CAPÍTULO VII ONDAS MECÂNICAS 7.1. INTRODUÇÃO As ondas mecânicas são fenómenos ondulatórios que necessitam de um meio material para se propagarem. Como exemplos destas ondas, vamos estudar neste capítulo as ondas geradas pela vibração de uma corda e pela oscilação de um tubo de ar. Como é bem sabido 1, em ambos os casos são geradas ondas acústicas, vulgarmente designadas por som. Os fenómenos ondulatórios associados à vibração da corda e à oscilação da coluna de ar contida no tubo são muito semelhantes. A excitação da corda e da coluna de ar conduz à geração de ondas que se propagam nos dois sentidos e que vão ser reflectidas nas extremidades da corda e do tubo. Formam-se, deste modo, estruturas de ondas estacionárias, com frequências e comprimentos de onda impostos pelas condições fronteiras: (i) o deslocamento da corda tem de ser nulo nas extremidades onde a corda esta presa; e (ii) o deslocamento das moleculas de ar e a variacao de pressao tem de ser nulas nas extremidades fechada e aberta do tubo. 7.2. SOM O som é um fenómeno mecânico que, por isso, precisa de um meio material para se propagar 2. No caso dos sinais audíveis, o fenómeno a que chamamos som corresponde à interpretação 1 Por exemplo, do funcionamento de uma guitarra e de uma flauta. 2 E bem conhecido que uma campainha e um despertador deixam de tocar quando sao inseridos numa câmara de vácuo. 1
que o cérebro humano faz do estimulo que resulta da vibração do tímpano nos nossos ouvidos, provocada pelo movimento das moléculas de ar que com ele colidem. A propagação do som é explicada através de oscilações longitudinais das moléculas de ar em torno das suas posições de equilíbrio. Estas vibrações das moléculas de ar conduzem a zonas de elevada densidade ou seja pressão (compressão) e de baixa densidade, ou seja pressão (rarefacção). Deste modo podemos relacionar as ondas sonoras com variações da pressão entre valores máximo e mínimo. É importante chamar à atenção para o facto do máximo de pressão corresponder ao deslocamento mínimo das moléculas. Na gíria falamos regularmente em intensidade e altura do som. A intensidade do som está associada com a energia da onda sonora, ou seja, com a sua amplitude. A altura do som depende da frequência da onda sonora. Os sons agudos têm frequência elevada enquanto os sons graves têm baixa frequência. O ouvido humano é, normalmente, sensível aos sons com frequências entre 20 Hz e 20 khz. A intensidade do som mede-se em decibeis (db). 7.3. VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO A velocidade das ondas mecânicas depende, em geral, de uma propriedade elástica e de uma propriedade inercial do meio. Assim: As ondas transversais numa corda vibrante propagam-se com velocidade em que T e é a tensão e µ d é a densidade linear de massa As ondas acústicas num fluido propagam-se com velocidade v = / µ (7.1) T e d v = β / ρ d (7.2) em que β é a compressibilidade ( bulk modulus ) e ρ d é a densidade do meio. No caso de um gás, a compressibilidade é proporcional à pressão, que por sua vez e proporcional à densidade e à temperatuta absoluta do meio. Deste modo a velocidade do som é independente da densidade e é meramente proporcional à temperatura. A velocidade do som no ar pode ser calculada através da expressão v = 20. 034 T (7.3) O facto da velocidade do som no ar ambiente (340 m/s) ser muito menor que a velocidade da luz no vácuo (300 000 Km/s) permite estimar a distância a que uma trovoada se encontra de um observador, através da expressão d = 340 t (7.4) em que t representa o tempo que decorre desde a visão do relâmpago e a audição do trovão. 2
Problema 7.1 Considere a corda representada na Figura 7.1, D de comprimento L=2.5 m e massa igual a 50 g. Calcule: a) A tensão e a densidade de massa. b) A velocidade das ondas na corda. Problema 7.2 Calcule a velocidade do som no ar a 0 e a 20 graus centígrados Figura 7.1 Corda elástica 7.4. CORDA VIBRANTE Consideremos uma corda vibrante, de comprimento L, fixa nas suas duas extremidades. (Figura 7.2). É fácil de perceber que apenas as ondas tais que: λ /2 = L (7.5) 2 λ /2 = L (7.6) 3 λ /2 = L (7.7) n λ /2 = L (7.8) é que podem ser excitadas, dado que verificam as condições fronteiras: a perturbação tem de ser nula nas duas extremidades da corda. Figura 7.2 Modos de oscilação de uma corda vibrante 3
A primeira onda chama-se fundamental e as outras são as harmónicas de ordem n. A frequência de cada onda pode ser calculada a partir do comprimento de onda e das características da corda, que determinam a velocidade de propagação das ondas. f = v / λ (7.9) A onda fundamental possui a menor frequência (maior comprimento de onda). Assim, para variarmos a frequência de vibração de uma corda de uma guitarra temos de variar o comprimento da parte da corda que está a vibrar. Problema 7.3 Considere uma corda vibrante fixada em duas extremidades separadas de 0.5 m e cuja tensão foi regulada para que a sua frequência fundamental seja de 500 Hz. Determine a velocidade de propagação das ondas transversais da corda (Solucao: 500 m/s) Problema 7.4 Considere uma corda vibrante com 2 m de comprimento e que possui duas frequências de ressonância consecutivas em 400 Hz e 500 Hz. Determine: a) A ordem da harmónica em 400 Hz (Solução: 4). b) A frequência e o comprimento de onda da fundamenta (Solução: f=100 Hz, λ=4 m) c) A velocidade de propagação (Solução: 400 m/s) 7.5. OSCILAÇÃO DO AR DE UM TUBO Um tubo de ar no qual se propaga som comporta-se como uma coluna oscilante. As ondas estacionárias que se geram no tubo obedecem às seguintes condições fronteiras: Numa extremidade fechada do tubo o deslocamento das moléculas tem de ser nulo. Pelo contrário, a pressão é máxima. Numa extremidade aberta do tubo a variação de pressão tem de ser nula, para que não haja descontinuidade com o exterior. Neste caso, o deslocamento das moléculas tem de ser máximo neste lado do tubo. A Figura 7.3 apresenta o caso de um tubo com as duas extremidades abertas. O comprimento de onda das ondas que se establecem no tubo é dado por λ = 2 L/n (7.10) em que n é a ordem da harmónica. Figura 7.3 Modos de oscilação de um tubo de ar aberto nas duas extremidades 4
Esta expressão é tanto mais rigorosa quanto maior for o comprimento do tubo em relação ao seu diâmetro. De facto, em rigor, a fronteira nas extremidades abertas não é brusca, mas sim gradual. Deve-se esperar que esta fronteira seja tanto menos brusca quanto maior for o diâmetro do tubo. Uma expressão mais rigorosa é L + 8*d = n λ/2 (7.11) aberta A Figura 7.4 documenta o caso em que o tubo tem uma extremidade fechada e a outra Figura 7.4 Modos de oscilacao de um tubo de ar aberto numa extremidade e fechado na outra Neste caso ou se L>>d L + 0.4 d = (2n-1) λ/4 (7.12) L = (2n-1) λ/4 (7.13) Problema 7.5 Determine as frequências e os comprimentos de onda das ondas sonoras que se estabelecem num tubo de ar, com 1 m de comprimento, admitindo que a temperatura do ar é tal que o som se propaga a 340 m/s (Solução: fn=170n Hz, λ n =2/n metro) 5