Aula 15 Parábola. Objetivos

MÓDULO 1 - AULA 15 Aula 15 Parábola Objetivos Descrever a parábola como um lugar geométrico determinando a sua equação reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo x paralelo à diretriz l e origem no vértice V. Determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e da diretriz l. Esboçar o gráfico da parábola, a partir da sua equação, e fazer translações. Localizar o ponto de máximo ou de mínimo e calcular o seu valor. Conceitos: Sistemas de coordenadas cartesianas e distâncias no plano. Referências: Aulas 13 e 14. Várias residências têm antenas instaladas no telhado para recepção de som e imagens transmitidas por satélite. Todos conhecem as antenas parabólicas. E por que usamos estas antenas? Antes de responder, precisamos conhecer as propriedades da parábola. A superfície da antena é obtida pela rotação de uma parábola em torno de uma reta fixa, o seu eixo de simetria. Os faróis de automóveis e espelhos para telescópios astronômicos também têm superfície parabólica. A trajetória seguida por vários objetos em movimento é uma parábola. Por exemplo: uma bola de basquete quando lançada na cesta, uma bola de futebol quando chutada, uma bala disparada por um revólver ou por um canhão etc. Na Figura 15.2 vemos a trajetória percorrida pela bala de um canhão. Figura 15.1: Antena parabólica. Figura 15.2: Trajetória de uma bala de canhão. Fixemos no plano uma reta l e um ponto F não pertencente a l. A parábola é o lugar geométrico dos pontos P do plano eqüidistantes da reta l e do ponto F. A saber, parábola={ P d(p, F ) = d(p, l) }. A distância de um ponto a uma reta é definida como a menor das distâncias de P aos pontos Q da reta. Vimos, na AULA 16, que d(p, l) = 217 CEDERJ

d(p, P ), onde P é o ponto de interseção da reta l com a perpendicular a l passando por P, chamado pé da perpendicular a l passando por P. Portanto, parábola = { P d(p, F ) = d(p, P ) }, onde P é o pé da perpendicular à reta l passando por P. Figura 15.3: Parábola de vértice V, foco F e diretriz l. A reta l é chamada diretriz, o ponto F, foco, e o ponto V de interseção do eixo de simetria com a parábola, vértice. Para encontrar a equação de uma parábola, vamos fixar um sistema de coordenadas. Para isto, seja 2p, onde p > 0, a distância de F à reta l. Consideramos a origem O situada na reta perpendicular à reta l passando por F e eqüidistante de F e l. O eixo x será a reta paralela a l, com uma orientação fixada. A reta perpendicular a l passando por F será o eixo y, com a orientação conveniente (lembre-se de que girando a parte positiva do primeiro eixo, o eixo x, no sentido anti-horário em torno de O, obtemos o sentido positivo do segundo eixo, o eixo y). Figura 15.4: Parábola, sua diretriz l e foco F, escolha dos eixos x e y, com d(f, l) = 2p. A posição relativa de F com respeito à diretriz l e à escolha dos eixos coordenados está ilustrada na Figura 15.4. Observe que a origem O = (0, 0) do sistema de coordenadas construído é o vértice da parábola. Temos dois casos a considerar. CEDERJ 218

MÓDULO 1 - AULA 15 Primeiramente, vamos determinar a equação da parábola no caso em que F = (0, p) e a equação da reta diretriz é y = p, conforme o desenho à esquerda da Figura 15.4. Para cada ponto P = (x, y), o ponto P l, pé da perpendicular passando por P, é P = (x, p). Portanto, um ponto P = (x, y) pertence à parábola d(p, F ) = d(p, P ) d((x, y), (0, p)) = d((x, y), (x, p)) (x 0) 2 + (y p) 2 = (x x) 2 + (y ( p)) 2 x 2 + (y p) 2 = (y + p) 2, elevando ao quadrado, x 2 + (y p) 2 = (y + p) 2, desenvolvendo os quadrados, x 2 + y 2 2py + p 2 = y 2 + 2py + p 2, somando y 2 p 2 + 2py x 2 = y. Como p > 0 e x 2 0 para todo x R, temos y = x2 0. Logo, os pontos da parábola diferentes da origem estão acima do eixo x. O gráfico desta equação, ilustrado na Figura 15.5, é { } { ( ) Graf(y = x2 ) = (x, y) y = x2 = x, x2 x R Na Figura 15.6 estão os gráficos das parábolas y = x2 4, y = x2 e y = 2x 2. }. Figura 15.5: Parábola y = x2 foco F = (0, p). Exemplo 15.1 com Figura 15.6: Parábolas y = x2 4, y = x 2 e y = 2x 2. Vamos encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola y = 1 4 x2. Escrevendo 1 = 1, obtemos = 4, logo p = 1. Então, o foco é 4 F = (0, p) = (0, 1) e a diretriz é y = p = 1. Consideremos, agora, o caso em que F = (0, p) e a equação da reta diretriz é y = p, conforme o desenho à direita da Figura 15.4. 219 CEDERJ

Para cada ponto P = (x, y), o ponto P passando por P, é P = (x, p). Portanto, um ponto P = (x, y) pertence à parábola d(p, F ) = d(p, P ) d((x, y), (0, p)) = d((x, y), (x, p)) l, pé da perpendicular (x 0) 2 + (y ( p)) 2 = (x x) 2 + (y p) 2 x 2 + (y + p) 2 = (y p) 2, elevando ao quadrado, x 2 + (y + p) 2 = (y p) 2, desenvolvendo os quadrados, x 2 + y 2 + 2py + p 2 = y 2 2py + p 2, somando y 2 p 2 2py, x 2 = y. Como p < 0 e x 2 0 para todo x R, temos y = x2 0. Logo, os pontos da parábola diferentes da origem estão abaixo do eixo x. O gráfico desta equação, ilustrado na Figura 15.7, é { } { ( ) Graf(y = x2 ) = (x, y) y = x2 = x, x2 x R }. Exemplo 15.2 Figura 15.7: Parábola y = x2. Vamos determinar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação y = 2x 2. Escrevendo 2 = 1, obtemos p = 1. 8 F = (0, p) = (0, 1) e a equação da diretriz é y = p = 1. 8 8 Então, Exemplo 15.3 Qual é a equação da parábola com foco F = (0, 5 ) e vértice V = (0, 0)? 2 Escrevendo a equação da parábola na forma reduzida y = x2, sabendo que F = (0, p), temos que p = 5 2. Logo, p = 5 2, = 4 5 2 = 10, 1 = 1 y = x2 = x2 10. 10 e CEDERJ 220

MÓDULO 1 - AULA 15 é Nos dois casos considerados a equação da parábola na forma reduzida y = ax 2, onde a R e a 0 o foco é F = (0, 1 1 ) e a equação da diretriz é y =. 4a 4a O gráfico da equação é Graf(y = ax 2 ) = { (x, y) y = ax 2 } = { (x, ax 2 ) x R }. Observe, na Figura 15.8, como o gráfico desta equação se comporta, em termos do número real a. Figura 15.8: A parábola y = ax 2, para a > 0 e a < 0. Exemplo 15.4 Qual é o subconjunto C = {(x, y) y = 2x 2 12x + 16}? Para identificar este subconjunto do plano, vamos tentar escrever a equação que relaciona as variáveis x e y, na forma reduzida da equação da parábola. y = 2x 2 12x + 16, colocando 2 em evidência, = 2(x 2 6x + 8), completando o quadrado do polinômio em x, = 2((x 2 6x + 9) 9 + 8), = 2((x 3) 2 1), fazendo o produto por 2, = 2(x 3) 2 2. Desta maneira, obtemos y + 2 = 2(x 3) 2. Esta equação é de uma parábola. Por quê? Sabemos que y = 2x 2 é uma parábola com vértice V = (0, 0), foco F = (0, 1 ) = (0, 1 ) = (0, 1 1 ), diretriz y = = 1 e o eixo de simetria 4a 4 2 8 4a 8 é x = 0. Quando esta parábola é transladada de h = 3 unidades horizontalmente e de k = 2 unidades verticalmente, uma parábola congruente é obtida tendo equação y k = 2(x h) 2, que é equivalente a y +2 = 2(x 3) 2. A Figura 15.9 ilustra o gráfico destas duas parábolas. 221 CEDERJ

Figura 15.9: Parábolas y = 2x 2 e y + 2 = 2(x 3) 2. y = 2x 2 y + 2 = 2(x 3) 2 vértice: (0, 0) (h, k) = (3, 2) foco: (0, 1 ) 4a 8 1 (h, k + 4a 8 8 diretriz: y = 1 4a 8 y = k 1 4a 8 8 eixo de simetria: x = 0 x = h = 3 Duas figuras são congruentes se deslocando uma delas podemos fazer coincidir uma com a outra. De modo geral, a parábola y = ax 2 tem vértice (0, 0) e eixo de simetria x = 0. Quando esta parábola é transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, uma parábola congruente é obtida, tendo equação y k = a(x h) 2. A figura ao lado ilustra esta translação. O vértice O = (0, 0) é transladado para (h, k) e o foco, a diretriz e o eixo de simetria são transladados como indicado a seguir: Figura 15.10: y = ax 2 e y k = a(x h) 2. y = ax 2 y k = a(x h) 2 vértice: (0, 0) (h, k) foco: (0, 1 1 ) (h, k + ) 4a 4a diretriz: y = 1 y = k 1 4a 4a eixo de simetria: x = 0 x = h Observe que no vértice (h, k) temos x 0 = h e y 0 = k, onde k é o valor mínimo ou máximo de y, para todo P = (x, y) que está na parábola de equação y k = a(x h) 2. Pois: (i) Se a > 0, então a parábola está voltada para cima e y = a(x h) 2 + k 0 + k = a(h h) 2 + k = a(x 0 h) 2 + k = y 0, CEDERJ 222

MÓDULO 1 - AULA 15 logo y y 0, portanto k é o valor mínimo de y. (ii) Se a < 0, então a parábola está voltada para baixo e y = a(x h) 2 + k 0 + k = a(h h) 2 + k = a(x 0 h) 2 + k = y 0, logo y y 0, portanto k é o valor máximo de y. Resumo Você aprendeu a descrever a parábola como um lugar geométrico, a determinar a sua equação reduzida, a partir da sua propriedade geométrica, no sistema de coordenadas com origem no vértice, eixo x paralelo à diretriz l e eixo y como o eixo de simetria; a esboçar o seu gráfico; a fazer translações; a determinar as coordenadas do foco F, do vértice V e a equação da diretriz l, a partir da equação reduzida; a determinar o ponto de máximo ou mínimo e o seu valor máximo ou mínimo, respectivamente, x 0 = h e y 0 = k, onde V = (h, k). Exercícios 1. Determine o foco, a equação da diretriz e esboce o gráfico de cada uma das seguintes parábolas: (a) y = 8x 2 (b) y = 8x 2 (d) y = 16x 2 (e) 2y = 5x 2 (g) y 1 16 x2 = 0 (h) y = 3 4 x2 (c) y = 16x 2 (f) 2y = 5x 2 (i) y = 5 4 x2 2. Determine a equação reduzida da parábola, o vértice, a equação da diretriz, a equação do eixo de simetria e esboce o gráfico. (a) y = 1 4 x2 x + 4 (b) 8y + x 2 + 4x + 12 = 0 (c) 2y = x 2 + 4x 4 (d) 20y x 2 + 2x + 39 = 0 (e) y = 2x x 2 (f) x 2 + 6x 8y + 17 = 0 3. Determine o valor de x para o qual y assume o valor máximo ou mínimo, em cada uma das parábolas do exercício anterior. 4. Determine a equação reduzida da parábola que satisfaz a propriedade dada e esboce o gráfico: 223 CEDERJ

(a) Foco F = (0, 3 4 ) e diretriz y = 3 4. (b) Foco F = (0, 5 ) e vértice (0, 0). 8 (c) Diretriz y = 3 e vértice (0, 0). 2 (d) Vértice (2, 5) e diretriz y = 7. (e) Vértice (0, 0), eixo de simetria vertical e o ponto (2, 2) está na parábola. (f) Vértice (0, 0), eixo de simetria x = 0 e passa pelo ponto (2, 3). (g) Foco F = (4, 5) e diretriz y = 1. (h) Vértice (4, 1) e diretriz y = 3. 5. Determine a interseção da parábola com o eixo y: (a) y = 1 4 x2 x + 4 (b) 8y + x 2 + 4x + 12 = 0 (c) 2y = x 2 + 4x 4 (d) 20y x 2 + 2x + 39 = 0 (e) y = 2x x 2 (f) x 2 + 6x 8y + 17 = 0 6. Esboce os subconjuntos do plano: A parábola y = ax 2 + bx + c, assim como uma reta não-vertical, divide o plano em dois subconjuntos disjuntos: os pontos acima (y > ax 2 + bx + c) e os pontos abaixo da parábola (y < ax 2 + bx + c). (a) A = { (x, y) 2x 3 y < 4x x 2 }. (b) B = { (x, y) x 2 2x y < 4x x 2 }. (c) C = { (x, y) 2x + 8 y x 2 }. (d) D = { (x, y) x 2 2 y < 2x 2 + 6x + 7 }. Auto-avaliação Se você souber determinar o vértice, o foco e a equação da diretriz da parábola, a partir da sua equação reduzida e esboçar o seu gráfico, então pode passar para a próxima aula. É claro que resolveu os exercícios 1 a 5! Vamos para a Aula 19. Continuaremos a estudar a parábola e aprenderemos a sua propriedade reflexiva! CEDERJ 224