Física 1 Mecânica. Instituto de Física - UFRJ

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1 Física 1 Mecânica Sandra Amato Instituto de Física - UFRJ Informações Gerais Vetores 13/03/2019 1/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

2 Outline 1 Informações Gerais do curso 2 Introdução 3 Vetores 2/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

3 Informações Gerais do curso Professora: Sandra Amato, sala A-318 Coordenador: Rodrigo Sacramento Site do Curso: Cronograma, ementa, turmas, monitoria, lista de exercícios, guia do estudante, salas de prova e Avisos Importantes Livros-texto: M. Nussenzveig Sears & Zemansky, Young & Freedman 3/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

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5 Bibliografia Física I - Mecânica Sears & Zemansky, Young & Freedman - 12a. Edição Curso de Física Básica 1 - Mecânica H. Moysés Nussenzweig - Ed. Edgar Blücher LTDA Fundamentos de Física - Volume 1 - Mecânica Halliday-Resnick-Walker 8a. Edição - LTC Grupo GEN Física - Um curso universitário - Volume 1 - Mecânica Marcelo Alonso & Edward J. Finn - Ed. Edgar Blücher Física 1 Halliday-Resnick - Krane 4a. Edição - LTC 5/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

6 Critério de Avaliação Três Provas P1, P2 e P3 Obrigatórias. Questões de Múltipla escolha e discursivas. Realizadas de 17:15 às 19:15 Se faltar a uma delas (com justificativa), a segunda chamada (SC) substitui essa nota. Se faltar a mais de uma, reprovado com média 0,0 Ponto Extra (PE) na média: 3 testes opcionais (TA1, TA2, TA3) realizados no AVA (TA) INSCREVAM-SE. PE = TA1 + TA2 + TA3 pode valer até 0,3 na média. Média final: P1 P2 2 P3 MF PE 4 Se MF 5,0 : APROVADO Bemvindo às demais físicas do Universo! Se MF 5 0 : REPROVADO Mecânica é fundamental! Aprenda! Presença obrigatória em 75% do curso (7 faltas) 6/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

7 Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) Plataforma moodle: Siga as instruções do site para se cadastrar (Todos! mesmo que no passado você já tenha se cadastrado): Clicar em Esqueceu seu nome de usuário ou senha? Utilizar o mesmo login que você utiliza no SIGA (CPF?) Será enviada a sua senha (Não, não é a mesma do SIGA!) Após ter acesso, ache a Física1 no seguinte caminho: Cursos Graduação Física 1 e 1A ou podem buscar pelos códigos FIT111 e FIT112 Apalavrachaveparaacessoé:Newton 7/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

8 Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) Plataforma moodle: Além dos testes, possui informações importantes: Cronograma, avisos, forum de dúvidas, arquivos das aulas, material complementar Testes no AVA (TA): Cada TA possui 4 questões objetivas. Pode valer 0,1, caso acerte 3 ou, zero caso contrário. disponíveis para serem feitos durante um período de 2 dias (Não deixem para a última hora, o sistema pode ficar sobrecarregado e cair) Após iniciados haverá um número máximo de 1 hora corrida para serem completados As questões serão sorteadas entre os alunos 8/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

9 Informações Gerais do curso Vista de Prova deve ser solicitada através de formulário Segunda Chamada (SC) Para alunos que faltarem a apenas 1 prova Deve ser entregue justificativa (médica, etc) ao coordenador antes da realização da prova A nota da SC substitui a da prova que o aluno faltou. Horário: 10h Alunos com Inscrição irregular Procurar a sua secretaria de graduação e regularizar a situação no SIGA. Só após a regularização é que sua nota será divulgada. Datas das Provas P1: 15/4 17:15h P2: 20/5 17:15h P3: 24/6 17:15h SC: 10/7 10:00h 9/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

10 Ementa Vetores Cinemática 1D (Cap 2) Cinemática 2D e 3D (Cap 3) Leis de Newton (Cap 4 e 5) P1 Trabalho e Energia Mecânica (Cap 6 e 7) Momento Linear e Impulso Sistema de Partículas e Colisões (Cap 8 e 9) P2 Rotação e Momento Angular (Cap 11) Dinâmica de corpo rígido, Rolamento (Cap 12) P3 10/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

11 Dicas para o Sucesso Estudar muito, desde hoje, lendo o livro e fazendo os exercícios recomendados. Na página do curso serão colocadas listas de exercícios. Aprenda os conceitos e não tente decorar resoluções de problemas. Use a monitoria para tirar suas dúvidas imediatamente. Confira os diversos horários disponíveis. grupos de estudo podem ajudar 11/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

12 Sobre estes slides Não use estes slides como fonte de estudos. Eles são um guia apenas para a aula, não tem preocupação com formalismos, LEIA O LIVRO. Os slides estarão em (que também pode ser acessado através do site de Física 1) Créditos: Algumas figuras destes slides foram feitas pelos professores Armando Aleixo e Elvis Amaral, outras retiradas dos livros recomendados ou da internet. 12/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

13 Introdução A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais. Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qual consideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades bem inferiores à velocidade da luz. CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade e aceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde a partícula estará em um outro tempo qualquer. DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e vizinhança do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemos determinar sua aceleração e assim descrever seu movimento. Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares : outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezas vetoriais: 13/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

14 Introdução A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais. Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qual consideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades bem inferiores à velocidade da luz. CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade e aceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde a partícula estará em um outro tempo qualquer. DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e vizinhança do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemos determinar sua aceleração e assim descrever seu movimento. Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares : tempo, massa,... outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezas vetoriais: 14/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

15 Introdução A Mecânica trata da análise do movimento de corpos materiais. Na Física 1 vamos nos restringir à mecânica clássica newtoniana, na qual consideramos apenas corpos macroscópicos com velocidades bem inferiores à velocidade da luz. CINEMÁTICA: Descrição do movimento, dados a posicão, velocidade e aceleração em um instante de tempo, podemos determinar onde a partícula estará em um outro tempo qualquer. DINÂMICA: Causas do movimento, conhecendo a massa e vizinhança do objeto em questão, ou seja, as forças que atuam sobre ele, podemos determinar sua aceleração e assim descrever seu movimento. Algumas grandezas envolvidas na descrição do movimento são escalares : tempo, massa,... outras necessitam de informações como direção e sentido - grandezas vetoriais: posição, velocidade,... 15/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

16 Sistema de Coordenadas Para descrever o movimento precisamos primeiramente escolher um referencial (observador), que será representado aqui pelos eixos cartesianos. Devemos também escolher a origem. Descrever o movimento significa dizer em que posição o objeto estará em qualquer instante de tempo, ou seja, queremos determinar o vetor posição r t. Podemos também obter os vetores velocidade v t eaceleraçãoa t. Precisamos de duas ferramentas matemáticas básicas: VETORES e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 16/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

17 Vetores Queremos descrever o deslocamento de uma partícula ao ir do ponto A ao ponto B. Precisamos de uma grandeza que tenha módulo direção e sentido. O vetor deslocamento r é representado por uma seta que se origina no ponto A e aponta para o ponto B. Este vetor nada nos diz sobre a trajetória da partícula. Todos os caminhos conectando A a B correspondem ao mesmo vetor deslocamento. 17/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

18 Vetores Para representar um vetor, usaremos uma única letra com uma seta em cima, p.ex. v. (Alguns livros usam a letra em negrito sem a seta v ) O vetor nulo é representado por 0. O módulo de um vetor é representado por A direção e sentido podem ser apresentadas graficamente:, ou especificando seu ângulo em relação a algum eixo de referência: 30 acima da horizontal ou utilizando os vetores unitários de um sistema de referência: r 2 3 v 18/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

19 Propriedades dos Vetores Para que uma grandeza seja um vetor, não basta ter módulo, direção e sentido. Ela deve obedecer a um certo número de propriedades: Igualdade de Vetores Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo, direção e sentido Eb. 19/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

20 Adição de Vetores - Método Gráfico, a : I O símbolo + não tem o mesmo significado que na álgebra. Temos que levar em conta a direção e o sentido dos vetores. 20/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

21 Propriedades da Adição Comutatividade A B B A or a Associatividade A B C A B C r e r a is a 21/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

22 Propriedades da Adição Vetor Oposto A A 0 Subtração A B A B 22/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

23 Multiplicação por um escalar Sendo um escalar positivo, o vetor A terá a mesma direção e sentido que A, eseumóduloserá A.Se 0,osentidode A será oposto ao de A. Um vetor A dividido pelo seu módulo, resulta em um vetor unitário de mesma direção e sentido que A. A A A 23/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

24 Componentes de um Vetor Se quisermos fazer operações com vetores onde é necessário uma melhor acurácia, ou em 3 dimensões, o método geométrico de adição não é adequado. Nesses casos (muito mais comuns) faremos uso de projeções de vetores em um sistema de coordenadas. Essas projeções são chamadas de componentes de um vetor. Iniciaremos com coordenadas cartesianas e duas dimensões. 24/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

25 Componentes de um Vetor O vetor A pode ser expresso como a soma de dois vetores A x e A y. A x (sem a seta) é a componente do vetor A na direção do eixo x. Podemos ver que: A x A cos A y A sen Note que as componentes podem ter sinal negativo. O módulo e a direção do vetor A são dados por: A A 2 x A 2 y tan A y A x 25/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

26 Vetores Unitários Os vetores são comumente descritos em termos de vetores unitários ao longo dos eixos cartesianos. Os vetores unitários têm o propósito de especificar a direção do vetor. ^ : A A x A y A x A y n ^ 26/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

27 Em 3 dimensões A A x A y A z A x A y A z k A A 2 x A 2 y A 2 z 27/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

28 Adição de Vetores por componentes R A B A x A y B x B y R A x B x R x A y B y r r r 1 r R y 28/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

29 Multiplicação de vetores Produto de um escalar por um vetor. vetor Produto escalar entre dois vetores. escalar Produto vetorial. vetor (veremos mais tarde) Produto de um escalar por um vetor Ex: se A A x A y A A x A y r 3 4 2r / 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

30 Produto Escalar de Vetores Produto Escalar A B A B cos com 0 30/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

31 Produto Escalar de Vetores Algumas propriedades: Comutatividade: A B B A Módulo de um vetor: A A A 2 cos 0 A 2 A 2 ortogonalidade: A B A B 0 A x A A y A e A z k A 1 0 k k 0 k 0 k 0 k k 1 (1) Sendo A A x A y A z k e B B x B y B z k temos A B A x B x A y B y A z B z (2) 31/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

32 Exercícios 1 Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30 a leste do norte. Represente os movimentos do carro em um diagrama vetorial e determine o vetor deslocamento total do veículo em relação ao ponto de partida. Qual seu módulo e direção? 2 Sejam os vetores A 2 3 k e B 4 2 k. Determine: (a) A B (b) A x (c) A B (d) A (e) o ângulo entre A e B. 3 Uma roda de 45 cm de raio rola sem deslizar num piso horizontal. P é um ponto pintado na borda da roda. No tempo t 1, P está no ponto de contato entre a roda e o piso. Num tempo posterior t 2, a roda descreveu meia rotação. Qual é o vetor deslocamento de P entre os instantes t 1 e t 2? P P P 32/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

33 1 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos num plano: 4 m para sudoeste, 5 m para leste e 6 m numa direção 60 ao norte do leste. Tome o eixo y na direção norte e o eixo x na direção leste e calcule (a) as componentes dos 3 deslocamentos, (b) as componentes dos deslocamentos resultantes, (c) o módulo e orientação do deslocamento resultante. 2 Seja um cubo de aresta a e um sistema de eixos OXYZ com origem em um vértice do cubo e eixos ao longo de três arestas. Escreva na base de unitários do sistema de eixos os vetores com ponto inicial no vértice na origem e pontos finais nos demais vértices. 33/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

34 1 Discutir a aceleração da gravidade 2 Discutir força de atrito 3 Um bloco encontra-se em repouso sobre um plano inclinado posto na superfície da Terra. Desenhe o diagrama de forças que agem sobre o bloco Indique claramente onde estão as forças de reação às forças colocadas no item anterior. A força resultante que o Boggier bloco plano exerce sobre o BEEBE plano inclinado é: (I)P (II) F at N (III) F at N (IV)N (V) P 34/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

35 Um bloco de massa m está em repouso sobre uma mesa fixa em um elevador acelerado verticalmente para cima. Sobre o bloco atuam a força normal de contato N e a força peso P. Marque com um X as afirmativas falsas, justificando as suas respostas: ( ) A força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) A força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésemprer y N y P y. ( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésemprer y N y P y. ( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é sempre R y N y P y. ( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é sempre R y N P. 35/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

36 Um bloco de massa m está sobre um plano inclinado liso que forma um ângulo com a horizontal. Sobre bloco atuam a força normal N e a força peso P. Marque com um X as afirmativas falsas justificando as suas respostas. ( ) A força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) A força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é sempre R y N y P y. ( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é sempre R y N y P y. ( ) A componente da força peso na direção x é P sen. ( ) O vetor normal é N P cos. ( ) O vetor normal é N P cos. ( ) O vetor normal é N P cos. 36/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

37 Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30 a leste do norte. Represente os movimentos do carro em um diagrama vetorial e determine o vetor deslocamento total do veículo em relação ao ponto de partida. Qual seu módulo e direção?. A a = 50 bum I 77 5 ' = 30km I 1 i ^. E ' = 25 seen 30 i t 25 cos 30 J I = E 't I ' te ' = ( 50 t 25 seen 30 ) i t ( 30 t 25 cos 30 ) J i : i :. doe 37/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

38 Sejam os vetores A 2 3 k e B 4 2 k. Determine:(a)A B (b) A x (c) A B (d) A (e) o ângulo entre A e B. - l - - 2) - f e) d) Jt µ 5 = ( z C a ) ) i + a) In - 2 I = I t 1 x C = ) t 3 2 1) = = b ) Eia I At. I = An = 2 - e ) ) I = 6 i + I + 2B e) I = 2 i t 3J the taj ti D ' = - hi At >. D= A- '. 5 IE ' l l B ' l cos o ' = An Bse t Ay By t Az Bz cos O = An Bse t Ay Byt Az By 1 I ' - IF l ID 't 1= = - - FU 151=16+47 F case = - 8 t = 3 = - O. 17 M. Fi 17 I. 38/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

39 Uma roda de 45 cm de raio rola sem deslizar num piso horizontal. P é um ponto pintado na borda da roda. No tempo t 1, P está no ponto de contato entre a roda e o piso. Num tempo posterior t 2, a roda descreveu meia rotação. Qual é o vetor deslocamento de P entre os instantes t 1 e t 2? P y, > P P It > I =4TR5t@RTT = tgo = FIT = 167.2cm 0= TR 39/ 39 (Vetores) Física 1 13/03/ / 37

40 1 Discutir a aceleração da gravidade 2 Discutir força de atrito 3 Um bloco encontra-se em repouso sobre um plano inclinado posto na superfície da Terra. Desenhe o diagrama de forças que agem sobre o bloco Indique claramente onde estão as forças de reação às forças colocadas no item anterior. A força resultante que o bloco plano Beef exerce sobre o plano eggs bloco é inclinado Barefootedé: (I)P (II) F at N (III) F at N (IV)N (V) P Eat N F ' 33/ 38 (Vetores) Física 1 14/03/ / 36

41 - ^ ' ' Um bloco de massa m está em repouso sobre uma mesa fixa em um elevador acelerado verticalmente para cima. Sobre o bloco atuam a força normal de contato N e a força peso P. E = Tv ' ' + I y.aowadaaasaaoaaeg.ir Marque comverdadeiro um X as afirmativas ou Falso falsas, justificando as suas respostas: ( ) A força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) A força resultante sobre o bloco é R N P. ( ) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P. ( F) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P. ( F) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésemprer y N y P y. ( ) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésemprer : y N y P y. ( ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é sempre R y N y P y. ( V ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é sempre R y N P. 34/ 38 (Vetores) Física 1 14/03/ / 36 A J veto component component e o neo : Ej = it y + Pj de [ we diwcoio dulo de Ky lrtl=n tp, n - P

42 - Um bloco de massa m está sobre um plano inclinado liso que forma um ângulo com a horizontal. Sobre bloco atuam a força normal N e a força peso P. E '=F' + F ' y da t.4.mn As components tante sat PEI - Nt NnYn++Bpa }{Y &Pseuo io Py = - Paso R - = Pseue Ry = N - ry=o Puoo = > n= Marque com odoo3oa_fooedoaa3sdvgoedne-. Verdadeiro um X as afirmativas ou Falso falsas justificando as suas respostas. ( F) A força resultante sobre o bloco é R N P. ( V) A força resultante sobre o bloco é R N P. ( F) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P. ( F) O módulo da força resultante sobre o bloco é R N P. ( F) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é sempre R y N y P y. ( V ) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é sempre R y N y P y. ( F) A componente da força peso na direção x é P sen. ( F) O vetor normal é N P cos. ( F) O vetor normal é N P cos. ( F) O vetor normal é N P cos. 35/ 38 (Vetores) Física 1 14/03/ / 36 Poo, # 1 = r-z+ry# I Pseno