LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1 Questões 1) Água derramada vagarosamente por um bico pode dobrar-se por baixo do bico por uma distância considerável antes de perder aderência e cair. (A camada de água abaixo do bico é mantida por pressão atmosférica). Na Figura 1, na camada de água dentro do bico, o ponto a encontra-se no topo e o ponto b no fundo da camada; na camada de água fora do bico, o ponto c encontra-se no topo e o ponto d no fundo da camada. Ordene estes 4 pontos de acordo com sua pressão manométrica, sendo a mais positiva a primeira. Figura 1: Questão 1. 2) A Figura 2 apresenta um tanque preenchido com água. Cinco superfícies horizontais são apresentadas; todas possuem a mesma área e estão localizadas a distâncias L, 2L ou 3L abaixo do topo do tanque. Ordene estas superfícies de acordo com a força a qual estão submetidas. A maior é a primeira. Figura 2: Questão 2. 3) A Figura 3 apresenta 4 situações nas quais um líquido vermelho e um líquido cinza estão em um tubo U. Em uma das situações, os líquidos não podem estar em equilíbrio estático. (a) Qual é esta situação? (b) Para as outras 3 situações, assuma equilíbrio estático. Para qual situação a densidade do líquido vermelho é maior, menor ou igual à densidade do líquido cinza? Figura 3: Questão 3. - 1 -
4) A Figura 4 apresenta 3 recipientes abertos e completamente preenchidos com água. Patos de brinquedo flutuam em dois destes recipientes. Ordene os recipientes e conteúdos de acordo com seu peso, sendo o primeiro o maior. Figura 4: Questão 4. 5) Água escoa vagarosamente em um duto horizontal. A Figura 5 apresenta a energia cinética K de um elemento de água à medida que este se move ao longo da coordenada x, posicionada paralelamente ao eixo de simetria do duto. Ordene as 3 seções do duto (A, B e C) de acordo com o raio do duto, com o primeiro sendo o de maior raio. Figura 5: Questão 5. 6) A pressão manométrica p g em relação a profundidade é apresentada na Figura 6 para 3 fluidos distintos. Para um corpo rígido submerso em cada um dos fluidos, ordene as curvas de acordo com a magnitude da força de empuxo que age no corpo. A primeira é a maior. Figura 6: Questão 6. 7) A Figura 7 apresenta 4 arranjos de dutos através dos quais água escoa lentamente para a direita. Os raios das seções transversais dos dutos estão indicados. Em quais dos arranjos é o trabalho resultante sobre um elemento de água evoluindo da seção mais à esquerda para mais à direita (a) zero, (b) positivo e (c) negativo? Figura 7: Questão 7. - 2 -
8) Um bloco retangular é empurrado através de 3 fluidos. O peso aparente W app do bloco em relação à profundidade nos 3 fluidos é apresentado na Figura 8. Ordene os fluidos de acordo com seu peso por unidade de volume, sendo o primeiro o maior. Problemas Figura 8: Questão 8. 1) Um janela de escritório possui dimensões de 3,4m por 2,1m. Como resultado da passagem de uma tempestade, a pressão externa decresce para 0,96atm enquanto a pressão interna mantém-se a 1atm. Qual é a força que atua na janela? 2) Um peixe mantém sua profundidade dentro da água ajustando o ar dentro de sua estrutura óssea porosa ou de sacos específicos para tanto, tornando sua densidade aproximadamente a da água. Suponha que com seus sacos colapsados, um peixe possua uma densidade de 1,08g/cm 3. A que fração do volume do seu corpo expandido deve o peixe inflar seus sacos para que sua densidade seja reduzida à da água? 3) Em 1654, Otto Von Guericke, o inventor da bomba de ar, demonstrou à nobreza do Império Romano que 2 times compostos por 8 cavalos não conseguem separar dois hemisférios de latão (que compõem uma esfera) unidos por vácuo. (a) Assumindo que os dois hemisférios possuem paredes finas (mas fortes), de forma que o raio R na Figura 9 possa ser considerado como o externo e o interno, mostre que a força F necessária para separar os hemisférios possui magnitude F = πr 2 Δp, na qual Δp é a diferença de pressão entre a parte externa e a interna da esfera. (b) Atribuindo a R o valor de 30cm, à pressão interna o valor de 0,1atm e à pressão externa o valor de 1atm, encontre a magnitude da força que o time de cavalos deve estabelecer para separar os dois hemisférios. (c) Se um dos hemisférios for anexado a uma parede rígida, explique porque apenas um time de cavalos pode ser utilizado. Figura 9: Problema 3. 4) O tubo plástico da Figura 10 possui área da seção transversal de 5cm 2. O tubo é preenchido com água até o ramo mais curto (comprimento d = 0,8m) encher completamente. Então tal ramo é tampado e mais água colocada no ramo maior. Se a tampa inserida no ramo mais curto se solta quando submetida a uma força de 9,8N, qual é a altura de água no ramo maior necessária para que a tampa esteja por sair? - 3 -
Figura 10: Problema 4. 5) Na Figura 11, um tubo aberto de comprimento L = 1,8m e área da seção transversal A = 4,6cm 2 é fixado no topo de um barril cilíndrico de diâmetro D = 1,2m e altura H = 1,8m. O barril e o tubo são preenchidos com água (até o topo do tubo). Calcule a razão da força hidrostática no fundo do barril em relação à força gravitacional sobre água contida no barril. Por que a razão não é igual a 1? Figura 11: Problema 5. 6) Ao analisar certas questões geológicas, é freqüentemente apropriado assumir que a pressão em determinado nível de compensação, dentro da terra, seja a mesma sobre uma grande região e igual à pressão devida à força gravitacional no material sobrejacente. A pressão no nível de compensação pode ser obtida mediante a expressão para a pressão em fluidos estáticos. Este modelo requer que as montanhas possuam prolongamentos de suas rochas sobre o manto denso (veja a Figura 12). Considere uma montanha de altura H = 6km sobre um substrato de espessura T = 32km. A densidade da rocha é 2,9g/cm 3 e a do manto, logo abaixo das rochas, 3,3g/cm 3. Calcule a profundidade D do prolongamento de rocha. Figura 12: Problema 6. 7) O tanque em formato L da Figura 13 é preenchido com água e aberto no topo. Se d = 5m, qual é a força devido á água (a) na face A e (b) na face B? - 4 -
Figura 13: Problema 7. 8) Na Figura 14, água estende-se até uma profundidade D = 35m, permanecendo atrás de uma superfície vertical de uma represa de largura W = 314m. Encontre (a) a força horizontal resultante na represa devido à pressão manométrica da água e (b) o torque resultante devido esta força em relação a uma linha paralela à largura W da represa e que passa por O (o torque devido a uma força é obtido pela expressão τ = rxf, na qual r é o vetor coordenada espacial que conecta o ponto de giro ao ponto no qual a força é aplicada). (c) Encontre o braço de alavanca deste torque. Figura 14: Problema 8. 9) Em uma observação, a coluna em um barômetro de mercúrio (tal como o mostrado na Figura 15) possui uma altura medida de 740,35mm. A temperatura é 5,0, sendo para esta última a densidade do mercúrio ρ de 1,3608 10 4 kg/m 3. A aceleração de queda livre g no local onde se encontra o dispositivo é 9,7835m/s 2. Qual é a pressão atmosférica no local em Pascais e em Torr (qual é a unidade usualmente utilizada na leitura de barômetros)? Figura 15: Problema 9. 10) Qual deveria ser a altura da atmosfera se a densidade do ar (a) fosse uniforme e (b) decrescesse linearmente à zero com a altura? Assuma que ao nível do mar a pressão do ar seja 1atm e a densidade do ar seja 1,3kg/m 3. 11) Um pistão com área da seção transversal a é utilizado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de magnitude f em um líquido. Um duto o conecta a um pistão mais largo cuja área da - 5 -
seção transversal é A. Veja a Figura 16 para maiores detalhes. (a) Qual magnitude da força F o pistão mais largo sustentará sem mover-se? (b) Se os diâmetros dos pistões são 3,8cm e 53cm, qual é a magnitude da força no pistão estreito que balanceará 20kN de força no pistão mais largo? Figura 16: Problema 11. 12) Na Figura 17, uma mola de constante elástica 3 10 4 N/m encontra-se entre uma viga rígida e um pistão de saída de um elevador hidráulico. Um recipiente vazio de massa desprezível encontra-se posicionado sobre o pistão de entrada. O pistão de entrada possui área da seção transversal A i e o pistão de saída possui área da seção transversal A o. Inicialmente, a mola encontra-se em seu comprimento de estado relaxado. Sendo A o = 18A i, quantos quilogramas de areia devem ser vagarosamente colocados dentro do recipiente inicialmente vazio para que a mola sofra uma compressão de 5cm? Figura 17: Problema 12. 13) Na Figura 18, um cubo de aresta L = 0,6m e massa m = 450kg é suspenso por uma corda em um tanque aberto contendo um fluido de densidade 1030kg/m 3. Encontre (a) a magnitude da força resultante na face superior do cubo devido ao líquido e a atmosfera (assumindo que a pressão atmosférica seja 1atm), (b) a magnitude da força resultante na face inferior do cubo e (c) a tensão na corda. (d) Calcule a magnitude da força de empuxo no cubo utilizando o Princípio de Arquimedes. Qual a relação existente entre todas estas quantidades? Figura 18: Problema 13. 14) Um jacaré aguarda uma presa flutuando somente com a superfície superior de sua cabeça exposta, dificultando assim sua detecção. Um modo de assim permanecer é controlando o tamanho de seus pulmões. Outro é engolindo pedras (gastrolithes) que passam então a residir em seu estômago. A Figura 19 apresenta um modelo muito simples de um jacaré de massa 130kg com sua cabeça parcialmente exposta. - 6 -
A superfície superior da cabeça possui área de 0,2m 2. Se o jacaré engoliu pedras cuja massa corresponde a 1% da massa de seu corpo (um valor típico), quão profundo este último irá afundar? Figura 19: Problema 14. 15) Na Figura 20a, um bloco retangular é gradualmente empurrado para dentro de um líquido. O bloco possui altura d. A área da superfície inferior e superior do bloco é A = 5,67cm 2. A Figura 20b apresenta o peso aparente W app do bloco como uma função da altura pela qual sua superfície inferior é afundada. A escala do eixo vertical é dada por W s = 0,2N. Qual é a densidade do líquido? Figura 20: Problema 15. 16) A Figura 21 apresenta um bola de ferro suspensa por um fio de massa desprezível anexado a um cilindro que flutua parcialmente submerso na água. O cilindro possui altura de 6cm, área da face de 12cm 2 no topo e na base e densidade de 0,3g/cm 3. 2cm de sua altura encontra-se acima da superfície da água. Qual é o raio da bola de ferro? Figura 21: Problema 16. 17) Uma mangueira de jardim com diâmetro interno de 1,9cm é conectada a um (estacionário) irrigador de grama que meramente consiste em um compartimento com 24 buracos, cada um com 0,13cm de diâmetro. Se a água na mangueira possui velocidade de 0,91m/s, a que velocidade esta se encontra ao sair pelos buracos do irrigador? 18) A Figura 22 apresenta uma barcaça ancorada que se estende ao longo do canal por uma distância d = 30m e dentro da água por uma distância b = 12m. O canal tem largura D = 55m, uma profundidade H = 14m e um escoamento de água com velocidade constante v i = 1,5m/s. Assuma que o escoamento ao redor da barcaça é uniforme. À medida que a água passa pela proa, o nível de água sofre um encurvamento conhecido como o efeito de canal. Se o encurvamento possui profundidade = 0,8m, qual é a velocidade da água ao longo do barco através das seções transversais verticais no (a) ponto a e (b) ponto b? A erosão devido ao aumento de velocidade é uma preocupação comum aos engenheiros hidráulicos. - 7 -
Figura 22: Problema 18. 19) A Figura 23 apresenta duas seções de uma tubulação antiga que atravessa uma montanha, com distâncias d A = d B = 30m e D = 110m. Em cada lado da montanha, o raio do tubo é de 2cm. Contudo, o raio do tubo dentro da montanha é desconhecido. Para determinar este, engenheiros hidráulicos primeiro estabelecem que a água escoa através das seções esquerda e direita a 2,5m/s. Então, eles injetam um corante na água no ponto A e encontram que este demora 88,8s para alcançar o ponto B. Qual é o raio médio do duto dentro da montanha? Figura 23: Problema 19. 20) A entrada na Figura 24 possui área da seção transversal de 0,74m 2 e água escoa a uma velocidade de 0,4m/s. Na saída, distante D = 180m abaixo da entrada, a área da seção transversal é menor que a área da entrada e a água escoa a uma velocidade de 9,5m/s. Qual é a diferença de pressão entre a entrada e a saída? Figura 24: Problema 20. 21) Na Figura 25, água escoa através de um duto horizontal e então para a atmosfera com velocidade v 1 = 15m/s. Os diâmetros das seções transversais esquerda e direita são respectivamente 5cm e 3cm. (a) Qual é o volume de água que flui para a atmosfera durante um período de 10min? Na seção esquerda do duto, quais são (b) a velocidade v 2 e (c) a pressão manométrica? Figura 25: Problema 21. 22) Na Figura 26, há água doce atrás de um reservatório de uma represa de profundidade D = 15m. Um duto horizontal de diâmetro 4cm atravessa a represa a uma profundidade d = 6m. Uma tampa conectada a extremidade direita do duto evita que a água neste duto escoe. (a) Encontre a magnitude da força de atrito entre a tampa e a parede do duto. (b) A tampa é removida. Qual o volume de água que escoa pelo duto em 3h? - 8 -
Figura 26: Problema 22. 23) A Figura 27 apresenta um reservatório no qual água escoa por um buraco a uma profundidade = 10cm da superfície, da interface ar-água. O reservatório possui uma altura H = 40cm. (a) A que distância x a água atinge o solo? (b) A que profundidade deve um segundo buraco ser perfurado para que atinja a mesma distância x? (c) A que profundidade deve ser perfurado um buraco para que a distância x seja maximizada? Figura 27: Problema 23. 24) Na Figura 28, água escoa uniformemente da seção transversal esquerda (cujo raio é r 1 = 2R), através de uma seção intermediária (de raio r 2 = R), para uma seção transversal direita (cujo raio é r 3 = 3R) do duto. A velocidade da água na seção intermediária é 0,5m/s. Qual é o trabalho resultante realizado sobre um volume de 0,4m 3 de água à medida que este se move da seção transversal esquerda para a seção transversal direita? Figura 28: Problema 24. - 9 -