Introdução à Matemática Financeira

Introdução à Matemática Financeira Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. 13 de março de 2015 Assisente de Contabilidade ETEC Gustavo Teixeira São Pedro Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 1 / 1

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Motivação Motivação Todo cargo dentro de uma empresa requer a capacidade de administrar, organizar e criar sistemas racionais; Quando há uma tomada de decisão (seja ela na gestão das empresas ou das pessoas), colocamos em prática nosso sistema racional; Quase sempre, senão sempre, levamos em conta métodos de quantização e o uso ferramentas analíticas para que não haja custos, prejuízos ou erros na tomada de decisão; Nesse sentido, a Matemática Financeira nos fornece ampla condições de entender e manipular várias ferramentas de análise úteis, por exemplo, na quantização de descontos, taxas de empréstimos, amortização de nanceiamentos e no entendimento da dinamicidade da economia de marcado; Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 3 / 1

Porcentagem (%) Porcentagem (%) Porcentagem é um termo originário do latim "per centum", que signica "por cento"ou "a cada centena"; Isso signica que o termo porcentagem é encarado como uma ferramenta de medida, em particular, com base cem; Praticamente, dividimos qualquer conteúdo passível de análise em 100 unidades (ou partes) iguais; E, informalmente, denimos como porcentagem a parte que temos daquelas 100 partes que há; Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 4 / 1

Porcentagem (%) Porcentagem (%) Exemplo (Conceito) Sabemos que o salário mínimo no Brasil é de R$678, 00, se dividirmos 678, 00 = 6, 78, teremos 100 partes iguais de R$6, 78. 100 Portanto, dizemos que temos um porcento do salário mínimo, se tivermos R$6, 78; (uma parte, das cem que há - 1 100 ) Dizemos que temos dois porcento do salário mínimo, se tivermos R$13, 56. (duas partes, das cem que há - 2 100 ) Dizemos que temos dez porcento do salário mínimo, se tivermos R$67, 80. (dez partes, das cem que há - 10 100 ) Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 5 / 1

Porcentagem (%) Porcentagem (%) - Denição Porcentagem (%) - Denição Porcentagem - Denição Denimos como porcentagem qualquer número p, tal que: 0 100 p 100 100 100 (1) Notação Habitualmente substituímos o denominador /100 pelo símbolo %, de modo que a expressão (1) seja escrita como: 0% p% 100% (2) O objetivo do conceito de porcentagem é possibilitar a comparação de conteúdos com escalas diferentes. Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 6 / 1

Porcentagem (%) Porcentagem (%) - Cálculo Algébrico Porcentagem (%) Exemplo (Cálculo Algébrico) Sabemos que o salário mínimo no Brasil é de R$678, 00 mensais e, que nos EUA, o salário mínimo é de US$1256, 66. Recentemente o IBGE divulgou que gastamos cerca de 20% do salário mínimo mensal com alimentação. Suponha que a porcentagem seja a mesma para os norte-americanos, quanto se gasta dos salários mínimos para termos acesso à alimentação? Basta saber que, de 100 partes existentes, gastamos 20 com alimentação, portanto: 678, 00 20 = 135, 60 R$135, 60 (3) 100 1256, 00 20 = 251, 2 US$251, 20 (4) 100 Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 7 / 1

Porcentagem (%) Porcentagem (%) - Na calculadora Porcentagem (%) Na calculadora, podemos calcular a porcentagem de duas formas. Observe a primeira delas: Notação (Método 1) Podemos, ainda, reescrever a expressão (1) da seguinte forma: 0 x 1 onde x = p 100 (5) Exemplo (Método 1) Nesse caso, usamos o conceito de fração como divisão propriamente dito, e: 20% = 20 = 0, 2 678, 00 20% = 678, 00 0, 2 = 135, 6 100 Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 8 / 1

Porcentagem (%) Porcentagem (%) - Na calculadora Porcentagem (%) Exemplo (Método 1) 10% = 10 = 0, 1 678, 00 10% = 678, 00 0, 1 = 67, 8 100 35% = 35 = 0, 35 678, 00 35% = 678, 00 0, 35 = 237, 3 100 6% = 6 = 0, 06 678, 00 6% = 678, 00 0, 06 = 40, 68 100 5, 7% = 5, 7 = 0, 057 678, 00 5, 7% = 678, 00 0, 057 = 38, 65 100 25% = 25 = 0, 25 678, 00 25% = 678, 00 0, 25 = 169, 5 100 Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 9 / 1

Porcentagem (%) Porcentagem (%) - Na calculadora Porcentagem (%) Exemplo (Método 2) Suponha que queiramos saber quanto é 20% de 678, 0. Utilizando uma calculadora, fazemos: Digite 678 na calculadora; Digite o simbolo da adição +; Digite 20; Digite o símbolo de porcentagem %; O resultado exibido será o de 20% 678, 00 Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 10 / 1

Porcentagem (%) Porcentagem (%) - Na calculadora Porcentagem (%) Uma vantegem do Método 1, é a possibilidade de se trabalhar com qualquer calculadora, até mesmo aquela que não possui a função de %; uma desvantagem, é ter que realizar mentalmente as divisões por 100 (convenhamos, não é assim, tão difícil); Uma vantagem do Método 2, é a realização direta do cálculo sem a necessidade de cálculos mentais; uma desvantagem clara, é a impossibilidade de realizar os cálculos em calculadoras que não possuem a função %; Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 11 / 1

Porcentagem (%) Exercícios Exercícios 1. Calcule mentalmente os valores das porcentagens em números decimais (Método 1). a) 1%; b) 34%; c) 56, 8%; d) 1, 2%; e) 2, 7%; f) 25%; g) 6%; h) 7, 3%; i) 0, 41%; j) 100%; k) 0%; 2. Com base em 3 salários mínimos, calcule os valores correspondentes (em reais) à cada uma das porcentegens do item anterior usando: ou o Método 1, ou o Método 2. Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 12 / 1

Montante, Aplicação e Juros Praticamente, toda operação de curto, médio ou longo prazo requer, pelo menos, três elementos fundamentais no mundo contábil: Montante, Aplicação e Juros; Denição (Aplicação) Denimos como Aplicação, todo valor monetário passível de ser operado nanceiramente à curto, médio ou longo prazo. Denição (Juros) Denimos como Juros como sendo o valor monetário cuja Aplicação rende em um determinado período de exercício nanceiro. Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 13 / 1

Montante, Aplicação e Juros Exemplo (Conceito) Suponha que queiremos aplicar R$100, 00 na poupança de nossa conta bacária. Sabemos que hoje, para essa aplicação, os juros rendidos são de R$0, 50 por mês. Aplicação: R$100, 00 Juros: R$0, 50 no primeio mês. Observação Não confundir Juros com Taxa de Juros (a taxa é dada em %). Deniremos taxa na seção de Juros Simples. Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 14 / 1

Montante, Aplicação e Juros Denição (Montante) Denimos Montante como sendo o valor monetário obtido através de uma operação nanceira sobre a Aplicação, somando-se o Juros do período aplicado; M = A + J (6) Exemplo (Montante) No exemplo anterior, o montante no primeiro mês de aplicação na poupança é de R$100, 50, uma vez que M = 100, 00 + 0, 50. Exemplo (Montante) Após um trimestre, resgatamos o montante de R$2500, 00 referente à aplicação de R$250, 00. Quais os juros rendidos nesses três meses? Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 15 / 1

Exemplo Basta notar que: Montante: R$2500, 00 Aplicação: R$250, 00 (Montante - continuação) Logo, pela denição de Montante, temos: M = A + J 2500, 00 = 250, 00 + J J = 2250, 00 (7) Ou seja, o juros é de R$2250, 00 para esses três meses. Praticamente, as operações de curto prazo são aquelas cujas aplicações permanecem em operação nanceira para períodos, geralmente, inferiores à 12 ou 24 meses; Isso inclui, portanto, a multa no atraso do pagamento do aluguel, ou o desconto no pagamento da mensalidade do colégio; Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 16 / 1

Juros Simples Juros Simples Denidos os elementos de uma operação nanceira, podemos nos aprofundar na denição de Juros Simples; Praticamente, os Juros Simples são na verdade os Juros que vimos nas denições anteriores; Notação (Juros Simples) De acordo com o exemplo anterior, vimos que os Juros Simples pode ser reescrito como: J = M A (8) No entanto, em uma observação mais profunda, notaremos que os juros devem depender apenas da aplicação, e não do montante e da aplicação; Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 17 / 1

Juros Simples Juros Simples Para isso, precisaremos denir o conceito de Taxa de Juros; Denição (Taxa de Juros) Seja J os juros simples rendidos de uma aplicação A em um certo período nanceiro. Denimos como Taxa de Juros, a expressão: i = J A onde i é um número decimal. (9) Exemplo (Tx. Juros) Descubra a tx. de juros, sabendo que os juros rendidos durante um mês são de R$0, 50 sobre uma aplicação de R$100, 00. i = J A i = 0, 50 100 = 0, 005 i = 0, 5% a.m. (10) Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 18 / 1

Juros Simples Juros Simples Exemplo (Tx. Juros) Descubra a tx. de juros, sabendo que os juros rendidos durante um trimestre são de R$2250, 00 sobre uma aplicação de R$250, 00. i = J A i = 2250 250 = 9 i = 900% ao trimestre. (11) E se desejarmos saber quanto vale i ao mês? Fazemos o seguinte: i a.m. = i 3 i a.m. = 300% a.m. (12) Exemplo (Tx. Juros) Sabendo que a poupança rende 0, 5% a.m., qual será sua taxa de rendimento ao ano (a.a.)? Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 19 / 1

Juros Simples Juros Simples Exemplo (Tx. Juros - continuação) Se um ano tem 12 meses, e a taxa é dada ao mês, então: i a.a. = i a.m. 12 i a.a. = 0, 005 12 = 0, 06 i a.a. = 6% a.a. (13) Falta, então, darmos uma segunda denição matemática para Juros; Denição Seja i a taxa de juros rendidos em um certo período e A uma aplicação realizada. Denimos Juros Simples da aplicação A, como sendo o valor dado pela expressão: J = i A (14) Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 20 / 1

Juros Simples Exemplo (Juros Simples) Sabendo que uma aplicação de R$250, 00 rende juros de 300% a.m., quais serão os juros acumulados no primeiro, segundo e terceiro mês? No primeiro mês: basta fazermos, J = 3 250, 00 J = 750, 00 (15) No segundo mês: fazemos J = 3 250, 00 2 J = 1500, 00 (16) No terceiro mês: fazemos J = 3 250, 00 3 J = 2250, 00 (17) Qual seria o montante resgatado no segundo mês, caso não quisesse esperar o trimestre completar? Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 21 / 1

Rendimentos Simples Rendimentos Simples Chamamos de Rendimentos Simples, todo o Montante resgatado mediante ao regime de Juros Simples; Vale deixar bem claro, que em longo e médio prazo, ou até mesmo em algumas aplicações de curto prazo, o mercado nanceiro costuma trabalhar com um regime mais elaborado de juros, os chamados Juros Compostos. Mas esse regime foge ao escopo desse curso; Essencialmente, os rendimentos simples nos fornecem ampla visão sobre a composição de preços de mercadorias/serviços e suas margens lucro; Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 22 / 1

Rendimentos Simples Rendimentos Simples Exemplo (Rendimentos Simples) Suponha que você é responsável pela elaboração de preços em uma loja de médio porte. Sabendo que uma peça custa R$5, 00 e que a loja trabalha com uma margem de lucro de 80%, qual deverá ser o preço de venda dessa peça? Basta encararmos o custo como uma aplicação e a margem de lucro como a taxa de juros, então: M = A + J M = A + (i A) M = A (1 + i) (18) M = A (1 + i) M = 5, 00 (1, 8) = 9, 00 (19) Portanto o preço de venda será de R$9, 00. (faça na calculadora) Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 23 / 1

Rendimentos Simples Rendimentos Simples Exemplo (Rendimentos Simples) Sabemos que uma certa peça automobilística é produzida com o custo (de produção) no valor de R$50, 00. Para vender essa peça, feita no Estado de São Paulo, para uma montadora no Rio Grande do Sul, é necessário pagar 17% de ICMS e 10% de IPI para o governo. Se a margem de lucro da indústria é de 30% para cada peça, qual o seu valor de venda? Comporemos o preço nal de venda passo a passo: ICMS: 0, 17 50, 00 = 8, 5 IPI: 0, 1 50, 00 = 5, 00 Lucro: 0, 3 50, 00 = 15, 00 Enm, temos que o preço nal de venda deve ser de: P nal = 50, 00 + 8, 5 + 5, 00 + 15, 00 = 78, 50. Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 24 / 1

Descontos Simples Descontos Simples Exemplo (Descontos Simples) Suponha que você é responsável pelas negociações de uma empresa de médio porte. Sabendo que uma peça custa R$9, 00 para o consumidor nal e que você aceitou um desconto de 8%, qual deverá ser o valor pago pelo consumidor? Basta encararmos o custo como uma aplicação e o desconto como a taxa de juros, então: M = A J M = A (i A) M = A (1 i) (20) M = A (1 i) M = 9, 00 (0, 92) = 8, 28 (21) Portanto o preço a ser pago será de R$8, 28. (faça na calculadora) Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 25 / 1

Exercícios Exercícios Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 26 / 1

Exercícios Exercícios - Respostas Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 27 / 1

Exercícios Exercícios 07. Considere as suposições de cada item abaixo: (a) Imagine uma empresa que deverá funcionar 25 dias por mês, com atendimento 10 horas por dia. Considere uma margem de lucro de 20% a.m.. Estabeleça uma retirada líquida mnsal de R$1000, 00 para o sustento (lucro, monetariamente falando). (b) Com a retirada de R$1000, 00 por mês, qual o lucro diário que a empresa deve ter? (c) Com base nos cálculos já feitos, qual deverá ser o valor real de venda da empresa em um dia de trabalho? 08. Ao invés de vender os totais calculados no item anterior, suponha que você consiga vender: 1 a Semana: R$100, 00 por dia; 2 a Semana: R$150, 00 por dia; 3 a Semana: R$250, 00 por dia; 4 a Semana: R$280, 00 por dia; Qual será o resultado obtido no nal do mês? Conclua se a abertura de um novo negócio é viável ou não. Prof. Me. Edgard Lourenço Jr. Introdução à Matemática Financeira 13 de março de 2015 28 / 1