ANÁLISE MATEMÁTICA II

Universidade Fernando Pessoa Departamento de Ciência e Tecnologia Apontamentos de ANÁLISE MATEMÁTICA II Maria Alzira Pimenta Dinis 1999

Índice Índice Pág. Capítulo I Funções Vectoriais. 1 Curvas e Movimento no Espaço. Vector Tangente e Comprimento de Arco. Vector Normal e Curvatura. 4 Coordenadas Polares. 6 Conversão de Coordenadas. 8 Comprimento de Arco de Uma Curva Polar em Coordenadas Polares. 9 Coordenadas Cilíndricas. 10 Comprimento de Arco em Coordenadas Cilíndricas. 11 Capítulo II Cálculo Diferencial em Campos Escalares e Vectoriais. 1 Campo Escalar. 15 Limites e Continuidade. 17 Continuidade. 0 Propriedades da Continuidade para Funções a Duas Variáveis. Derivadas Parciais. Técnicas para o Cálculo das Derivadas Parciais. 4 Interpretação Geométricas das Derivadas Parciais. 6 Diferencial Total. 6 Diferenciação Implícita. 7 Derivadas Direccionais e Gradiente no Plano. 9 Vectores Normais e Curvas de Nível no Plano. Derivada Direccional e Gradiente no Espaço. Derivada Total. 4 Superfícies de Nível, Rectas Normais e Planos Tangentes. 4 i

Índice Capítulo III Integrais de Linha. 7 Definição e Estudo dos Integrais de Linha. 8 Propriedades dos Integrais de Linha. 4 Independência do Percurso nos Integrais de Linha. 44 Capítulo IV Integrais Múltiplos. 46 Definição de um Integral Duplo. 47 Cálculo de Integrais Duplos. 49 Integrais Duplos Sobre Regiões Não Rectangulares. 5 Integrais Iterativos com Limites de Integração Não Constantes. 5 Integrais Duplos Sobre Regiões Não Rectangulares. 5 Inversão da rdem de Integração. 57 Cálculo de Áreas sob a Forma de Um Integral Duplo. 58 Integrais Duplos em Coordenadas Polares. 59 Conversão de Integrais Duplos de Coordenadas Rectangulares em Polares. 64 Área Superficial. 64 Fórmula da Área Superficial. 66 Integrais Triplos. 68 Propriedades dos Integrais Triplos. 68 Cálculo de Integrais Triplos. 69 Cálculo de Integrais Triplos Sobre Regiões Mais Gerais. 70 Cálculo de Volumes Sob a Forma de Um Integral Triplo. 7 Integração por utras rdens. 7 Integrais Triplos em Coordenadas Cilíndricas. 74 Conversão de Integrais Triplos de Coordenadas Rectangulares em Cilíndricas. 78 Capítulo V Integrais de Superfície. 80 Cálculo dos Integrais de Superfície. 81 Área de Uma Superfície Como Integral de Superfície. 8 Massa de Uma Lâmina Curva Como Integral de Superfície. 84 Fluxo de Um Campo Vectorial Através de Uma Superfície. 86 ii

Índice Bibliografia. a iii

Capítulo I FUNÇÕES VECTRIAIS

Capítulo I conceito de uma função vectorial pode ser o seguinte: Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e o contradomínio é um subconjunto do espaço n -dimensional n V denomina-se função vectorial duma variável real. As funções vectoriais serão representadas pelas letras maísculas, tais como F, G, X, Y, etc. Todos os resultados sobre continuidade e diferenciabilidade de funções vectoriais continuam válidos para o espaço xyz, contanto que os vectores estejam inscritos em termos dos seus três componentes escalares. Por exemplo, se F é uma função vectorial do escalar t, então F( t ) u( t) i + v( t) j + w( t)k =, onde u, v e w são os três componentes escalares, funções de F ; para além disso F é diferenciável se e somente u, v e w forem diferenciáveis. Se u, v e w são diferenciáveis, então () t = u () t i + v () t j + w ()k t F, e assim por diante. Se F e G são duas funções vectoriais, então: 1. Se lim F() t e G() t t C t C [ F() t G() t ] = () lim existem, temos que [ F ( t) G( t) ] t C [ limf t ] G() t t C t C [ ] lim lim. lim existe e. Se F e G são contínuas, também a função H é definida por H ( t) F( t) G( t) t C. Se F e G são diferenciáveis e H é definida por H ( t) F( t) G( t) diferenciável e H () t = F ( t) G( t) + F( t) G ( t). =. =, então H é Usando a notação de Leibniz, podemos reescrever a equação da derivada do d df dg produto vectorial como ( F G) = G + F. Curvas e Movimento no Espaço. Se F é uma função vectorial tridimensional, então uma equação vectorial da forma F( t) R = pode ser entendida como especificando um vector posição R variável com respeito ao parâmetro t. À medida que t varia, R percorre a curva no espaço: Podemos sempre considerar F( t) i k R j P R = F() t R = fornecendo o vector posição de uma partícula

P em movimento em relação ao tempo t. Uma partícula que se movimente no espaço partícula P - de acordo com a equação de movimento () t = xi + yj + zk R = F onde x, y e z são funções do tempo t, tem um vector dx dy dz velocidade V dado por V = = i + j + k = F () t e um vector aceleração dv d R d x d y d z A, dado por A = = = i + j + k = F () t. Raciocinando do mesmo modo como em duas dimensões, conclui-se que o vector velocidade V é sempre tangente ao percurso feito por P. Também o comprimento V do vector velocidade fornece sempre a velocidade instantânea v de P, isto é: ds dx dy dz v = = V = = + + onde s é o comprimento do arco medido aolongo do trajecto de P. Exemplo Uma partícula P move-se no espaço de acordo com a equação de = 4 t t + t. No instante em que movimento R ( cos ) i + ( 4sin ) j k vector velocidade V. t = π encontre o = d 4 sin t 4cost + t. Logo V = Em qualquer tempo t temos V R = ( ) i + ( ) j k π π π = 4 sin i + 4cos j + k = 4 i + πk. Vector Tangente e Comprimento de Arco. Seja R = F() t a equação vectorial paramétrica de uma curva no espaço. Então, se 0, um vector tangente unitário à curva é dado por T = = V ds = =. bserve que V = T = vt de modo que o vector velocidade é ds v obtido multiplicando o vector tangente unitário pela velocidade. Consideraremos de agora em diante 0, sendo T definido como se encontra em cima.

ds dx dy dz Como = = + +, o comprimento do arco da parte da curva R = F() t entre os pontos correspondentes a t = a e t = b, respectivamente, é dado por s = b a = b a dx dy + dz +. Exemplo Seja C a curva cuja equação vectorial paramétrica é R = 6t i + tj + 4 t k. Encontre o vector tangente unitário T a C quando t = 1. 4 Aqui = 4t + 9 + 16t = ( 4t + ) = 4t +, então tem-se T = = = 6ti + j + 4t k 4t +. Para t = 1, vem 6i + j + 4k T =. 7 Vector Normal e Curvatura. Chamaremos, a seguir, de s, o comprimento do arco medido ao longo da curva C entre o ponto fixo inicial P 0 e o ponto P cujo vector posição é R = F() t : P Temos que = = = T. 0 ds ds ds i k R j s P C vector dt ds é ainda chamado de vector curvatura, assim como já o era a duas dimensões. No espaço tridimensional não nos preocupamos em dar um sinal algébrico à dt curvatura k e simplesmente define-se k = com k 0. ds Como T é um vector unitário T T = 1. Diferenciando em relação a s tem-se d dt dt dt dt ( T T) = T + T = T = 0, isto é, T = 0. Portanto, o vector ds ds ds ds ds curvatura dt ds é sempre perpendicular ao vector tangentet. Se k 0, então o vector N definido dt ds dt ds N = = é consequentemente um vector unitário dt ds k 4

perpendicular ao vector tangente T. Tal como a duas N dimensões, chama-se a N vector C normal unitário principal à curva C. bserve-se T que d T = k N. Se ds P diferenciarmos ambos os lados da equação V = vt em dv dv dt dv ds dt dv relação a t, obteremos A = = T + v = T + v ou A = T + ds + v kn ; logo, no mesmo espaço tridimensional, o vector aceleração A decompõe-se dv numa componente vectorial tangencial T e numa componente vectorial normal v kn. Fazendo o produto vectorial com V em ambos os lados da equação A dv dv = T + v kn, e usando o facto de que V = vt, obtemos V A = ( V T)+ dv + v k k ( V N) = v( T T) + v kv( T N) = 0 + v k( T N) = v ( T N) ( T N) V A = v k.. Então tem-se Como T e N são vectores unitários perpendiculares, temos que T N = T N = 1; logo, pela equação acima V A = v k( T N) = v k T N = v k. Resolvendo para V A k, obtemos k =. Como v T = V, a equação V A = v k( T N) pode ser v V A = v k V N. Efectuando o produto vectorial com V, reescrita como ( ) obtém-se ( V A) V = v k( V N) V = v k[ ( V V) N ( N V) V] onde se faz uso da identidade do produto vectorial triplo para expandir ( V N) V V V = V = v e N V = N ( vt) = vn T = v( 0 ) = 0 4 reescrita como ( V A) V = v k( v N 0 V) = v kn. Assim, ( ). Como, a equação acima pode ser ( V A) V N =. v 4 k V A V A V As equações k = e N = possibilitam-nos achar a curvatura e o v v 4 k vector normal unitário principal em termos do parâmetro original t. Exemplo Sendo R = ( + ) i + ( t t) j + ( t 1)k t, determine T e k. 5

V = = 4 ti + ( t ) j + tk, portanto v = V = 16t + ( t ) + 4t = dv = 6t t + 1 e A = = 4 i + j + k. Assim, i j k ( i k) V A = 4t t t = 4i + 0j + 8k = 4. 4 ( t 1) V ti + j + tk T = =, v 6t t + 1 Coordenadas Polares. Em vez de expressar a posição dos pontos por meio de coordenadas cartesianas, é por vezes mais conveniente utilizar outro sistema de coordenadas. Estudaremos o sistema de coordenadas polares, a conversão de coordenadas cartesianas, etc. Escolhamos um ponto fixo no plano, chamado pólo, e um raio, uma semi-recta orientada fixa ou semi-eixo com origem denominada eixo polar: P = ( r,θ ) em. Um ângulo na posição padrão tem r coordenadas polares vértice no pólo e o eixo polar como θ seu lado inicial. pólo eixo polar Seja P um ponto genérico do plano e seja r a distância entre P e o pólo, assim r = P. Se P 0, então P pertence a uma única semi-recta determinada com origem, e esta semi-recta constitui-se no lado terminal de um ângulo na posição fundamental. Este ângulo será notado por θ e o par ordenado ( r,θ ) por coordenadas polares do ponto P - ângulos positivos são medidos no sentido anti-horário. Em coordenadas polares P = ( r,θ ). As coordenadas polares ( r,θ ) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma grade formada por círculos concêntricos com centro em e semi-rectas partindo de. valor de r localiza P num círculo de raio r, o valor de θ localiza P numa semi-recta que é o lado terminal do ângulo θ na posição fundamental, e P é determinado pela intersecção do círculo com a semi-recta. Por exemplo, o ponto ( r,θ ) em coordenadas polares e igual a (,40 ) na figura seguinte. 4 é apresentado 6

180 15 45 5 P = ( 4,40 ) ( r, θ ) = ( r, θ + 180 ), ou (, θ ) = ( r, θ + π ) ( r, θ ) θ + 180 (,θ ) Se r = 0 no sistema de coordenadas polares, temos que o ponto ( r,θ ) coincide com o pólo, não importando qual seja o ângulo θ. É conveniente admitir r negativo, convencionando que o ponto (, θ ) r está localizado a r unidades do pólo, mas numa semi-recta oposta à de θ, isto é, sobre o raio θ +180. Deste modo, teremos assim r para θ em radianos:. Ao contrário dos sistema de coordenadas cartesianas, um ponto P tem muitas representações diferentes no sistema de coordenadas polares. Não temos apenas, como vimos acima, ( r, θ ) = ( r, θ + 180 ), mas temos também ( r, θ ) = ( r, θ + 60 ) = = r 60, uma vez que ± 60 corresponde a uma volta completa em torno do pólo. De facto, se n é um inteiro qualquer, temos ( r, θ ) = ( r, θ + 60 n), ou, em radianos, ( r, θ ) = ( r, θ + nπ ). Quando se diz determine o ponto polar ( r,θ ), ou determine o ponto ( r,θ ) no sistema de coordenadas polares, deve entender-se: desenhe um diagrama mostrando o pólo, o eixo polar e o ponto P cujas coordenadas polares são ( r,θ ). Exemplo Determine os pontos (, π ), ( 4, π ), e (, π ) coordenadas polares. 90 70 θ + 180 r =1 r = r θ = r = 4 ( r,θ ) 15 eixo polar Para determinar o ponto polar (, ) π, constrói-se um ângulo de π radianos na posição fundamental e depois localiza-se o ponto a unidades no lado terminal do ângulo. 0 θ 0 4 4, π 4 5, π 6 no sistema de 4 π 6 +π π 4, π π π 4, π 4 eixo polar 7

s outros pontos são determinados do mesmo modo. Conversão de Coordenadas. Por vezes pode trazer vantagens passar da representação cartesiana para a polar, ou vice-versa. É importante perceber que geometricamente os pontos do plano não se alteram apenas o método pelo qual são representados numericamente varia. processo usual consiste em considerar o pólo para o sistema de coordenadas polares coincidente com a origem do sistema de coordenadas cartesianas e o eixo polar ao longo do eixo positivo x, assim o eixo positivo é a semi-recta θ = π. Se considerarmos P o ponto cujas coordenadas polares são ( r,θ ) com r > 0, é claro que as coordenadas cartesianas ( x, y) y ( x, y) cartesianas de P serão P = dadas por x = r cosθ e ( r, θ ) polares y = r sinθ. Quando r = 0, isto é verdadeiro, r y enquanto, se θ r > 0, temos: cos θ = x r e sin θ = y r : x x. Agora, suponhamos que um ponto P tenha coordenadas polares ( r,θ ) com r < 0 e desejamos encontrar as coordenadas cartesianas ( x, y) de P. Visto que (, θ ) = ( r, θ + π ) r e r > 0, segue-se pelas equações desenvolvidas acima que: x = ( r) cos( θ + π ) = r( cosθ cosπ sinθ sinπ ) = r( cosθ ) = r cosθ ( r) sin( θ + π ) = r( sinθ cosπ + cosθ sinπ ) = r( sinθ ) r sinθ, e x = =. Portanto as equações x = r cosθ e y = r sinθ aplicam-se a todos os casos possíveis para converter coordenadas polares ( r,θ ) de um ponto P em coordenadas cartesianas ( x, y) de P. Pelas últimas equações temos x + y = r cos θ + r sin θ = ( cos θ + sin ) r y = r θ =, ou seja, tan θ = para x 0. As equações acima não x determinam r e θ única e simplesmente porque o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são ( x, y), tem um número ilimitado de diferentes representações no sistema de coordenadas polares. Ao encontrar-se as coordenadas polares de P, deve prestar-se atenção ao quadrante ao qual P pertence, visto que isto ajudará a determinar θ. 8

Exemplo Converta em coordenadas cartesianas: a) ( 4,0 ), b) (,5π 6). 1 a) (, y) = ( 4cos0,4sin 0 ) = 4,4 = (,) x, 5π 5π 1 b) (, y) = cos, sin =, = (, 1) x 6 6. Comprimento de Arco de Uma Curva Polar em Coordenadas Polares. Para uma curva em coordenadas cartesianas, ( dx) ( dy) ds = + simboliza o diferencial do comprimento de arco. Se convertermos para coordenadas polares, teremos dx = d( r cosθ ) = dr cosθ r sinθdθ = e dy = d( r sinθ ) = dr sinθ + + r cosθdθ. y dy dx ( dx) ( dy) ds = + x Assim, tem-se ( dx ) + ( dy) = ( dr) cos θ r cosθ sinθ ( dr)( dθ ) + r sin θ ( dθ ) + + ( dr) sin θ + r cosθ sinθ ( dr)( dθ ) + r cos θ ( dθ ) = ( dr) ( cos θ + sin θ ) + r ( d θ ) ( sin θ cos θ ) = ( dr) + r ( dθ ) ds = dx + dy e assim ds = +, ou seja, ( ) ( ) dr = ( dr) + r ( dθ ) = + r ( dθ ) dθ dr ds = + r dθ Portanto, em coordenadas polares, dθ dθ r dr ds = + r dθ. comprimento de dθ eixo polar r = f θ entre θ = α e θ = β é dado por arco da porção da curva polar ( ) s = β β dr dθ [ f ( θ )] [ f ( θ )] ds = + r dθ = + α α exista e seja contínua no intervalo [ α, β ]. β α dθ, desde que a derivada f 9

Coordenadas Cilíndricas. As coordenadas cilíndricas assemelham-se às polares. Temos assim ( r, z) seguinte mostra o ponto P em relação ao sistema cartesiano e em relação ao sistema cilíndrico. Se as coordenadas polares de Q são x = r cosθ e y = r sinθ ; logo, as coordenadas cartesianas de P são dadas θ eixo polar r P z Q z x θ r P = z pelas,θ. A figura ( x, y, z) ( r, θ, z) x = r cosθ y = r sinθ. z = z cilíndricas y cartesianas equações Como o ponto Q, no pé da perpendicular do ponto P ao plano xy, tem um número ilimitado de diferentes representações no sistema polar, temos que P tem um número ilimitado de diferentes representações no sistema cilíndrico. Por exemplo, se P ( r,θ, z) = ( r, θ + π z). Para qualquer caso, se P ( x, y, z) P, então as coordenadas cilíndricas de P ( r,θ, z) =, também se terá = em coordenadas cartesianas, = devem satisfazer r + = ± x y e, contanto que x 0, quando y < 0. y tan θ =. Se x = 0, então x π θ = quando y > 0, e π θ = Exemplo Ache as coordenadas cartesianas do ponto P cujas coordenadas cilíndricas são ( 5, π,) coordenados. e marque o ponto P, mostrando os dois sistemas Neste caso temos x = r cosθ = π = 5 cos = 5 π, y = 5sin = 5 = e z =. Logo o ponto P 5 P =, 5, Q 5 x 60 5 z y 10

tem coordenadas cartesianas (, 5,) 5. Comprimento de Arco em Coordenadas Cilíndricas. Uma curva no espaço pode ser expressa parametricamente dando-se as coordenadas cilíndricas ( r, z),θ de um ponto P da curva em termos de um parâmetro t. Assim, se r = f () t θ = g() t onde f, g e h são funções contínuas, então o ponto P ( r,θ, z) z = h() t = percorre a curva à medida que t varia. Se f, g e h existem e são contínuas então das equações x = r cosθ, y = r sinθ e z = z obtemos dx dr dθ = cosθ r sinθ e dy dr dθ = sin θ + r cosθ. Assim temos: ds dx = dy + dz +. Assim ds = dr cosθ r sin dθ θ dr + sinθ + r cos dθ θ dz + dr = cos θ dr dθ dθ dr dr dθ r cosθ sinθ + r sin θ + sin θ + r cosθ sinθ + r r cos dθ dz + dr = dθ dz ( cos θ + sin θ ) + r ( cos θ + sin θ ) + = dr dθ dz = + r +. Temos assim que o comprimento de arco da curva entre o ponto onde o parâmetro tem o valor t = a e o ponto onde t = b é dado por s = b a dr + r dθ dz +. 11