloco () não possui componente radial. Logo: mvq FcQ, = N = (3) R plicando-se o princípio da conservação da energia aos pontos e Q: Q + Ug = Q + UgQ 1 + mg5r = mvq + mgr v Q = 8gR Substituindo-se (4) em (3): N = 8mg Substituindo-se (5) em (): N = 8mgi ortanto, a força resultante sobre o bloco no ponto Q vale: R= N+ R = 8mgi mgj (b) condição para que no ponto T (topo da trajetória circular) o bloco esteja na iminência de desprender-se da superfície é que a força normal exercida pela superfície sobre o bloco (N T ) seja zero. Logo, a força centrípeta do bloco no ponto T será seu próprio peso. mv FcT, = = mg = R vt = gr T (1) (4) (5) (6) (7) Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 8
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS plicando-se o princípio da conservação da energia aos pontos S e T, onde S é o novo ponto da rampa (altura h) de onde será solto o bloco a partir do repouso: S T S + UgS = T + UgT 1 + mgh = mvt + mg R (8) Substituindo-se (7) em (8): 1 h= R+ R 5R h = 3. O fio da Fig. 38 tem comprimento L = 1 cm e a distância d ao pino fixo é de 75, cm. Quando se larga a bola em repouso na posição mostrada ela oscilará ao longo do arco pontilhado. Qual será a sua velocidade (a) quando alcançar o ponto mais baixo do movimento? (b) quando alcançar o ponto mais elevado depois que o fio encostar no pino? onsidere o seguinte esquema: v = v d (ág. 16) r Ug = v plicando-se o princípio da conservação da energia aos estados e : + Ug = + Ug 1 + mgl = mv + Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 9
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS v v = gl = 4,85 m/s 4,85 m/s sta velocidade é a mesma que seria obtida caso o bloco tivesse caído em queda livre da altura d + r. (b) De acordo com o resultado do problema 33 (ág. 16), para que a bola faça um círculo completo ao redor do ponto a distância d deve ser maior do que 3L/5. omo 3L/5 = 7 cm e d = 1 cm, isso implica em d > 3L/5. ortanto, a bola faz uma trajetória circular completa ao redor do pino. hamando de o estado do sistema quando a bola está no topo da trajetória circular ao redor do pino: + Ug = + Ug 1 + mgl = mv + mg( L d) v = gl 4 g( L d) v = g( d L) =, 461 m/s v,43 m/s expressão literal da resposta indica que se d L = implica em v =. Isso ocorre quando d = L/. Isto é verdade pois, neste caso, o ponto (topo da trajetória circular em torno do pino) coincidiria com o pino (mesma altura do ponto ). 33. Mostre, ainda em relação à Fig. 38, que, para a bolinha do pêndulo completar uma volta inteira em redor do pino deve ser d > 3L/5. (Sugestão: bolinha deve ter velocidade no alto da trajetória, caso contrário o fio se afrouxa.) onsidere o seguinte esquema: (ág. 16) Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 1
v = v d rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS r Ug = condição mínima para que a bola complete uma volta em torno do ponto é que a tensão na corda seja zero. Nesta condição a força centrípeta do seu movimento circular será o próprio peso da bola. mv Fc = = mg = r v = gr = g( L d) plicando-se o princípio da conservação da energia aos estados e : + Ug = + Ug 1 + mgl = mv + mg( L d) () Substituindo-se (1) em (): 1 mgl = mg( L d) + mg( L d) L d L = + L d d = 3L 5 (1) 35. Um bloco de 3, kg parte do repouso e desliza uma distância d para baixo de uma rampa inclinada de 8, o e se choca com uma mola de massa desprezível, conforme a Fig. 3. O bloco desliza mais 1,4 cm antes de parar momentaneamente ao comprimir a mola, cuja constante elástica é de 47 N/m. (a) Quanto vale d? (b) velocidade do bloco continua a aumentar durante certo tempo depois depois de chocar-se com a mola. Qual a distância adicional que o bloco percorre antes de alcançar sua velocidade máxima e começar a diminuir? (ág. 16) Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 11
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS (a) onsidere o seguinte esquema: d ( d + l ) sen θ l θ Ug = Na ausência da força de atrito o sistema é conservativo e a energia mecânica é conservada: + Ug + Ue = + Ug + Ue 1 + mg( d + l)senθ + = + + kl kl d = l, 4453 m mg senθ = d, 45 m (b) onsidere o seguinte esquema da nova situação: d l x ( d + l ) sen θ θ Ug = v(x) ( l - x ) sen θ ara encontrar a velocidade máxima que o bloco atinge após comprimir a mola de uma distância x vamos construir uma função v (x) = f(x) e em seguida encontrar o valor de x que torna dv (x) /dx =. ara construir v (x), vamos aplicar a conservação da energia mecânica aos pontos, de onde o bloco é solto com velocidade nula, e, o ponto onde a velocidade é máxima. Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 1
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS + Ug + Ue = + Ug + Ue 1 1 + mg( d + l)senθ + = mv( x) + mg( l x)senθ + kx kx v( x) = gsen θ ( d + x) m 1/ O valor de x que torna dv (x) /dx = vale: 1/ dv x kx kx ( ) 1 = g sen θ ( d + x ). g sen θ = (1) dx m m q. (1) somente será verdadeira se: kx g senθ = m mg senθ x = =,3473 m k x 3,5 cm 36. Um garoto está assentado no topo de um hemisfério de gelo (Fig. 39). le recebe pequeno empurrão e começa a escorregar para baixo. Mostre que ele perde contato com o gelo num ponto situado à altura R/3, supondo que não haja atrito com o gelo. (Sugestão: força normal anula-se quando se rompe o contato com o gelo.) onsidere o seguinte esquema: y m (ág. 16) h R θ v θ x omo a única força que realiza trabalho é conservativa (força peso, ), há conservação da energia mecânica do sistema: + Ug = + Ug Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 13
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS 1 + mgr = mv + mgh v h= R (1) g Na posição o garoto está na iminência de perder contato com a superfície esférica. Isto significa que a força normal (N) que o gelo exerce sobre ele é zero. Logo, a força centrípeta do seu movimento circular será a componente de na direção radial ( r ). F c mv R v = r h = mg senθ = mg R = gh Substituindo-se () em (1): gh h h= R = R g h = R 3 () 37. partícula m da Fig. 4 move-se em um círculo vertical de raio R, no interior de um trilho sem atrito. Quando m se encontra em sua posição mais baixa sua velocidade é v. (a) Qual o valor mínimo v m de v para que m percorra completamente o círculo, sem perder contato com o trilho? (b) Suponha que v seja,775 v m. partícula subirá no trilho até um ponto no qual perde contato com ele e percorrerá o arco indicado aproximadamente pela linha pontilhada. Determine a posição angular θ do ponto. (a) onsidere o seguinte esquema: (ág. 16) Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 14
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS v R T m Ug = v condição mínima para que a partícula complete uma volta sem perder contato com o trilho é que sua força normal (N) seja zero no ponto mais alto de sua trajetória circular. Nesse ponto sua força centrípeta será o próprio peso da partícula (). Fc = = mg mv v mg R = (1) = gr plicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos estados e : + Ug = + Ug 1 1 mv + = mv + mg R () Substituindo-se (1) em (): v = gr+ gr 4 v = gr (3) 5 (b) onsidere o seguinte esquema: v r θ R m Ug = v No ponto a partícula perde contato com a superfície, o que torna N nula. Logo, a força centrípeta do seu movimento circular será a componente de na direção radial ( r ). F c mv R = r = mg senθ Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 15
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS v = grsenθ (4) plicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos estados e : + Ug = + Ug 1 1 m v mv mg R R θ (,775 ) + = + ( + sen ),775 v = v + gr + grsenθ (5) Substituindo-se (3) e (4) em (5):, 775.5gR = grsenθ + gr + grsen 5., 775 = + 3senθ 1 θ = ( ) = 3 1 sen 5.,775 19,5345 θ 19,5 θ 56. Um pequeno objeto de massa m = 34 g desliza em um trilho que tem a parte central horizontal e as extremidades são arcos de círculo (veja Fig. 46). parte horizontal mede L =,16 m e nas porções curvilíneas não há atrito. O objeto é solto no ponto, situado à altura h = 1,5 m acima do trecho horizontal, no qual ele perde 688 mj de energia mecânica, devido ao atrito. m que ponto o objeto irá parar? (ág. 164) onsidere o seguinte esquema da situação: D U g = h μc L ssim que a partícula é solta, sua energia potencial gravitacional inicial U é convertida em energia cinética. ssa energia vale: U = mgh omo a parte curva não apresenta atrito, ao chegar ao ponto sua energia cinética será: = U = mgh Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia (1) 16
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS Na parte plana o atrito começará a dissipar a energia mecânica da partícula, que está totalmente na forma de energia cinética. Devemos verificar se a partícula pára antes do ponto ou se o ultrapassa, subindo a rampa oposta. ada vez que a partícula atravessa a parte plana a força de atrito (f) realiza um trabalho W. Δ = W at = W Substituindo-se (1) em (): = mgh+ W at at omo é sempre positivo, temos que se mgh + W at >, o bloco vai subir a rampa oposta. Na verdade, mgh + W at = 1,7317 J (lembre-se que W at < ). ortanto a partícula atravessa a região central e sobe a rampa oposta. ada vez que a partícula atravessa a parte plana ela perde W at. O número de vezes que ela consegue atravessar a parte plana (n) é dado por: mgh + nw at mgh n = 3,5336 W at Ou seja, a partícula atravessa três vezes a parte central plana e pára aproximadamente em L/ na quarta vez em que tenta atravessá-la. (3) 57. Dois picos nevados têm altitude de 86 m e 741 m, respectivamente, acima do vale entre eles. Uma pista de esqui estende-se do cimo do pico mais alto ao do mais baixo, conforme a Fig. 47. (a) Um esquiador parte do repouso no pico mais elevado. Qual sua velocidade ao chegar ao pico mais baixo se ele deslizou sem impulsionar-se com os bastões? Suponha que o solo esteja gelado e por isso não há atrito. (b) pós uma nevada, uma esquiadora de 54,4 kg faz o mesmo trajeto, também sem utilizar os bastões e por pouco não consegue alcançar o pico mais baixo. De quanto aumenta a energia interna dos esquis e da neve sobre a qual ela desliza? (ág. 164) (a) Supondo que não haja atrito, as únicas forças que agem sobre o esquiador são o peso e a normal. omo esta é sempre ortogonal ao deslocamento do esquiador, não realiza trabalho. Logo, a força peso (força conservativa) é a única força que realiza trabalho, o que torna o sistema conservativo. odemos aplicar o princípio da conservação da energia mecânica: 1 + U = + U 1 g1 g 1 + mgh1 = mv + mgh Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 17
rof. nderson oser Gaudio Depto. Física UFS gh = v + gh 1 ( ) v = g h h = 48, 739 m/s 1 v 48,7 m/s (b) gora há atrito entre o esqui e a neve e o trabalho realizado pelo atrito será igual à variação da energia mecânica do sistema. ( ) ( ) W =Δ = + U + U at 1 g 1 g1 ( ) ( ) ( ) W = + mgh + mgh = mg h h = 64.573,344 J at 1 1 O sinal negativo do trabalho indica que o sistema perdeu essa quantidade de energia, que foi convertida em calor que aquece a neve e os esquis. Logo, o aumento da energia interna observado da neve e dos esquis é: Δ int,neve = Wat,esquiador = 64.573,344 J Δ int,neve 64,6 kj Resnick, Halliday, rane - Física 1-4 a d. - LT - 1996. ap. 8 onservação da nergia 18