Progressão Aritmética - Questões Extras Exercícios 1. A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é a) 40320. b) 38160. c) 37920. d) 7200. e) 3600. 2. No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será de Lembre-se de que: Permutação com repetição k 1,k 2,k 3,... n! Pn k 1!k 2!k 3!... a) 180. b) 160. c) 140. d) 120. e) 100. 3. O número de candidatos inscritos para realização do último vestibular de verão, em um determinado curso, corresponde ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR que começam por VE e terminam por AR. Esse número é igual a: a) 120. b) 240. c) 360. d) 540. e) 720. 4. Newton possui 7 livros distintos, sendo 3 de Álgebra, 2 de Cálculo e 2 de Geometria. O número de maneiras diferentes que Newton pode organizar esses livros em uma estante, de forma que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos, é a) 24 b) 36 c) 56 d) 72 e) 144 5. Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A a B é: a) 40.320 b) 6.720 c) 256 d) 120 e) 56 6. Um banco está testando um novo produto e disponibilizou a alguns dos seus clientes acesso via internet para esse produto, por meio de senhas compostas por cinco vogais distintas e dois números pares distintos, de 2 a 8, nessa ordem, ou seja, primeiro as vogais e depois os números. O número de clientes que podem acessar esse novo produto, via internet, é: a) 22. b) 3.520. c) 1.440. d) 180. e) 920. 7. No Brasil, os veículos de pequeno, médio e grande porte que se movimentam sobre quatro ou mais pneus são identificados com placas alfanuméricas que possuem sete dígitos, dos quais três são letras do alfabeto português e quatro são algarismos de 0 a 9. inclusive estes. Quantos desses veículos podem ser emplacados utilizando somente letras vogais e algarismos pares? a) 78625. b) 78125. c) 80626. d) 80125. 8. Genius era um brinquedo muito popular na década de 1980 (...). O brinquedo buscava estimular a memorização de cores e sons. Com formato semelhante a um OVNI, possuía 4 botões de cores distintas que emitiam sons harmônicos e se iluminavam em sequência. Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar. Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Adaptado).
d) 36 e) 60 Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão acender de forma aleatória e em sequência, podendo cada cor acender mais de uma vez. O número máximo de formas que essa sequência de 3 luzes poderá acender é: a) 12. b) 24. c) 36. d) 64. 9. Um palíndromo ou capicua é um número, que se lê da mesma maneira nos dois sentidos, ou seja, da esquerda para a direita ou ao contrário, como 333, 1661 e 28482. Assinale a alternativa correspondente à quantidade de palíndromos que são números pares de cinco algarismos do nosso sistema de numeração. a) 300 b) 400 c) 500 d) 600 e) 800 10. Um auditório em forma de um salão circular dispõe de 6 portas, que podem ser utilizadas tanto como entrada ou para saída do salão. De quantos modos distintos uma pessoa que se encontra fora do auditório pode entrar e sair do mesmo, utilizando como porta de saída uma porta diferente da que utilizou para entrar? a) 6 b) 5 c) 12 d) 30 e) 36 11. De acordo com o DETRAN de uma certa cidade, ainda estão disponíveis os prefixos de placa de automóveis com três letras, conforme modelo a seguir: M Se estiverem disponíveis para o 2º espaço as letras X, Y e Z, e para o 3º espaço as letras letras A, B, C, D, E, F, G e H, então o número de prefixos disponíveis para emplacamento é: a) 18 b) 24 c) 28 12. Uma montadora de carros oferece a seus clientes as seguintes opções na montagem de um carro: 2 tipos de motores (1.8 ou 2.0), 2 tipos de câmbios (manual ou automático), 6 cores (branco, preto, vermelho, azul, cinza ou prata) e 3 tipos de acabamento (simples, intermediário ou sofisticado). De quantas maneiras distintas pode-se montar esse carro? a) 4 b) 13 c) 24 d) 36 e) 72 13. A vendedora de roupas está arrumando os cabides da vitrine de uma loja. Ela deve pendurar 5 camisas, 3 bermudas e 2 casacos na vitrine, de modo que cada peça fique uma do lado da outra sem sobreposição. Quantas são as disposições possíveis nessa arrumação, de modo que as peças de um mesmo tipo fiquem sempre juntas, lado a lado na vitrine? a) 30 b) 120 c) 1.440 d) 4.320 e) 8.640 14. Um fotógrafo foi contratado para tirar fotos de uma família composta por pai, mãe e quatro filhos. Organizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos entre os pais. Mantida essa configuração, o número de formas em que poderão se posicionar para a foto é a) 4 b) 6 c) 24 d) 36 e) 48 15. Numa lanchonete o lanche é composto por três partes: pão, molho e recheio. Se essa lanchonete oferece aos seus clientes duas opções de pão, três de molho e quatro de recheio, a quantidade de lanches distintos que ela pode oferecer é de a) 9 b) 12 c) 18 d) 24 16. Dispondo de cinco cores distintas, uma pessoa pretende pintar as letras da palavra de acordo com os seguintes critérios:
- na palavra, letras que são equidistantes da letra T terão a mesma cor; - letras adjacentes serão pintadas de cores distintas, e - cada letra será pintada com uma única cor. O número de modos distintos de se realizar essa pintura é a) 120. b) 90. c) 80. d) 50. e) 40. 17. Preparando-se para a sua festa de aniversário de sessenta anos, uma senhora quer usar três anéis de cores diferentes nos dedos das mãos, um anel em cada dedo. De quantos modos diferentes pode colocá-los, se não vai por nenhum anel nos polegares? 18. Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos eles podem sentar, respeitadas as preferências? a) Um número inteiro maior que 40000. b) Um número inteiro entre 167 e 40000. c) Exatamente 166. d) Um número inteiro menor que 100. e) Exatamente 40000. 19. Uma melodia é uma sequência de notas musicais. Para compor um trecho de três notas musicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é: a) 3 b) 21 c) 35 d) 210 e) 5040 20. Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555 21. Um aparelho eletrônico é composto das peças A, B e C, cujos preços, em reais, nas lojas L1, L2 e L3 estão na tabela a seguir. A B C L1 100 600 1200 L2 210 500 1100 L3 150 x 900 Se a loja L3 não vende a peça B, então, o número de maneiras para montar esse aparelho com um custo máximo de R$ 1.930,00 é a) 10 b) 13 c) 16 d) 20 22. Duzentos e cinquenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5 questões de múltipla escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única resposta correta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada questão, uma única resposta, pode-se afirmar que pelo menos: a) Um candidato errou todas as respostas. b) Dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas. c) Um candidato acertou todas as respostas. d) A metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas. e) A metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas. 23. O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é a) 9.400. b) 9.600. c) 9.800. d) 10.200. e) 10.800. 24. Um grupo de amigos, ao planejar suas férias coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem conhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no interior do país. O critério estabelecido foi de alternar as férias, em cada ano, ora em cidades litorâneas, ora, em interioranas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será visitada uma cidade diferente por ano. Desse modo, a quantidade de maneiras possíveis para atender a esse critério é a) 2.3.11. b) 2 2.3.11. c) 2.3 2.11. d) 2 8.3 4.5 2. e) 2 9.3 4.5 2.
25. De quantas maneiras podemos enfileirar 5 mulheres e 3 homens de tal modo que os 3 homens permaneçam juntos? a) 8! b) 6! c) 6!3! d) 7! e) 9! 26. No restaurante italiano Ingiusto, os garçons colocam os pedidos dos clientes à cozinha uns sobre os outros de modo que eles formam uma pilha de pedidos. Cada novo pedido que chega é colocado no topo da pilha. O pessoal da cozinha, quando se vê livre para pegar um novo pedido, pega sempre o pedido que está no topo da pilha. Em determinado dia, durante a primeira hora de funcionamento do restaurante, foram feitos e atendidos quatro pedidos de clientes. Suponha que eles tenham sido numerados e que foram colocados na pilha, na ordem 1, 2, 3, 4. Das sequências a seguir, aquela que pode representar a ordem em que esses pedidos foram pegos pelo pessoal da cozinha é a) 1, 3, 2, 4 b) 2, 4, 1, 3 c) 4, 2, 1, 3 d) 3, 4, 1, 2 e) 4, 1, 2, 3 27. Em cada ingresso vendido para um show de música, é impresso o número da mesa onde o comprador deverá se sentar. Cada mesa possui seis lugares, dispostos conforme o esquema a seguir. O lugar da mesa em que cada comprador se sentará não vem especificado no ingresso, devendo os seis ocupantes entrar em acordo. Os ingressos para uma dessas mesas foram adquiridos por um casal de namorados e quatro membros de uma mesma família. Eles acordaram que os namorados poderiam sentarse um ao lado do outro. Nessas condições, o número de maneiras distintas em que as seis pessoas poderão ocupar os lugares da mesa é a) 96. b) 120. c) 192. d) 384. e) 720. 28. Um profissional de design de interiores precisa planejar as cores que serão utilizadas em quatro paredes de uma casa, para isso possui seis cores diferentes de tinta. O número de maneiras diferentes que esse profissional poderá utilizar as seis cores nas paredes, sabendo-se que somente utilizará uma cor em cada parede, é: a) 24 b) 30 c) 120 d) 360 e) 400 29. Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo. Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja composta por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados apenas os números primos que aparecem no teclado? a) 6 b) 24 c) 80 d) 120 e) 720 30. Uma empresa escolherá um chefe para cada uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve ser escolhido entre os funcionários das respectivas repartições e não devem ser ambos do mesmo sexo. Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das repartições A e B. FUNCIONÁRIOS REPARTIÇÕES A Mulheres 4 7 Homens 6 3 De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos? a) 12. b) 24. c) 42. d) 54. e) 72. B
Gabarito: Resposta da questão 1: Considere o diagrama, no qual cada espaço em branco pode ser ocupado por no máximo uma vogal. _M_R _ C _N_ T _ Para que não haja vogais juntas, deve-se escolher 3 dos 6 espaços disponíveis para inserir as vogais E, E e A. Isso pode ser feito de 6 6! 20 maneiras. Definidos os espaços 3 3! 3! que serão ocupados pelas vogais, ainda (2) 3! podemos permutá-las de P3 3 modos. 2! Ademais, também é possível permutar as consoantes de P5 5! 120 maneiras. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 20 3 120 7200. Resposta da questão 2: Utilizando a permutação simples com repetição de elementos, pode-se escrever: 2;2 6! 6 5 4 3 2! 2;2 P6 P6 180 2! 2! 1! 1! 2! 2 1 Resposta da questão 3: Permutando as letras S, T, I, B, U, L, temos, uma permutação simples: VE AR P6 6! 6.5.4.3.2.1 720 Resposta da questão 4: Tem-se P3 3! maneiras de dispor os três blocos de livros, P3 3! modos de organizar os livros de Álgebra, P2 2! maneiras de dispor os livros de Cálculo e P2 2! modos de dispor os livros de Geometria. Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 3! 3! 2! 2! 144. Resposta da questão 5: α, β, θ,... n! 5,3 8! Pn P8 56 α! β! θ!... 5! 3! Resposta da questão 6: Considerando as vogais: a, e, i, o e u; existem P5 5! modos de dispor as vogais, 4 modos de escolher o primeiro algarismo par e 3 modos de escolher o segundo algarismo par. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 5! 4 3 1.440. Resposta da questão 7: Considerando como vogais apenas as letras a, e, i, o e u, há 5 possibilidades para cada letra e 5 possibilidades para cada algarismo. Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, 7 segue que a resposta é 5 78125. Observação: O item não considera o acordo ortográfico vigente. Resposta da questão 8: Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 4 4 4 64. Resposta da questão 9: Desde que o algarismo das unidades deve ser par e diferente de zero, temos 4 maneiras de escolher esse algarismo. Portanto, como existem 10 possibilidades para o algarismo das dezenas e 10 maneiras de escolher o algarismo das centenas, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 4 10 10 400. Resposta da questão 10: Princípio Fundamental da Contagem 6 5 30 entrar sair Resposta da questão 11: Com base no enunciado, pode-se deduzir: M 3 possibili dades 8 possibili dades Logo, o nϊmero total de possibilidades de prefixos serα de 3 8 24.
Resposta da questão 12: O resultado será o produto do número de opções para cada item. 2 2 6 3 72 Resposta da questão 13: Supondo que as peças de um mesmo grupo (camisas, bermudas e casacos) sejam distinguíveis, há P5 5! 120 maneiras de arrumar as camisas, P3 3! 6 modos de arrumar as bermudas e P2 2! maneiras de arrumar os casacos. Além disso, ainda podemos arrumar os 3 grupos de P3 3! 6 modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado pedido é 120 6 2 6 8640. Resposta da questão 14: Há 2 possibilidades para o posicionamento dos pais e P4 4! 24 modos de posicionar os filhos. Desse modo, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado é 2 24 48. Resposta da questão 15: Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 2 3 4 24. Resposta da questão 16: Existem 5 maneiras de escolher a cor da letra T, 4 modos de escolher a cor das letras A e E, e 4 maneiras de escolher a cor das letras F e C. Por conseguinte, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 5 4 4 80. Resposta da questão 17: 8. 7. 6 = 336 Resposta da questão 18: = 43200 Resposta da questão 19: 7 6 5 210 Resposta da questão 20: Todas as senhas possíveis 5.5.5.5 = 625 senhas com o 1 seguido pelo 3 = 74 Senhas possíveis = 625 74 = 551 Resposta da questão 21: Fazendo 3.2.3 = 18, encontramos 18 possibilidades para a montagem do aparelho. Em apenas duas situações a montagem fica mais cara que 1930 (L2, L1, L1 e L3, L1, L1). Fazendo 18 2, temos 16 possibilidades. Resposta da questão 22: Resposta da questão 23: Resposta da questão 24: Temos duas sequências possíveis (I = interior e L = litoral) I L I L I L I L I L I L ou L I L I L I L I L I L I Em números, temos: 2.6.6.5.5.4.4.3.3.2.2.1.1 = 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2 = 2 9.3 4.5 2. Resposta da questão 25: Considerando os 3 homens como sendo uma única pessoa, teríamos a permutação de 6 pessoas. Além disso, ainda podemos permutar os 3 homens entre si. Portanto, o resultado pedido é dado por P6 P3 6! 3! Resposta da questão 26: A sequência 2, 4,1, 3 não pode ocorrer, pois após o pedido 4 ser retirado, o próximo pedido seria o 3.
A sequência 4, 2,1, 3 não pode ocorrer, pelo mesmo motivo da sequência 2, 4,1, 3. A sequência 3, 4,1, 2 não pode ocorrer, já que o próximo pedido a ser retirado após o 4 seria o 2. A sequência 4,1, 2, 3 não pode ocorrer, pelo mesmo motivo das sequências 2, 4,1, 3 e 4, 2,1, 3. Portanto, a única sequência correta é 1, 3, 2, 4. Resposta da questão 27: Existem 2 maneiras de escolher um dos lados da mesa. Escolhido o lado, os três lugares que o casal e um dos membros da família irão ocupar podem ser definidos de P2 2! 2 maneiras. O casal ainda pode trocar de lugar de P2 2! 2 modos, e a família pode ocupar os 4 lugares de P4 4! 24 maneiras. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado pedido é dado por 2 2 2 24 192. Resposta da questão 28: Existem 6 modos de escolher a cor da primeira parede, 5 para escolher a cor da segunda, 4 de escolher a cor da terceira e 3 de escolher a cor da quarta. Portanto, pelo PFC, existem 6 5 4 3 360 maneiras de pintar as paredes de modo que cada uma tenha uma cor distinta. Resposta da questão 29: Números primos do teclado: 2, 3, 5 e 7. Número de senhas: 4.3.2.1 = 24. Resposta da questão 30: Existem 4 maneiras de escolher uma mulher da repartição A, e 3 maneiras de escolher um homem da repartição B. Logo, pelo PFC, existem 4 3 12 modos de escolher uma mulher da repartição A e um homem da repartição B. Por outro lado, existem 6 maneiras de escolher um homem da repartição A, e 7 maneiras de escolher uma mulher da repartição B. Assim, existem 6 7 42 modos de escolher um homem da repartição A e uma mulher da repartição B. Por conseguinte, é possível ocupar os dois cargos de 12 42 54 maneiras.