Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br
Agenda do Dia Aula 5 (16/09/15) Zero de funções: Introdução Tipos de métodos Diretos Indiretos ou iterativos Fases de cálculos Isolamento de raízes Refinamento Classificação dos métodos
Zero de Funções Seja F(x) uma função real definida num intervalo [a, b]. Chama-se raiz(es) desta função em [a, b] a todo ξ (csi) є (a, b) tal que F(ξ) = 0, como mostra a figura abaixo.
Zero de Funções Seja F(x) uma função real definida num intervalo [a, b]. Chama-se raiz(es) desta função em [a, b] a todo ξ (csi) є (a, b) tal que F(ξ) = 0, como mostra a figura abaixo. Existem dois tipos de métodos: (i) diretos; (ii) indiretos ou iterativos
Zero de Funções Métodos Diretos Métodos diretos: Fornecem a solução em apenas um único passo Esta raiz é exata, a menos de erros de arredondamento Exemplo: x² 3x + 2 Como obter as raízes para essa equação?
Zero de Funções Métodos Diretos Exemplo: x² 3x + 2 Fórmula de Baskara x= b± Δ 2a Δ = b² 4ac Conjunto solução: {1, 2}
Zero de Funções Métodos Indiretos ou Iterativos Métodos indiretos ou iterativos: É um processo de cálculo infinito, recursivo Recursivo: o valor de cada passo depende dos valores dos passos anteriores Na maioria das vezes, não obtêm solução exata para raízes Solução aproximada, mas dentro de uma faixa de erro considerada aceitável
Zero de Funções Métodos Indiretos ou Iterativos Exemplo: calcular 4 e 2 usando o Método de Newton definido por x n =[ Onde: x x n 1 +x n 1 2 ], para n=1,2,3,... X: número a ser calculado a raiz X₀: atribuição inicial qualquer
Zero de Funções Métodos Indiretos ou Iterativos Calcular 4 usando o Método de Newton: X = 4 X₀ = 4 X₁ = (4/4 + 4) / 2 = (1+4)/2 = 5/2 = 2,5 X₂ = (4/2,5 + 2,5)/2 = (1,6 + 2,5)/2 = 4,1/2 = 2,05 X₃ = (4/2,05 + 2,05)/2 = (1,9512 + 2,05)/2 = 4,0012/2 = 2,0006 X₄ =
Zero de Funções Métodos Indiretos ou Iterativos Tentar o mesmo método para 2 Tentar o mesmo método para 4 e 2 no computador
Zero de Funções Métodos Indiretos ou Iterativos Observações: As raízes de equações do segundo grau (tipo ax² + bx + c = 0) são facilmente obtidas pela fórmula de Baskara Como resolver transcendentes? e x + x = 0 cos (x) x = 0 ln (x) + x 2 = 0 Soluções não tão simples
Zero de Funções Métodos Indiretos ou Iterativos Observações: Mesmo um polinônimo de grau maior que 3 já não tem uma solução algébrica simples, a não ser em casos particulares Com frequência, essas equações levam a raízes reais não racionais Ao serem representadas no computador, deve-se aproximar Requeririam infinitos dígitos na mantissa
Zero de Funções Métodos Indiretos ou Iterativos Observações: Normalmente, usa-se valores/raízes com determinada precisão Erro associado tolerável, com algumas casas decimais Essas aproximações iterativas bastam para a maioria dos problemas práticos
Zero de Funções Métodos Indiretos ou Iterativos Os métodos iterativos: Partem de valores inicialmente propostos Buscam aproximar valores de raízes Buscam diminuir os erros Fazer que erros sejam inferiores a valores estipulados
Métodos Indiretos ou Iterativos - Fases Os métodos iterativos são calculados em duas fases: Fase I: Isolamento de raiz encontrar um intervalo [a, b], o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0 Fase II: Refnamento de raiz
Métodos Indiretos ou Iterativos - Fases Os métodos iterativos são calculados em duas fases: Fase I: Isolamento de raiz encontrar um intervalo [a, b], o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0 Fase II: Refnamento de raiz refinar ou melhorar o método até o grau de exatidão requerido. Partir de um intervalo inicial e definir critérios de parada
Métodos Indiretos ou Iterativos - Isolamento Na fase de isolamento de raízes: Faz-se uma análise teórica e gráfica da função f(x) Usa-se o seguinte teorema: Se uma função f(x) contínua num intervalo [a, b] assume valores de sinais opostos nos pontos extremos deste intervalo, isto é, f(a) * f(b) < 0, então o intervalo conterá no mínimo uma raiz da equação f(x) = 0 Ou seja, no mínimo um número ξ є (a, b) tal que F(ξ) = 0
Métodos Indiretos ou Iterativos - Isolamento Número de raízes: Teorema de Bolzano: seja f(x) = 0 uma equação com coeficientes reais e x є (a, b) Se f(a) * f(b) < 0; número ímpar de raízes reais no intervalo (a, b) Se f(a) * f(b) > 0; número par de raízes reais ou não existem no intervalo (a, b) Obs.: a determinação do número de raízes de equações transcendentes é quase impossível, pois podem ter infinitas raízes
Métodos Indiretos ou Iterativos - Refinamento Depois de isolar a raiz no intervalo (a, b): Calcula-se a raiz através de métodos numéricos Devem formar uma sequência {x i } de aproximação cujo limite é a raiz exata ξ Em cada aproximação, usa-se um dos critérios de parada Compara-se o resultado com a tolerância ε préfixada x n
Métodos Indiretos ou Iterativos - Refinamento Critérios de parada: Pelo eixo y, f (x n ) ε Pelo eixo x, x n x n 1 ε Dependendo dos números envolvidos, é aconselhável usar os testes de erro relativo: x n x n 1 ε x n 1
Classificação dos Métodos Os métodos são classificados em três categorias: Métodos de quebra Métodos de ponto fixo Métodos de múltiplos pontos
Classificação dos Métodos Métodos de quebra: Mais intuitivos geometricamente Convergem mais lentamente A partir de um intervalo que contenha uma raiz, particiona-se esse intervalo em outros menores Dependendo do ponto de quebra: Método da Bisseção Método da Falsa Posição
Classificação dos Métodos Métodos de ponto fixo: Começa-se a partir de um ponto x₀ Constrói-se uma sequência {x i } Cada termo é dado por ζ é uma função de iteração Dependendo de ζ: x i+1 =ζ(x i ) Método de Newton-Raphson Método da Iteração Linear (MIL)
Classificação dos Métodos Métodos de múltiplos pontos: Generalização dos métodos de ponto fixo Para determinar um ponto x i+1 Utiliza-se vários pontos anteriores x i, x i 1,..., x i p Exemplo: Método da Secante
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