UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Exatas e Tecnologia - CCET Departamento de Matemática Topologia do ponto de vista da Teoria do conjuntos Aluna: Natalia de Barros Gonçalves Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz Queiroz Pergher São Carlos - 2006 -
Sumário 1 Um Breve Histórico.............................. 2 2 Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico................ 3 2.1 Espaços Métricos e Bolas Abertas....................... 3 2.2 Conjuntos Abertos............................... 6 2.3 Relação entre Conjuntos Abertos e Continuidade.............. 9 3 Espaços Topológicos............................. 13 3.1 Topologia e Espaço Topológico......................... 13 3.2 Base de um Espaço Topológico........................ 15 3.3 Topologia Produto............................... 18 3.4 Topologia do Subespaço............................ 18 3.5 Homeomorsmos................................ 19 3.6 Interior, Fronteira e Vizinhança........................ 20 4 Conjuntos Fechados.............................. 22 4.1 Conjuntos Fechados............................... 22 4.2 Fecho de um conjunto............................. 24 4.3 Pontos de Acumulação............................. 27 4.4 Aplicações Contínuas.............................. 28 5 Alguns Espaços Topológicos Importantes................. 30 5.1 Espaços de Hausdor.............................. 30 5.2 Espaços Metrizáveis............................... 31 6 Conexidade e Compacidade......................... 33 6.1 Espaços Conexos................................ 33 6.2 Espaços Compactos............................... 36 Referências Bibliográcas............................ 39 ii
Resumo Neste trabalho são apresentadas as noções básicas da point-set topology. No primeiro capítulo é apresentada uma breve história da topologia. Logo depois, conceitos como métricas, bolas, conjuntos abertos e continuidade de aplicações são abordados. Em seguida, são apresentados alguns conceitos básicos de espaços topológicos, bem como alguns exemplos de topologias, e novamente a continuidade de aplicações, só que agora em espaço toplógicos. Conjuntos fechados também são apresentados, assim como alguns conceitos relativos a eles. No nal, são apresentados os conceitos de compacidade e conexidade topológicas. iii
Introdução Topologia é o ramo da matemática que se preocupa com as propriedades de objetos geométricos que são preservadas quando aplicamos a elas transformações bijetoras e contínuas, chamadas homeomorsmos. Na topologia, não existe diferença entre uma xícara de café e uma rosquinha, pois uma xícara pode ser transformada em uma rosquinha, ser ser feito nenhum corte, nem colagens; este é o signicado de dizer que as propriedades de um objeto geométrico são preservadas por homeomorsmos. Na topologia, temos as áreas: point-set topology, topologia algébrica e topologia diferencial. Neste trabalho será estudada a point set topology que é o ramo da matemática que estuda as propriedades dos espaços topológicos e das estruturas que são ali denidas. A point-set topology estuda algumas noções básicas da topologia, como conjuntos abertos e fechados, interior e fecho de um conjunto, compacidade, conexidade, entre outras. É conhecida também como topologia geral, que como o nome já diz, nos fornece uma fundação para os outros ramos da topologia. 1
Capítulo 1 Um Breve Histórico Não se sabe ao certo quando surgiu a topologia, alguns dizem que começou com a analysis situs de Poincaré, outros que data da teoria dos conjuntos de Cantor. Alguns ainda consideram Brouwer o fundador da topologia, especialmente devido aos seus teoremas de invariança topológica, de 1911, e à fusão que efetuou dos métodos de Cantor com os da analysis situs. Em 1913 Weyl, em um curso que administrou, deu ênfase à natureza abstrata de uma superfície, ou variedade de dimensão dois. O conceito de variedade não deveria ser ligado a um espaço de pontos (no sentido geométrico usual), mas ter sentido amplo. Começamos simplesmente com uma coleção de coisas chamadas pontos (que podem ser objetos quaisquer) e introduzimos um conceito de continuidade por meio de denições mais claras. A formulação clássica dessa idéia foi dada um ano depois por Felix Hausdor (1868-1942). A primeira parte do Grundzüge der Mengenlehre de Hausdor é uma exposição sistemática dos aspectos característicos da teoria dos conjuntos. Na segunda parte do livro achamos um desenvolvimento claro dos espaços topológicos de Hausdor, a partir de uma coleção de axiomas. A topologia emergiu no século vinte como um tema que unica quase toda a matemática, um tanto como a losoa procura coordenar todo o conhecimento. Por causa de seu primitivismo, a topologia está na base de uma parte muito grande da matemática. 2
Capítulo 2 Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 2.1 Espaços Métricos e Bolas Abertas Antes de iniciarmos o estudo de conjuntos abertos vamos denir métrica e bolas abertas que são conceitos fundamentais para o desenvolvimento deste capítulo. Denição 2.1. Uma métrica em um conjunto X é uma função d : X X R satisfazendo as seguintes propriedades: (1) d(x, x) = 0, x X. (2)Se x y então d(x, y) > 0, x, y X. (3)d(x, y) = d(y, x), x, y X. (4)d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X. Um espaço métrico é um par (M, d), sendo M um conjunto e d uma métrica em M. Quando não houver risco de confusão, omitiremos a métrica e iremos apenas nos referir ao espaço métrico M. Vamos agora estudar alguns exemplos de métricas. Exemplo 2.2. Seja X = R o conjunto dos números reais e d : R R R tal que d(x, y) = x y, então d é uma métrica em R. De fato, x, y, z R, (1)d(x, x) = x x = 0 = 0 (2)Se x y então d(x, y) = x y > 0, pela propriedade do valor absoluto. (3)d(x, y) = x y = y x = d(y, x), pois x y = y x. (4)Já sabemos que se a, b R então a + b a + b, então x y = x z + z y x z + z y, x, y, z R. Daí obtemos d(x, y) d(x, z) + d(z, y). 3
2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 4 Portanto d é uma métrica em R, ou seja, (R, d) é um espaço métrico. Esta métrica é conhecida com métrica usual da reta, e nos fornece a distância que conhecemos entre dois pontos na reta. Exemplo 2.3. Seja d : M M R, denida por: d(x, x) = 0 e d(x, y) = 1 se x y. Esta métrica é conhecida como métrica zero-um. Um espaço métrico obtido com esta métrica é trivial, mas muito útil para contra-exemplos. Vamos vericar que d é de fato uma métrica: (1) Pela própria denição da métrica zero-um temos, (2) Se x y então (3) Para x y, temos: d(x, x) = 0, x M. d(x, y) = 1 > 0, x, y M. d(x, y) = 1 = d(y, x), x, y M. (4) Para provarmos a quarta propriedade de métrica, precisaremos dividir em quatro casos: Portanto, d(x, z) + d(z, y) = 2 > 1 = d(x, y) se x y z, d(x, z) + d(z, y) = 0 + 1 = 1 = d(x, y) se x = z, z y e x y, d(x, z) + d(z, y) = 1 + 0 = d(x, y) se x z, z = y e x y, d(x, z) + d(z, y) = 0 = 0 = d(x, y) se x = y = z. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z M. Temos então que d é uma métrica em M. Exemplo 2.4. Seja d 0 : R n R n R. dados x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, denimos: d 0 (x, y) = [ n i=1 (x i y i ) 2 1/2. Provaremos que d 0 é de fato uma métrica em R n : 1) Seja x R n, d 0 (x, x) = [ n i=1 (x i x i ) 2 1/2 = [ n i=1 (0)2 1/2 = 0. 2) Se x y temos que (x i y i ) 2 > 0. Então, d 0 (x, y) = [ n i=1 (x i y i ) 2 1/2 > 0, x, y R n. 3) Temos que para c, d R vale (c d) 2 = (d c) 2, então: d 0 (x, y) = [ n i=1 (x i y i ) 2 1/2 = [ n i=1 (y i x i ) 2 1/2 = d 0 (y, x), x, y R n. 4) Agora temos que provar que n i=1 (x i y i ) 2 n i=1 (x i z i ) 2 + n i=1 (z i y i ) 2. Sejam a i = x i z i e b i = z i y i, i = 1,..., n, temos então: n i=1 (a i + b i ) 2 n i=1 (a i) 2 + n i=1 (b i) 2.
2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 5 Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, obtemos: n i=1 (a i + b i ) 2 n i=1 (a i) 2 + 2 n i=1 (a i) 2 n i=1 (b i) 2 + n i=1 (b i) 2 n i=1 (a i) 2 + 2 n n i=1 (b i) 2 + n i=1 (b i) 2 i=1 (a i b i ) + n i=1 (b i) 2 n i=1 (a i) 2 + 2 n i=1 (a i) 2 n i=1 (a i b i ) n i=1 (a i) 2 n i=1 (b i) 2. Temos que a desigualdade acima é uma consequência da desigualdade de Cauchy: [ n i=1 (a i b i )] 2 n i=1 (a i) 2 n i=1 (b i) 2. Concluímos então que a seguinte desigualdade é válida: d 0 (x, y) d 0 (x, z) + d 0 (z, y). Portanto, d 0 é uma métrica em R n. Esta métrica é conhecida como Métrica Euclidiana, ela nos fornece a distância usual da Geometria Euclidiana. Denição 2.5. Seja X um espaço métrico munido da métrica d. Um suconjunto A de X é dito limitado se existe M R tal que d(a 1, a 2 ) M, para todo par a 1, a 2 A. Exemplo 2.6. Seja X um espaço métrico munido da métrica d. Denimos d b : X X R pela equação d b (x, y) = min {d(x, y), 1}. Então d b é uma métrica em X. De fato, as duas primeiras condições para que d b seja uma métrica são triviais, e por isso omitiremos suas demonstrações. Vamos chegar a desigualdade triangular: d b (x, z) d b (x, y) + d b (y, z). Temos que ou d(x, y) 1 ou d(y, z) 1, então o lado direito da inequação no mínimo igual a 1, mas o lado esquerdo desta mesma equação vale no máximo 1. Então, para este caso a inequação vale. Precisamos agora considerar o caso em que d(x, y) < 1 e d(y, z) < 1, temos d(x, z) d(x, y) + d(y, z) = d b (x, y) + d b (y, z). Como d b (x, z) d(x, z), então a desigualdade triangular vale para d b. Portanto d b é uma métrica em X. Agora veremos um exemplo que nos mostra que nem toda função f dene um métrica em um conjunto. Exemplo 2.7. Seja f : R R R denida por: f(x, y) = (x y) 2, mostremos que f não é uma métrica em R. Esta função verica as três primeiras propriedades de métrica, mas não é valida a ultima propriedade. De fato,
2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 6 d(2, 5) = 9 d(2, 3) = 1 d(3, 5) = 4 Se aplicarmos a última propriedade de métrica, obteremos que 9 5. Então, como f não satisfaz todas as propriedades de métrica, temos que f não é uma métrica em R. Temos ainda uma maneira de obter um espaço métrico a partir de um outro espaço métrico. Seja (X, d) um espaço métrico, com uma métrica d : X X R qualquer. Se considerarmos o espaço (Y, d), com Y um subconjunto de X, temos que tal espaço é um espaço métrico, pois d : Y Y R será ainda uma métrica, só que agora está restrita ao conjunto Y. Esta métrica é conhecida como métrica induzida, e diremos que (Y, d) é um subespaço de (X, d) Agora que já estudamos métrica e espaços métricos, podemos denir bolas abertas em um espaço métrico M qualquer. Denição 2.8. Denimos como bola aberta de centro a e raio r > 0 o conjunto B(a, r) formado pelos pontos do espaço métrico M cuja distância ao ponto a seja menor do que r, ou seja, B(a, r) = {x M/d(x, a) < r}. Exemplo 2.9. Seja d : R R R a métrica usual em R. Então a bola aberta de centro a R e raio r > 0 é o intervalo B(a, r) = {x R/d(x, a) = x a < r}. Da mesma forma que temos bolas abertas, temos também bolas fechadas. Como um exemplo simples de uma bola fechada podemos citar um intervalo fechado da reta real, como por exemplo, o intervalo [0, 1]. Daremos agora a denição formal de uma bola fechada em um espaço métrico M qualquer. Denição 2.10. Denimos como bola fechada de centro a e raio r > 0 o conjunto B[a, r] formado pelos pontos do espaço métrico M cuja distância ao ponto a seja menor ou igual a r, ou seja, B[a, r] = {x M/d(x, a) r}. 2.2 Conjuntos Abertos Denição 2.11. Seja A um subconjunto de um espaço métrico M. Dizemos que A é aberto quando todo ponto a A é o centro de uma bola aberta inteiramente contida em A. Ou seja, a A, ɛ > 0 tal que se x M e d(x, a) < ɛ então x A.
2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 7 Proposição 2.12. Toda bola aberta B(a, r) em um espaço métrico M é um subconjunto aberto de M. Demonstração. Pela denição 2.8 temos que x B(a, r), d(a, x) < r. Sejam ɛ = r d(a, x) e y B(x, ɛ), então: d(y, x) < ɛ = r d(a, x). Pela denição 2.1 temos que: d(y, a) d(y, x) + d(x, a) < r d(x, a) + d(x, a) = r. Então, y B(a, r). E com isso temos que B(a, ɛ) B(a, r) Portanto, a bola B(a, r) é um subconjunto aberto de M. Denição 2.13. Seja A = {a} M, A será aberto em M se, e somente se, existir r > 0 tal que B(a, r) = {a}. Quando {a} for um conjunto aberto em M diremos que {a} é um ponto isolado. Se M for formado apenas de pontos isolados, diremos que M é um conjunto discreto. Proposição 2.14. Seja M um espaço métrico nito, então M é discreto. Demonstração. Suponhamos que exista um espaço métrico M nito que não seja discreto. Logo a M tal que, para todo r 0 > 0, x 0 M, com x 0 a tal que x 0 B(a, r 0 ), então d(a, x 0 ) < r 0. Tome r 1 = d(a, x 0 ). Como a não é ponto isolado existe x 1 M tal que x 1 B(a, r 1 ), onde a x 0 x 1. Seguindo este raciocínio, encontraremos uma sequência de pontos distintos dois a dois, que gera um absurdo, pois M é nito. Logo, todo espaço métrico nito é discreto. Denição 2.15. Seja X um subconjunto de um espaço métrico M. Um ponto a X é ponto interior a X quando a é centro de uma bola aberta contida em X. Ou seja, quando r > 0 tal que d(x, a) < r x X. Denimos o interior de X como sendo o conjunto dos pontos interiores de X, ou seja intx = {a X/B(a, r) X}. Denição 2.16. A fronteira de X é o conjunto dos pontos b X tais que toda bola aberta de centro b contém pelo menos um ponto de X e um ponto de M X. Notação: X.
2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 8 Exemplo 2.17. Seja X = [0, 3) um intervalo da reta real. O interior deste conjunto é o intervalo aberto (0,3). De fato, sejam a (0, 3) e r = min {a, 3 a}, temos (a r, a + r) X, logo a intx. Portanto (0, 3) pertence ao interior de X. Agora vamos testar os extremos do intervalo [0, 3). 3 / intx, pois todo intervalo aberto de centro 3 contém números que pertencem a X e outros que não pertencem a X. Analogamente temos que 0 / intx. Ou seja, intx = (0, 3). Com isso, encontramos também a fronteira de X, X = {0, 3}. Denição 2.18. Um subconjunto A de um espaço métrico M diz-se aberto em M quando todos os seus pontos são pontos interiores, ou seja, A = inta. Corolário 2.19. Para todo X M, intx é aberto em M. Demonstração. Seja a intx. Então pela denição 2.15, r > 0 tal que B(a, r) X. Pela proposição 2.12 temos que x B(a, r), s > 0 tal que B(x, s) B(a, r). Sendo que, B(x, s) intx. Com isso temos que todo ponto x B(a, r) é interior a X, ou seja B(a, r) intx. Logo intx é aberto em M. Proposição 2.20. Seja U a coleção dos subconjuntos abertos de um espaço métrico M. Então: 1. M U e U. 2. Se A 1,..., A n U então A 1... A n U. 3. Se A λ U, λ L, então A = λ L A λ U. Demonstração. 1) M é aberto em M, pois todos os pontos de M são interiores à M. Agora, suponhamos que não seja aberto em M, então temos um ponto x que não é
2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 9 interior a, mas não contém elementos, o que torna isso uma contradição. Portanto também é aberto em M. 2) Suponhamos que a A 1,..., a A n, logo a A 1... A n. Como A 1,..., A n U são abertos, exitem r 1 > 0,..., r n > 0 tais que B(a, r 1 ) A 1,..., B(a, r n ) A n. Seja r = min {r 1,..., r n }. Então, B(a, r) B(a, r 1 )... B(a, r n ) B(a, r) A 1... A n. 3) Seja a A. Existe um índice λ L tal que a A λ. Como este conjunto é aberto, temos que existe uma bola aberta B(a, r) tal que, B(a, r) A λ B(a, r) A Portanto A = λ L A λ é aberto. Corolário 2.21. Um subconjunto A M é aberto se, e somente se, é uma reunião de bolas abertas. Demonstração. ( ) Se A é aberto então, x A, podemos obter uma bola aberta B x talque x B x A. O que se escreve também como {x} B x A. Tomando reuniões, obtemos, A = x A {x} x A B x A. Logo, A = x A B x. O que mostra que todo aberto é reunião de bolas abertas. ( ) Se A = x A B λ é uma reunião de bolas abertas, então A é aberto em M pela proposição 2.12 e pelo item (3) da proposição 2.20. 2.3 Relação entre Conjuntos Abertos e Continuidade Neste capítulo iniciaremos com a denição de continuidade de uma aplicação f : M N da forma que conhecemos em análise, e em seguida enunciaremos uma proposição que utiliza apenas conjuntos abertos no estudo da continuidade de uma aplicação f, que nos mostra a importância dos conjuntos abertos na matemática.
2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 10 Denição 2.22. Sejam M,N espaços métricos. Diz-se que a aplicação f : M N é contínua no ponto a M quando, para todo ɛ > 0 dado, δ > 0 tal que d(x, a) < δ d(f(x), f(a)) < ɛ. Ou seja, dada uma bola B(f(a), ɛ) pode-se encontrar uma bola B(a, δ) tal que f(b(a, δ)) B(f(a), ɛ). Dizemos que f : M N é contínua se for contínua em todos os pontos de M. Exemplo 2.23. Seja (X λ ) λ L uma família de subconjuntos de M tais que λ L intx λ = M. Se f : M N é tal que f X λ é contínua para cada λ L, então f é contínua. Dado a M, existe λ L tal que, para a intx λ, temos que δ tal que B(a, δ ) X λ. Agora, como f X λ é contínua, sabemos que ɛ > 0, δ > 0 tal que f X λ (B(a, δ )) B(f X λ (a), ɛ). Sendo assim, tomando δ = min {δ, δ } temos, ɛ > 0 f(b(a, δ)) B(f(a), ɛ) Portanto, f : M N é contínua em M. Proposição 2.24. Sejam M e N espaços métricos. A m de que uma aplicação f : M N seja contínua é necessário, e suciente, que a imagem inversa f 1 (A ) de todo subconjunto aberto A N seja um subconjunto aberto de M. Demonstração. ( ) Suponhamos que f seja contínua, tomemos A N aberto então f 1 (A ) é aberto em M. De fato, seja a f 1 (A ) então f(a) A. Como A é aberto, temos que existe ɛ > 0 tal que B(f(a), ɛ) A. Sendo f contínua no ponto a, temos que para ɛ > 0, existe δ > 0 tal que f(b(a, δ)) B(f(a), ɛ) A f(b(a, δ)) A B(a, δ) f 1 (A ) f 1 (A ) é aberto. ( ) Suponhamos agora que f 1 (A ) M seja aberto para todo A N aberto. Seja a M, mostraremos que f é contínua em a. De fato, dado ɛ > 0 a bola A = B(f(a), ɛ) é um aberto em N, contendo f(a). Logo, A = f 1 (A ) é um aberto em M, contendo a. Assim, existe δ > 0 tal que Ou seja, B(a, δ) A. f(b(a, δ)) B(f(a), ɛ). Corolário 2.25. Sejam A i M i conjuntos abertos em M i, então o produto cartesiano A 1... A n é um subconjunto aberto de M = M 1... M n.
2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 11 Demonstração. As projeções p i : M 1... M n M i são contínuas para i = 1,..., n. Logo, pela proposição anterior, p 1 1 (A 1 ), p 1 2 (A 2 ),..., p 1 n (A n ) são subconjuntos abertos de M 1... M n e como A 1... A n = p 1 1 (A 1 )... p 1 n (A n ), segue-se da proposição 2.20, que A 1... A n é aberto em M 1... M n. A imagem inversa f(a) de um conjunto aberto A M por uma aplicação contínua f : M N pode não ser um subconjunto aberto em N. Exemplo 2.26. Seja f : R R denida por: f(x) = x 2. Então, para A = ( 3, 3) temos f(a) = [0, 3), que não é um subconjunto aberto de R como vimos no exemplo 2.17. Denição 2.27. Uma aplicação f : M N chama-se aberta quando para cada aberto A M, sua imagem f(a) é um subconjunto aberto de N. Proposição 2.28. Um subconjunto A M N é aberto se, e somente se, é reunião de retângulos U V, onde U M e V N são abertos. Demonstração. ( ) Se A M N é aberto, tomemos em M N a métrica δ[(x, y), (x, y )] = max {d(x, x ), d(y, y )}, segundo a qual cada bola aberta é o produto de uma bola aberta em M por uma bola aberta em N. Então, para cada ponto z A existem bolas abertas U z M e V z N tais que ou seja, z U z V z, {z} U z V z A. Tomando reuniões, temos: Portanto, A = z A {z} x A U z V z. A = U z V z. ( ) Se A = λ U z V z onde, para cada λ, U λ M e V λ N são abertos, então A é uma reunião de abertos e portanto é aberto. Exemplo 2.29. As projeções p 1 : M N M e p 2 : M N N são aplicações abertas. Vamos mostrar que p 1 é de fato uma aplicação aberta. Se A M N é aberto, então, Segue-se que é aberto em M. A = λ U λ V λ, com U λ M e V λ N. p 1 (A) = λ p 1(U λ V λ ) = λ U λ Analogamente, mostra-se que p 2 também é uma aplicação aberta.
2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 12 A proposição 2.24 pode também ser escrita em termos de conjuntos fechados. Como estudaremos conjuntos fechados em um capítulo à parte, colocaremos a proposição e sua demostração naquele capítulo.
Capítulo 3 Espaços Topológicos 3.1 Topologia e Espaço Topológico Denição 3.1. Uma topologia em um conjunto X é uma coleção τ de suconjuntos de X, chamados os subconjuntos abertos de X (ou os abertos de X) segundo a topologia τ, satisfazendo as seguintes propriedades: 1. e X pertencem a τ. 2. A reunião de uma família qualquer de subconjuntos de τ pertence a τ. 3. A interseção de uma família nita de subconjuntos de τ pertence a τ. Um espaço topológico é um par (X, τ), onde X é um conjunto e τ é uma topologia em X. Quando não houver necessidade de mencionar τ, diremos apenas o espaço topológico X. Seja X um espaço topológico com a topologia τ. Dizemos que U X é um conjunto aberto de X se U τ Exemplo 3.2. Seja X um conjunto, a coleção τ de todos os subconjuntos de X é uma topologia em X. De fato, 1), X τ, pois são subconjuntos de X. 2) Dado {U λ } λ L com U λ τ então λ L U λ é um subconjunto de X e portanto pertence a τ. 3) Dados U 1,..., U n τ temos que U 1... U n é um subconjunto de X e portanto pertence a τ. A topologia denida no exemplo acima é chamada de topologia discreta. Exemplo 3.3. Seja X = {a, b, c}. Seja τ a coleção de todos os subconjuntos de X: τ = {, X, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}. Esta é a topologia discreta em X = {a, b, c}. 13
3. Espaços Topológicos 14 Exemplo 3.4. Seja X um conjunto, a coleção τ formada apenas pelo conjunto vazio e pelo X é uma topologia em X. De fato, 1), X τ. 2) Dado {U λ } λ L com U λ τ então λ L U λ ou será vazio ou então será o próprio X, portanto pertence a τ. 3) Dados, X τ temos que a interseção nita destes conjuntos será vazia, portanto pertence a τ. A topologia descrita acima é chamada topologia caótica. Exemplo 3.5. Sejam X um conjunto e τ f a coleção de todos os subconjuntos U de X tais que ou (X U) é nito ou é o próprio X. Então τ f é uma topologia em X. De fato, 1) X e pertencem a τ f, pois X X = é nito e X = X é o próprio X. 2) Seja {U λ } λ L uma família de elementos de τ f. Por um resultado da teoria dos conjuntos temos, X λ L U λ = λ L (X U λ). que é nito pois cada elemento (X U λ ) é nito. E portanto a reunião de uma família qualquer de τ f pertence à τ f. 3) Sejam U 1,..., U n τ f então, X n i=1 U i = n i=1 (X U i), que também é nito, pois a reunião nita de conjuntos nitos é nita. Então a intersecção nita de elementos de τ f pertence à τ f. Portanto, τ f é uma topologia em X. Exemplo 3.6. Sejam X um conjunto e τ c a coleção de todos os subconjuntos U de X tais que ou (X U) é enumerável ou é o próprio X. Então τ c é uma topologia em X. De fato, 1) X e pertencem a τ c, pois X X = é enumerável e X = X é o próprio X. 2) Seja {U λ } λ L uma família de elementos de τ c, então, X λ L U λ = λ L (X U λ). que é enumerável pois cada elemento (X U λ ) é enumerável. E portanto a reunião de uma família qualquer de τ c pertence à τ c. 3) Sejam U 1,..., U n τ c então, X n i=1 U i = n i=1 (X U i), que também é enumerável, pois a união nita de conjuntos enumeráveis é enumerável. Então a interseção nita de elementos de τ c pertence à τ c. Portanto, τ c é uma topologia em X. Exemplo 3.7. Todo espaço métrico é um espaço topológico. De fato, dado um espaço métrico (M, d), como os abertos de M são as reuniões de bolas abertas de M, basta
3. Espaços Topológicos 15 tomarmos X como sendo a reunião de bolas abertas de M e τ = {X M}, então τ será uma topologia em M. O espaço topológico (M, τ) terá os mesmos abertos de (M, d). Denição 3.8. Sejam τ e τ duas topologias em um conjunto X. Se τ τ, dizemos que τ é mais na do que τ. Esta denição pode parecer um pouco complicada, por isso faremos uma analogia simples para ilustrar quando uma topologia é mais na do que outra. Considere como um espaço topológico a caçamba de um caminhão cheia de pedregulhos, sendo cada pedregulho e todas as uniões de famílias de pedregulhos os conjuntos abertos. Se nós quebrarmos os pedregulhos em pedregulhos menores, a coleção de conjuntos abertos será maior, e a topologia será dita mais na pela operação. Não é sempre que podemos comparar duas topologias, dizendo se uma é mais na do que a outra. 3.2 Base de um Espaço Topológico Denição 3.9. Sejam X um conjunto e β uma coleção de subconjuntos de X tais que: 1. Para cada x X existe pelo menos um elemento B β tal que x B. 2. Se x B 1 B 2, com B 1, B 2 β, então existe B 3 β com x B 3 tal que B 3 B 1 B 2. Dizemos que β gera a coleção τ quando, para cada subconjunto U de X pertencente à coleção τ, existir um elemento B de β tal que, para x U, tivermos x B e B U. Proposição 3.10. A coleção τ gerada por β é uma topologia em X. Demonstração. 1) Seja U um subconjunto de X. Se U é vazio então ele está em τ, o mesmo acontece se U é o próprio X. 2) Agora, tomemos uma família indexada {U λ } λ L de elementos de τ. Vamos mostrar que U = λ L U λ pertence à τ. Dado x U, existe λ tal que x U λ. Como U λ é aberto, existe um elemento B em β tal que x B U λ U. Como x B e B U, então U τ. 3) Sejam U 1,..., U n τ, mostremos que U 1... U n τ, vamos mostrar este fato por indução. Primeiro sejam U 1 e U 2 em τ então U 1 U 2 também pertence à τ. De fato, dado x U 1 U 2, escolhemos um elemento B 1 β tal que x B 1 e B 1 U 1, escolhemos também um elemento B 2 β tal que x B 2 e B 2 U 2. Pela denição 3.9 temos que existe B 3, com x B 3, tal que B 3 B 1 B 2 U 1 U 2, então U 1 U 2 τ. Para n=1, U 1 τ. Suponhamos agora que U 1... U n 1 τ seja válida, e provemos que U 1... U n τ. Temos que
3. Espaços Topológicos 16 U 1... U n = (U 1... U n 1 ) U n. Pela hipótese de indução temos U = U 1... U n 1 τ. Agora, U U n τ, pelo que provamos no parágrafo acima. Então para U 1,..., U n τ temos que U 1... U n τ. Provamos então que a coleção τ de conjuntos gerada por β é de fato uma topologia em X. A coleção β é dita uma base da topologia τ, e os subconjuntos B β são chamados elementos básicos. Exemplo 3.11. Seja X um conjunto qualquer. A coleção β de todos os subconjuntos unitários de X é uma base para a topologia discreta. As duas condições para que β seja uma base são satisfeitas. Proposição 3.12. Sejam X um conjunto e β uma base para uma topologia τ em X. Então τ se iguala à coleção de todas as uniões de elementos de β. Demonstração. Dada uma coleção de elementos de β, eles também são elementos de τ, e como τ é uma topologia, a união destes elementos também está em τ. Agora, seja U τ, escolhemos para cada x U um elemento B x de β tal que x B x U. Então U = x U B x. Quando temos duas topologias dadas em função de suas bases, precisamos de um critério para dizer qual delas é a mais na. A seguinte proposição nos mostra tal critério. Proposição 3.13. Sejam β e β bases para as topologias τ e τ, respectivamente, em X. Então as seguintes armações são equivalentes. 1. τ é mais na do que τ. 2. Para cada x X e para cada elemento básico B β, com x B, existe um elemento básico B β tal que x B B. Demonstração. (1) (2) Foram dados x X e B β, com x B. Temos que B τ por denição e que τ τ, pois τ é mais na que τ, então B τ. Como τ é gerada por β, existe um elemento B β tal que x B B. (2) (1) Queremos mostrar que se dado um elemento U de τ então U τ. Seja x U, como β gera τ, existe um elemento B β tal que x B U. Por hipótese temos que existe um elemento B β tal que x B B. Então x B U, portanto U τ por denição.
3. Espaços Topológicos 17 Às vezes, não conseguimos nos lembrar se na proposição acima temos B B ou o contrário, B B. Para facilitar, podemos novamente utilizar a anologia com o caminhão cheio de pedregulhos. Diremos agora que cada pedregulho é um elemento básico da topologia. Quando transformamos cada pedregulho em poeira, as partículas de poeira são os elementos básicos para a nova topologia, que é mais na do que a anterior, e cada partícula estava contida em um pedregulho. A seguinte proposição nos diz como encontrar uma base a partir de uma topologia. Proposição 3.14. Sejam X um espaço topológico e β uma coleção de abertos de X, tal que para cada aberto U de X e cada x U existe um elemento B de β tal que x B U. Então β é uma base para a topologia em X. Demonstração. Mostremos que β é de fato uma base. (1) Seja x X, como X é um elemento de β por hipótese, então existe B β tal que x C β. (2) Sejam B 1, B 2 elementos de β e x B 1 B 2. Como B 1, B 2 são abertos em X temos que B 1 B 2 também é aberto em X. Então existe B 3 β tal que x B 3 B 1 B 2. Exemplo 3.15. A coleção β de todos os intervalos abertos (a, b) = {x/a < x < b} da reta real é uma base para a topologia usual em R. Vamos mostrar que β é de fato uma base para uma topologia em R. 1) Para todo x R existe um intervalo aberto contendo x. 2) Seja x (a, b) (c, d), com (a, b), (c, d) intervalos abertos da reta real, então (e, f), com x (e, f) tal que (e, f) (a, b) (c, d). Exemplo 3.16. A coleção β de todos os intervalos da reta real, do tipo [a, b) = {x/a x < b}, com a < b, é uma base uma topologia em R. De fato 1) Para todo x R existe um intervalo semi-aberto contendo x. 2) Seja x [a, b) [c, d), com [a, b), [c, d) intervalos da reta real, então [e, f), com x [e, f) tal que [e, f) [a, b) [c, d). A topologia gerada por β é chamada topologia do limite inferior. Proposição 3.17. A topologia do limite inferior τ em R é mais na do que a topologia usual τ. Demonstração. Dados um elemento básico (a, b) de τ e um ponto x (a, b), o elemento [x, b) da base de τ contém x e está contido em (a, b), então, pela proposiçao 3.13, τ é mais na do que τ. Agora, dado um elemento básico [x, d) de τ, não existe nenhum intervalo aberto satisfazendo a seguinte condição:
3. Espaços Topológicos 18 x (a, b) [x, d), portanto, τ não é mais na do que τ. 3.3 Topologia Produto Proposição 3.18. Sejam M e N espaços topológicos, a topologia que tem como base a coleção β de todos os conjuntos da forma U V, onde U é um aberto em M e V é um aberto em N, é uma topologia em M N. Esta topologia é conhecida como topologia produto. Demonstração. Precisamos mostrar que β é de fato uma base para uma topologia em X Y. 1) Esta condição é trivial, já que X Y é um elemento de β. 2) Sejam U 1 V 1 e U 2 V 2 elementos de β, então, (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ). Como (U 1 U 2 ) é um aberto em X e (V 1 V 2 ) é um aberto em Y temos que (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) é um elemento de β. Portanto β é uma base para a topologia em X Y. Teorema 3.19. Sejam β uma base para a topologia X e β uma base para a topologia em Y. Então a coleção χ = {B B /B β, B β } é uma base para a topologia em X Y. Demonstração. Dados um aberto W de X Y e um ponto x y de W, pela proposição acima, temos que existe um elemento básico U V tal que x y U V W. Como β e β são bases de X e Y respectivamente, podemos escolher um elemento B β tal que x B U, e um elemento B β tal que y B V. Então x y B B W. Pela proposição 3.14 temos que χ é uma base para X Y. 3.4 Topologia do Subespaço Proposição 3.20. Sejam X um espaço topológico e τ uma topologia em X. Se Y é um subconjunto de X, a coleção τ Y = {Y U/U τ} é uma topologia em Y. Demonstração. 1) τ Y pois = Y e X τ Y, pois Y = Y X. 2) Seja {U λ } λ L τ. Temos que
3. Espaços Topológicos 19 λ L (U λ Y ) = ( λ L U λ) Y. Como λ L U λ pertence à τ, então λ L (U λ Y ) também pertece à τ Y. 3) Sejam U 1, U 2,..., U n elementos de τ mostremos que (U 1 Y ) (U 2 Y )... (U n Y ) é um elemento de τ Y. (U 1 Y ) (U 2 Y )... (U n Y ) = (U 1 U 2... U n ) Y. Como (U 1 U 2... U n ) τ então (U 1 Y ) (U 2 Y )... (U n Y ) pertence à τ Y. Portanto τ Y é uma topologia em Y. A topologia τ Y é chamada topologia do subespaço, e dizemos que Y com esta topologia é um subespaço de X. Proposição 3.21. Se β é uma base para a topologia em X, então a coleção β Y = {B Y/B β} é uma base para a topologia do subespaço. Demonstração. Dados U um aberto de X e y U Y, podemos escolher um elemento B de β tal que y B U. Então y B Y U Y. Pela proposição 3.14 temos que β Y é uma base para a topologia do subespaço em Y. Quando estamos trabalhando com a topologia do subespaço precisamos ser cautelosos quando usamos o termo conjunto aberto, pois ele pode ser um aberto em X ou um aberto em Y. Temos que um conjunto é aberto em X se ele pertencer à topologia de X, e será dito aberto em Y se pertencer à topologia de Y. Nem sempre os abertos de Y serão abertos em X, o próximo lema nos diz em qual situação isto ocorre. Lema 3.22. Seja Y um subespaço de X, se U for aberto em Y e Y aberto em X, então U é aberto em X. Demonstração. Como U é aberto em Y, temos que U = Y V, para algum V aberto em X. Como Y e V são conjuntos abertos de X, temos que Y V também é aberto em X. 3.5 Homeomorsmos Nesta seção iremos apenas introduzir o conceito de Homeomorsmos, sem nos aprofundarmos. Denição 3.23. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y uma bijeção contínua. Se f e f 1 forem contínuas então f é dita um homeomorsmo. Neste caso, dizemos que X e Y são homeomorfos.
3. Espaços Topológicos 20 Dois espaços topológicos homeomorfos são indistinguíveis do ponto de vista da topologia. Uma propriedade em um espaço topológico X chama-se um propriedade topológica quando todo espaço homeomorfo à X também goza de tal propriedade. Exemplo 3.24. A função f : R R dada por f(x) = 3x + 1 é um homeomorsmo. De fato, sabemos que f é uma função bijetora e contínua, e que sua inversa f 1 (y) = 1 (y 1) 3 também é contínua, esses são resultados simples vindos do cálculo, e não os provaremos aqui. Denição 3.25. Uma aplicação injetiva f : X Y que é um homeomorsmo de X sobre sua imagem f(x) chama-se uma imersão topológica. 3.6 Interior, Fronteira e Vizinhança No capítulo 2 denimos interior e fronteira usando métricas e bolas abertas, neste capítulo utilizaremos somente os conjuntos abertos de um espaço topológico para denir esses conceitos, e ainda deniremos vizinhança de um ponto. Com isso veremos que podemos nos desvincular de distância e refazer a teoria do capítulo 2 utilizando apenas os abertos de um espaço topológico. A continuidade de uma função f : M N, com M e N espaços topológicos, será abordada em outro capítulo. Denição 3.26. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Um ponto x S chama-se ponto interior de S quando existe um aberto A de X tal que x A S. Denimos como interior de S o conjunto dos pontos interiores de S, este será denotado por ints. Proposição 3.27. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X, o interior de S é a reunião de todos os subconjuntos abertos de X que estão contidos em S. Demonstração. Precisamos mostrar que A λ = A = ints, com A λ conjuntos abertos em X contidos em S. Vamos começar mostrando que A λ = A ints. Seja A a reunião de todos os abertos A λ. Então A é aberto em X e A S, então x ints. Vamos mostrar agora que ints A. Seja x ints, então existe um aberto A em X tal que x A S. Logo A = A λ, para algum λ, então A A. Portanto x A. Então, como A ints e IntS A, temos que ints = A. Corolário 3.28. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Então S é aberto se, e somente se, S = ints. Demonstração. ( ) Suponhamos que S seja aberto. Então, pela proposição acima, temos que ints é igual à reunião de abertos de X contidos em S, como S é aberto, então Aλ = S = ints, com A λ conjuntos abertos em X contidos em S.
3. Espaços Topológicos 21 ( ) Agora, suponhamos ints = S, pela proposição acima, temos que ints = A λ = S. Portanto temos que S é aberto se, e somente se, S = ints. Denição 3.29. Sejam X um espaço topológico e x X um ponto. Dizemos que o conjunto V é uma vizinhança de x quando x intv. Proposição 3.30. Um conjunto A é aberto em um espaço topológico X se, e somente se, é uma vizinhança de cada um de seus pontos. Demonstração. ( ) Seja x A, como A é aberto temos pelo corolário 3.28 que A = inta, então x inta, pontanto A é uma vizinhança de x. ( ) Como A é vizinhança de cada um de seus pontos, temos que, para todo x A que x inta. Portanto A é um conjunto aberto. Denição 3.31. A fronteira de um subconjunto S de um espaço topológico X é formado por todos os pontos x X tais que toda vizinhança de x contém pontos de S e do complementar (X S). Denotamos tal conjunto por S. Proposição 3.32. Sejam X um espaço topológico, Y um subespaço de X e y um ponto de Y. As vizinhanças de y em Y são as interseções V Y, onde V é uma vizinhança de y em X. Demonstração. ( ) Seja U uma vizinhança de y em Y, então existe A aberto em X tal que y A Y U. Seja V = A U. Então V é uma vizinhança de y em X. Além disso, V Y = (A U) Y = (A Y ) (U Y ) = (A Y ) U = U. Logo, U = V Y. ( ) Se V é uma vizinhança de y em X, então existe A aberto em X com y A V, então y A Y V Y e portanto V Y é uma vizinhança de y em Y.
Capítulo 4 Conjuntos Fechados 4.1 Conjuntos Fechados Denição 4.1. Um subconjunto F de um espaço topológico X é dito fechado quando seu complementar, (X F ), for aberto em X. Exemplo 4.2. O intervalo fechado [a, b] da reta real é um subconjunto fechado de R. De fato, R [a, b] = (, a) (b, ). Como R [a, b] é um subconjunto aberto em R, pois é a reunião de subconjuntos abertos, [a, b] é fechado em R. Exemplo 4.3. Toda bola fechada B[a, r] em um espaço métrico M é um subconjunto fechado de M. De fato, seja A = M B[a, r], mostremos que A é aberto em M. Seja b A, então s = d(a, b) r s > 0. Para x B(b, s) temos d(b, x) < s. Pela quarta propriedade de métrica temos: d(a, b) d(a, x) + d(a, b) d(a, x) d(a, b) d(x, b) d(a, x) > d(a, b) s = r Assim, como d(a, x) > r, temos que x / B[a, r] que implica que x pertence à A. Então B(b, s) A temos que A é um conjunto aberto. Portanto, pela denição 4.1, B[a, r] é um conjunto fechado. Quando falamos em conjuntos abertos e fechados em um espaço topológico X podemos pensar que um conjunto precisa ou ser aberto ou ser fechado, mas na verdade, um conjunto pode ser aberto, fechado, ambos ou nenhum dos dois. Os conjuntos e o próprio X são abertos e fechados em X. Vamos ilustrar esta armação com o seguinte exemplo. 22
4. Conjuntos Fechados 23 Exemplo 4.4. Seja X um espaço topológico discreto, então todos os subconjuntos de X são abertos em X, decorre daí que todos os subconjuntos de X são também fechados em X. em R. No exemplo 2.17 temos um subconjunto de R que não é aberto nem fechado Teorema 4.5. Seja X um espaço topológico, então as seguintes armações são verdadeiras: 1. e X são fechados em X. 2. A interseção de uma família qualquer, {F λ } λ L, de subconjuntos fechados F λ de X é um subconjunto fechado em X. 3. A reunião nita F 1...F n de subconjuntos fechados F 1,..., F 2 de X é fechado em X. Demonstração. 1) e X são fechados, pois seus complementos X e, respectivamente, são abertos em X. 2) Dada uma coleção de conjuntos fechados {F λ } λ L e utilizando a Lei de DeMorgan obtemos, fechado. X λ L F λ = λ L (X F λ). Como (X F λ ) é aberto, temos λ L (X F λ) aberto, e então λ L F λ é 3) Analogamente, se F i é fechado, para i = 1,..., n, temos a equação X n i=1 F i = n i=1 (X F i). Como n i=1 (X F i) é aberto, pois é interseção de conjuntos abertos é aberta, então n i=1 F i é fechada. Podemos denir uma topologia em um conjunto X por uma coleção τ de subconjuntos de X satisfazendo as condições do teorema acima. Ou seja, e X pertencem à τ, uma interseção qualquer e uma reunião nita de partes de τ pertençam à τ. Assim, tais subconjuntos seriam chamados os fechados de X, e deniríamos conjuntos abertos como sendo os complementares dos conjuntos fechados. Em algumas situações a topologia descrita aqui é útil, mas na maioria das vezes é mais conveniente utilizarmos conjuntos abertos para denir uma topologia. Agora podemos reescrever a proposição 2.24 em termos de conjuntos fechados. Proposição 4.6. Sejam M e N espaços métricos. A m de que uma aplicação f : M N seja contínua é necessário, e suciente, que a imagem inversa f 1 (F ) de todo subconjunto fechado F N seja um subconjunto fechado em M.
4. Conjuntos Fechados 24 Demonstração. ( ) Seja f : M N contínua. Dado F N fechado, (N F ) é aberto. Pela proposição 2.24, f 1 (N F ) = M f 1 (F ) é aberto e portanto f 1 (F ) é fechado em M. ( ) Se a imagem inversa de cada cada fechado em N é um fechado em M, dado um aberto A N, f 1 (N A ) = M f 1 (A ) é fechado em X, onde f 1 (A ) aberto, e pela proposição 2.24, f é contínua. Exemplo 4.7. Toda bola fechada B[a, r] em um espaço métrico M é um suconjunto fechado de M. De fato, seja f a função real f : M R, denida por f(x) = d(x, a), f é contínua. Temos que B[a, r] f 1 ([0, r]). Como [0, r] é um subconjunto fechado da reta, sua imagem inversa B[a, r] é fechada em M. Denição 4.8. Uma aplicação f : M N, com M, N espaços topológicos, é dita fechada quando a imagem f(f ), de todo subconjunto fechado F M, for um subconjunto fechado em N. Quando temos Y um subespaço de X precisamos ser cautelosos quando usamos o termo conjunto fechado. Temos que um conjunto F é fechado em Y se F é um subconjunto de Y e F é fechado na topologia do subespaço em Y (ou seja, (Y F ) é aberto em Y ). Para tratar deste assunto, temos o seguinte teorema: Teorema 4.9. Seja Y um subespaço de X, então um conjunto A é fechado em Y se, e somente se, A for igual à interseção de um conjunto fechado em X com Y. Demonstração. ( ) Seja A um subconjunto fechado em Y, então, pela denição de conjuntos fechados, (Y A) é aberto em Y. Pela denição de subespaço temos que (Y A) = U Y, sendo U um aberto em X. Portanto, o conjunto (X U) é fechado em X e A = Y (X U). ( ) Seja A = C Y, onde C é fechado em X. Então (X C) é aberto em X, temos, pela denição de subespaço, que (X C) Y é aberto em Y. Mas (X C) Y = Y A. Como (Y A) é aberto em Y, então A é fechado em Y. 4.2 Fecho de um conjunto Denição 4.10. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Um ponto x X é um ponto aderente a S quando toda vizinhança de x em X contém pelo menos um ponto de S. O conjunto dos pontos que são aderentes a S chama-se o fecho de S, e o denotaremos por S. Proposição 4.11. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X, então interseção de todos os subconjuntos fechados de X que contém S. S é a
4. Conjuntos Fechados 25 Demonstração. Seja {F λ } λ L a família de todos os fechados de X que contém S. Então A λ = X F λ, com λ L, são abertos de X contidos em X S. Pela denição de ponto aderente, temos que x S se, e somente se, x / int(x S). Como int(x S) = A λ temos S = X int(x S) = X A λ = (X A λ ) = (F λ ). Portanto S = (F λ ). Exemplo 4.12. Considere a reta real R e o intervalo A = (0, 1] R então Seja B = { 1 n /n Z}, então B = {0} B. Ā = [0, 1]. Corolário 4.13. Um subconjunto F de um espaço topológico X é fechado se, e somente se, F = F. Demonstração. ( ) Suponhamos F = F. Sabemos que o fecho de qualquer conjunto é um conjunto fechado, pois é uma interseção de conjuntos fechados, logo F também é fechado. ( ) Se F é fechado em X, então F pertence à família dos fechados de X que contém F, cuja interseção é F. Portanto, pela proposição 4.11, F = F. Corolário 4.14. Seja X um espaço topológico. O fecho que um conjunto S em X é o menor subconjunto fechado de X que contém S. Ou seja, 1. S é fechado em X. 2. S S. 3. se F é um subconjunto fechado de X que contém S, então S F. Demonstração. Precisamos apenas demonstrar a terceira armação. Se F é fechado e S F, então F é um dos F λ, e portanto, F contém a interseção dos F λ, isto é, S F. Denição 4.15. Sejam M um espaço métrico e S um subconjunto de M, então d(x, S) = inf {d(x, y); y S}, com x M. Proposição 4.16. Sejam M um espaço métrico e S um subconjunto de M. Então, x S se, e somente se, d(x, S) = 0. Demonstração. Em um espaço métrico M, um ponto x pertence ao fecho de S se, e somente se, toda bola aberta de centro x contém algum ponto de S. Ou seja, x S ɛ > 0, y S tal que d(x, y) < ɛ d(x, S) = inf {d(x, y), y S} = 0
4. Conjuntos Fechados 26 Corolário 4.17. Um subconjunto F de um espaço métrico é fechado se, e somente se, d(x, F ) = 0 implicar que x F. Demonstração. ( ) Se F é fechado e d(x, F ) = 0 então, pela proposição 4.16, x F, ou seja, x F. ( ) Dado x F, temos d(x, F ) = 0 pela proposição 4.16. Então x F. Logo, F F e portanto F é fechado. Quando lidamos com um espaço topológico X e um subespaço Y de X, precisamos tomar cuidado com o fecho de conjuntos, pois se S é um subconjunto de Y o fecho de S em Y geralmente é diferente do fecho de S em X. Nesta situação, a notação S denota o fecho de S em relação à X. O fecho de S em Y pode ser escrito em função de S, como nos mostrará o próximo teorema. Teorema 4.18. Sejam Y um subespaço do espaço topológico X e S um subconjunto de Y. Então o fecho de S em Y é igual à S Y. Demonstração. Seja B o fecho de S em Y. O conjunto S é fechado em X, então, pelo teorema 4.9, S Y é fechado em Y. Como S Y contém S e B é igual à interseção de todos os subconjuntos fechados de Y contendo S, teremos B S Y. Agora, sabemos que B é fechado em Y, pelo teorema 4.9, segue que B = C Y, para algum conjunto C fechado em X. Então C é um conjunto fechado em X contendo S. Como S é a interseção de todos os fechados deste tipo, concluímos que S C. Portanto ( S Y ) (C Y ) = B. Como B S Y e ( S Y ) B, temos que B = S Y Tudo o que vimos até agora sobre fecho de um conjunto não nos mostra uma maneira conveniente de encontrá-lo, pois a coleção de todos os conjuntos fechados em X, assim como a coleção de todos os conjuntos abertos, é muito grande para trabalharmos com ela. Uma outra forma de descrevermos o fecho de um conjunto, mais palpável pois envolve apenas a base para uma topologia em X, é dada pelo seguinte teorema: Teorema 4.19. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. 1. Então x S se, e somente se, todo conjunto aberto U tal que x U intercepta S. 2. Se a topologia em X for dada por uma base β, então x S se, e somente se, para todo B β, com x B, intercepta S. Demonstração. 1) Como esta sentença é da forma (P ) (Q) podemos trocar cada uma das implicações pelas suas contra-positivas, e com isso teremos a seguinte senteça (não P ) (não Q), que é logicamente equivalente à primeira. Temos:
4. Conjuntos Fechados 27 x / S se, e somente se, existe um conjunto aberto U, com x U que não intercepta S. Desta forma o teorema ca mais fácil de ser provado. ( ) Se x / S, o conjunto U = X S é um aberto contendo x que não intercepta S. ( ) Se existir um conjuto aberto U, com x U, que não intercepta S, então (X U) é um conjunto fechado que contém S. Mas pela denição de fecho, S (X U). Então x / S. 2) ( ) Se x S, pela denição de fecho, temos que todo conjunto aberto contendo x intercepta S, então todo elemento B β também intercepta S, pois B é um conjunto aberto. ( ) Se todo elemento B β, com x B, intercepta S, então todo conjunto aberto U, com x U, também intercepta S, pois U contém um elemento B β tal que x B. 4.3 Pontos de Acumulação Denição 4.20. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Um ponto x X chama-se ponto de acumulação de S quando toda vizinhança V de x em X contém algum ponto s S, com x s. O conjunto dos pontos de acumulação de S chama-se o derivado de S e o denotaremos por S. Exemplo 4.21. Considere a reta real R e o intervalo A = (0, 1] R, então o ponto 0 será um ponto de acumulação de A, assim como o ponto 1. Na verdade, todos os pontos 2 de A serão pontos de acumulação, e portanto, A = [0, 1], que coincide com o fecho de A. Seja B = { 1 n /n Z}, então o único ponto de acumulação de B é o ponto 0. Considerando os exemplos 4.12 e 4.21 temos que existe uma relação entre o fecho e o derivado de um conjunto. Esta relação é dada no teorema abaixo. Teorema 4.22. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X, então S = S S Demonstração. Se x S, toda vizinhança de x intercepta S (em um ponto diferente de x). Pelo teorema 4.19, x S. Consequentemente S S. Por denição, S S, então S S S. Vamos agora demonstrar o outro lado da inclusão. Seja x um ponto de S, vamos mostrar que x S S. Se x está em S, então x S S. Agora, suponhamos que x não esteja em S. Como x S, sabemos que toda vizinhança U de x intercepta S, como x / S, o U precisa necessariamente interceptar S em um ponto diferente de x. Então, x A, então x A A. Corolário 4.23. Um subconjunto de um espaço topológico é fechado se, e somente se, ele contém todos seus pontos aderentes.
4. Conjuntos Fechados 28 Demonstração. O conjunto S é fechado S = Ā A A. 4.4 Aplicações Contínuas Denição 4.24. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma aplicação f : X Y é contínua se para cada subconjunto aberto V de Y, o conjunto f 1 é um subconjunto aberto de X. A continuidade de uma aplicação não depende apenas dela, mas também das topologias denidas em seu domínio e em seu contradomíno. Exemplo 4.25. Sejam R o conjunto dos números reais com a topologia usual, e R l o conjunto dos números reais com a topologia do limite inferior. Denimos f como sendo f : R R l f(x) = x Então f não é uma aplicação contínua, pois f 1 ([a, b)) = [a, b), [a, b) aberto em R l, não é um aberto de R. Se a topologia no contradomínio da aplicação for dada em função de uma base β, então para provarmos a continuidade de f precisamos apenas mostrar que a imagem inversa de cada elemento B β é aberta. De fato, um conjunto aberto V de Y pode ser escrito como a união dos elementos básicos, Então, V = λ L B λ. f 1 (V ) = λ L f 1 (B λ ). Portanto, f 1 (V ) é aberto se cada conjunto f 1 (B λ ) o for. Teorema 4.26. Sejam X, Y espaços topológicos e f : X Y uma aplicação. Então as seguintes armações são equivalentes: 1. f é contínua. 2. Para cada subconjunto A de X, temos f(ā) f(a). 3. Para cada conjunto fechado B em Y, o conjunto f 1 (B) é fechado em X. Demonstração. (1) (2) Temos que f é contínua. Seja A um suconjunto de X. Mostraremos que se x Ā então f(x) f(a). Seja V uma vizinhança de f(x), então f 1 (V ) é um conjunto aberto de X contendo x, f 1 (V ) intercepta A em algum ponto y A, então V intercepta f(a) no ponto f(y), e portanto f(x) f(a). (2) (3) Sejam B um conjunto fechado em Y e A = f 1 (B). Precisamos mostrar que A é fechado em X, então mostraremos que Ā A. Por teoria dos conjuntos, temos que f(a) B. Então, se x é um ponto de Ā,
4. Conjuntos Fechados 29 f(x) f(ā) f(a) B = B. Logo, x f 1 (B) = A, e portanto, Ā A. (3) (1) Sejam B um conjunto fechado em Y e B = Y V, segue que B é um conjunto fechado em Y. Como vale a sentença (3), f 1 (B) é fechado em X. Por teoria dos conjuntos, temos f 1 (V ) = f 1 (Y B) = f 1 (Y ) f 1 (B) = X f 1 (B). Portanto, f 1 (V ) é aberto.
Capítulo 5 Alguns Espaços Topológicos Importantes 5.1 Espaços de Hausdor Denição 5.1. Um espaço topológico X é um espaço de Hausdor se para cada par de pontos distintos x 1, x 2 pertencentes à X, existir vizinhanças disjuntas U 1, U 2, de x 1, x 2 respectivamente. Teorema 5.2. Todo subconjunto nito, {x 1,..., x n }, em um espaço de Hausdor X é fechado. Demonstração. Temos que {x 1,..., x n } é a reunião nita de subconjuntos unitários {x i }, com i = 1,..., n, ou seja, {x 1, x 2,..., x n } = {x 1 } {x 2 }... {x n }. Segue, pelo teorema 4.5, que se cada um dos conjuntos unitários {x i }, com i = 1,..., n, for fechado en X, então {x 1,..., x n } também será um conjunto fechado em X. Basta mostrarmos que todo conjunto unitário {x 0 } é fechado em X. Seja x um ponto pertencente à X diferente de x 0, então x e x 0 têm vizinhanças disjuntas U e V respectivamente. Como U não intercepta {x 0 }, o ponto x não pertence ao fecho do conjunto {x 0 }. Então, o fecho de {x 0 } é ele mesmo, portanto cada conjunto unitário, {x i }, é fechado. Teorema 5.3. Sejam X um espaço de Hausdor e A um subconjunto de X. Então o ponto x é um ponto de acumulação de A se, e somente se, toda vizinhança de x contém innitos pontos de A. Demonstração. ( ) Seja x um ponto de acumulação de A, suponhamos que uma vizinhança U de x intercepta A em um número nito de pontos. Segue que U também intercepta A {x} em um número nito de pontos. Sejam {x 1,..., x n } os pontos de 30
5. Alguns Espaços Topológicos Importantes 31 U (A {x}). O conjunto X {x 1,..., x n } é aberto em X, pois, pelo teorema 5.2, {x 1,..., x n } é fechado, então U (X {x 1,..., x n } é uma vizinhança de x que não intercepta completamente o conjunto A {x}. Isso contraria que x é um ponto de acumulação de A. Portanto toda vizinhança de x contém innitos pontos de A. ( ) Se toda vizinhança de x intercepta A em innitos pontos, certamente esta vizinhança intercepta A em algum outro ponto diferente de x, então x é um ponto de acumulação de A. Corolário 5.4. Em um espaço de Hausdor, todo conjunto nito A tem derivado vazio. Demonstração. Pelo teorema anterior, para que x seja um ponto de acumulação de um conjunto A de X precisamos que toda vizinhança de x contenha innitos pontos de A. Mas como A é nito, então nenhuma vizinhança de x terá inntos pontos de A. Portanto, o derivado de A será vazio. 5.2 Espaços Metrizáveis Uma das formas mais importantes de se impor uma topologia em um conjunto é denir tal topologia em termos de uma métrica deste conjunto. Proposição 5.5. Seja d uma métrica em um conjunto X, então a coleção β de todas as bolas abertas de centro em x e raio r, B(x, r), para x X e r > 0, é uma base para uma topologia τ em X. Neste caso dizemos que τ é uma topologia induzida pela métrica d. Demonstração. 1) Esta condição é trivial, já que x B(x, r), para todo r > 0. Antes de provarmos a segunda condição, mostremos que se y é um ponto do elemento básico B(x, r), então existe um outro elemento básico B(y, s) centrado em y que está contido em B(x, r). Seja s = r d(x, y) > 0, então d(y, z) < r d(x, y), que implica que d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < r, e portanto B(y, s) B(x, r). 2) Sejam B 1 e B 2 dois elementos básicos e y B 1 B 2. Pelo que acamos de mostrar podemos escolher s 1, s 2 > 0 tais que B(y, s 1 ) B 1 e B(y, s 2 ) B 2. Seja s = min {s 1, s 2 }, temos que B(y, s) B 1 B 2. Portanto β é de fato uma base para uma topologia em X. Exemplo 5.6. Dado um conjunto X e d a métrica zero-um denida no exemplo 2.3. A topologia induzida por d é a topologia discreta. O elemento básico B(x, 1), por exemplo, consiste apenas no ponto x.
5. Alguns Espaços Topológicos Importantes 32 Denição 5.7. Um espaço topológico X é dito metrizável se existe uma métrica d em X que induz uma topologia em X. Proposição 5.8. Sejam d, d duas métricas em um conjunto X e τ, τ as topologias induzidas por elas, respectivamente. Então τ é mais na do que τ se, e somente se, para cada x X e cada r > 0, existir s > 0 tal que B d (x, s) B d (x, r). Demonstração. ( ) Suponhamos τ mais na do que τ, dado um elemento básico B d (x, r) de τ, então pela proposição 3.13, existe um elemento básico B, de τ, tal que x B B d (x, r). Em B podemos encontrar uma bola aberta B d (x, s) centrada em x. ( ) Dado um elemento básico B de τ, tal que x B, podemos encontrar em B uma bola B d (x, s) centrada em x, então existe s tal que B d (x, s) B d (x, s). Então, aplicando a proposição 3.13, temos que τ é mais na do que τ. Teorema 5.9. Seja X um espaço métrico munido da métrica d. Denimos d b : X X R pela equação d b (x, y) = min {d(x, y), 1}. Então a métrica d b induz uma topologia em X. Demonstração. Pelo exemplo 2.6 temos que d b (x, y) = min {d(x, y), 1} é uma métrica em X. Agora nos falta provar que d e d b induzem a mesma topologia em X. Temos B d (x, r) B db (x, s), B db (x, s) B d (x, r), onde s = min {r, 1}. Aplicando a proposição 5.8 temos que d e d b induzem a mesma topologia em X.
Capítulo 6 Conexidade e Compacidade 6.1 Espaços Conexos Ituitivamente, um espaço conexo é aquele formado por apenas um pedaço, ou seja, não existe uma forma de dividi-lo. Mas, o que seriam os pedaços de um conjunto? Essa pergunta não é tão difícil de ser respondida, pois os abertos de um conjunto segundo uma topologia qualquer podem ser os pedaços do conjunto. Então um espaço conexo é um conjunto que não pode ser escrito como união de dois de seus abertos, mas temos que considerar estes abertos não vazios, pois se um deles for o vazio, o outro será o conjunto todo, e não teríamos divido o conjunto em duas partes. Vamos agora formalizar tudo o que foi dito no parágrafo anterior. Denição 6.1. Seja X um espaço topológico. Uma cisão de X é um par U, V de conjuntos abertos disjuntos de X cuja união é o próprio X. Se U ou V for igual ao conjunto vazio, tal cisão será chamada de cisão trivial. Um espaço X é dito conexo se não existe nenhuma outra cisão de X além da trivial. Proposição 6.2. O X espaço topológico é conexo se, e somente se, X e são os únicos subconjuntos de X simultaneamente abertos e fechados em X. Demonstração. ( ) Seja X = A B uma cisão, então A e B são abertos e fechados. Como X é conexo então A = e B = X. ( ) Seja A X aberto e fechado, então X = A (X A) é uma cisão de M. Como os únicos subconjuntos abertos e fechados são X e, então X = A (X A) = X, e portanto X é conexo. A partir da proposição acima, vemos que também denir a conexidade de um espaço topológico da seguinte forma: 33
6. Conexidade e Compacidade 34 Denição 6.3. Um espaço topológico X é conexo se, e somente se, os únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados em X são o conjunto vazio e o próprio X. Proposição 6.4. A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo. Demonstração. Vamos considerar inicialmente o caso particular em que f : X Y é contínua, sobrejetiva e X conexo. Queremos provar que Y = f(x) é conexo. Seja Y = A B uma cisão. Então, pela proposição 2.24, X = f 1 (A) f 1 (B) é uma cisão. Como X é conexo, temos que ou f 1 (A) ou f 1 (B) é o conjunto vazio, sendo f sobrejetiva, segue que ou A ou B é vazio. O caso geral é uma consequência, pois dados f : X Y contínua e S X conexo, então f : S f(s) é sobrejetiva e contínua, e recaimos no caso particular provado acima. Portanto a imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo. Corolário 6.5. Se X é conexo e Y é homeomorfo a X, então Y também é conexo. Demonstração. Como X e Y são homeomorfos, temos que exite um bijeção contínua f : X Y. Portanto, pela proposição acima temos que Y é conexo. Proposição 6.6. Seja {S λ } λ L uma família arbitrária de conjuntos conexos num espaço topológico X. Se todos S λ contém o mesmo ponto x X, então a reunião S = λ L S λ é conexa. Demonstração. Seja S = A B uma cisão, então o ponto x pertence a um dos conjuntos A ou B. Digamos que seja x A. Para todo λ, A S λ e B S λ são abertos em S λ. Logo S λ = A S λ B S λ é uma cisão de S λ. Como S λ é conexo e x A S λ, concluimos que B S λ = para todo λ L. Segue que B = B S λ = e portanto S é conexo. Proposição 6.7. O produto cartesiano X = X 1... X n é conexo se, e somente se, cada fator X i for conexo. Demonstração. ( ) Como cada projeção p i : X X i é contínua e sobrejetiva, então pela proposição 6.4 se X for conexo, X i será conexo. ( ) Precisamos apenas provar que se X 1, X 2 são conexos então X 1 X 2 também será conexo. O caso geral resulta da aplicação deste resultado n 1 vezes. Fixemos um ponto a = (a 1, a 2 ) X 1 X 2 Para cada x = (x 1, x 2 ) X 1 X 2, o conjunto C x = (X 1 a 1 ) (x 1 X 2 ) é conexo pois é reunião de dois conexos com o ponto (x 1, a 2 ) em comum. Além disso, temos a C x para todo x X = X 1 X 2 e X = x X C x. Segue-se da proposição 6.6 que X é conexo.
6. Conexidade e Compacidade 35 Lema 6.8. Seja X = C D uma cisão não trivial de X, se Y é um subconjunto conexo de X, então temos duas possibilidades, ou Y C, ou Y D. Demonstração. Como C e D são ambos abertos em X, os conjuntos C Y e D Y são disjuntos e abertos em Y e (C Y ) e(d Y ) = Y. Segue que, como Y é conexo, ou C Y ou D Y é o conjunto vazio. Portanto, ou Y C, ou Y D. Proposição 6.9. Seja A um subespaço conexo de X. Se A B Ā, então B também é conexo. Demonstração. Sejam A conexo e A B (A), seja B = C D seja uma cisão não trivial de B. Pelo lema 6.8, ou A C ou A D. Suponhamos que A C. Então Ā C, como C e D são disjuntos, B não intercepta D, que contradiz o fato de que D é um subconjunto não vazio de B. Portanto B é conexo. Proposição 6.10. Um subconjunto da reta é conexo se, e somente se, é um intervalo. Demonstração. ( ) Seja X R conexo. Suponha que a, b X e que a < c < b. Provaremos que, neste caso, c X. Se c / X então teríamos a cisão X = [X (, c)] [X (c, )] a qual é não trivial. Assim, a < b < c com a, b X implica que c X, e esta propriedade nos garante que X é um intervalo. ( ) Todo intervalo aberto é conexo porque é homeomorfo a R. Todo intervalo fechado ou semifechado é conexo pela proposição 6.9. Corolário 6.11. Se X é um espaço topológico conexo e f : X R é uma função real contínua, então f(x) é um intervalo. Demonstração. Pela proposição 6.4, f(x) é um subconjunto conexo da reta real, e portanto, é um intervalo. Vamos agora enunciar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma aplicação do que vimos até agora neste capítulo. Teorema 6.12. Seja f : [a.b] R contínua. Se f(a) < d < f(b) então existe c (a, b) tal que f(c) = d. Demonstração. A imagem f([a, b]) é um intervalo que contém os pontos f(a) e f(b), logo, contém o ponto intermediário d. Segue que existe c [a, b] tal que f(c) = d. Mas f(a) < d < f(b) exclui a possibilidade de c = a ou c = b. Portanto, c (a, b).
6. Conexidade e Compacidade 36 6.2 Espaços Compactos A noção de compacidade não é tão natural quanto a de conexidade. Desde os primórdios da topologia, era claro que o intervalo [a, b] da reta real gozava de um certa propriedade que era crucial para a demonstração de alguns teoremas. Por muito tempo não sabia-se ao certo como essa propriedade poderia ser formulada para um espaço topológico arbitrário. Pensava-se que tal propriedade era o fato de que todo subconjunto innito de [a, b] tem um ponto de acumulação, esta propriedade recebeu o nome de compacidade. Um pouco depois, os matemáticos perceberam que esta formulação não era suciente, e que uma outra formulação, em termos de coberturas do espaço, seria melhor. Esta última formulação é a que agora chamamos de compacidade. Denição 6.13. Uma coleção A de subconjuntos de um espaço X é uma cobertura de X se a união de elementos de A é igual à X. Se os elementos de A forem abertos de X então a cobertura é dita aberta. Denição 6.14. Um espaço X é dito compacto se toda cobertura aberta A de X contém uma subcoleção nita que também cobre X. Exemplo 6.15. A reta real R não é um conjunto compacto, pois a cobertura de R formada pelos intervalos abertos A = {(n, n + 2)/n Z} não contém uma subcoleção nita que cobre R. Exemplo 6.16. O seguinte subespaço de R é compacto: X = {0} { 1 n /n Z}. De fato, dado uma cobertura aberta A de X, existe um elemento U de A contendo 0. O conjunto U contém todos os pontos 1. Escolha, para cada ponto de X que não pertença n à U, um elemento de A que o contenha. A coleção que consiste destes elementos de A, junto com U, é uma coleção nita de A que cobre X Proposição 6.17. Seja Y um subespaço de X. Então Y é compacto se, e somente se, toda cobertura de Y formada por conjuntos abertos de X contém uma subcoleção nita que cubra Y. Demonstração. ( ) Suponhamos que Y seja compacto e A = {A λ } λ L é uma cobertura de Y formada por abertos de X. Então a coleção {A λ Y/λ L} é uma cobertura de Y formada por conjuntos abertos em Y. Então a subcoleção nita {A λ1 Y,..., A λn Y } cobre Y. Então {A λ1,..., A λn } é uma subcoleção de A que cobre Y.
6. Conexidade e Compacidade 37 ( ) Seja A = {A λ } uma cobertura de Y formada por conjuntos abertos em Y. Para cada λ, escolhemos um conjunto A λ aberto em X tal que A λ = A λ Y. A coleção A = A λ é uma cobertura de Y formada por conjuntos abertos em X. Por hipótese, qualquer subcoleção nita {A λ1,..., A λn } cobre Y. Então { A λ1,..., A λ n } é uma subcoleção de A que cobre Y. Teorema 6.18. Todo subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto. Demonstração. Seja Y um subconjunto fechado de um espaço compacto X. Dada uma cobertura A de Y formada por conjuntos abertos de X, seja B uma cobertura aberta de X da forma: B = A {X Y }. Se esta subcoleção contém o conjunto (X Y ), nós os descartamos. A coleção resultante é uma subcoleção de A que cobre Y. Proposição 6.19. A imagem de um conjunto compacto por uma aplicação contínua é um conjunto compacto. Demonstração. Sejam f : X Y contínua, com X compacto e A uma cobertura de f(x) formada por conjuntos abertos em Y. A coleção {f 1 (A)/A A} é a coleção de conjuntos cobrindo X, estes conjuntos são abertos em X pois f é contínua. Consequentemente, f 1 (A 1 ),..., f 1 (A n ) é uma cobertura de X. Então os conjuntos A 1,..., A n cobre Y. Corolário 6.20. Se X é compacto, toda aplicação contínua f : X Y é fechada, isto é, F X fechado f(f ) fechado. Demonstração. Seja F X fechado, f(f ) Y F compacto f(f ) compacto f(f ) fechado em Y. Corolário 6.21. Se X é compacto, toda bijeção contínua f : X Y é um homeomor- smo. Demonstração. Sendo f fechada, sua inversa f 1 : Y X é tal que F X fechado f 1 (F ) Y é fechado. Logo f 1 é contínua.
Conclusão Observei, através dos estudos desenvolvidos, o importante papel que a topologia desempenha na Matemática, sendo, em um certo sentido, o elo formal entre a Geometria e a Análise. Além de fornecer uma sistematização lógica para os princípios físicos da Análise, ela gera ferramentas que são úteis para várias áreas da Matemática. Adicionalmente, considero que os estudos desenvolvidos contribuiram muito para a minha formação, principalmente no que se refere à formalização de conceitos matemáticos. 38
Referências Bibliográcas [1] Munkres, J. R., Topology: A First Course, Prentice-Hall, Inc, Englewood Clis, N.J., 1975. [2] Lima, E. L., Elementos de Topologia Geral, Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro, R.J., 1970. [3] Lima, E. L., Espaços Métricos, IMPA, Rio de Janeiro, R.J., 2005. [4] Boyer, C. B., História da Matemática, Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, S.P., 1974. 39