Física 1 Mecânica Sandra Amato Instituto de Física - UFRJ Informações Gerais Vetores 29/08/2016 1/ 36 (Vetores) Física 1 29/08/2016 1 / 34
Outline 1 Informações Gerais do curso 2 Introdução 3 Vetores 2/ 36 (Vetores) Física 1 29/08/2016 2 / 34
Informações Gerais do curso Professora: Sandra Amato, sandra@if.ufrj.br, sala A-318 e-mail da Coordenação: fisica1@if.ufrj.br Site do Curso: http://fisica1.if.ufrj.br Cronograma, ementa, turmas, monitoria, lista de exercícios, guia do estudante, salas de prova e Avisos Importantes Livros-texto: M. Nussenzveig Sears & Zemansky, Young & Freedman 3/ 36 (Vetores) Física 1 29/08/2016 3 / 34
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Bibliografia Física I - Mecânica Sears & Zemansky, Young & Freedman - 12a. Edição Curso de Física Básica 1 - Mecânica H. Moysés Nussenzweig - Ed. Edgar Blücher LTDA Fundamentos de Física - Volume 1 - Mecânica Halliday-Resnick-Walker 8a. Edição - LTC Grupo GEN Física - Um curso universitário - Volume 1 - Mecânica Marcelo Alonso & Edward J. Finn - Ed. Edgar Blücher Física 1 Halliday-Resnick - Krane 4a. Edição - LTC 5/ 36 (Vetores) Física 1 29/08/2016 5 / 34
Critério de Avaliação Duas Provas do Unificado (P1 e P2), 5 Testes em sala antes da P1 (T1), 5 antes da P2 (T2), Oficinas de exercícios, 4 Testes realizados no AVA (TA) INSCREVAM-SE N 1 0 8 P1 0 2 T 1 N 2 0 8 P2 0 2 T 2 Média Parcial: MP = (N1 + N2)/2 Serão consideradas as 4 maiores notas dos 5 Testes em sala. Não há segunda chamada de teste. As Oficinas poderão somar até 1 ponto nas notas dos testes. A nota obtida em todos os Testes do AVA somará 0,5 à MP. Só quem fizer P1 e P2 terá a nota do AVA considerada Se MP 7 OU N1 6EN2 6 : APROVADO Se MP 3 : REPROVADO Se 3 MP 7: PROVA FINAL. Neste caso a Nota Final é NF = (MP + PF)/2 Se NF 5 : APROVADO, senão REPROVADO Presença obrigatória em 75% do curso (8 faltas) 6/ 36 (Vetores) Física 1 29/08/2016 6 / 34
Informações Gerais do curso Segunda Chamada Para alunos que faltarem a 1 prova A PF substitui a prova perdida (TA não é considerado) A Segunda Chamada substitui a Prova Final Alunos que faltarem a mais de uma prova estão automaticamente reprovados Alunos com Inscrição irregular Deverão procurar a sua secretaria de graduação e regularizar a situação no SIGA. Enquanto não estiver regular, sua nota não será divulgada. Datas das Provas P1: 10/10 17:15h P2: 28/11 17:15h PF: 12/12 17:15h SC: 21/12 10:00h 7/ 36 (Vetores) Física 1 29/08/2016 7 / 34
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Monitoria 9/ 36 (Vetores) Física 1 29/08/2016 9 / 34
Informações Gerais do curso Vetores Cinemática 1D Cinemática 3D Leis de Newton Trabalho e Energia Leis de Conservação Potenciais e Energia Ementa P1 8/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 8 / 30
Informações Gerais do curso Ementa Momento Linear, Torque e Momento Angular de uma partícula Momento Linear e Impulso Sistema de Partículas Colisões Rotação Momento Angular, Gravitação Corpo Rígido Dinâmica de corpo rígido Rolamento P2 9/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 9 / 30
Dicas para o Sucesso Estudar muito, desde hoje, lendo o livro e fazendo os exercícios recomendados. Na página do curso serão colocadas listas de exercícios. Aprenda os conceitos e não tente decorar resoluções de problemas. Use a monitoria para tirar suas dúvidas imediatamente. 10/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 10 / 30
Sobre estes slides Não use estes slides como fonte de estudos. Eles são um guia apenas para a aula, não tem preocupação com formalismos, LEIA O LIVRO. Os slides estarão em http://sites.if.ufrj.br/sandra (que também pode ser acessado através do site de Física 1) Créditos: teammates Algumas figuras destes slides foram feitas pelos professores Armando Aleixo e Elvis Amaral, outras retiradas dos livros recomendados ou da internet. -ee-teeaet-eee3ts3_g3gzgg_ga 11/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 11 / 30
Introdução A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais. Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qual consideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades bem inferiores à velocidade da luz. CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade e aceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde a partícula estará em um outro tempo qualquer. DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e vizinhança do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemos determinar sua aceleração e assim descrever seu movimento. Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares : outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezas vetoriais: 12/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 12 / 30
Introdução A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais. Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qual consideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades bem inferiores à velocidade da luz. CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade e aceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde a partícula estará em um outro tempo qualquer. DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e vizinhança do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemos determinar sua aceleração e assim descrever seu movimento. Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares : tempo, massa,... outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezas vetoriais: 13/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 12 / 30
Introdução A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais. Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qual consideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades bem inferiores à velocidade da luz. CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade e aceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde a partícula estará em um outro tempo qualquer. DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e vizinhança do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemos determinar sua aceleração e assim descrever seu movimento. Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares : tempo, massa,... outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezas vetoriais: posição, velocidade,... 14/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 12 / 30
Sistema de Coordenadas Para descrever o movimento precisamos primeiramente escolher um referencial (observador), que será representado aqui pelos eixos cartesianos. Devemos também escolher a origem. Descrever o movimento significa dizer em que posição o objeto estará em qualquer instante de tempo, ou seja, queremos determinar o vetor posição r t. Podemos também obter os vetores velocidade v t eaceleraçãoa t. Precisamos de duas ferramentas matemáticas básicas: VETORES e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 15/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 13 / 30
Vetores Queremos descrever o deslocamento de uma partícula ao ir do ponto A ao ponto B. Precisamos de uma grandeza que tenha módulo direção e sentido. O vetor deslocamento r é representado por uma seta que se origina no ponto A e aponta para o ponto B. Este vetor nada nos diz sobre a trajetória da partícula. Todos os caminhos conectando A a B correspondem ao mesmo vetor deslocamento. 16/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 14 / 30
Vetores Para representar um vetor, usaremos uma única letra com uma seta em cima, p.ex. v. (Alguns livros usam a letra em negrito sem a seta v ) O vetor nulo é representado por 0. O módulo de um vetor é representado por A direção e sentido podem ser apresentadas graficamente:, ou especificando seu ângulo em relação a algum eixo de referência: 30 acima da horizontal ou utilizando os vetores unitários de um sistema de referência: r 2 3 v 17/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 15 / 30
Propriedades dos Vetores Para que uma grandeza seja um vetor, não basta ter módulo, direção e sentido. Ela deve obedecer a um certo número de propriedades: Igualdade de Vetores Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo, direção e sentido 18/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 16 / 30
Adição de Vetores - Método Gráfico : =: : O símbolo + não tem o mesmo significado que na álgebra. Temos que levar em conta a direção e o sentido dos vetores. 19/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 17 / 30
- Propriedades da Adição Comutatividade A B B A : = n Associatividade A B C A B C, =.. /. 20/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 18 / 30
.. Propriedades da Adição Vetor Oposto A A 0 Subtração A B A B 21/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 19 / 30
Multiplicação por um escalar Sendo um escalar positivo, o vetor A terá a mesma direção e sentido que A, eseumóduloserá A.Se 0,osentidode A será oposto ao de A. Um vetor A dividido pelo seu módulo, resulta em um vetor unitário de mesma direção e sentido que A. A A A 22/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 20 / 30
Componentes de um Vetor Se quisermos fazer operações com vetores onde é necessário uma melhor acurácia, ou em 3 dimensões, o método geométrico de adição não é adequado. Nesses casos (muito mais comuns) faremos uso de projeções de vetores em um sistema de coordenadas. Essas projeções são chamadas de componentes de um vetor. Iniciaremos com coordenadas cartesianas e duas dimensões. 23/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 21 / 30
Componentes de um Vetor O vetor A pode ser expresso como a soma de dois vetores A x e A y. A x (sem a seta) é a componente do vetor A na direção do eixo x. Podemos ver que: A x A cos A y A sen Note que as componentes podem ter sinal negativo. O módulo e a direção do vetor A são dados por: A A 2 x A 2 y tan A y A x 24/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 22 / 30
Vetores Unitários Os vetores são comumente descritos em termos de vetores unitários ao longo dos eixos cartesianos. Os vetores unitários têm o propósito de especificar a direção do vetor. ^ ^ ^ ^ A A x A y A x A y ^ 25/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 23 / 30
Em 3 dimensões A A x A y A z A x A y A z k A A 2 x A 2 y A 2 z 26/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 24 / 30
Adição de Vetores por componentes R A B A x A y B x B y R A x B x R x A y B y r 1 3 2 r 2 1 3 r 1 r 2 4 1 R y 27/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 25 / 30
Multiplicação de vetores Produto de um escalar por um vetor. vetor Produto escalar entre dois vetores. escalar Produto vetorial. vetor (veremos mais tarde) Produto de um escalar por um vetor Ex: se A A x A y A A x A y r 3 4 2r 6 8 28/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 26 / 30
Produto Escalar de Vetores Produto Escalar A B A B cos com 0 29/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 27 / 30
Produto Escalar de Vetores Algumas propriedades: Comutatividade: A B B A Módulo de um vetor: A A A 2 cos 0 A 2 A 2 ortogonalidade: A B A B 0 A x A A y A e A z k A 1 0 k 0 0 1 k 0 k 0 k 0 k k 1 (1) Sendo A A x A y A z k e B B x B y B z k temos A B A x B x A y B y A z B z (2) 30/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 28 / 30
Exercícios 1 Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30 a leste do norte. Represente os movimentos do carro em um diagrama vetorial e determine o vetor deslocamento total do veículo em relação ao ponto de partida. Qual seu módulo e direção? 2 (Exemplo 1.11) Ache o ângulo entre os dois vetores A 2 3 k e B 4 2 k. Determine o vetor A B 3 Uma roda de 45 cm de raio rola sem deslizar num piso horizontal. P é um ponto pintado na borda da roda. No tempo t 1, P está no ponto de contato entre a roda e o piso. Num tempo posterior t 2, a roda descreveu meia rotação. Qual é o vetor deslocamento de P entre os instantes t 1 e t 2? P : P P 31/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 29 / 30
1 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos num plano: 4 m para sudoeste, 5 m para leste e 6 m numa direção 60 ao norte do leste. Tome o eixo y na direção norte e o eixo x na direção leste e calcule (a) as componentes dos 3 deslocamentos, (b) as componentes dos deslocamentos resultantes, (c) o módulo e orientação do deslocamento resultante. 2 Seja um cubo de aresta a e um sistema de eixos OXYZ com origem em um vértice do cubo e eixos ao longo de três arestas. Escreva na base de unitários do sistema de eixos os vetores com ponto inicial no vértice na origem e pontos finais nos demais vértices. 32/ 32 (Vetores) Física 1 6/04/2016 30 / 30
Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30 a leste do norte. Represente os movimentos do carro em um diagrama vetorial e determine o vetor deslocamento total do veículo em relação ao ponto de partida. Qual seu módulo e direção? ' A ) O iii. = ^ TT = 50 burn 5 ' = zokmf E ' = 25 sen 30 a + 25 cos 30 J tits = ( 50+25 +2 sushi + ( 30+25 cos so ) I = 62.5 km I + 51.6 km f 1 / = 6252+51.6 # = 81 km > > tg O = d- = 0.8 O = 40 dx 32/ 31 (Vetores) Física 1 6/04/2016 30 / 29
Ache o ângulo entre os dois vetores A 2 3 k e B 4 2 k. Determine o vetor A B 1 E - 3 17 a ' = 2 i + 3 J the ' - 4 a +2J 5 = E '. 5 = - k ' 1 151 cos o A- ' 5 ' Ax Bse + = Ay By + Az Bz. cos O = cost = - 8 An Bu + AY By + Ag By / 1 lie 't 1 - + 6 4. it - = 0. 17.1 = 4+q+ M = # m ' 15 ' I = l6+4+t= it 33/ 31 (Vetores) Física 1 6/04/2016 31 / 29
Uma roda de 45 cm de raio rola sem deslizar num piso horizontal. P é um ponto pintado na borda da roda. No tempo t 1, P está no ponto de contato entre a roda e o piso. Num tempo posterior t 2, a roda descreveu meia rotação. Qual é o vetor deslocamento de P entre os instantes t 1 e t 2? P DID > P P III = LTRPTKRJT =14i2+9T = -= TR tgo 21=0.69 0=32. 167.2cm so 34/ 31 (Vetores) Física 1 6/04/2016 32 / 29