Estudos Programados sobre Técnicas de Integral de Trajetória na Física Lúcio Fassarella & Humberto Belich Jr. Universidade Federal do Espírito Santo March 4, 013 Programa de Estudos para Licença Capacitação do Prof. Lúcio Fassarella (DMAT/CEUNES/UFES) sob orientação do Prof. Humberto Belich Jr (DFIS/CCE/UFES). 1
1 Contextualização O objetivo deste programa de estudos é adquirir expertise em algumas técnicas de integral de trajetória em física, particularmente pertinentes para aplicações na descrição de processos estocásticos em sistemas quânticos. O formalismo de integral de trajetória constitui uma abordagem útil para tratar muitas situações ou questões típicas da Física, dentre as quais: Vínculos; Simetrias de calibre; Limite clássico de sistemas quânticos; Fenômenos coletivos e fenômenos críticos; A versatilidade do formalismo da integral de trajetória é especialmente notável no âmbito da teoria quântica de campos, pois serve de base tanto para e cientes técnicas perturbativas quanto para abordagens não-perturbativas, além de permitir extender naturalmente para esse contexto muitos conceitos da mecânica quântica. Esse fato pode ser enfatizado em comparação com os métodos tradicionais da quantização canônica: Traditionally, eld theory had its main thrust of development in high energy physics. (...). Over the years, however, it has become quite clear that the methods and techniques of eld theory are widely applicable in many areas of physics. The canonical quantization methods, which is how conventional eld theory courses are taught, do not bring out this feature of eld theory. A path integral description of eld theory is the appropriate setting for this. A. Das [1, p.vii] O interesse em processos estocásticos se justi ca pela amplitude e importância das aplicações que se colocam em perspectiva: Stochastic processes play a fundamental role in a whole spectrum of sciences, including the life sciences, engineering, socio-economic sciences, and many more. Equally important (for us as physicists) the languages in which stochastic processes are commonly described the vocabulary includes probability, rate equations, Markov approximations, etc. are spoken by a large community of scientists, which is an ideal basis for interdisciplinary dialogue. Altland & Simon [, p.63]. Especi camente no contexto da física da matéria condensada, vislumbramos o estudo de sistemas fora do equilíbrio, fenômenos transientes, transições de fase e propriedades coletivas tais como supercondutividade e super uidez. Nesse contexto, muitos fenômenos são descritos (fenomenologicamente) em termos de uma quantidade macroscópica (t) que satifaz a equação de Langevin [3, p.93], d dt = F () + (t) onde F () é um campo estático e (t) é uma função randômica do tempo (que descreve perturbações estocásticas da dinâmica do sistema devido ao ambiente). Quando o ruído (t) é su cientemente fraco, demonstra-se (usando integral de trajetória ou outro método) que a densidade de probabilidade de transição m t (x; x 0 ) da quantidade passar um estado inicial (0) = x 0 para um estado nal (t) = x no intervalo de tempo t > 0 caracterizada (aproximadamente) pela equação de Fokker-Planck [3, p.94] @ @ t m t (x; x 0 ) = D @ @x m t (x; x 0 ) + @ @x F (x) m t (x; x 0 ) m 0 (x; x 0 ) = h (x x 0 )i
onde D é um coe ciente de difusão e hi denota o valor esperado. A equação de Fokker-Planck pode ser escrita na forma de uma equação de Schrödinger com tempo imaginário e suas soluções podem ser representadas por uma integral de trajetória do tipo [3, p.98] Z m t (x; x 0 ) = D exp (0)=x 0 1 Z 1 0 d () ( (t) x) Num programa de estudos sobre dinâmica estocástica quântica é natural começar considerando a dinâmica estocástica de sistemas clássicos por três motivos, pelo menos: i) Conceitos fundamentais da teoria quântica são de nidos ou inspirados na teoria clássica; ii) Algumas propriedades dos sistemas quânticos podem ser obtidas dos seus correspondentes limites clássicos; iii) Métodos semi-clássicos são largamente utilizados no cálculo de aproximações para modelos quânticos cujas equações não podem ser resolvidas analiticamente. A teoria clássica é usada inclusive na descrição de propriedades de sistemas quânticos fora do equilíbrio, embora com limitações: Experience shows that, in some cases, nonequilibrium quantum systems can be understood in terms of reasonably straightforward quantization of their classical limits. In others, an interplay of quantum coherence and nonequilibrium driving leads to entirely new phenomena such as lasing, a paradigm for a steady state nonequilibrium quantum system. Altland & Simons [, p.693] Agora, as equações estocásticas clássicas podem ser pro cuamente relacionadas a modelos de teorias de campo supersimétricas. G. Junker resume a situação: In 1979 Parisi and Sourlas pointed out that there is a hidden supersymmetry in classical stochastic di erential equations. In fact, it is possible to reformulate some supersymmetric models of eld theory in terms of classical stochastic equations. The existence or non-existence of a stationary solution of a classical stochastic system is related to good and broken SUSY in the corresponding eld theory, respectively. In the case of one cartesian degree of freedom, whose averaged dynamics is characterized by a one-dimensional Fokker-Planck equation, it can be shown that this equation may be put into the form of a supersymmetric Schrodinger equation with imaginary time. The corresponding Hamiltonian can be identi ed with that of Witten s model. This analogy explains the fact that the Fokker-Planck operator for a given drift potential and di usion constant is essential iso-spectral to the Fokker-Planck operator with the inverted drift potential and the same di usion constant. The breaking of SUSY in the Langevin dynamics of non-potential systems is also related to the occurrence of corrections to the linear uctuationdissipation theorem. G. Junker [3, p.93]. Pelas razões expostas, este programa de estudos é constituido dos seguintes temas: 1. Formalismo da Integral de Trajetória em Física Quântica;. Sistemas Estocásticos Clássicos e Teorias de Campo Supersimétricas; 3. Sistemas Estocásticos Quânticos. Finalmente, salientamos que este programa de estudos se harmoniza com nosso projeto de pesquisa Controle de Sistemas Quânticos 1 na medida em que ele nos permite estudar a dinâmica de sistemas quânticos sujeitos a perturbações estocásticas. Embora os estudos deste programa apontem para aplicações nas teorias de campo, pretendemos usar o formalismo da integral de trajetória para deduzir e estudar as soluções de equações mestres (markovianas) de canais quânticos em situações realísticas. 1 O projeto Controle de Sistemas Quânticos (registrado na PRPPG/UFES sob o número 4089/013) está programado para ser desenvolvido no período de março/013 a fevereiro/014. 3
Programa de Estudos Este programa de estudos será desenvolvido pelo Prof. Lúcio Fassarella sob supervisão do Prof. Humberto Belich Jr., do Departamento de Física e do Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade Federal do Espírito Santo. De nimos este Programa de Estudos pelos tópicos e bibliogra a que serão estudados. 1. Formalismo de Integral de Trajetória em Física Quântica Esta parte será estudada em caráter de revisão, de modo as referências dessa parte serão consultadas apenas pontualmente. Incluimos como bibliogra a complementar referências para o Cálculo Estocástico de Itô porque a integral de trajetória possui analogias com processos de Wiener e a integral estocástica de Itô [4, p.14]. (a) A. F. Rodrigues: A Integral de Feynman: das origens às teorias de campos a temperaturas nitas. CBPF, 010. (b) R.P. Feynman, A.R. Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals. McGraw-Hill ed., 1965. (c) L.S. Schulman: Techniques and Applications of Path Integration. John Wiley, 1981. (d) J. Glimm, A.Ja e: Quantum Mechanics A Functional Integral Point of View, a ed. Springer, 1987. (e) M.L. Lapidus, G.W. Johnson: The Feynman Integral and Feynman s Operational Calculus. Oxford Mathematical Monographs, 000. (f) Ashok Das: Field Theory: A Path Integral Approach. World Scienti c, 006. (g) C. DeWitt-Morette, P. Cartier: Functional Integration: Action and Symmetries. 007. Bibliogra a Complementar (h) A. Holevo: Quantum stochastic calculus. J. Soviet Math. 56 (1991): 609 64. Cambridge, (i) R. Hudson, K. Parthasarathy: Quantum Ito s formula and stochastic evolutions. Commun. Math. Phys. 93 (1984): 301 33.. Sistemas Estocásticos Clássicos e Quânticos e Teorias de Campo Supersimétricas Nesta parte acrescentamos como bibliogra a complementar alguns livros e artigos pioneiros no estudo das relações entre as equações estocásticas clássicas e modelos supersimétricos. Aqui também não temos a pretenção de exaurir todas as referências, mas complementar a exposição das referência básicas. (a) G. Junker: Supersimetric Methods in Quantum and Statistical Physics. Springer, 1996: Capítulos 7 e 8. (b) A. Altland, B. Simons: Condensed Matter Field Theory, nd. ed. Cambridge University Press, 010: Capítulos 10 e 11. Bibliogra a Complementar (c) N.G. van Kampen: Stochastic Processes in Physics and Chemistry. North-Holland: Amsterdam, 1981. (d) H. Risken: The Fokker-Planck Equation, Methods of Solution and Applications - nd ed. Springer- Verlag: Berlin, 1989. (e) G. Parisi and N. Sourlas: Random magnetic elds, supersymmetry, and negative dimensions. Phys. Rev. Lett. 43 (1979): 744-745. (f) G. Parisi and N. Sourlas: Supersymmetric eld theories and stochastic di erential equations. Nucl. Phys. B06 (198): 31-33. (g) M.V. Feigel man and A.M. Tsvelik: Hidden supersymmetry of stochastic dissipative dynamics. Sov. Phys. JETP 56 (198): 83-830 4
(h) F. Cooper and B. Freedman: Aspects of supersymmetric quantum mechanics. Ann. Phys. (NY) 146 (1983): 6-88. (i) M. Bernstein and L.S. Brown: Supersymmetry and the bistable Fokker-Planck equation. Phys. Rev. Lett. 5 (1984): 1933-1935. (j) S. Trimper: Supersymmetry breaking for dynamical systems. J. Phys. A 3 (1990): L169-L174. 3. Aplicações Esta parte será desenvolvida paralelamente às anteriores e tem dois objetivos: (i) atualizar nossos conhecimentos acerca do estado da arte da teoria sobre sistemas estocásticos clássicos e quânticos; (ii) divisar problemas para pesquisa. Naturalmente, nossa bibliogra a deve consistir de artigos recentes sobre os temas de interesse. References [1] Ashok Das: Field Theory: A Path Integral Approach. World Scienti c, 006. [] A. Altland, B. Simons: Condensed Matter Field Theory, nd. ed. Cambridge University Press, 010. [3] G. Junker: Supersimetric Methods in Quantum and Statistical Physics. Springer, 1996. [4] A. F. Rodrigues: A Integral de Feynman: das origens às teorias de campos a temperaturas nitas. CBPF, 010. 5