UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Princípios e Fenômenos da Mecânica Professor: Humberto EXPERIMENTO Nº 8 PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES E APLICAÇÕES Discentes: Camila de Oliveira Silva (2009028716) Gabriel Araújo (2009029224) Thiago Mateus B. da Silva (2009030605) Turma 2 A NATAL 24/06/2010
Objetivo O objetivo do experimento intitulado de Princípio de Arquimedes e aplicações, realizado no dia 14 de junho de 2010, foi analisar o comportamento de corpos imersos em diferentes sistemas a fim de presenciar a veracidade do princípio milenar que foi o título daquele experimento. As implicações da variação de grandezas relacionadas com o empuxo foram analisadas e discutidas. Naquele dia, estavam presentes os alunos da turma 02A, os técnicos de laboratório e o professor Humberto, no período de 10h 50min à 12h 30min. Introdução teórica Fluidos existem em toda parte, seja no ar, na água, nos motores de carros, etc. Um fluido é uma substância que flui. Podemos citar algumas características comuns aos fluidos: Possuem viscosidade; Moldam-se à superfície em que se encontram; Ao invés de massa e força, caracterizamo-los com sua densidade, massa específica e pressão. Quando mergulhamos um corpo qualquer em um líquido, este exerce uma força de sustentação (dirigida para cima) que tende a impedir que o corpo afunde. Essa característica faz com que percebamos que um objeto qualquer dentro de um líquido aparente ser mais leve do que ele realmente é. Essa força vertical chama-se Empuxo. Essa força surge porque, como sabemos, a pressão aumenta com a profundidade. Dessa forma, as forças exercidas pelo líquido na parte inferior são maiores do que na parte superior, gerando uma força resultante no sentido vertical para cima. Para estudá-la, é conhecido o Princípio de Arquimedes, que diz: Um corpo completa ou parcialmente imerso em um fluido sofre a ação de uma força dirigida de baixo para cima com módulo igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo.ou seja: E = peso do líquido deslocado E = m desl g Onde m desl = ρ líq V, para ρ líq = densidade do líquido e V = V f - V i. E= ρ líq Vg Materiais Utilizados Para analisar o princípio de Arquimedes e suas aplicações, durante o experimento foram utilizados os seguintes materiais: Cilindro de Arquimedes: consiste num conjunto formado por um êmbolo e um recipiente. Nesse experimento, esse sistema foi usado para verificar o empuxo que diferentes fluidos exercem em corpos;
Béquer: recipiente que foi utilizado para imergir o êmbolo. Suas marcações de volume permitiram que o volume inicial e final do líquido pudesse ser medido. Proveta: usada para medir o aumento do volume do fluido após a imersão do êmbolo; Pipeta: utilizada para retirar o volume do líquido além do volume inicial; Sensor de força: com o auxílio desse instrumento, encontramos o peso aparente do cilindro de Arquimedes; Aparato com roldana: esse aparato estava preso à haste e foi o que permitiu que o cilindro de Arquimedes fosse baixado e imerso no líquido; Haste vertical: peça na qual foi acoplado o sensor de força e um aparato com roldana; Tripé: base que equilibra o sistema formado pela haste, pelo aparato com roldana e o sensor de força; Régua: usada para medir as dimensões do êmbolo; Obs.: Vale salientar que nesse experimento foram utilizados três béqueres. Um contendo somente água, outro com água e sal, e um terceiro com álcool. Cada um desses líquidos possui uma massa específica diferente, o q resultou em empuxos distintos para cada um deles. Procedimento experimental
Ao chegarmos ao laboratório, o experimento já estava montado: a haste encaixada no tripé e ambos acoplados à plataforma; o sensor de força estava na extremidade da plataforma onde saia um gancho que segurava o recipiente e o êmbolo. Na 1ª situação, medimos o peso do conjunto formado pelo recipiente superior vazio e pelo êmbolo, cujo valor foi: P conj.1 = 0,8 N Posteriormente, enchemos o béquer com um volume inicial V 0 de 225 ml. Colocamos o béquer com a água abaixo do êmbolo e o mergulhamos no líquido até que o êmbolo ficasse completamente submerso na água. Com o sensor de força ligado, medimos o peso aparente, onde P apa.1 = P conj.1 - E. P apa.1 = 0,3 N Sabemos que, ao colocar o êmbolo dentro da água, o nível da água iria subir. Dessa forma, verificamos que o volume final V f(1) foi de: V f(1) = 270 ml Na 2ª situação, onde agora enchemos o recipiente superior com água, fizemos as mesmas medições. Primeiramente, o volume adicionado ao recipiente (V adic. ) foi: V adic. = 52 ml Novamente verificamos o peso do conjunto (agora com o recipiente cheio): P conj (2) = 1,3 N Com a mesma quantidade de água no béquer (225 ml) mergulhamos o êmbolo no líquido e observamos que o peso aparente era: P apa.(2) = 0,8 N Com o êmbolo mergulhado, verificamos que o novo volume do béquer era V f(2) = 269 ml. Medimos a altura e o diâmetro do êmbolo: L êmbolo = 72 mm D êmbolo = 28 mm
Agora, nesta parte utilizamos o dinamômetro para medir o peso do êmbolo fora e dentro do líquido, neste caso, é a água. P êmbolo = 0,63 N (êmbolo fora do líquido) P apa. = 0,2 N (êmbolo dentro do líquido) Utilizando novamente o dinamômetro, introduzimos o êmbolo dentro da água com sal e medimos o peso aparente, que foi: P apa.(h2 0+NaCl ) = 0,12 N E = P êmbolo - P apa.(h2 0+NaCl ) = 0,63N 0,12N = 0,51 N Posteriormente, fizemos o mesmo procedimento numa solução com álcool hidratado: P apa.(h2 0+C 2 H 5 OH) = 0,28 N E = P êmbolo - P apa.(h2 0+C 2 H 5 OH)= 0,63N 0,28N = 0,35 N Resultados e discussão Situação I (recipiente superior vazio) (a) Sabendo que o êmbolo é mais denso do que a água, faça o diagrama de forças que atuam no êmbolo quando submerso. Adote um sistema de coordenadas apropriado e mostre que o empuxo, exercido no êmbolo pelo líquido, pode ser medido sabendo-se o valor do peso do conjunto P conj.(1) e o peso aparente do conjunto P apa.(1).
(P apa.(1) ) Reconhecendo o diagrama de forças, sabemos que o P apa.(1) é menor do que o P conj.(1), ou seja, há uma força contrária atuando no conjunto (o empuxo) dentro da água para que a lei da conservação das forças seja verdadeira: ƩF = 0 Se o T é o P apa., então: T + E = P total E = P total - P apa. (b) A partir do volume inicial V o e final V f(1) do líquido dentro do béquer, calcule o volume V (1) de líquido deslocado pela imersão do êmbolo. Com esse dado, calcule o peso da massa de água deslocada. Considere a densidade volumétrica da água ρ água = 1,00 g. cm 3 e a aceleração da gravidade g = 9,8m.s 2. V f(1) - V o = 270 ml 225 ml = 45 ml = 45 cm³ Sabendo que o peso de um corpo é P = m.g: P H2 O deslocada = m H2 O deslocada. g P H2 O deslocada = ρ água. V H2 O deslocada. g P H2 O deslocada = 1 g.cm 3. 45 cm³. 980 cm/s²
P H2 O deslocada = 4,4. 10 4 g.cm/s² (c) Compare o valor do peso da massa de água deslocada com o valor do empuxo sofrido pelo êmbolo. Que conclusão você tira desta observação? Sabendo que o empuxo é: E = P total - P apa. : E = 0,8 N 0,3 N = 0,5 N (no sentido para cima) 0,5 N = 5,0. 10 4 g.cm/s² Teoricamente, o empuxo deve ser igual ao peso da água deslocada, ou seja, houve uma diferença de: δe = 5,0. 10 4 g. cm s 2 4,4. 104 g. cm s 2 5,0. 10 4 g. cm = 0,12 ou 12% s 2 Situação II (recipiente superior cheio) (a) A partir do volume inicial V o e final V f(2) do líquido, calcule o volume V (2) de líquido deslocado pela imersão do êmbolo. Compare este valor com o volume de água adicionado ao recipiente superior com a seringa V adic.. Quais são as suas conclusões? Justifique. V (2) = V f(2) - V o = 270 ml 225 ml = 44 ml ou 44 cm³ O volume de água adicionado ao recipiente superior (52 ml) não influencia na variação do volume do líquido deslocado (44 ml), visto que o volume deslocado dentro do béquer é o volume do cilindro imerso na água. (b) Com o auxílio de algum instrumento de medida de comprimento, calcule o volume do êmbolo (cilindro) através das medidas de suas dimensões (altura e diâmetro). Compare este valor com os valores de V (2) e V adic.. V cilindro = πr 2. h V cilindro = 3,14. 1,4 cm 2. 7,2 cm = 44,3 cm³ = 44,3 ml O valor do volume do cilindro encontrado é aproximadamente o valor de líquido deslocado (salvo erros experimentais), visto que o volume deslocado no béquer é o volume do cilindro imerso. Conforme vemos, o volume adicionado ao recipiente superior (52 ml) não está relacionado com o volume deslocado dentro do béquer (44 ml).
(c) Usando o mesmo raciocínio do item a da situação I, calcule o empuxo exercido no êmbolo pelo líquido e compare o resultado obtido com aquele do item A (situação I). Quais são as suas conclusões? E = P total - P apa. E = 1,3 N 0,8 N = 0,5 N ou 5,0.10 4 g. cm/s² Independente do peso do conjunto, o empuxo foi igual para ambas as situações. Isso pode ser explicado pelo fato de o empuxo depender apenas da massa específica, da gravidade e do volume deslocado (que é o volume do êmbolo). Determinação da densidade de um sólido através do empuxo Meça indiretamente a densidade do êmbolo através da expressão deduzida na sessão 9.3.2. Considere ρ água = 1,00 g. cm 3. Pesquise a densidade do PVC e compare-a com o valor calculado. E = ρ água. P êmbolo ρ êmbolo Como consideramos o empuxo com sinal positivo e o peso com sinal negativo, não precisa colocar o sinal contrário nesta equação, ficando assim: 5,0.10 4 g. cm/s² = 1,0 g. cm 3. 6,3.10 4 g. cm/s² ρ êmbolo ρ êmbolo = 1,26 g. cm 3 A densidade do PVC pesquisada foi de 1,4 g. cm 3. A densidade experimental encontrada foi 1,26 g. cm 3, com uma diferença de 10 %. Determinação da densidade de um líquido através do empuxo (a) Usando o resultado de que o empuxo no êmbolo pelo líquido pode ser expresso como: E = V liq ρ liq g, onde V liq é o volume de líquido deslocado (que possue o mesmo valor do volume do êmbolo),ρ liq é a densidade volumétrica do líquido e g é a aceleração da gravidade. Explique o porquê da diferença nos valores mostrados pelo dinamômetro na sessão 9.3.3 para os diferentes fluidos, já que o volume do êmbolo utilizado foi o mesmo em todas as medições.
Sabendo que o empuxo é E = P total P apa, onde P total é o peso total do êmbolo (que permanece constante durante o experimento) e P apa é o peso medido pelo dinamômetro quando o êmbolo está imerso nas soluções: P apa = P total E P apa.(h2 O+NaCl ) = P total E (H2 O+NaCl ) P apa.(álcool ) = P total E (Álcool ) O empuxo exercido no êmbolo por um líquido pode ser expresso como E = V liq ρ liq g, logo: P apa.(h2 O+NaCl ) = P total V H 2 O+NaCl ρ H 2 O+NaCl g P apa.(álcool ) = P total V Álcool ρ Álcool g P total = P apa. H2 O+NaCl + V H 2 O+NaCl ρ H 2 O+NaCl g = P apa.(álcool ) + V Álcool ρ Álcool g Como os volumes de álcool e água+sal deslocados foram os mesmos, já que ambos correspondem ao volume do êmbolo, cujo valor permanece inalterado durante todo o experimento, podemos dizer que: V H 2 O+NaCl = V Álcool = V Êmbolo Consequentemente: P total P apa. H2 O+NaCl ρ H 2 O+NaCl g = P total P apa.(álcool ) ρ Álcool g = V Êmbolo P apa. H2 O+NaCl ρ H 2 O+NaCl = P apa.(álcool ) ρ Álcool Ou seja, o peso aparente medido pelo dinamômetro não é proporcional ao volume deslocado, mas sim à densidade do fluido em que ele foi submerso. Como os fluidos em que o êmbolo foi submerso são diferentes, e certamente, têm massas específicas também diferentes, os pesos aparentes obtidos nas duas medições foram distintos entre si. P apa.(h2 0+NaCl ) = 0,12 N P apa.(álcool ) = 0,28 N
(b) Com base nos resultados obtidos na sessão 9.3.3 e usando o resultado anterior para o empuxo, calcule as densidades do álcool e da água com sal. Considere g = 9,8 m.s -2. Do exercício anterior: P total P ap a. H2 O+NaCl ρ H 2 O+NaCl g = P total P apa.(álcool ) ρ Álcool g = V Êmbolo g Como P apa.(h2 O+NaCl ) = P total E (H2 O+NaCl ) e P apa.(álcool ) = P tot al E (Álcool ) E H 2 O+NaCl ρ H 2 O+NaCl = V Êmbolo g Logo: ρ H 2 O+NaCl = E (H 2 O+NaCl ) V Êmbolo g Substituindo E H 2 O+NaCl por 0,515 N, V Êmbolo por 4,4.10-5 m 3 e g por 9,8m.s -2, obtemos: ρ H 2 O+NaCl = 1182Kg. m 3 = 1,18g. cm 3 Repetindo o processo para os valores obtidos na água salgada temos: ρ Álcool = 0,35N 4,4. 10 5 m 2 9,8m/s 2 = 812Kg. m 3 = 0,812g. cm 3 Conclusão A partir da análise dos resultados do experimento, o grupo percebeu a veracidade da expressão E = P total - P apa., uma vez que os instrumentos medidores de força sempre mostravam um peso aparente menor que o peso real do corpo imerso. Nesse experimento, semelhante ao que fez Arquimedes com a coroa do rei de Siracusa, pudemos calcular a partir do empuxo a densidade de um material (PVC) e obtivemos um resultado bastante próximo do que esperávamos, de acordo com a teoria. Partindo da expressão E = ρ fluido. V deslocado. g e com a confirmação dos resultados experimentais, concluímos que o empuxo não depende do peso do corpo imerso, uma vez que os resultados para o empuxo foram os mesmos quando variamos o peso do êmbolo. Essa expressão também se mostrou válida quando imergimos o êmbolo em fluidos com diferentes massas específicas e
encontramos diferentes valores para o empuxo, que, portanto, depende apenas da gravidade local, da densidade do fluido e do volume deslocado. Os valores encontrados foram satisfatórios, com pequenos erros que só num ambiente ideal poderiam não existir, já que, nesse experimento, desprezamos a interferência do ar, que também é um fluido e, portanto, altera o peso do corpo. Referências Bibliográficas Empuxo. Disponível em <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/1999/empuxo/empuxo-pg-02.htm> (Acesso: 22/06) RESNICK, Halliday. Fundamentos de Física Gravitação, ondas e termodinâmica. LTC, V2, 7ª Ed. RJ. 2008.