Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP
Complexidade 2002/03 1 Teoria de Conjuntos Um conjunto é uma colecção de objectos/elementos/membros. (Cantor 1895) lista de elementos entre chavetas: S = {a, b, c, d} = {b, c, a, d} especificado usando predicados S = {x : P (x)} S = {1, 2, 3, 4,...} x é um elemento de S (ou x pertence a S) x S
Complexidade 2002/03 2 Conjuntos: exemplos {1, {1}}. R = reais. R = naturais = {1, 2, 3, 4,...} Z = inteiros = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Z + = inteiros positivos. {x R : 2 < x < 5}.
Complexidade 2002/03 3 Subconjuntos Definição: Um conjunto A é um subconjunto do conjunto B (A B) sse x(x A x B) O conjunto A é um subconjunto de si mesmo. Definição: O conjunto vazio,, é o único conjunto que não contém elementos. (x é sempre falso!) x(x x B) logo é um subconjunto de qualquer conjunto.
Complexidade 2002/03 4 Subconjuntos Definição: Se A B e A B então A é um subconjunto próprio de B A B. Definição: o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A é chamado o conjunto das partes de A (P (A)). Exemplo: Se A = {a, b} então P (A) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Exercícios: Seja A = {1, 2, 5, 7}, B = {1, 5} e C = {3, 7}. (a) B A? (b) C A? (c) B B?
Complexidade 2002/03 5 Cardinalidade Definição: o número de elementos (distintos!) em A, A, é chamado a cardinalidade de A. Se a cardinalidade de um conjunto é um número natural (N), então o conjunto é finito caso contrário é infinito. Exemplo: Se A = {a, b} então {a, b} = 2 e P (A) = 4. Nota 1: se A = n, então P (A) = 2 n. Nota 2: Conjuntos podem ser elementos e subconjuntos de outros conjuntos. Cuidado com o uso de e!
Complexidade 2002/03 6 Produto cartesiano de conjuntos Definição: o produto cartesiano de o conjunto A com o conjunto B, A B, é o conjunto de pares ordenados {(a, b) : a A b B}. Definição: o produto cartesiano dos conjuntos A 1, A 2,..., A n, A 1 A 2... A n, é o conjuntos de todos os ntuplos ordenados {(a 1, a 2,..., a n ) : a 1 A 1, a 2 A 2... a n A n }. Exemplo: Seja A = {a, b} e B = {1, 2, 3}. A B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}. (a) Determine B A e A B A. (b) Determine A B. Exercício: Se A = m e B = n, determine A B.
Complexidade 2002/03 7 Operações sobre conjuntos O cálculo proposicional e a teoria de conjuntos são ambos instâncias de um sistema algébrico chamado Álgebra Booleana. As operações na teoria de conjuntos são definidas em termos do operador correspondente no calculo proposicional.
Complexidade 2002/03 8 Igualdade Definição: Dois conjuntos A e B são iguais, A = B, se e só se x(x A x B) ou ou A = B se e só se x[(x A x B) (x B x A)] A = B se e só se A B e B A
Complexidade 2002/03 9 Definições (A e B conjuntos) 1. A união entre A e B, A B, é o conjunto {x : x A x B} 2. A intersecção entre A e B, A B, é o conjunto {x : x A x B} 3. O complemento de A, A (A c ), é o conjunto {x : x A 4. A diferença entre A e B (ou complemento de B relativamente a A), A B, é o conjunto A B.
Complexidade 2002/03 10 Exemplo Seja U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8}. Então: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A B = {4, 5}. A = {0, 6, 7, 8, 9, 10}. A B = {1, 2, 3}.
Complexidade 2002/03 11 Conjuntos: propriedades 1. Para todo o conjunto A e B; A B A e A B B. 2. Para todo o conjunto A e B; A A B e B A B. 3. Para todo o conjunto A, B e C; se A B e B C, então A C. 4. Para todo o conjunto A e B; A B = A B. 5. Para todo o conjunto A e B; A B = A B.
Complexidade 2002/03 12 Conjuntos: propriedades 1. Comutatividade: para todo o conjunto A e B; A B = B A e A B = B A. 2. Associatividade: para todo o conjunto A, B e C; A (B C) = (A B) C e A (B C) = (A B) C. 3. Distributividade: para todo o conjunto A, B e C; A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C). 4. Complemento duplo: para todo o conjunto A, A = A. 5. Idempotência: para todo o conjunto A, A A = A e A A = A.
Complexidade 2002/03 13 Provas... Exercício: Mostre que A B = A B. Prova: Vamos mostrar que x(x A B) x A B Começamos por aplicar a seguinte regra de inferência Instanciação Universal Numa prova podemos eliminar o quantificador universal que afecta uma variável se assumirmos que a variável é um elemento arbitrario do domínio. Tratamos o predicado resultante como uma proposição.
Complexidade 2002/03 14 Provas... Assumimos Seja x um elemento arbitrario do domínio x A B x (A B) Def. de Complemento x (A B) (x (A B)) Def. de (x A x B)) Def. de união x A x B Leis de DeMorgan x A x B Def. de x A x B Def. de complemento x (A B) Def. de intersecção Logo é uma tautologia x A B x A B
Complexidade 2002/03 15 Provas... Como x é arbitrario usamos equivalências lógicas, asserções e definições podemos aplicar outra regra de inferência chamada Generalização Universal Podemos aplicar um quantificador universal para ligar uma variável se mostramos que o predicado é válido para todas as variáveis no universo. e afirmar que a asserção é válida para todo o x, i.e., x(x A B) x A B
Complexidade 2002/03 16 Conjunto vazio Definição: O conjunto vazio,, é o único conjunto que não contém elementos. Nota: para provar que um conjunto A é igual ao conjunto vazio, mostre que A não contém elementos. Para o fazer, suponha que A contém um elemento e deduza uma contradição. Teorema: Para todo o conjunto A, A =.
Complexidade 2002/03 17 Prova Seja A um conjunto (fixo, mas genericamente escolhido), para mostrar que A = basta mostrar que A não contém nenhum elemento. Suponhamos que x (A ), por definição de intersecção x A e x. Em particular x, o que é impossível por definição de. Esta contradição mostra que a hipótese de existir um x (A ) é falsa. Logo A não contém elementos e A =.
Complexidade 2002/03 18 Exercícios Das seguintes afirmações idenfifique as verdadeiras: (a) 2 {1, 2, 3} (b) {2} {1, 2, 3} (c) 2 {1, 2, 3} (d) {2} {1, 2, 3} (e) {2} {{1}}, {{2}} (f) {2} {{1}}, {{2}} Mostre que para todo o conjunto A e B, A B A. Mostre que para todo o conjunto A e B, A B = A B. Mostre que para todo o conjunto A,B e C (A B) C = (A C) (B C).