7. ano PR 7.1. Dados dois conjuntos A e B fica definida uma função 1ou aplicação2 f de A em B, quando a cada elemento de A se associa um elemento único de B representado por f 1x2. Dada uma função numérica f : A " B 1função f de A e B2 Designar por contradomínio de f o conjunto das imagens por f dos elementos de A e representá- -lo por: CD f ou D ' f ou f 1A2. Identificar o gráfico de f como o conjunto dos pares ordenados 1x, 2 com x å A e = f 1x2. G f = 51x, 2 : x å A = f 1x26 Fixado no plano um referencial cartesiano, designar por gráfico cartesiano de f o conjunto G constituído pelos pontos do plano cuja ordenada é a imagem por f da abcissa. Nota: O gráfico cartesiano pode ser designado simplesmente por gráfico de f sempre que não haja ambiguidade, sendo = f 1x2 a equação desse gráfico. 1 Seja f a função de A e B, sendo A = 51, 2, 3, 46, B = 52, 3, 4, 6, 7, 86 e f 1x2 = 2x. 1.1. Identifica o domínio, o contradomínio e o conjunto de chegada da função f. 1.2. Indica o gráfico de f. 1.3. Representa o gráfico de f num referencial cartesiano. 1.1. D f = A = 51, 2, 3, 46 D ' f = f 1A2 = 5f 112, f 122, f 132, f 1426 = 52, 4, 6, 86 1.2. G f = 511, f 1122, 12, f 1222, 13, f 1322, 14, f 14226 = 511, 22, 12, 42, 13, 62, 14, 826 G f = 511, 22, 12, 42, 13, 62, 14, 826 1.3. 8 6 4 2 O 1 2 3 4 x 52
2 Considera o gráfico de uma função h, de A = 5-2, - 1, 0, 1, 26 em Z, definida por G h = 51-2, 42, 1-1, 12, 10, 02, 11, 12, 12, 426. 2.1. Identifica o contradomínio de h. 2.2. Indica o número de soluções da equação h 1x2 = 4. 2.3. Determina uma expressão algébrica que defina o valor de h 1x2 para qualquer x do domínio de h. 2.1. D ' h = 50, 1, 46 2.2. Pretende-se determinar os objetos, elementos do domínio, cuja imagem é 4. Assim, as soluções da equação h 1x2 = 4 são 2 e - 2. A equação tem duas soluções. 2.3. Em qualquer um dos pontos do gráfico de h, a ordenada é igual ao quadrado da abcissa. PR 7.2. Assim, h 1x2 = x 2. Dadas duas funções numéricas com um dado domínio A e conjunto de chegada Q. Identificar a soma de funções como a função de mesmo domínio e conjunto de chegada tal que a imagem de cada x å A é a soma das imagens e proceder de forma análoga para subtrair, multiplicar e elevar funções a um expoente natural. Efetuar operações com funções de domínio finito definidas por tabelas, diagramas de setas ou gráficos cartesianos. Designar por função linear uma função f : Q " Q para a qual existe um número racional a tal que f 1x2 = ax, para todo o x å Q, designando esta expressão por forma canónica da função linear e a por coeficiente de f. Identificar uma função afim como a soma de uma função linear com uma constante e designar por forma canónica da função afim a expressão ax + b, onde a é o coeficiente da função linear e b o valor da constante, e designar a por coeficiente de x e b por termo independente. 3 Considera as funções f e g de domínio A = 52, 3, 5, 76, sendo f a função representada em referencial cartesiano e g a que está representada através de uma tabela. 4 3 x g 1x2 2-1 3 0 O -1-2 3.1. Completa a tabela ao lado. 2 3 5 7 x 3.2. Indica o contradomínio da função f * g. 5 3 7 1 x 2 3 5 7 f 1x2 g 1x2 f 1x2 * g 1x2 53
Unidade 5 Funções 3.3. Define a função f + g através do seu gráfico. 3.4. Indica o contradomínio da função f 2. 3.1. x 2 3 5 7 f 1x2 3-1 - 2 4 g 1x2-1 0 3 1 f 1x2 * g 1x2-3 0-6 4 3.2. D' f * g = 5-6, - 3, 0, 46 3.3. 1f + g2 122 = f 122 + g 122 = 3 + 1-12 = 2 ; 1f + g2 132 = f 132 + g 132 = - 1 + 0 = - 1 ; 1f + g2 152 = f 152 + g 152 = - 2 + 3 = 1 ; 1f + g2 172 = f 172 + g 172 = 4 + 1 = 5 D' f + g = 5-1, 1, 2, 56 G f + g = 512, 22, 13, - 12, 15, 12, 17, 526 3.4. f 2 122 = 1f 1222 2 = 3 2 = 9 ; f 2 132 = 1f 1322 2 = 1-12 2 = 1 ; f 2 152 = 1f 1522 2 = 1-22 2 = 4 ; f 2 172 = 1f 1722 2 = 4 2 = 16 D' f 2 = 51, 4, 9, 166 4 Considera as funções afins f e g definidas por f 1x2 = ax + b e g 1x2 = cx + d. Justifica que f - g é uma função afim e indica a respetiva forma canónica, relacionando o coeficiente e o termo independente de f - g com os coeficientes e termos independentes das funções f e g. Sendo f 1x2 = ax + b e g 1x2 = cx + d, tem-se: 1f - g2 1x2 = f 1x2 - g 1x2 = ax + b - 1cx + d2 1f - g2 1x2 = ax + b - cx - d = 1a - c2 x + b - d A função f - g é uma função afim de coeficiente a - c 1diferença dos coeficientes de f e de g2 e termo independente b - d 1diferença dos termos independentes de f e de g2. 54
8. ano PR 8.1. No plano fixado, num referencial cartesiano, as retas não verticais que passam pela origem do referencial são os gráficos das funções lineares. O coeficiente de uma função linear é igual à ordenada do ponto do gráfico com abcissa igual a 1. Dada uma função f : D " R, 1D ƒ R2 o gráfico da função definida pela expressão g 1x2 = f 1x2 + b 1sendo b um número real2 obtém-se do gráfico de f por translação de vetor definido pelo segmento de reta orientado com origem em 10, 02 e extremidade no ponto de coordenadas 10, b2. As retas não verticais são os gráficos das funções afins e, dada uma reta de equação = ax + b, designar a por declive da reta e b por ordenada na origem. Duas retas não verticais são paralelas quando 1e apenas quando2 têm o mesmo declive. Dada uma reta determinada por dois pontos A 1x A, A 2 e B 1x B, B 2 o declive da reta AB é dado por B - A x B - x A. Reconhecer que os pontos do plano de abcissa igual a c 1sendo c um dado número real2 são os pontos da reta vertical que passa pelo ponto de coordenadas 1c, 02 e designar por equação dessa reta a equação x = c. 5 Na figura estão representadas três retas paralelas, r, s e t, que representam graficamente três funções, respetivamente, f, g e h. r s 0,6 O 1 x t Sabe-se que: a reta s passa pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas a1, 3 5 b ; o ponto de coordenadas 15, 52 pertence ao gráfico de f ; a reta t interseta o eixo O no ponto de coordenadas a0, - 5 2 b. Indica a expressão algébrica para cada uma das funções f, g e h. 55
Unidade 5 Funções A reta s é o gráfico da função linear g em que o coeficiente é igual a g 112 = 3 5. Então g 1x2 = 3 5 x. A reta t é o gráfico da função afim h em que o coeficiente é 3 5 e ordenada na origem - 5 2. Então, h 1x2 = 3 5 x - 5 2. A r é o gráfico da função afim em que o coeficiente é 3 5 15, 52. e passa pelo ponto de coordenadas f 1x2 = 3 x + b, sendo f 152 = 5. 5 Mas, f 152 = 5 3 5 * 5 + b = 5 3 + b = 5 b = 2. Então f 1x2 = 3 5 x + 2. 6 Num referencial ortogonal e monométrico, considera os pontos A 13, - 12, B 12, 12 e C 13, 22. 6.1. Dos pontos dados indica dois que pertençam à mesma reta vertical e escreve uma equação dessa reta. 6.2. Determina o declive da reta BC. 6.3. Representa a reta BC através de uma equação na forma reduzida. 6.4. Dos pontos dados é possível que dois deles definam uma reta de declive igual a zero? Justifica. 6.1. Os pontos A e C têm ambos abcissa 3, então pertencem à mesma reta vertical de equação x = 3. 6.2. Seja m o declive da reta BC. m = C - B x C - x B = 2-1 3-2 = 1 1 = 1 6.3. A reta BC é definida por uma equação do tipo = mx + b, sendo m o declive e b a ordenada na origem. Sabe-se que m = 1, então = x + b, sendo as coordenadas do ponto B 12, 12 soluções da equação. Assim, tem-se 1 = 2 + b b = - 1. Equação reduzida da reta BC : = x - 1 6.4. Para que o declive seja zero a reta deve ser horizontal, ou seja, quaisquer pontos dessa reta têm igual ordenada. Neste caso, os três pontos têm ordenadas distintas. Daqui se conclui que qualquer reta que passe por dois desses pontos tem declive diferente de zero. 56
7 Considera a reta r definida pela equação = 3x + 1 2 e o ponto A a1 2, - 2b. 7.1. O ponto A pertence ao gráfico de uma função f que é linear. Determina uma equação do gráfico de f. 7.2. A reta s é paralela à reta r e passa em A. Representa a reta s através de uma equação na forma reduzida. 7.1. Sendo f uma função linear é definida algebricamente por uma expressão do tipo f 1x2 = ax. Sabe-se que o ponto A a 1, - 2b pertence ao gráfico de f. 2 Então: f a 1 2 b = - 2 a 2 = - 2 a = - 4. Uma equação do gráfico de f é = - 4x. 7.2. Se as retas r e s são paralelas, então têm igual declive. Assim, uma equação da reta s é do tipo = 3x + b. Como o ponto A a 1, - 2b pertence à reta s, tem-se: 2-2 = 3 2 + b b = - 7 2. A reta s é definida pela equação = 3x - 7 2. 57
Unidade 5 Funções 9. ano PR 9.1. Interpretar graficamente soluções de equações do 2. grau Fixado um referencial cartesiano no plano, o gráfico de uma função dada por uma expressão da forma f 1x2 = ax 2 1a número real não nulo2 é uma curva designada por parábola de eixo vertical e vértice na origem. Reconhecer que o conjunto-solução da equação de 2. grau ax 2 + bx + c = 0 é o conjunto das abcissas dos pontos de interseção da parábola de equação = ax 2, com a reta de equação = - bx - c. 8 No referencial cartesiano da figura estão representados os gráficos de duas funções f e g, respetivamente a parábola de vértice 10, 02 que passa pelo ponto A 1-1, 22 e a reta BC, em que B 10, 22 e C a 2 3, 0b. 8.1. Determina uma expressão algébrica para cada uma das funções. g f 8.2. Determina as coordenadas dos pontos de interseção dos dois gráficos. A B O C x 8.1. f 1x2 = ax 2 e A 1-1, 22 pertence ao gráfico de f. f 1-12 = 2 a 1-12 2 = 2 a = 2. Então, f 1x2 = ax 2. g 1x2 = mx + b e B 10, 22 e C a 2, 0b pertencem ao gráfico de g. 3 g 102 = 2 b = 2 b = 2 g a 2 3 b = 0 2 3 m + b = 0 2 3 m = - 2 e b = 2 m = - 3 Então, g 1x2 = - 3x + 2. 8.2. As abcissas dos pontos de interseção dos dois gráficos são as soluções da equação f 1x2 = g 1x2 = 2x 2 = - 3x + 2 2x 2 + 3x - 2 = 0-3 "9 + 16 x = 4 x = - 2 x = 1 2 Coordenadas dos pontos de interseção dos dois gráficos: 1-2, f 1-222 = 1-2, 82 e a 1 2, f a1 2 bb = a1 2, 1 2 b. 58