AXIOMAS DA GEOMETRIA EUCLIDIANA EM ATIVIDADES EXPERIMENTAIS Rita de Cássia Pavani LAMAS 1 Resumo: Este trabalho utiliza os axiomas da geometria euclidiana espacial na construção e definição de figuras poliédricas, superfícies poliédricas e poliedros. Para isso, é proposta uma metodologia de ensino baseada em atividades experimentais, direcionadas à alunos do ensino fundamental, desenvolvidas com materiais de baixo custo, como papel cartão, massa de modelar e canudos de refrigerante. Entre as atividades experimentais destaca-se a relacionada com o volume do paralelepípedo e do prisma, com o auxílio do material dourado. Essa atividade pode ser utilizada para ensinar o conceito de volume de figuras espaciais, evitando que o aluno venha a fazer apenas aplicações de fórmulas matemáticas, sem entender o conceito. Palavras-chave: atividades experimentais; poliedro e volume. INTRODUÇÃO Em geral, no ensino fundamental, os conceitos relacionados às figuras espaciais são introduzidos através da construção dos poliedros, utilizando planificações encontradas nos livros didáticos, sem a preocupação com os axiomas que levaram a tais figuras, e sem deixar clara a diferença entre as definições de figuras poliédricas, superfícies poliédricas e poliedros. Como conseqüência alguns alunos encontram dificuldades no entendimento de conceitos como arestas, vértices, área das superfícies de figuras espaciais e volume de poliedros. A utilização da metodologia descrita neste trabalho visa auxiliar o entendimento de tais conceitos. Exemplos de atividades experimentais e resultados obtidos com a aplicação da metodologia proposta, são descritos a seguir, possibilitando que outros docentes, interessados na melhoria do ensino de matemática, possam aplicar em suas aulas de geometria. METODOLOGIA A metodologia é baseada no desenvolvimento de atividades experimentais através das quais as figuras espaciais são construídas atendendo os axiomas da geometria euclidiana espacial. Na elaboração destas atividades está embutida a preocupação com o aprender do aluno, possibilitando que o aluno construa o seu próprio conhecimento ao desenvolvê-las, descobrindo novos conceitos e propriedades geométricas. È importante observar que a atividade experimental não demonstra a propriedade, no entanto, facilita a sua compreensão. 1 Departamento de Matemática Unesp São José do Rio Preto. E-mail: rita@ibilce.unesp.br 164
ATIVIDADES EXPERIMENTAIS Nas atividades 1 e 2 um ponto do espaço ou do plano será representado com massa de modelar. Um segmento ou aresta, por um canudo. ATIVIDADE 1 Definir figuras poliédricas, utilizando os axiomas 1 e 2 a seguir. Axioma 1: Dado um plano no espaço, existem pontos que pertencem ao plano e pontos que não pertencem ao plano. Axioma 2: Dois pontos determinam uma única reta ( e portanto, um segmento com extremidades nesses pontos). 1º passo: Represente com a massa de modelar três pontos não colineares de um plano considerado. Com canudinhos una esses pontos de forma a obter um triângulo (e não região triangular). 2º passo: Pelo Axioma 1, existe um ponto V, também representado pela massa de modelar, o qual não pertence ao plano do triângulo. Pelo axioma 2, unindo o ponto V a cada vértice do triângulo obtém-se um segmento de reta. Quais figuras geométricas foram obtidas com a construção? O ponto V e os vértices do triângulo são chamados de vértices da figura obtida, chamada de figura poliédrica e definida a seguir. Os lados das figuras planas que formam a figura poliédrica são chamados de arestas da figura poliédrica. 3 o passo: Repita o 1 o e o 2 o passo trocando o triângulo por um quadrado. Observa-se que os triângulos e quadrados do passo 1 poderão ser substituídos por quaisquer polígonos para a obtenção de outras figuras geométricas. Paralelamente, a cada passo desenvolvido, o aluno pode ir desenhando as figuras obtidas. No final das atividades ele terá exemplos de figuras poliédricas piramidais de vértice V, triangular, quadrangular, etc.., dependendo do polígono considerado inicialmente. Essas figuras podem ser observadas pelos alunos (Figura 1) para entenderem a definição de figura poliédrica como segue. 165
DEFINIÇÃO DE FIGURA POLIÉDRICA: È a reunião de um número finito de polígonos planos tais que: a. A intersecção de dois polígonos é vazia, ou é um vértice ou é um dos lados dos polígonos. b. Cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois polígonos. c. Dois polígonos contendo um lado comum são não coplanares. ATIVIDADE 2 Definir superfícies poliédricas e poliedros. 1º passo: Utilizando as planificações dadas em papel cartão, as quais são correspondentes às figuras geométricas obtidas na atividade 1, montar as figuras geométricas. 2º passo: Anotar os polígonos (região poligonal), que contém cada figura obtida no 1º passo. 3º passo: Registre as diferenças entre as figuras obtidas no 1 o passo com as figuras da atividade 1. A comparação no 3 o passo possibilita a distinção entre uma figura poliédrica e uma superfície poliédrica (Figura 1), como definida a seguir. DEFINIÇÃO DE SUPERFÍCIE POLIÉDRICA Uma superfície poliédrica é uma figura poliédrica reunida com as regiões poligonais determinadas pelos polígonos, denominadas faces da superfície poliédrica, com a seguinte condição adicional: Existindo arestas que pertençam a uma só face elas devem formar uma única poligonal fechada, denominada contorno. Os vértices e as arestas da superfície poliédrica são os vértices e as arestas da figura poliédrica associada. 166
Figura 1 - Figuras e Superfícies Poliédricas. de poliedro. Após a realização das atividades 1 e 2 o aluno terá condições de entender a definição DEFINIÇÃO Chama-se poliedro o sólido geométrico determinado por uma superfície poliédrica fechada, juntamente com seu interior. Os pontos interiores à superfície poliédrica são chamados interior do poliedro. A superfície poliédrica que o determina é chamada de fronteira do poliedro. Os vértices, as arestas e as faces do poliedro são os vértices, as arestas e as faces da superfície poliédrica associada. Observamos que na figura poliédrica não faz sentido trabalhar o conceito de área. Isso deve ser feito para superfícies poliédricas, onde a área das figuras planas é bem definida. No caso do poliedro, além da área, pode ser desenvolvido o conceito de volume. Em particular, as atividades de 3 a 6 envolvem tal conceito. Consideremos como unidade de volume o cubo de aresta 1 do material dourado. O volume deste cubo (base de lados 1 e 1, e altura 1) será denotado por V(1,1,1) = 1cm 3. 167
ATIVIDADE 3 Obter o volume de paralelepípedos retos específicos. 1º passo: Utilizar os cubos do material dourado de volume 1 cm 3 para fazer um paralelepípedo reto (bloco retangular), com medidas dos lados da base 4 cm e 3 cm, e altura 2 cm. Qual o seu volume V( 4,3,2)? 2º passo: Relacione o volume obtido no 1 o passo com as medidas dos lados da base e altura do paralelepípedo. 3º passo:: Repita o 1 o e 2 o passo, considerando outras medidas para fazer um paralelepípedo reto. ATIVIDADE 4 Considere agora o paralelepípedo retângulo com medidas dos lados da base a e b, e a sua altura c. Através da atividade 3 é possível expressar uma fórmula para o volume V(a,b,c)? ATIVIDADE 5 Obter relação entre os volumes de figuras espaciais distintas. 1º passo: Construa um prisma, com a base triangular, possuindo a mesma área A da base de uma caixa na forma de um paralelepípedo ou de um paralelepípedo construído por você. A altura de ambos, do prisma e do paralelepípedo, deve ser h. 2º passo: Considere um plano paralelo a base e observe a secção que você obtém no prisma e no paralelepípedo, estando a base de ambos em um mesmo plano. As secções nos dois sólidos são figuras de mesma área? 3º passo: Coloque arroz na caixa (ou paralelepípedo) e depois utilize o mesmo arroz e coloque no prisma. O que aconteceu com o volume de ambos? Por quê? O resultado no 3 o passo pode ser explicado pelo próximo axioma. 168
Axioma (Princípio de Cavalieri): São dados dois sólidos com mesma altura relativa a um plano dado. Se todo plano paralelo ao plano dado secciona os dois sólidos segundo figuras de mesma área, então esses sólidos têm o mesmo volume. É interessante que cada aluno ou grupo trabalhe com prismas e paralelepípedos de medidas distintas possibilitando a obtenção de uma amostra razoável de materiais levando à mesma propriedade. ATIVIDADE 6 h. Utilize o Princípio de Cavalieri para obter o volume do prisma de base A e altura RESULTADOS As atividades aqui descritas foram aplicadas aos alunos das oitavas séries da Escola Estadual Maria de Lourdes Murad de Camargo, durante o ano de 2006, como parte do projeto do Núcleo de Ensino Vivendo a Geometria. Paralelamente, foram aplicadas pelas Professoras Vanda da Silva, Elizabete C. S. Carles e Adélia da S. Ronqui na Escola Estadual Profa. Maria Galante Nora, de São José do Rio Preto, como prática do curso de formação continuada Teia do Saber. As professoras dessas escolas relataram que as atividades desenvolvidas com material concreto estimularam os alunos a participarem das aulas, auxiliando na aprendizagem e fortalecendo o espírito cooperativo entre as equipes. Em particular, foi possível esclarecer as diferenças entre figuras poliédricas, superfícies poliédricas e poliedros, e possibilitou o entendimento do conceito de volume de figuras espaciais. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Barbosa, J. L. M.. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. [2] Carvalho, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática, 1999. [3] Lima L.L. A Matemática no Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática, V2, 1999. [4] LINDQUIST, M.M. Aprendendo e ensinando Geometria, Atual, 1998. [5] Revista do Professor de Matemática 28, 1995. 169