A Trigonometria é a parte da Matemática que estuda os triângulos e seus elementos, como ângulos, lados e alturas. Atualmente ela não fica limitada ao estudo dos triângulos. E podemos observar a presença de aplicações da trigonometria em outras áreas do conhecimento como na Física, música, engenharia e medicina por exemplo. Muitos problemas cuja solucão pode estar associada à determinação de um elemento de um triângulo têm sua resolução atendida pela trigonometria. Por exemplo, em muitas profissões necessita-se usualmente determinar algumas distâncias que chamamos de distâncias inacessíveis. Reflita sobre as situações abaixo: Um navio precisa determinar a que distância se encontra da praia. Um engenheiro na praia vê o navio e precisa determinar sua distância até uma ilha próxima. Um arquiteto precisa determinar a largura de um rio e a altura de uma montanha por onde passará uma ponte. Há mais de 2.000 anos os gregos utilizando relações trigonométricas determinaram o raio da Terra. Como os astrônomos, no passado, determinavam a distância da Terra à Lua? Estas e outras situações podem ser resolvidas fazendo uso das relações trigonométricas. Para entendermos melhor o que são essas relações trigonométricas vamos dar uma olhada no triângulo retângulo (triângulo BAC) abaixo: Nomeando os elementos do triângulo BÂC, temos: B a = b = cateto b = cateto b a = ângulo agudo (alfa) = ângulo agudo (beta) Â = ângulo reto A c C A partir da nomeação acima, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: 1) Seno (sen) de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da. sen = cateto oposto = c a sen = cateto oposto = b a
2) Cosseno (cos) de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da. cos = cateto adjacente = b a cos = cateto adjacente = c a 3) Tangente (tang) de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. tang = cateto oposto = c cateto adjacente b tang = cateto oposto = b cateto adjacente c Lembre-se que na linguagem comum, cateto oposto, é o cateto que esta de frente para ângulo, e cateto adjacente, é o cateto que fica ao lado do ângulo. Para cada ângulo foi estabelecido um valor para o seno, o cosseno e a tangente. Na tabela abaixo podemos visualizar esses valores para os ângulos mais comumente utilizados. ângulo 0 o 45 o 60 o 90 o seno 0 1 = 0,5 2 2 3 0,71 0, 87 2 2 1 cosseno 1 3 2 1 = 0,5 0,87 0, 2 2 2 71 0 tangente 3 1 0,57 3 1,73 3 Observe que alguns dos valores acima podem ser apresentados na forma de números fracionários ou de números irracionais. No final do volume 2 do livro de Matemática do NovoTelecurso são apresentadas as tabelas trigonométricas com valores de seno, co-seno e tangente para vários ângulos. Na tabela a seguir mostramos outros valores para seno, cosseno e tangente que poderão ser úteis na resolução de exercícios.
ângulo sen cosseno tangente 5 0,087156 0,996195 0,087489 10 0,173648 0,984808 0,176327 15 0,258819 0,965926 0,267949 20 0,34202 0,939693 0,36397 25 0,422618 0,906308 0,466308 30 0,500000 0,866025 0,577350 35 0,573576 0,819152 0,700208 40 0,642788 0,766044 0,839099 45 0,707107 0,707107 1,00000 50 0,766044 0,642788 1,191754 55 0,819152 0,573576 1,428148 60 0,866025 0,500000 1,732051 65 0,906308 0,422618 2,144507 70 0,939693 0,34202 2,747477 75 0,965926 0,258819 3,732051 80 0,984808 0,173648 5,671282 85 0,996195 0,087156 11,43005 90 1 0-01. Observe a tabela e responda às questões abaixo: a) Qual o valor, aproximado, para o seno de 20º? b) Qual o valor, aproximado, para o co-seno de 70º? c) Qual o valor, aproximado, da tangente de 55º? d) Qual é o ângulo cujo seno vale aproximadamente 0,64? e) Qual é o ângulo cujo cosseno vale aproximadamente 0,96? f) Qual é o ângulo cuja tangente vale aproximadamente 11,4?
Exercício resolvido Um avião decola com ângulo de com a horizontal. Utilizando as informações da ilustração determine a distância percorrida pelo avião em linha reta e a altura na qual se encontra. h =? d =? 100 m Para cálculo da distância (d) que o avião percorreu em linha reta e a altura (h) na qual se encontra, visualizemos os triângulos abaixo: d =? h =? 100 m 100 m Para o triângulo da esquerda temos o valor do ângulo, um lado (cateto adjacente) e queremos determinar o valor da. Entre as razões, seno, co-seno e tangente, aquela que apresenta uma relação entre essas medidas é o cosseno. Teremos então: cos = cateto adjacente cateto adjacente onde cos = 0,87, cateto adjacente = 100 e = d cos = 100 d
0,87 = 100 d 0,87.d = 100 d = 100 d 115m 0,87 No caso do triângulo da direita temos também o valor do ângulo, um lado (cateto adjacente) e queremos determinar o valor do cateto oposto. Entre as razões, seno, cosseno e tangente, aquela que apresenta uma relação entre essas medidas é a tangente. Teremos então: tang = cateto oposto cateto adjacente cateto oposto onde tang = 0,57, cateto adjacente = 100 e cateto oposto = h cateto adjacente tang = h 100 0,57 = h 0,57.100 = h h = 57m 100 Propomos agora alguns exercícios para você aprofundar seus estudos: 02. Determine os valores solicitados nas figuras abaixo. a) a =? 4 b =? b) 8 60 o x =?
c) x =? 10 40 o d) t =? 80 o 20 03. Na figura abaixo podemos observar um menino soltando uma pipa. O vento permite que o fio fique esticado fazendo com a horizontal um ângulo de 55 o. Considerando que as mãos do garoto estão a uma altura de 1,70m do chão, a que altura está a pipa quando se desenrolar 50m de fio? (Adote sen 55 o 0,82; cos 55 o 0,57; tang 55 o 1,43.) 50 m 55 o 1,70 m
04. Um alpinista pretende escalar a encosta de uma montanha. Ele se afasta horizontalmente 80m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 60 o com o plano horizontal. Considerando que o alpinista tem uma altura de 1,80m, qual a altura da encosta. 60 o 05. Uma homem parte da posição A vai até a posição B e logo em seguida dirige-se para a posição C. Calcule a distância entre os pontos de partida e de chegada. (Adote sen 35 o = 0,57 ; cos 35 o = 0,82) B 15 m 35 o A C
Resolução dos exercícios 01. Observando a tabela teremos: a) seno de 20º 0,34 ângulo sen cos tangente 20 0,34202 0,939693 0,36397 b) co-seno de 70º 0,34 ângulo sen cos tangente 70 0,939693 0,34202 2,747477 c) tangente de 55º 1,42 ângulo sen cos tangente 55 0,819152 0,573576 1,428148 d) observe que o valor 0,64 que está na coluna do seno está na linha do ângulo de 40º. ângulo sen cos tangente 40 0,642788 0,766044 0,839099 e) qual é o ângulo cujo co-seno vale aproximadamente 0,96? 15º ângulo sen cos tangente 15 0,258819 0,965926 0,267949 f) qual é o ângulo cuja tangente vale aproximadamente 11,4? 85º ângulo sen cos tangente 85 0,996195 0,087156 11,43005 02. a) Cálculo da medida a cateto oposto ao ângulo de = a = 4 Para o cálculo da medida a utilizaremos a razão seno. sen = cateto oposto a =? 4
0,5 = a 4 a = 0,5. 4 a = 2 Cálculo da medida b cateto adjacente ao ângulo de = b = 4 Para o cálculo de b utilizaremos a razão cosseno. cos = cateto adjacente 0,87 = b 4 b = 0,87.4 b 3,5 4 b =? b) A ilustração fornece: ângulo, lado oposto ao ângulo de 60 o e lado adjacente ao ângulo de 60 o. Trabalharemos com a razão tangente. tang 60 o = cateto oposto cateto adjacente 1,73 = 8 x 60 o x =? 1,73.x = 8 x = _8_ x = 4,6 1,73 8 c) A ilustração fornece: ângulo, lado oposto ao ângulo de 40 o e. Pelas informações fornecidas utilizaremos a razão seno. Utilizando uma tabela trigonométrica 1 temos que sen 40 o 0,64. sen 40 o = cateto oposto 0,64 = x 10 x =? 10 40 o x = 0,64.10 x = 6,4
d) A ilustração fornece: ângulo, lado adjacente ao ângulo de 80 o e. Pelas informações fornecidas utilizaremos a razão co-seno. Novamente utilizando a tabela trigonométrica temos que cosseno 80 o 0,17. cosseno 80 o = cateto adjacente 0,17 = _t_ 20 t =? 80 o 20 t = 0,17.20 t = 3,4 03. Visualizando um triângulo retângulo na ilustração abaixo a altura (h) na qual o pipa se encontra será dada pela soma da medida do cateto oposto ao ângulo de 55 o com o valor 1,70m. h = x + 1,7 50 m x =? h =? 55 o 1,7 m Utilizando a razão seno no triângulo retângulo da figura teremos: sen 55 o = 0,82 cateto oposto = x = 50 sen 55 o = cateto oposto 0,82 = x 50 x = 0,82.50 x = 41 m A altura será de: h = 41 + 1,7 h = 42,7 m
04. Visualizando um triângulo retângulo na ilustração abaixo a altura (h) da encosta será dada pela soma da medida do cateto oposto ao ângulo de 60 o com o valor 1,80 m (altura do alpinista). h = x + 1,8 h =? x 1,8 m 80 60º No triângulo retângulo da ilustração trabalhamos com o ângulo de 60º, os lados adjacente e oposto a esse ângulo. Dessa maneira a razão trigonométrica utilizada será a tangente. tang 60 o = cateto oposto cateto adjacente tang 60 o = 1,73 cateto adjacente = 80 cateto oposto = x 1,73 = x_ 80 x = 138,4 m Para a altura da encosta teremos: h = x + 1,8 h = 138,4 + 1,8 h = 140,2 m
05. O homem partiu da posição A e chegou na posição C. Chamando a distância AC de x teremos: ângulo de 35 o = 15 lado oposto ao ângulo de 35 o = x C chegada sen 35 o = cateto oposto 15m x 0,57 = _x_ 15 x = 0,57.15 x = 8,55m B 35º A partida