da Teoria do conjuntos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Exatas e Tecnologia - CCET Departamento de Matemática Topologia do ponto de vista da Teoria do conjuntos Aluna: Natalia de Barros Gonçalves Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz Queiroz Pergher São Carlos - 2006 -

Sumário 1 Um Breve Histórico.............................. 2 2 Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico................ 3 2.1 Espaços Métricos e Bolas Abertas....................... 3 2.2 Conjuntos Abertos............................... 6 2.3 Relação entre Conjuntos Abertos e Continuidade.............. 9 3 Espaços Topológicos............................. 13 3.1 Topologia e Espaço Topológico......................... 13 3.2 Base de um Espaço Topológico........................ 15 3.3 Topologia Produto............................... 18 3.4 Topologia do Subespaço............................ 18 3.5 Homeomorsmos................................ 19 3.6 Interior, Fronteira e Vizinhança........................ 20 4 Conjuntos Fechados.............................. 22 4.1 Conjuntos Fechados............................... 22 4.2 Fecho de um conjunto............................. 24 4.3 Pontos de Acumulação............................. 27 4.4 Aplicações Contínuas.............................. 28 5 Alguns Espaços Topológicos Importantes................. 30 5.1 Espaços de Hausdor.............................. 30 5.2 Espaços Metrizáveis............................... 31 6 Conexidade e Compacidade......................... 33 6.1 Espaços Conexos................................ 33 6.2 Espaços Compactos............................... 36 Referências Bibliográcas............................ 39 ii

Resumo Neste trabalho são apresentadas as noções básicas da point-set topology. No primeiro capítulo é apresentada uma breve história da topologia. Logo depois, conceitos como métricas, bolas, conjuntos abertos e continuidade de aplicações são abordados. Em seguida, são apresentados alguns conceitos básicos de espaços topológicos, bem como alguns exemplos de topologias, e novamente a continuidade de aplicações, só que agora em espaço toplógicos. Conjuntos fechados também são apresentados, assim como alguns conceitos relativos a eles. No nal, são apresentados os conceitos de compacidade e conexidade topológicas. iii

Introdução Topologia é o ramo da matemática que se preocupa com as propriedades de objetos geométricos que são preservadas quando aplicamos a elas transformações bijetoras e contínuas, chamadas homeomorsmos. Na topologia, não existe diferença entre uma xícara de café e uma rosquinha, pois uma xícara pode ser transformada em uma rosquinha, ser ser feito nenhum corte, nem colagens; este é o signicado de dizer que as propriedades de um objeto geométrico são preservadas por homeomorsmos. Na topologia, temos as áreas: point-set topology, topologia algébrica e topologia diferencial. Neste trabalho será estudada a point set topology que é o ramo da matemática que estuda as propriedades dos espaços topológicos e das estruturas que são ali denidas. A point-set topology estuda algumas noções básicas da topologia, como conjuntos abertos e fechados, interior e fecho de um conjunto, compacidade, conexidade, entre outras. É conhecida também como topologia geral, que como o nome já diz, nos fornece uma fundação para os outros ramos da topologia. 1

Capítulo 1 Um Breve Histórico Não se sabe ao certo quando surgiu a topologia, alguns dizem que começou com a analysis situs de Poincaré, outros que data da teoria dos conjuntos de Cantor. Alguns ainda consideram Brouwer o fundador da topologia, especialmente devido aos seus teoremas de invariança topológica, de 1911, e à fusão que efetuou dos métodos de Cantor com os da analysis situs. Em 1913 Weyl, em um curso que administrou, deu ênfase à natureza abstrata de uma superfície, ou variedade de dimensão dois. O conceito de variedade não deveria ser ligado a um espaço de pontos (no sentido geométrico usual), mas ter sentido amplo. Começamos simplesmente com uma coleção de coisas chamadas pontos (que podem ser objetos quaisquer) e introduzimos um conceito de continuidade por meio de denições mais claras. A formulação clássica dessa idéia foi dada um ano depois por Felix Hausdor (1868-1942). A primeira parte do Grundzüge der Mengenlehre de Hausdor é uma exposição sistemática dos aspectos característicos da teoria dos conjuntos. Na segunda parte do livro achamos um desenvolvimento claro dos espaços topológicos de Hausdor, a partir de uma coleção de axiomas. A topologia emergiu no século vinte como um tema que unica quase toda a matemática, um tanto como a losoa procura coordenar todo o conhecimento. Por causa de seu primitivismo, a topologia está na base de uma parte muito grande da matemática. 2

Capítulo 2 Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 2.1 Espaços Métricos e Bolas Abertas Antes de iniciarmos o estudo de conjuntos abertos vamos denir métrica e bolas abertas que são conceitos fundamentais para o desenvolvimento deste capítulo. Denição 2.1. Uma métrica em um conjunto X é uma função d : X X R satisfazendo as seguintes propriedades: (1) d(x, x) = 0, x X. (2)Se x y então d(x, y) > 0, x, y X. (3)d(x, y) = d(y, x), x, y X. (4)d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X. Um espaço métrico é um par (M, d), sendo M um conjunto e d uma métrica em M. Quando não houver risco de confusão, omitiremos a métrica e iremos apenas nos referir ao espaço métrico M. Vamos agora estudar alguns exemplos de métricas. Exemplo 2.2. Seja X = R o conjunto dos números reais e d : R R R tal que d(x, y) = x y, então d é uma métrica em R. De fato, x, y, z R, (1)d(x, x) = x x = 0 = 0 (2)Se x y então d(x, y) = x y > 0, pela propriedade do valor absoluto. (3)d(x, y) = x y = y x = d(y, x), pois x y = y x. (4)Já sabemos que se a, b R então a + b a + b, então x y = x z + z y x z + z y, x, y, z R. Daí obtemos d(x, y) d(x, z) + d(z, y). 3

2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 4 Portanto d é uma métrica em R, ou seja, (R, d) é um espaço métrico. Esta métrica é conhecida com métrica usual da reta, e nos fornece a distância que conhecemos entre dois pontos na reta. Exemplo 2.3. Seja d : M M R, denida por: d(x, x) = 0 e d(x, y) = 1 se x y. Esta métrica é conhecida como métrica zero-um. Um espaço métrico obtido com esta métrica é trivial, mas muito útil para contra-exemplos. Vamos vericar que d é de fato uma métrica: (1) Pela própria denição da métrica zero-um temos, (2) Se x y então (3) Para x y, temos: d(x, x) = 0, x M. d(x, y) = 1 > 0, x, y M. d(x, y) = 1 = d(y, x), x, y M. (4) Para provarmos a quarta propriedade de métrica, precisaremos dividir em quatro casos: Portanto, d(x, z) + d(z, y) = 2 > 1 = d(x, y) se x y z, d(x, z) + d(z, y) = 0 + 1 = 1 = d(x, y) se x = z, z y e x y, d(x, z) + d(z, y) = 1 + 0 = d(x, y) se x z, z = y e x y, d(x, z) + d(z, y) = 0 = 0 = d(x, y) se x = y = z. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z M. Temos então que d é uma métrica em M. Exemplo 2.4. Seja d 0 : R n R n R. dados x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, denimos: d 0 (x, y) = [ n i=1 (x i y i ) 2 1/2. Provaremos que d 0 é de fato uma métrica em R n : 1) Seja x R n, d 0 (x, x) = [ n i=1 (x i x i ) 2 1/2 = [ n i=1 (0)2 1/2 = 0. 2) Se x y temos que (x i y i ) 2 > 0. Então, d 0 (x, y) = [ n i=1 (x i y i ) 2 1/2 > 0, x, y R n. 3) Temos que para c, d R vale (c d) 2 = (d c) 2, então: d 0 (x, y) = [ n i=1 (x i y i ) 2 1/2 = [ n i=1 (y i x i ) 2 1/2 = d 0 (y, x), x, y R n. 4) Agora temos que provar que n i=1 (x i y i ) 2 n i=1 (x i z i ) 2 + n i=1 (z i y i ) 2. Sejam a i = x i z i e b i = z i y i, i = 1,..., n, temos então: n i=1 (a i + b i ) 2 n i=1 (a i) 2 + n i=1 (b i) 2.

2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 5 Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, obtemos: n i=1 (a i + b i ) 2 n i=1 (a i) 2 + 2 n i=1 (a i) 2 n i=1 (b i) 2 + n i=1 (b i) 2 n i=1 (a i) 2 + 2 n n i=1 (b i) 2 + n i=1 (b i) 2 i=1 (a i b i ) + n i=1 (b i) 2 n i=1 (a i) 2 + 2 n i=1 (a i) 2 n i=1 (a i b i ) n i=1 (a i) 2 n i=1 (b i) 2. Temos que a desigualdade acima é uma consequência da desigualdade de Cauchy: [ n i=1 (a i b i )] 2 n i=1 (a i) 2 n i=1 (b i) 2. Concluímos então que a seguinte desigualdade é válida: d 0 (x, y) d 0 (x, z) + d 0 (z, y). Portanto, d 0 é uma métrica em R n. Esta métrica é conhecida como Métrica Euclidiana, ela nos fornece a distância usual da Geometria Euclidiana. Denição 2.5. Seja X um espaço métrico munido da métrica d. Um suconjunto A de X é dito limitado se existe M R tal que d(a 1, a 2 ) M, para todo par a 1, a 2 A. Exemplo 2.6. Seja X um espaço métrico munido da métrica d. Denimos d b : X X R pela equação d b (x, y) = min {d(x, y), 1}. Então d b é uma métrica em X. De fato, as duas primeiras condições para que d b seja uma métrica são triviais, e por isso omitiremos suas demonstrações. Vamos chegar a desigualdade triangular: d b (x, z) d b (x, y) + d b (y, z). Temos que ou d(x, y) 1 ou d(y, z) 1, então o lado direito da inequação no mínimo igual a 1, mas o lado esquerdo desta mesma equação vale no máximo 1. Então, para este caso a inequação vale. Precisamos agora considerar o caso em que d(x, y) < 1 e d(y, z) < 1, temos d(x, z) d(x, y) + d(y, z) = d b (x, y) + d b (y, z). Como d b (x, z) d(x, z), então a desigualdade triangular vale para d b. Portanto d b é uma métrica em X. Agora veremos um exemplo que nos mostra que nem toda função f dene um métrica em um conjunto. Exemplo 2.7. Seja f : R R R denida por: f(x, y) = (x y) 2, mostremos que f não é uma métrica em R. Esta função verica as três primeiras propriedades de métrica, mas não é valida a ultima propriedade. De fato,

2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 6 d(2, 5) = 9 d(2, 3) = 1 d(3, 5) = 4 Se aplicarmos a última propriedade de métrica, obteremos que 9 5. Então, como f não satisfaz todas as propriedades de métrica, temos que f não é uma métrica em R. Temos ainda uma maneira de obter um espaço métrico a partir de um outro espaço métrico. Seja (X, d) um espaço métrico, com uma métrica d : X X R qualquer. Se considerarmos o espaço (Y, d), com Y um subconjunto de X, temos que tal espaço é um espaço métrico, pois d : Y Y R será ainda uma métrica, só que agora está restrita ao conjunto Y. Esta métrica é conhecida como métrica induzida, e diremos que (Y, d) é um subespaço de (X, d) Agora que já estudamos métrica e espaços métricos, podemos denir bolas abertas em um espaço métrico M qualquer. Denição 2.8. Denimos como bola aberta de centro a e raio r > 0 o conjunto B(a, r) formado pelos pontos do espaço métrico M cuja distância ao ponto a seja menor do que r, ou seja, B(a, r) = {x M/d(x, a) < r}. Exemplo 2.9. Seja d : R R R a métrica usual em R. Então a bola aberta de centro a R e raio r > 0 é o intervalo B(a, r) = {x R/d(x, a) = x a < r}. Da mesma forma que temos bolas abertas, temos também bolas fechadas. Como um exemplo simples de uma bola fechada podemos citar um intervalo fechado da reta real, como por exemplo, o intervalo [0, 1]. Daremos agora a denição formal de uma bola fechada em um espaço métrico M qualquer. Denição 2.10. Denimos como bola fechada de centro a e raio r > 0 o conjunto B[a, r] formado pelos pontos do espaço métrico M cuja distância ao ponto a seja menor ou igual a r, ou seja, B[a, r] = {x M/d(x, a) r}. 2.2 Conjuntos Abertos Denição 2.11. Seja A um subconjunto de um espaço métrico M. Dizemos que A é aberto quando todo ponto a A é o centro de uma bola aberta inteiramente contida em A. Ou seja, a A, ɛ > 0 tal que se x M e d(x, a) < ɛ então x A.

2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 7 Proposição 2.12. Toda bola aberta B(a, r) em um espaço métrico M é um subconjunto aberto de M. Demonstração. Pela denição 2.8 temos que x B(a, r), d(a, x) < r. Sejam ɛ = r d(a, x) e y B(x, ɛ), então: d(y, x) < ɛ = r d(a, x). Pela denição 2.1 temos que: d(y, a) d(y, x) + d(x, a) < r d(x, a) + d(x, a) = r. Então, y B(a, r). E com isso temos que B(a, ɛ) B(a, r) Portanto, a bola B(a, r) é um subconjunto aberto de M. Denição 2.13. Seja A = {a} M, A será aberto em M se, e somente se, existir r > 0 tal que B(a, r) = {a}. Quando {a} for um conjunto aberto em M diremos que {a} é um ponto isolado. Se M for formado apenas de pontos isolados, diremos que M é um conjunto discreto. Proposição 2.14. Seja M um espaço métrico nito, então M é discreto. Demonstração. Suponhamos que exista um espaço métrico M nito que não seja discreto. Logo a M tal que, para todo r 0 > 0, x 0 M, com x 0 a tal que x 0 B(a, r 0 ), então d(a, x 0 ) < r 0. Tome r 1 = d(a, x 0 ). Como a não é ponto isolado existe x 1 M tal que x 1 B(a, r 1 ), onde a x 0 x 1. Seguindo este raciocínio, encontraremos uma sequência de pontos distintos dois a dois, que gera um absurdo, pois M é nito. Logo, todo espaço métrico nito é discreto. Denição 2.15. Seja X um subconjunto de um espaço métrico M. Um ponto a X é ponto interior a X quando a é centro de uma bola aberta contida em X. Ou seja, quando r > 0 tal que d(x, a) < r x X. Denimos o interior de X como sendo o conjunto dos pontos interiores de X, ou seja intx = {a X/B(a, r) X}. Denição 2.16. A fronteira de X é o conjunto dos pontos b X tais que toda bola aberta de centro b contém pelo menos um ponto de X e um ponto de M X. Notação: X.

2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 8 Exemplo 2.17. Seja X = [0, 3) um intervalo da reta real. O interior deste conjunto é o intervalo aberto (0,3). De fato, sejam a (0, 3) e r = min {a, 3 a}, temos (a r, a + r) X, logo a intx. Portanto (0, 3) pertence ao interior de X. Agora vamos testar os extremos do intervalo [0, 3). 3 / intx, pois todo intervalo aberto de centro 3 contém números que pertencem a X e outros que não pertencem a X. Analogamente temos que 0 / intx. Ou seja, intx = (0, 3). Com isso, encontramos também a fronteira de X, X = {0, 3}. Denição 2.18. Um subconjunto A de um espaço métrico M diz-se aberto em M quando todos os seus pontos são pontos interiores, ou seja, A = inta. Corolário 2.19. Para todo X M, intx é aberto em M. Demonstração. Seja a intx. Então pela denição 2.15, r > 0 tal que B(a, r) X. Pela proposição 2.12 temos que x B(a, r), s > 0 tal que B(x, s) B(a, r). Sendo que, B(x, s) intx. Com isso temos que todo ponto x B(a, r) é interior a X, ou seja B(a, r) intx. Logo intx é aberto em M. Proposição 2.20. Seja U a coleção dos subconjuntos abertos de um espaço métrico M. Então: 1. M U e U. 2. Se A 1,..., A n U então A 1... A n U. 3. Se A λ U, λ L, então A = λ L A λ U. Demonstração. 1) M é aberto em M, pois todos os pontos de M são interiores à M. Agora, suponhamos que não seja aberto em M, então temos um ponto x que não é

2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 9 interior a, mas não contém elementos, o que torna isso uma contradição. Portanto também é aberto em M. 2) Suponhamos que a A 1,..., a A n, logo a A 1... A n. Como A 1,..., A n U são abertos, exitem r 1 > 0,..., r n > 0 tais que B(a, r 1 ) A 1,..., B(a, r n ) A n. Seja r = min {r 1,..., r n }. Então, B(a, r) B(a, r 1 )... B(a, r n ) B(a, r) A 1... A n. 3) Seja a A. Existe um índice λ L tal que a A λ. Como este conjunto é aberto, temos que existe uma bola aberta B(a, r) tal que, B(a, r) A λ B(a, r) A Portanto A = λ L A λ é aberto. Corolário 2.21. Um subconjunto A M é aberto se, e somente se, é uma reunião de bolas abertas. Demonstração. ( ) Se A é aberto então, x A, podemos obter uma bola aberta B x talque x B x A. O que se escreve também como {x} B x A. Tomando reuniões, obtemos, A = x A {x} x A B x A. Logo, A = x A B x. O que mostra que todo aberto é reunião de bolas abertas. ( ) Se A = x A B λ é uma reunião de bolas abertas, então A é aberto em M pela proposição 2.12 e pelo item (3) da proposição 2.20. 2.3 Relação entre Conjuntos Abertos e Continuidade Neste capítulo iniciaremos com a denição de continuidade de uma aplicação f : M N da forma que conhecemos em análise, e em seguida enunciaremos uma proposição que utiliza apenas conjuntos abertos no estudo da continuidade de uma aplicação f, que nos mostra a importância dos conjuntos abertos na matemática.

2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 10 Denição 2.22. Sejam M,N espaços métricos. Diz-se que a aplicação f : M N é contínua no ponto a M quando, para todo ɛ > 0 dado, δ > 0 tal que d(x, a) < δ d(f(x), f(a)) < ɛ. Ou seja, dada uma bola B(f(a), ɛ) pode-se encontrar uma bola B(a, δ) tal que f(b(a, δ)) B(f(a), ɛ). Dizemos que f : M N é contínua se for contínua em todos os pontos de M. Exemplo 2.23. Seja (X λ ) λ L uma família de subconjuntos de M tais que λ L intx λ = M. Se f : M N é tal que f X λ é contínua para cada λ L, então f é contínua. Dado a M, existe λ L tal que, para a intx λ, temos que δ tal que B(a, δ ) X λ. Agora, como f X λ é contínua, sabemos que ɛ > 0, δ > 0 tal que f X λ (B(a, δ )) B(f X λ (a), ɛ). Sendo assim, tomando δ = min {δ, δ } temos, ɛ > 0 f(b(a, δ)) B(f(a), ɛ) Portanto, f : M N é contínua em M. Proposição 2.24. Sejam M e N espaços métricos. A m de que uma aplicação f : M N seja contínua é necessário, e suciente, que a imagem inversa f 1 (A ) de todo subconjunto aberto A N seja um subconjunto aberto de M. Demonstração. ( ) Suponhamos que f seja contínua, tomemos A N aberto então f 1 (A ) é aberto em M. De fato, seja a f 1 (A ) então f(a) A. Como A é aberto, temos que existe ɛ > 0 tal que B(f(a), ɛ) A. Sendo f contínua no ponto a, temos que para ɛ > 0, existe δ > 0 tal que f(b(a, δ)) B(f(a), ɛ) A f(b(a, δ)) A B(a, δ) f 1 (A ) f 1 (A ) é aberto. ( ) Suponhamos agora que f 1 (A ) M seja aberto para todo A N aberto. Seja a M, mostraremos que f é contínua em a. De fato, dado ɛ > 0 a bola A = B(f(a), ɛ) é um aberto em N, contendo f(a). Logo, A = f 1 (A ) é um aberto em M, contendo a. Assim, existe δ > 0 tal que Ou seja, B(a, δ) A. f(b(a, δ)) B(f(a), ɛ). Corolário 2.25. Sejam A i M i conjuntos abertos em M i, então o produto cartesiano A 1... A n é um subconjunto aberto de M = M 1... M n.

2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 11 Demonstração. As projeções p i : M 1... M n M i são contínuas para i = 1,..., n. Logo, pela proposição anterior, p 1 1 (A 1 ), p 1 2 (A 2 ),..., p 1 n (A n ) são subconjuntos abertos de M 1... M n e como A 1... A n = p 1 1 (A 1 )... p 1 n (A n ), segue-se da proposição 2.20, que A 1... A n é aberto em M 1... M n. A imagem inversa f(a) de um conjunto aberto A M por uma aplicação contínua f : M N pode não ser um subconjunto aberto em N. Exemplo 2.26. Seja f : R R denida por: f(x) = x 2. Então, para A = ( 3, 3) temos f(a) = [0, 3), que não é um subconjunto aberto de R como vimos no exemplo 2.17. Denição 2.27. Uma aplicação f : M N chama-se aberta quando para cada aberto A M, sua imagem f(a) é um subconjunto aberto de N. Proposição 2.28. Um subconjunto A M N é aberto se, e somente se, é reunião de retângulos U V, onde U M e V N são abertos. Demonstração. ( ) Se A M N é aberto, tomemos em M N a métrica δ[(x, y), (x, y )] = max {d(x, x ), d(y, y )}, segundo a qual cada bola aberta é o produto de uma bola aberta em M por uma bola aberta em N. Então, para cada ponto z A existem bolas abertas U z M e V z N tais que ou seja, z U z V z, {z} U z V z A. Tomando reuniões, temos: Portanto, A = z A {z} x A U z V z. A = U z V z. ( ) Se A = λ U z V z onde, para cada λ, U λ M e V λ N são abertos, então A é uma reunião de abertos e portanto é aberto. Exemplo 2.29. As projeções p 1 : M N M e p 2 : M N N são aplicações abertas. Vamos mostrar que p 1 é de fato uma aplicação aberta. Se A M N é aberto, então, Segue-se que é aberto em M. A = λ U λ V λ, com U λ M e V λ N. p 1 (A) = λ p 1(U λ V λ ) = λ U λ Analogamente, mostra-se que p 2 também é uma aplicação aberta.

2. Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico 12 A proposição 2.24 pode também ser escrita em termos de conjuntos fechados. Como estudaremos conjuntos fechados em um capítulo à parte, colocaremos a proposição e sua demostração naquele capítulo.

Capítulo 3 Espaços Topológicos 3.1 Topologia e Espaço Topológico Denição 3.1. Uma topologia em um conjunto X é uma coleção τ de suconjuntos de X, chamados os subconjuntos abertos de X (ou os abertos de X) segundo a topologia τ, satisfazendo as seguintes propriedades: 1. e X pertencem a τ. 2. A reunião de uma família qualquer de subconjuntos de τ pertence a τ. 3. A interseção de uma família nita de subconjuntos de τ pertence a τ. Um espaço topológico é um par (X, τ), onde X é um conjunto e τ é uma topologia em X. Quando não houver necessidade de mencionar τ, diremos apenas o espaço topológico X. Seja X um espaço topológico com a topologia τ. Dizemos que U X é um conjunto aberto de X se U τ Exemplo 3.2. Seja X um conjunto, a coleção τ de todos os subconjuntos de X é uma topologia em X. De fato, 1), X τ, pois são subconjuntos de X. 2) Dado {U λ } λ L com U λ τ então λ L U λ é um subconjunto de X e portanto pertence a τ. 3) Dados U 1,..., U n τ temos que U 1... U n é um subconjunto de X e portanto pertence a τ. A topologia denida no exemplo acima é chamada de topologia discreta. Exemplo 3.3. Seja X = {a, b, c}. Seja τ a coleção de todos os subconjuntos de X: τ = {, X, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}. Esta é a topologia discreta em X = {a, b, c}. 13

3. Espaços Topológicos 14 Exemplo 3.4. Seja X um conjunto, a coleção τ formada apenas pelo conjunto vazio e pelo X é uma topologia em X. De fato, 1), X τ. 2) Dado {U λ } λ L com U λ τ então λ L U λ ou será vazio ou então será o próprio X, portanto pertence a τ. 3) Dados, X τ temos que a interseção nita destes conjuntos será vazia, portanto pertence a τ. A topologia descrita acima é chamada topologia caótica. Exemplo 3.5. Sejam X um conjunto e τ f a coleção de todos os subconjuntos U de X tais que ou (X U) é nito ou é o próprio X. Então τ f é uma topologia em X. De fato, 1) X e pertencem a τ f, pois X X = é nito e X = X é o próprio X. 2) Seja {U λ } λ L uma família de elementos de τ f. Por um resultado da teoria dos conjuntos temos, X λ L U λ = λ L (X U λ). que é nito pois cada elemento (X U λ ) é nito. E portanto a reunião de uma família qualquer de τ f pertence à τ f. 3) Sejam U 1,..., U n τ f então, X n i=1 U i = n i=1 (X U i), que também é nito, pois a reunião nita de conjuntos nitos é nita. Então a intersecção nita de elementos de τ f pertence à τ f. Portanto, τ f é uma topologia em X. Exemplo 3.6. Sejam X um conjunto e τ c a coleção de todos os subconjuntos U de X tais que ou (X U) é enumerável ou é o próprio X. Então τ c é uma topologia em X. De fato, 1) X e pertencem a τ c, pois X X = é enumerável e X = X é o próprio X. 2) Seja {U λ } λ L uma família de elementos de τ c, então, X λ L U λ = λ L (X U λ). que é enumerável pois cada elemento (X U λ ) é enumerável. E portanto a reunião de uma família qualquer de τ c pertence à τ c. 3) Sejam U 1,..., U n τ c então, X n i=1 U i = n i=1 (X U i), que também é enumerável, pois a união nita de conjuntos enumeráveis é enumerável. Então a interseção nita de elementos de τ c pertence à τ c. Portanto, τ c é uma topologia em X. Exemplo 3.7. Todo espaço métrico é um espaço topológico. De fato, dado um espaço métrico (M, d), como os abertos de M são as reuniões de bolas abertas de M, basta

3. Espaços Topológicos 15 tomarmos X como sendo a reunião de bolas abertas de M e τ = {X M}, então τ será uma topologia em M. O espaço topológico (M, τ) terá os mesmos abertos de (M, d). Denição 3.8. Sejam τ e τ duas topologias em um conjunto X. Se τ τ, dizemos que τ é mais na do que τ. Esta denição pode parecer um pouco complicada, por isso faremos uma analogia simples para ilustrar quando uma topologia é mais na do que outra. Considere como um espaço topológico a caçamba de um caminhão cheia de pedregulhos, sendo cada pedregulho e todas as uniões de famílias de pedregulhos os conjuntos abertos. Se nós quebrarmos os pedregulhos em pedregulhos menores, a coleção de conjuntos abertos será maior, e a topologia será dita mais na pela operação. Não é sempre que podemos comparar duas topologias, dizendo se uma é mais na do que a outra. 3.2 Base de um Espaço Topológico Denição 3.9. Sejam X um conjunto e β uma coleção de subconjuntos de X tais que: 1. Para cada x X existe pelo menos um elemento B β tal que x B. 2. Se x B 1 B 2, com B 1, B 2 β, então existe B 3 β com x B 3 tal que B 3 B 1 B 2. Dizemos que β gera a coleção τ quando, para cada subconjunto U de X pertencente à coleção τ, existir um elemento B de β tal que, para x U, tivermos x B e B U. Proposição 3.10. A coleção τ gerada por β é uma topologia em X. Demonstração. 1) Seja U um subconjunto de X. Se U é vazio então ele está em τ, o mesmo acontece se U é o próprio X. 2) Agora, tomemos uma família indexada {U λ } λ L de elementos de τ. Vamos mostrar que U = λ L U λ pertence à τ. Dado x U, existe λ tal que x U λ. Como U λ é aberto, existe um elemento B em β tal que x B U λ U. Como x B e B U, então U τ. 3) Sejam U 1,..., U n τ, mostremos que U 1... U n τ, vamos mostrar este fato por indução. Primeiro sejam U 1 e U 2 em τ então U 1 U 2 também pertence à τ. De fato, dado x U 1 U 2, escolhemos um elemento B 1 β tal que x B 1 e B 1 U 1, escolhemos também um elemento B 2 β tal que x B 2 e B 2 U 2. Pela denição 3.9 temos que existe B 3, com x B 3, tal que B 3 B 1 B 2 U 1 U 2, então U 1 U 2 τ. Para n=1, U 1 τ. Suponhamos agora que U 1... U n 1 τ seja válida, e provemos que U 1... U n τ. Temos que

3. Espaços Topológicos 16 U 1... U n = (U 1... U n 1 ) U n. Pela hipótese de indução temos U = U 1... U n 1 τ. Agora, U U n τ, pelo que provamos no parágrafo acima. Então para U 1,..., U n τ temos que U 1... U n τ. Provamos então que a coleção τ de conjuntos gerada por β é de fato uma topologia em X. A coleção β é dita uma base da topologia τ, e os subconjuntos B β são chamados elementos básicos. Exemplo 3.11. Seja X um conjunto qualquer. A coleção β de todos os subconjuntos unitários de X é uma base para a topologia discreta. As duas condições para que β seja uma base são satisfeitas. Proposição 3.12. Sejam X um conjunto e β uma base para uma topologia τ em X. Então τ se iguala à coleção de todas as uniões de elementos de β. Demonstração. Dada uma coleção de elementos de β, eles também são elementos de τ, e como τ é uma topologia, a união destes elementos também está em τ. Agora, seja U τ, escolhemos para cada x U um elemento B x de β tal que x B x U. Então U = x U B x. Quando temos duas topologias dadas em função de suas bases, precisamos de um critério para dizer qual delas é a mais na. A seguinte proposição nos mostra tal critério. Proposição 3.13. Sejam β e β bases para as topologias τ e τ, respectivamente, em X. Então as seguintes armações são equivalentes. 1. τ é mais na do que τ. 2. Para cada x X e para cada elemento básico B β, com x B, existe um elemento básico B β tal que x B B. Demonstração. (1) (2) Foram dados x X e B β, com x B. Temos que B τ por denição e que τ τ, pois τ é mais na que τ, então B τ. Como τ é gerada por β, existe um elemento B β tal que x B B. (2) (1) Queremos mostrar que se dado um elemento U de τ então U τ. Seja x U, como β gera τ, existe um elemento B β tal que x B U. Por hipótese temos que existe um elemento B β tal que x B B. Então x B U, portanto U τ por denição.

3. Espaços Topológicos 17 Às vezes, não conseguimos nos lembrar se na proposição acima temos B B ou o contrário, B B. Para facilitar, podemos novamente utilizar a anologia com o caminhão cheio de pedregulhos. Diremos agora que cada pedregulho é um elemento básico da topologia. Quando transformamos cada pedregulho em poeira, as partículas de poeira são os elementos básicos para a nova topologia, que é mais na do que a anterior, e cada partícula estava contida em um pedregulho. A seguinte proposição nos diz como encontrar uma base a partir de uma topologia. Proposição 3.14. Sejam X um espaço topológico e β uma coleção de abertos de X, tal que para cada aberto U de X e cada x U existe um elemento B de β tal que x B U. Então β é uma base para a topologia em X. Demonstração. Mostremos que β é de fato uma base. (1) Seja x X, como X é um elemento de β por hipótese, então existe B β tal que x C β. (2) Sejam B 1, B 2 elementos de β e x B 1 B 2. Como B 1, B 2 são abertos em X temos que B 1 B 2 também é aberto em X. Então existe B 3 β tal que x B 3 B 1 B 2. Exemplo 3.15. A coleção β de todos os intervalos abertos (a, b) = {x/a < x < b} da reta real é uma base para a topologia usual em R. Vamos mostrar que β é de fato uma base para uma topologia em R. 1) Para todo x R existe um intervalo aberto contendo x. 2) Seja x (a, b) (c, d), com (a, b), (c, d) intervalos abertos da reta real, então (e, f), com x (e, f) tal que (e, f) (a, b) (c, d). Exemplo 3.16. A coleção β de todos os intervalos da reta real, do tipo [a, b) = {x/a x < b}, com a < b, é uma base uma topologia em R. De fato 1) Para todo x R existe um intervalo semi-aberto contendo x. 2) Seja x [a, b) [c, d), com [a, b), [c, d) intervalos da reta real, então [e, f), com x [e, f) tal que [e, f) [a, b) [c, d). A topologia gerada por β é chamada topologia do limite inferior. Proposição 3.17. A topologia do limite inferior τ em R é mais na do que a topologia usual τ. Demonstração. Dados um elemento básico (a, b) de τ e um ponto x (a, b), o elemento [x, b) da base de τ contém x e está contido em (a, b), então, pela proposiçao 3.13, τ é mais na do que τ. Agora, dado um elemento básico [x, d) de τ, não existe nenhum intervalo aberto satisfazendo a seguinte condição:

3. Espaços Topológicos 18 x (a, b) [x, d), portanto, τ não é mais na do que τ. 3.3 Topologia Produto Proposição 3.18. Sejam M e N espaços topológicos, a topologia que tem como base a coleção β de todos os conjuntos da forma U V, onde U é um aberto em M e V é um aberto em N, é uma topologia em M N. Esta topologia é conhecida como topologia produto. Demonstração. Precisamos mostrar que β é de fato uma base para uma topologia em X Y. 1) Esta condição é trivial, já que X Y é um elemento de β. 2) Sejam U 1 V 1 e U 2 V 2 elementos de β, então, (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ). Como (U 1 U 2 ) é um aberto em X e (V 1 V 2 ) é um aberto em Y temos que (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) é um elemento de β. Portanto β é uma base para a topologia em X Y. Teorema 3.19. Sejam β uma base para a topologia X e β uma base para a topologia em Y. Então a coleção χ = {B B /B β, B β } é uma base para a topologia em X Y. Demonstração. Dados um aberto W de X Y e um ponto x y de W, pela proposição acima, temos que existe um elemento básico U V tal que x y U V W. Como β e β são bases de X e Y respectivamente, podemos escolher um elemento B β tal que x B U, e um elemento B β tal que y B V. Então x y B B W. Pela proposição 3.14 temos que χ é uma base para X Y. 3.4 Topologia do Subespaço Proposição 3.20. Sejam X um espaço topológico e τ uma topologia em X. Se Y é um subconjunto de X, a coleção τ Y = {Y U/U τ} é uma topologia em Y. Demonstração. 1) τ Y pois = Y e X τ Y, pois Y = Y X. 2) Seja {U λ } λ L τ. Temos que

3. Espaços Topológicos 19 λ L (U λ Y ) = ( λ L U λ) Y. Como λ L U λ pertence à τ, então λ L (U λ Y ) também pertece à τ Y. 3) Sejam U 1, U 2,..., U n elementos de τ mostremos que (U 1 Y ) (U 2 Y )... (U n Y ) é um elemento de τ Y. (U 1 Y ) (U 2 Y )... (U n Y ) = (U 1 U 2... U n ) Y. Como (U 1 U 2... U n ) τ então (U 1 Y ) (U 2 Y )... (U n Y ) pertence à τ Y. Portanto τ Y é uma topologia em Y. A topologia τ Y é chamada topologia do subespaço, e dizemos que Y com esta topologia é um subespaço de X. Proposição 3.21. Se β é uma base para a topologia em X, então a coleção β Y = {B Y/B β} é uma base para a topologia do subespaço. Demonstração. Dados U um aberto de X e y U Y, podemos escolher um elemento B de β tal que y B U. Então y B Y U Y. Pela proposição 3.14 temos que β Y é uma base para a topologia do subespaço em Y. Quando estamos trabalhando com a topologia do subespaço precisamos ser cautelosos quando usamos o termo conjunto aberto, pois ele pode ser um aberto em X ou um aberto em Y. Temos que um conjunto é aberto em X se ele pertencer à topologia de X, e será dito aberto em Y se pertencer à topologia de Y. Nem sempre os abertos de Y serão abertos em X, o próximo lema nos diz em qual situação isto ocorre. Lema 3.22. Seja Y um subespaço de X, se U for aberto em Y e Y aberto em X, então U é aberto em X. Demonstração. Como U é aberto em Y, temos que U = Y V, para algum V aberto em X. Como Y e V são conjuntos abertos de X, temos que Y V também é aberto em X. 3.5 Homeomorsmos Nesta seção iremos apenas introduzir o conceito de Homeomorsmos, sem nos aprofundarmos. Denição 3.23. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y uma bijeção contínua. Se f e f 1 forem contínuas então f é dita um homeomorsmo. Neste caso, dizemos que X e Y são homeomorfos.

3. Espaços Topológicos 20 Dois espaços topológicos homeomorfos são indistinguíveis do ponto de vista da topologia. Uma propriedade em um espaço topológico X chama-se um propriedade topológica quando todo espaço homeomorfo à X também goza de tal propriedade. Exemplo 3.24. A função f : R R dada por f(x) = 3x + 1 é um homeomorsmo. De fato, sabemos que f é uma função bijetora e contínua, e que sua inversa f 1 (y) = 1 (y 1) 3 também é contínua, esses são resultados simples vindos do cálculo, e não os provaremos aqui. Denição 3.25. Uma aplicação injetiva f : X Y que é um homeomorsmo de X sobre sua imagem f(x) chama-se uma imersão topológica. 3.6 Interior, Fronteira e Vizinhança No capítulo 2 denimos interior e fronteira usando métricas e bolas abertas, neste capítulo utilizaremos somente os conjuntos abertos de um espaço topológico para denir esses conceitos, e ainda deniremos vizinhança de um ponto. Com isso veremos que podemos nos desvincular de distância e refazer a teoria do capítulo 2 utilizando apenas os abertos de um espaço topológico. A continuidade de uma função f : M N, com M e N espaços topológicos, será abordada em outro capítulo. Denição 3.26. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Um ponto x S chama-se ponto interior de S quando existe um aberto A de X tal que x A S. Denimos como interior de S o conjunto dos pontos interiores de S, este será denotado por ints. Proposição 3.27. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X, o interior de S é a reunião de todos os subconjuntos abertos de X que estão contidos em S. Demonstração. Precisamos mostrar que A λ = A = ints, com A λ conjuntos abertos em X contidos em S. Vamos começar mostrando que A λ = A ints. Seja A a reunião de todos os abertos A λ. Então A é aberto em X e A S, então x ints. Vamos mostrar agora que ints A. Seja x ints, então existe um aberto A em X tal que x A S. Logo A = A λ, para algum λ, então A A. Portanto x A. Então, como A ints e IntS A, temos que ints = A. Corolário 3.28. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Então S é aberto se, e somente se, S = ints. Demonstração. ( ) Suponhamos que S seja aberto. Então, pela proposição acima, temos que ints é igual à reunião de abertos de X contidos em S, como S é aberto, então Aλ = S = ints, com A λ conjuntos abertos em X contidos em S.

3. Espaços Topológicos 21 ( ) Agora, suponhamos ints = S, pela proposição acima, temos que ints = A λ = S. Portanto temos que S é aberto se, e somente se, S = ints. Denição 3.29. Sejam X um espaço topológico e x X um ponto. Dizemos que o conjunto V é uma vizinhança de x quando x intv. Proposição 3.30. Um conjunto A é aberto em um espaço topológico X se, e somente se, é uma vizinhança de cada um de seus pontos. Demonstração. ( ) Seja x A, como A é aberto temos pelo corolário 3.28 que A = inta, então x inta, pontanto A é uma vizinhança de x. ( ) Como A é vizinhança de cada um de seus pontos, temos que, para todo x A que x inta. Portanto A é um conjunto aberto. Denição 3.31. A fronteira de um subconjunto S de um espaço topológico X é formado por todos os pontos x X tais que toda vizinhança de x contém pontos de S e do complementar (X S). Denotamos tal conjunto por S. Proposição 3.32. Sejam X um espaço topológico, Y um subespaço de X e y um ponto de Y. As vizinhanças de y em Y são as interseções V Y, onde V é uma vizinhança de y em X. Demonstração. ( ) Seja U uma vizinhança de y em Y, então existe A aberto em X tal que y A Y U. Seja V = A U. Então V é uma vizinhança de y em X. Além disso, V Y = (A U) Y = (A Y ) (U Y ) = (A Y ) U = U. Logo, U = V Y. ( ) Se V é uma vizinhança de y em X, então existe A aberto em X com y A V, então y A Y V Y e portanto V Y é uma vizinhança de y em Y.

Capítulo 4 Conjuntos Fechados 4.1 Conjuntos Fechados Denição 4.1. Um subconjunto F de um espaço topológico X é dito fechado quando seu complementar, (X F ), for aberto em X. Exemplo 4.2. O intervalo fechado [a, b] da reta real é um subconjunto fechado de R. De fato, R [a, b] = (, a) (b, ). Como R [a, b] é um subconjunto aberto em R, pois é a reunião de subconjuntos abertos, [a, b] é fechado em R. Exemplo 4.3. Toda bola fechada B[a, r] em um espaço métrico M é um subconjunto fechado de M. De fato, seja A = M B[a, r], mostremos que A é aberto em M. Seja b A, então s = d(a, b) r s > 0. Para x B(b, s) temos d(b, x) < s. Pela quarta propriedade de métrica temos: d(a, b) d(a, x) + d(a, b) d(a, x) d(a, b) d(x, b) d(a, x) > d(a, b) s = r Assim, como d(a, x) > r, temos que x / B[a, r] que implica que x pertence à A. Então B(b, s) A temos que A é um conjunto aberto. Portanto, pela denição 4.1, B[a, r] é um conjunto fechado. Quando falamos em conjuntos abertos e fechados em um espaço topológico X podemos pensar que um conjunto precisa ou ser aberto ou ser fechado, mas na verdade, um conjunto pode ser aberto, fechado, ambos ou nenhum dos dois. Os conjuntos e o próprio X são abertos e fechados em X. Vamos ilustrar esta armação com o seguinte exemplo. 22

4. Conjuntos Fechados 23 Exemplo 4.4. Seja X um espaço topológico discreto, então todos os subconjuntos de X são abertos em X, decorre daí que todos os subconjuntos de X são também fechados em X. em R. No exemplo 2.17 temos um subconjunto de R que não é aberto nem fechado Teorema 4.5. Seja X um espaço topológico, então as seguintes armações são verdadeiras: 1. e X são fechados em X. 2. A interseção de uma família qualquer, {F λ } λ L, de subconjuntos fechados F λ de X é um subconjunto fechado em X. 3. A reunião nita F 1...F n de subconjuntos fechados F 1,..., F 2 de X é fechado em X. Demonstração. 1) e X são fechados, pois seus complementos X e, respectivamente, são abertos em X. 2) Dada uma coleção de conjuntos fechados {F λ } λ L e utilizando a Lei de DeMorgan obtemos, fechado. X λ L F λ = λ L (X F λ). Como (X F λ ) é aberto, temos λ L (X F λ) aberto, e então λ L F λ é 3) Analogamente, se F i é fechado, para i = 1,..., n, temos a equação X n i=1 F i = n i=1 (X F i). Como n i=1 (X F i) é aberto, pois é interseção de conjuntos abertos é aberta, então n i=1 F i é fechada. Podemos denir uma topologia em um conjunto X por uma coleção τ de subconjuntos de X satisfazendo as condições do teorema acima. Ou seja, e X pertencem à τ, uma interseção qualquer e uma reunião nita de partes de τ pertençam à τ. Assim, tais subconjuntos seriam chamados os fechados de X, e deniríamos conjuntos abertos como sendo os complementares dos conjuntos fechados. Em algumas situações a topologia descrita aqui é útil, mas na maioria das vezes é mais conveniente utilizarmos conjuntos abertos para denir uma topologia. Agora podemos reescrever a proposição 2.24 em termos de conjuntos fechados. Proposição 4.6. Sejam M e N espaços métricos. A m de que uma aplicação f : M N seja contínua é necessário, e suciente, que a imagem inversa f 1 (F ) de todo subconjunto fechado F N seja um subconjunto fechado em M.

4. Conjuntos Fechados 24 Demonstração. ( ) Seja f : M N contínua. Dado F N fechado, (N F ) é aberto. Pela proposição 2.24, f 1 (N F ) = M f 1 (F ) é aberto e portanto f 1 (F ) é fechado em M. ( ) Se a imagem inversa de cada cada fechado em N é um fechado em M, dado um aberto A N, f 1 (N A ) = M f 1 (A ) é fechado em X, onde f 1 (A ) aberto, e pela proposição 2.24, f é contínua. Exemplo 4.7. Toda bola fechada B[a, r] em um espaço métrico M é um suconjunto fechado de M. De fato, seja f a função real f : M R, denida por f(x) = d(x, a), f é contínua. Temos que B[a, r] f 1 ([0, r]). Como [0, r] é um subconjunto fechado da reta, sua imagem inversa B[a, r] é fechada em M. Denição 4.8. Uma aplicação f : M N, com M, N espaços topológicos, é dita fechada quando a imagem f(f ), de todo subconjunto fechado F M, for um subconjunto fechado em N. Quando temos Y um subespaço de X precisamos ser cautelosos quando usamos o termo conjunto fechado. Temos que um conjunto F é fechado em Y se F é um subconjunto de Y e F é fechado na topologia do subespaço em Y (ou seja, (Y F ) é aberto em Y ). Para tratar deste assunto, temos o seguinte teorema: Teorema 4.9. Seja Y um subespaço de X, então um conjunto A é fechado em Y se, e somente se, A for igual à interseção de um conjunto fechado em X com Y. Demonstração. ( ) Seja A um subconjunto fechado em Y, então, pela denição de conjuntos fechados, (Y A) é aberto em Y. Pela denição de subespaço temos que (Y A) = U Y, sendo U um aberto em X. Portanto, o conjunto (X U) é fechado em X e A = Y (X U). ( ) Seja A = C Y, onde C é fechado em X. Então (X C) é aberto em X, temos, pela denição de subespaço, que (X C) Y é aberto em Y. Mas (X C) Y = Y A. Como (Y A) é aberto em Y, então A é fechado em Y. 4.2 Fecho de um conjunto Denição 4.10. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Um ponto x X é um ponto aderente a S quando toda vizinhança de x em X contém pelo menos um ponto de S. O conjunto dos pontos que são aderentes a S chama-se o fecho de S, e o denotaremos por S. Proposição 4.11. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X, então interseção de todos os subconjuntos fechados de X que contém S. S é a

4. Conjuntos Fechados 25 Demonstração. Seja {F λ } λ L a família de todos os fechados de X que contém S. Então A λ = X F λ, com λ L, são abertos de X contidos em X S. Pela denição de ponto aderente, temos que x S se, e somente se, x / int(x S). Como int(x S) = A λ temos S = X int(x S) = X A λ = (X A λ ) = (F λ ). Portanto S = (F λ ). Exemplo 4.12. Considere a reta real R e o intervalo A = (0, 1] R então Seja B = { 1 n /n Z}, então B = {0} B. Ā = [0, 1]. Corolário 4.13. Um subconjunto F de um espaço topológico X é fechado se, e somente se, F = F. Demonstração. ( ) Suponhamos F = F. Sabemos que o fecho de qualquer conjunto é um conjunto fechado, pois é uma interseção de conjuntos fechados, logo F também é fechado. ( ) Se F é fechado em X, então F pertence à família dos fechados de X que contém F, cuja interseção é F. Portanto, pela proposição 4.11, F = F. Corolário 4.14. Seja X um espaço topológico. O fecho que um conjunto S em X é o menor subconjunto fechado de X que contém S. Ou seja, 1. S é fechado em X. 2. S S. 3. se F é um subconjunto fechado de X que contém S, então S F. Demonstração. Precisamos apenas demonstrar a terceira armação. Se F é fechado e S F, então F é um dos F λ, e portanto, F contém a interseção dos F λ, isto é, S F. Denição 4.15. Sejam M um espaço métrico e S um subconjunto de M, então d(x, S) = inf {d(x, y); y S}, com x M. Proposição 4.16. Sejam M um espaço métrico e S um subconjunto de M. Então, x S se, e somente se, d(x, S) = 0. Demonstração. Em um espaço métrico M, um ponto x pertence ao fecho de S se, e somente se, toda bola aberta de centro x contém algum ponto de S. Ou seja, x S ɛ > 0, y S tal que d(x, y) < ɛ d(x, S) = inf {d(x, y), y S} = 0

4. Conjuntos Fechados 26 Corolário 4.17. Um subconjunto F de um espaço métrico é fechado se, e somente se, d(x, F ) = 0 implicar que x F. Demonstração. ( ) Se F é fechado e d(x, F ) = 0 então, pela proposição 4.16, x F, ou seja, x F. ( ) Dado x F, temos d(x, F ) = 0 pela proposição 4.16. Então x F. Logo, F F e portanto F é fechado. Quando lidamos com um espaço topológico X e um subespaço Y de X, precisamos tomar cuidado com o fecho de conjuntos, pois se S é um subconjunto de Y o fecho de S em Y geralmente é diferente do fecho de S em X. Nesta situação, a notação S denota o fecho de S em relação à X. O fecho de S em Y pode ser escrito em função de S, como nos mostrará o próximo teorema. Teorema 4.18. Sejam Y um subespaço do espaço topológico X e S um subconjunto de Y. Então o fecho de S em Y é igual à S Y. Demonstração. Seja B o fecho de S em Y. O conjunto S é fechado em X, então, pelo teorema 4.9, S Y é fechado em Y. Como S Y contém S e B é igual à interseção de todos os subconjuntos fechados de Y contendo S, teremos B S Y. Agora, sabemos que B é fechado em Y, pelo teorema 4.9, segue que B = C Y, para algum conjunto C fechado em X. Então C é um conjunto fechado em X contendo S. Como S é a interseção de todos os fechados deste tipo, concluímos que S C. Portanto ( S Y ) (C Y ) = B. Como B S Y e ( S Y ) B, temos que B = S Y Tudo o que vimos até agora sobre fecho de um conjunto não nos mostra uma maneira conveniente de encontrá-lo, pois a coleção de todos os conjuntos fechados em X, assim como a coleção de todos os conjuntos abertos, é muito grande para trabalharmos com ela. Uma outra forma de descrevermos o fecho de um conjunto, mais palpável pois envolve apenas a base para uma topologia em X, é dada pelo seguinte teorema: Teorema 4.19. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. 1. Então x S se, e somente se, todo conjunto aberto U tal que x U intercepta S. 2. Se a topologia em X for dada por uma base β, então x S se, e somente se, para todo B β, com x B, intercepta S. Demonstração. 1) Como esta sentença é da forma (P ) (Q) podemos trocar cada uma das implicações pelas suas contra-positivas, e com isso teremos a seguinte senteça (não P ) (não Q), que é logicamente equivalente à primeira. Temos:

4. Conjuntos Fechados 27 x / S se, e somente se, existe um conjunto aberto U, com x U que não intercepta S. Desta forma o teorema ca mais fácil de ser provado. ( ) Se x / S, o conjunto U = X S é um aberto contendo x que não intercepta S. ( ) Se existir um conjuto aberto U, com x U, que não intercepta S, então (X U) é um conjunto fechado que contém S. Mas pela denição de fecho, S (X U). Então x / S. 2) ( ) Se x S, pela denição de fecho, temos que todo conjunto aberto contendo x intercepta S, então todo elemento B β também intercepta S, pois B é um conjunto aberto. ( ) Se todo elemento B β, com x B, intercepta S, então todo conjunto aberto U, com x U, também intercepta S, pois U contém um elemento B β tal que x B. 4.3 Pontos de Acumulação Denição 4.20. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Um ponto x X chama-se ponto de acumulação de S quando toda vizinhança V de x em X contém algum ponto s S, com x s. O conjunto dos pontos de acumulação de S chama-se o derivado de S e o denotaremos por S. Exemplo 4.21. Considere a reta real R e o intervalo A = (0, 1] R, então o ponto 0 será um ponto de acumulação de A, assim como o ponto 1. Na verdade, todos os pontos 2 de A serão pontos de acumulação, e portanto, A = [0, 1], que coincide com o fecho de A. Seja B = { 1 n /n Z}, então o único ponto de acumulação de B é o ponto 0. Considerando os exemplos 4.12 e 4.21 temos que existe uma relação entre o fecho e o derivado de um conjunto. Esta relação é dada no teorema abaixo. Teorema 4.22. Seja S um subconjunto de um espaço topológico X, então S = S S Demonstração. Se x S, toda vizinhança de x intercepta S (em um ponto diferente de x). Pelo teorema 4.19, x S. Consequentemente S S. Por denição, S S, então S S S. Vamos agora demonstrar o outro lado da inclusão. Seja x um ponto de S, vamos mostrar que x S S. Se x está em S, então x S S. Agora, suponhamos que x não esteja em S. Como x S, sabemos que toda vizinhança U de x intercepta S, como x / S, o U precisa necessariamente interceptar S em um ponto diferente de x. Então, x A, então x A A. Corolário 4.23. Um subconjunto de um espaço topológico é fechado se, e somente se, ele contém todos seus pontos aderentes.

4. Conjuntos Fechados 28 Demonstração. O conjunto S é fechado S = Ā A A. 4.4 Aplicações Contínuas Denição 4.24. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma aplicação f : X Y é contínua se para cada subconjunto aberto V de Y, o conjunto f 1 é um subconjunto aberto de X. A continuidade de uma aplicação não depende apenas dela, mas também das topologias denidas em seu domínio e em seu contradomíno. Exemplo 4.25. Sejam R o conjunto dos números reais com a topologia usual, e R l o conjunto dos números reais com a topologia do limite inferior. Denimos f como sendo f : R R l f(x) = x Então f não é uma aplicação contínua, pois f 1 ([a, b)) = [a, b), [a, b) aberto em R l, não é um aberto de R. Se a topologia no contradomínio da aplicação for dada em função de uma base β, então para provarmos a continuidade de f precisamos apenas mostrar que a imagem inversa de cada elemento B β é aberta. De fato, um conjunto aberto V de Y pode ser escrito como a união dos elementos básicos, Então, V = λ L B λ. f 1 (V ) = λ L f 1 (B λ ). Portanto, f 1 (V ) é aberto se cada conjunto f 1 (B λ ) o for. Teorema 4.26. Sejam X, Y espaços topológicos e f : X Y uma aplicação. Então as seguintes armações são equivalentes: 1. f é contínua. 2. Para cada subconjunto A de X, temos f(ā) f(a). 3. Para cada conjunto fechado B em Y, o conjunto f 1 (B) é fechado em X. Demonstração. (1) (2) Temos que f é contínua. Seja A um suconjunto de X. Mostraremos que se x Ā então f(x) f(a). Seja V uma vizinhança de f(x), então f 1 (V ) é um conjunto aberto de X contendo x, f 1 (V ) intercepta A em algum ponto y A, então V intercepta f(a) no ponto f(y), e portanto f(x) f(a). (2) (3) Sejam B um conjunto fechado em Y e A = f 1 (B). Precisamos mostrar que A é fechado em X, então mostraremos que Ā A. Por teoria dos conjuntos, temos que f(a) B. Então, se x é um ponto de Ā,

4. Conjuntos Fechados 29 f(x) f(ā) f(a) B = B. Logo, x f 1 (B) = A, e portanto, Ā A. (3) (1) Sejam B um conjunto fechado em Y e B = Y V, segue que B é um conjunto fechado em Y. Como vale a sentença (3), f 1 (B) é fechado em X. Por teoria dos conjuntos, temos f 1 (V ) = f 1 (Y B) = f 1 (Y ) f 1 (B) = X f 1 (B). Portanto, f 1 (V ) é aberto.

Capítulo 5 Alguns Espaços Topológicos Importantes 5.1 Espaços de Hausdor Denição 5.1. Um espaço topológico X é um espaço de Hausdor se para cada par de pontos distintos x 1, x 2 pertencentes à X, existir vizinhanças disjuntas U 1, U 2, de x 1, x 2 respectivamente. Teorema 5.2. Todo subconjunto nito, {x 1,..., x n }, em um espaço de Hausdor X é fechado. Demonstração. Temos que {x 1,..., x n } é a reunião nita de subconjuntos unitários {x i }, com i = 1,..., n, ou seja, {x 1, x 2,..., x n } = {x 1 } {x 2 }... {x n }. Segue, pelo teorema 4.5, que se cada um dos conjuntos unitários {x i }, com i = 1,..., n, for fechado en X, então {x 1,..., x n } também será um conjunto fechado em X. Basta mostrarmos que todo conjunto unitário {x 0 } é fechado em X. Seja x um ponto pertencente à X diferente de x 0, então x e x 0 têm vizinhanças disjuntas U e V respectivamente. Como U não intercepta {x 0 }, o ponto x não pertence ao fecho do conjunto {x 0 }. Então, o fecho de {x 0 } é ele mesmo, portanto cada conjunto unitário, {x i }, é fechado. Teorema 5.3. Sejam X um espaço de Hausdor e A um subconjunto de X. Então o ponto x é um ponto de acumulação de A se, e somente se, toda vizinhança de x contém innitos pontos de A. Demonstração. ( ) Seja x um ponto de acumulação de A, suponhamos que uma vizinhança U de x intercepta A em um número nito de pontos. Segue que U também intercepta A {x} em um número nito de pontos. Sejam {x 1,..., x n } os pontos de 30